2015-2016年北京延庆初三上学期期末数学试题及答案

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2015-2016学年北京市延庆县初三一模数学试卷(含答案)

延庆区2016年毕业考试试卷初三数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．龙庆峡冰灯于2016年1月中旬接待游客。

今年的龙庆峡冰灯以奥运五环、冬奥会运动项目等奥运元素为题材，分为彩灯区、娱乐区、冰展区，总面积达到200 000平方米。

将200 000用科学记数法表示应为A ．20×104B ．0.20×106C ．2.0×106D ．2.0×1052. 如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是A ．点A 与点BB ．点A 与点DC ．点B 与点DD ．点B 与点C3．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为 A ．21B ．31C ．32 D ．61 4. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为A ．B ．C ．D ． 5. 若分式21x x --的值为0，则x 的值为 A ． 1或2 B ．2C ．1D ．0 6．如图，在4×4的正方形网格中，tan α的值等于A ．2B ．12CD7. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ,CD =6,AE则⊙O 的直径为A . 6B.8C.10D.12 8．若将抛物线y=12x 2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是A ．21(2)12y x =+- B ．21(2)12y x =-- C ．2(2)1y x =+- D ．1)2x (21y +-=9. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB '''∠=∠的依据是 A ．（SAS ） B ．（SSS ） C ．（AAS ） D ．（ASA ）10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，大小正方形重叠部分的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D图③图②图①二、填空题（本题共18分, 每小题3分）11．分解因式：22an amn 2am +-= . 12.函数y =x 的取值范围是 .13. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为： .14. 如图，AB ∥DC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需补充一个．．条件： .15. 关于x 的一元二次方程a x 2+bx +41=0有实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值： a =______，b =______．16. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了()na b +（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b ）7的展开式共有项， na b +（）的展开式共有项，各项的系数和．．．是．三、3219423x y x y ⎧⎨⎩+=+=共有5项共有3项共有2项共有4项各项系数和：4各项系数和：2各项系数和：8各项系数和：16(a+b)4 = a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4• • • • • • •(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3• • • • • • •• • • • • • •(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)1=a+b • • • • • • •644113311211111四、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17. 计算:1tan 602-+-18.已知：x 2-5x =6，请你求出代数式10x -2x 2+5的值．19. 解方程：542332x x x+=--20. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+.321),2(542x x x x 把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解.21. 已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．22. 如图，点P （－3，1）是反比例函数my x=的图象上的一点．（1）求该反比例函数的表达式；（2）设直线y kx =与双曲线m y x =的两个交点分别为P 和P′，当mx＜kx 时，直接写出x 的取值范围．23. 列方程或方程组解应用题：食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶A、B两种饮料中，共添加270克该添加剂，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？24.如图，甲船在港口P的南偏西60︒方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45︒方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精1.4141.7322.236≈）A25. 已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．26.阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；（2）求表中a，b的值；（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？27. 已知：抛物线y=x²+bx+c经过点A（2，-3）和B（4，5）. （1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1，求图象G1的表达式；（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G2:y＝ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”．例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣” 为点（－5，－6）．（1）① 点（2，1）的“妫川伴侣”为；② 如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3y x=的图象上，那么这个点是（填“点A ”或“点B ”）．（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为；② 如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”，求点N 的坐标．（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是．()图2图1A'B29. 阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB =2，AC =4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

2016-2017学年北京市延庆县九年级(上)期末数学试卷与答案

12．（3 分）如图，抛物线 y=ax2（a≠0）与直线 y=bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为 A（﹣2，4），B（1，1），则关于 x 的方程 ax2﹣bx﹣c=0 的解为．
13．（3 分）如图，网高为 0.8 米，击球点到网的水平距离为 3 米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h为米．
③关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根时，a 的取值范围是
24．（5 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为直径，点 D 在⊙O 上，过点 D 作⊙O 切线与 AC 的延长线交于点 E，ED∥BC，连接 AD 交 BC 于点 F．（1）求证：∠BAD=∠DAE；（2）若 AB=6，AD=5，求 DF 的长．
（2）求 y 与 x 的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围；（3）当 x 为何值时，y 有最大值？
22．（5 分）如图，△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，点 E 是 AD 的中点，连接 BE 并延长，交 AC 于点 F．（1）根据题意补全图形；（2）如果 AF=1，求 CF 的长．
2016-2017 学年北京市延庆县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）如果 4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（ A． = B． = C． = D． = ）
2．（3 分）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为 1：2，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为（ A．1：2 ） B．2：1 C．1： D．1：4 ）
19．（5 分）求二次函数 y=x2﹣4x+3 的顶点坐标，并在所给坐标系中画出它的图象．

2015-2016年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷和参考答案

2015-2016学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．105．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y27．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．69．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2．（填相似或不相似）；理由是．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：，理由是．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为，点C的坐标为．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是，或．请回答：（1）王华补充的条件是，或．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣【解答】解：∵点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，∴4a=2，解得a=．故选：C．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．3．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是三角形，∴该几何体是一个锥体，∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆锥；故选：D．4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．10【解答】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选：A．5．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“利”是相对面，“你”与“试”是相对面，“考”与“顺”是相对面．故选：D．6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【解答】解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣=1，∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，∴y1＜y2．故选：A．7．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【解答】解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故树的高度为7m．故选：A．8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．6【解答】解：∵l=，∴r===18，故选：A．9．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故选：B．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O【解答】解：当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，y由45°逐渐增加到90°．故点P的运动路线可能为O→C→D→O．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=4．【解答】解：∵y=x2﹣4x+6=x2﹣4x+4﹣4+6=（x﹣2）2+2，∴h=2，k=2，∴h+k=2+2=4．故答案为4．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．【解答】解：由题意得，∠B=60°，在Rt△ABC中，∠B=60°，∴h=AC=ABsin∠B=a，∴k==．故答案为：．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2相似．（填相似或不相似）；理由是==．【解答】解：由题意得：A1C1=4，A2C2=2，由勾股定理得：A1B1==2，B1C1==2，A2B2==，B2C2==，∴==2，==2，==2，∴===2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2．故答案为：相似，==．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：不正确，理由是弦AN与MN不相等，则≠．【解答】解：小明的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI=IT，∴AN=NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠．故答案为不正确；弦AN与MN不相等，则≠．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．【解答】解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵弦AB的长等于⊙O的半径，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．故答案为：30°或150°．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∵∠AED=∠C，∴△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．【解答】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x2+bx+c得，解得，所以二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵⊙O的直径为4cm，∴OA=OB=2cm，∴AB==2（cm）．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若“有趣中线”为BC边上的中线，根据垂线段最短，可知不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，如图所示，BC=1，设BD=2x，则CD=x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=12+x2，解得：x=，则△ABC的“有趣中线”的长等于．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．【解答】解：相等．理由：连接AF．∵A为圆心，∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，∴∠DAF=∠GAD，∴=．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴△DEF∽△BAF．∴．∴．又∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）【解答】解：作CG⊥AE于点G．在直角△ACG中，AC=AB+BC=50+30=80cm．sin∠CAG=，∴CG=AC•sin∠CAG=80×=40≈69.2（cm）．则拉杆把手处C到地面的距离是：69.2+8=77.2≈77cm．24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=12．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分别代入y1=a1x2+b1x+c1得，解得．所以抛物线m1的解析式为y1=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则P（1，4），当x=0时，y=3，则C（0，3）；（2）因为抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2，所以y2=（x﹣1）2﹣4，当x=﹣3时，y2=（x+1）2﹣4=（﹣3﹣1）2﹣4=12．故答案为（1，4），（0，3），12；（3）存在．当y1=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，∴CK∥AM，CK=AM，∴四边形AMKC为平行四边形，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC==，则CK=，当抛物线m1沿水平方向向右平移个单位，此时K（，3）；当抛物线m1沿水平方向向左平移个单位，此时K（﹣，3）．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．【解答】解：连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，∵⊙A与y轴相切于B，∴AB⊥y轴，∵点，与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为，∴AB=AM=R，CM=R﹣，AC=，MN=2CM，由勾股定理得：R2=（R﹣）2+（）2，R=2.5，∴CM=CN=2.5﹣=2，∴ON=+2+2=4，即N的坐标是（4，0）．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为x1=0，x2=﹣2；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．【解答】解：①图所示：；②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2；则方程的解是x1=0，x2=﹣2，图象如图1；③函数y=x2﹣2x+1的图象是：当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1．则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．【解答】解：（1）如图1；（2）①直线BC与⊙O的位置关系为相切．理由如下：如图1，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BC，即直线BC是⊙O的切线，∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；②如图2，∵∠BAC 的角平分线AD 交BC 于D ，∠BAC=60°，∠C=90°， ∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴BD=AD ．∵在Rt △ADC 中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=，∴AD=2CD=2，AC=CD=3，∴BD=2，AB=2AC=6．设⊙O 的半径为r ，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2，即r 2+（2）2=（6﹣r ）2，解得r=2，OB=6﹣r=4， ∵∠ODB=90°，∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴S 扇形ODE ==π，S △ODB =OD•BD=×2×2=2，∴线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的图形面积为：S △ODB ﹣S 扇形ODE =2﹣π．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．请回答：（1）王华补充的条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+A B•BC．求∠C的度数．【解答】解：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（1）王华补充的条件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=AP•AB；理由如下：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：∵AC2=AB2+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，∴，又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB=∠D，∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，∴3∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=50°．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：∴d===．（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如答图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），∴m=3；（III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．如图，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m﹣4，由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m﹣2=2n （1）在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2（2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，∴m=．综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．第31页（共31页）。

2015-2016学年北京市延庆县七年级(上)期末数学试卷含答案

2015-2016学年北京市延庆县七年级（上）期末数学试卷一、选择题：（共10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请在答题纸上将所选项涂黑．1．﹣的相反数是（）A．B．﹣C．2 D．﹣22．第30届延庆冰雪欢乐节于2015年12月20日开幕．本届冰雪欢乐节以“冰雪延庆，激情冬奥”为主题，将持续至2016年2月底．在70余天的时间里，延庆将举办冰雪赛事、冰雪培训、冰雪旅游、文化宣传4大类20项活动，据不完全统计，截止2016年1月4日，冰雪节期间，延庆乡村旅游收入超过2350000元．将2350000用科学记数法表示应为（）A．2.35×107B．2.35×106C．23.5×106D．23.5×1053．下面的说法正确的是（）A．﹣a表示负数B．﹣2是单项式C．的系数是3 D．是多项式4．下列计算正确的是（）A．7a+a=7a2B．5y﹣3y=2C．3x2y﹣2yx2=x2y D．3a+2b=5ab5．下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上；③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．A．①②B．①③C．②④D．③④6．若代数式﹣2a x+7b4与代数式3a4b2y是同类项，则x y的值是（）A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣47．某商人在一次买卖中均以120元卖出两件商品，其中一件赚了20%，一件赔了20%，在这次交易中，该商人（）A．不赔不赚B．赚了10元C．赔了10元D．赔了30元A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．ab＜09．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（）A．B．C．D．10．按下面的程序计算，当输入x=100时，输出结果为501；当输入x=20时，输出结果为506；如果开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，那么满足条件的x的值最多有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分）11．如果∠A=34°15′，那么∠A的余角等于．12．如图是某几何体的展开图，那么这个几何体是．13．写出一个只含有字母x，y的二次三项式．14．小明在解一元一次方程■x﹣3=2x+9时，不小心把墨汁滴在作业本上，其中未知数x前的系数看不清了，他便问邻桌，但是邻桌只告诉他，方程的解是x=﹣2（邻桌的答案是正确的），小明由此知道了被墨水遮住的x的系数，请你帮小明算一算，被墨水遮住的系数是．15．刘谦的魔术表演风靡全世界，很多同学非常感兴趣，也学起了魔术．小华把任意有理数对（x，y）放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数x+y2+1．例如：把（﹣1，2）放入其中，就会得到﹣1+22+1=4．现将有理数对（3，﹣2）放入其中，得到的有理数是．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的所有的正整数对（x，y）为．（1）六边形第5层的几何点数是；第n 层的几何点数是．（2）在第层时，六边形的几何点数是三角形的几何点数的3.5倍．三、解答题（共4个小题，共41分，17题16分，19题15分，18题、20题各5分）17．计算：（1）8﹣（﹣2）﹣（+3）+（﹣1）（2）（﹣12）÷（+4）﹣（﹣2）×（﹣3）（3）（4）．18．先化简，再求值：2x﹣3y﹣3（x﹣2y），其中x=﹣2，y=1．19．解方程：（1）3x+7=23﹣x（2）3（x﹣2）=x﹣（2x﹣1）（3）．20．解不等式组：．四、解答题（本题5分）21．自2010年延庆区举办骑游大会以来，到延庆骑游的人越来越多，延庆区人民政府决定投放公租自行车供市民使用．到2015年底，投放在东湖、西湖自行车租赁点的公租自行车共有550辆，西湖自行车租赁点的公租自行车数量是东湖自行车租赁点的公租自行车数量的2倍少20辆．这两个公租自行车租赁点各有多少辆自行车？五、画图题（本题4分）22．如图：A，B，C，D是平面上四个点，按下列要求画出图形．（1）连接BD；（2）作射线CB，与DA的延长线交于点E；（3）过C作BD的垂线，垂足为F．六、解答题（共4个小题，共22分）23．如图，已知点C是线段AB的中点，AB=9，若E是直线AB上一点，且BE=2，（1）请依题意补全图形；（2）求CE的长．24．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图：其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元．（1）两个班各有多少学生？（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？（3）如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？25．已知∠AOB=60°，从点O引射线OC，使∠AOC=40°，作∠AOC的角平分线OD，（1）依题意画出图形；（2）求∠BOD的度数．26．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣2，0，4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是7？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由；（3）如果点P以每秒钟6个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒钟1个单位长度和每秒钟3数学试题答案一、选择题：（共10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请在答题纸上将所选项涂黑．1．【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数即可求解．【解答】解：根据概念得：﹣的相反数是．故选A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将2350000用科学记数法表示为：2.35×106．故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【考点】单项式；多项式．【分析】依据单项式、多项式、正负数的定义回答即可．【解答】解：A、当为负数时，﹣a表示正数，故A错误；B、单独的一个数字也是一个单项式，故B正确；C、的系数是，故C错误；D、x++1，中分母中含所有字母，是分式，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是单项式和多项式的定义，掌握相关定义是解题的关键．4．【考点】合并同类项．【专题】计算题．【分析】根据合并同类项得法则依次判断即可．【解答】解：A、7a+a=8a，故本选项错误；B、5y﹣3y=2y，故本选项错误；C、3x2y﹣2yx2=x2y，故本选项正确；D、3a+2b=5ab，不是同类项，不能合并，故本选项错误；故选C．【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．【专题】常规题型．【分析】根据两点之间线段最短的实际应用，对各小题分析后利用排除法求解．【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故本小题错误；②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，利用的是两点确定一条直线，故本小题错误；③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设，利用的是两点之间线段最短，故本小题正确；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用的是两点之间线段最短，故本小题正确．综上所述，③④正确．故选D．【点评】本题主要考查了线段的性质，明确线段的性质在实际中的应用情况是解题的关键．6．【考点】同类项．【分析】根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得x、y的值，根据乘方的意义，可得答案．【解答】解：由﹣2a x+7b4与代数式3a4b2y是同类项，得x+7=4，2y=4．解得x=3，y=2．x y=32=9，故选：A．【点评】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．7．【考点】一元一次方程的应用．【分析】根据售价=（1+利润率）×进价算出赚了20%的商品的进价，再算出赔了20%的商品的进价，然后即可算出是陪还是赚．【解答】解：设赚了20%的商品的进价是x元，则（1+20%）x=120解得x=100，则实际赚了20元；设赔了20%的商品进价是y元，则赔了150﹣120=30元．∵30＞20，∴赔大于赚，在这次交易中，该商人是赔了30﹣20=10（元）．故选：C．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，赔赚都是在原价的基础上，故分别求出两件商品的原价是解决问题的关键．8．【考点】数轴．【分析】先根据数轴确定a，b的取值范围，再逐一分析，即可解答．【解答】解：由数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a+b＜0，a﹣b＜0，ab＜0，故选：D．【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴a，b的取值范围．9．【考点】角的计算；余角和补角；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】A、由图形可得两角互余，不合题意；B、由图形得出两角的关系，即可做出判断；C、根据图形可得出两角都为45°的邻补角，可得出两角相等；D、由图形得出两角的关系，即可做出判断．【解答】解：A、由图形得：α+β=90°，不合题意；B、由图形得：β+γ=90°，α+γ=60°，可得β﹣α=30°，不合题意；C、由图形可得：α=β=180°﹣45°=135°，符合题意；D、由图形得：α+45°=90°，β+30°=90°，可得α=45°，β=60°，不合题意．故选：C．【点评】此题考查了角的计算，弄清图形中角的关系是解本题的关键．10．【考点】代数式求值；解一元一次方程．【分析】利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【解答】解：∵最后输出的结果为656，∴第一个数就是直接输出其结果时：5x+1=656，则x=131＞0，第二个数就是直接输出其结果时：5x+1=131，则x=26＞0，第三个数就是直接输出其结果时：5x+1=26，则x=5＞0，第四个数就是直接输出其结果时：5x+1=5，则x=0.8＞0，第五个数就是直接输出其结果时：5x+1=0.8，则x=﹣0.4＜0，故x的值可取131、26、5、0.8四个．故答案为：B．【点评】本题主要考查代数式的求值和解方程的能力，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分）11．【考点】余角和补角；度分秒的换算．【分析】根据余角的定义即可得出结论．【解答】解：∵∠A=34°15′，∴∠A的余角=90°﹣34°15′=55°45′．故答案为：55°45′．【点评】本题考查的是余角和补角，熟知余角的定义是解答此题的关键．12．【考点】几何体的展开图．【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图．【解答】解：这个几何体是圆柱，故答案为：圆柱【点评】此题主要考查圆柱的展开图，关键是根据圆柱的展开图为两个圆，一个长方形解答．13．【考点】多项式．【分析】二次三项式即多项式中次数最高的项的次数为2，并且含有三项的多项式．答案不唯一．【解答】解：由多项式的定义可得只含有字母x的二次三项式，例如x2+2xy+1，答案不唯一，故答案为：x2+2xy+1．【点评】本题考查了多项式的定义，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．14．【考点】一元一次方程的解．【分析】设被墨水遮住的系数是k，则把x=﹣2代入方程即可得到一个关于k的方程，解方程即可求得．【解答】解：设被墨水遮住的系数是k．则把x=﹣2代入kx﹣3=2x+9，得﹣2k﹣3=﹣4+9，解得：k=﹣4．故答案是：﹣4【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．15．【考点】有理数的混合运算．【专题】新定义；实数．【分析】把有理数（3，﹣2）放入其中，计算即可得到结果；根据结果为6列出方程，由x与y为正整数确定出（x，y）即可．【解答】解：根据题意得：3+（﹣2）2+1=3+4+1=8；根据题意得：x+y2+1=6，当x=1时，y=2；x=4时，y=1，则（x，y）为（1，2）或（4，1），故答案为：8；（1，2）或（4，1）【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．【考点】规律型：图形的变化类；解一元一次方程；由实际问题抽象出一元一次方程．【专题】推理填空题；图表型；规律型；整式；一次方程（组）及应用．【分析】（1）观察六边形时，前三层的几何点数分别是1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，可得第5层的几何点数及第n层的几何点数；（2）首先得出三角形第n层点数是n，然后根据六边形的几何点数是三角形的几何点数的3.5倍，列方程、解方程可得．【解答】解：（1）∵六边形第1层几何点数：1=4×1﹣3；六边形第2层几何点数：5=4×2﹣3；六边形第3层几何点数：9=4×3﹣3；∴六边形第5层几何点数为：4×5﹣3=17，六边形第n层几何点数为：4n﹣3；（2）∵三角形第一层点数为1，第二层点数为2，第三层点数为3，∴三角形第n层的几何点数为n；由六边形的几何点数是三角形的几何点数的3.5倍，得4n﹣3=3.5n，解得n=6；则在第6层时，六边形的几何点数是三角形的几何点数的3.5倍．故答案为：（1）17，4n﹣3；（2）6．【点评】本题主要考查图形的变化问题，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解是解题关键．三、解答题（共4个小题，共41分，17题16分，19题15分，18题、20题各5分）17．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；实数．【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果；（3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=8+2﹣3﹣1=10﹣4=6；（2）原式=﹣3﹣6=﹣9；（3）原式=﹣16+18﹣2=﹣18+18=0；（4）原式=﹣27÷（﹣9）﹣[2+（﹣8）]=3﹣（﹣6）=3+6=9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【考点】整式的加减—化简求值．【专题】计算题；整式．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=2x﹣3y﹣（3x﹣6y）=2x﹣3y﹣3x+6y=﹣x+3y，当x=﹣2，y=1时，原式=﹣（﹣2）+3×1=2+3=5．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．【考点】解一元一次方程．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）移项合并得：4x=16，解得：x=4；（2）去括号得：3x﹣6=x﹣2x+1，移项合并得：4x=7，解得：x=；（3）去分母得：3（x﹣1）=4x+6，去括号得：3x﹣3=4x+6，解得：x=﹣9．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“同大取较大”来求不等式组的解集．【解答】解：∵，由①得，x＞1；由②得x＞3，∴原不等式组的解集为x＞3，【点评】本题考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取较大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．四、解答题（本题5分）21．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设东湖自行车租赁点的公租自行车数量为x辆，则西湖自行车租赁点的公租自行车数量为（2x﹣20）辆．根据投放在东湖、西湖自行车租赁点的公租自行车共有550辆建立方程，求解即可．【解答】解：设东湖自行车租赁点的公租自行车数量为x辆，则西湖自行车租赁点的公租自行车数量为（2x﹣20）辆．依题意得：2x﹣20+x=550，解得：x=190，那么2x﹣20=360．答：东湖自行车租赁点的公租自行车数量为190辆，西湖自行车租赁点的公租自行车数量为360辆．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．五、画图题（本题4分）22．【考点】作图—基本作图．【分析】分别根据线段、射线及垂线的定义画出图形即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段、射线及垂线的定义是解答此题的关键．六、解答题（共4个小题，共22分）23．【考点】两点间的距离．【分析】（1）点E可以在点B的左边，也可以在点B的右边．（2）根据CE=BC﹣EB或BC+BE来求解．【解答】解解：（1）见右图．（2）当E在线段AB上，∵C是AB的中点，∴BC=AB，∵AC=9，∴BC=×9=4.5，∴CE=BC﹣BE=4.5﹣2=2.5，当E在线段AB的延长线上，由（1）可知BC=×9=4.5，∴CE=BC+BE=4.5+2=6.5．【点评】本题考查线段中点的性质，线段和差定义，正确画图是解题的关键．24．【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）设七年级（1）班x人，则七年级（2）班（104﹣x）人，根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以；（2）先求出购团体票的费用，再用1240元﹣团体票的费用就是节约的钱；（3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用，比较两个费用的大小就可以得出结论．【解答】解：（1）设七年级（1）班x人，则七年级（2）班（104﹣x）人，由题意可得：13x+11（104﹣x）=1240，解得x=48，则104﹣x=56．答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人；（2）1240﹣104×9=304（元）；（3）七年级（1）班按照实际人数购票的费用为：48×13=624元，购51张票的费用为：51×11=561元．∵624＞561，∴购买51张票划算些．【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，设计方案的运用，解答时找到等量关系建立方程求出各班人数是关键．25．【考点】角平分线的定义．【分析】（1）根据题意画出符合的两种情况；（2）根据角平分线定义求出∠AOD，即可求出答案．【解答】解：（1）分两种情况讨论：当∠AOC在∠AOB的外部时，如图1：；当∠AOC在∠AOB的内部时，如图2：；（2）如图1，∵射线OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠AOC=20°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=80°；如图2，∵射线OD平分∠AOC，∴∠COD=∠AOC=20°，∴∠BOD=∠AOB﹣∠AOC+∠COD=40°．【点评】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，能画出符合的两个图形是解此题的关键．26．【考点】一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．【专题】几何动点问题．【分析】（1）根据三点M，O，N对应的数，得出NM的中点为：x=（﹣3+1）÷2进而求出即可；（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；（3）设经过t秒点P到点M、点N的距离相等，则P点表示的数是6t，M点表示的数是﹣2+t，N点表示的数是4+3t，根据PM=PN建立方程，求解即可．【解答】解：（1）∵数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣2，0，4，点P到点M、点N的距离相等，∴点P是线段MN的中点，∴x=（﹣2+4）÷2=1．故答案为：1；（2）存在；设P表示的数为x，①当P在M点左侧时，PM+PN=7，﹣2﹣x+4﹣x=7，解得x=﹣2.5，②当P点在N点右侧时，x+2+x﹣4=7，解得：x=4.5；答：存在符合题意的点P，此时x=﹣2.5或4.5．（3）设经过t秒点P到点M、点N的距离相等，则P点表示的数是6t，M点表示的数是﹣2+t，N点表示的数是4+3t，由题意，得 PM=PN，则6t﹣（﹣2+t）=|4+3t﹣6t|，解得t=．答：经过秒钟，点P到点M、点N的距离相等．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程．。

2015-2016年北京市顺义区初三上学期期末数学试卷含答案解析

2015-2016学年北京市顺义区初三上学期期末数学试卷一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣的倒数是（）A．3 B．C．﹣ D．﹣32．（3分）计算的结果是（）A．B．C．D．33．（3分）不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞﹣1 D．x＜﹣14．（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA 的延长线交于点F，若AE=2ED，则的值是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．（3分）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6， B．，3 C．6，3 D．，10．（3分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m=．12．（3分）一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是．13．（3分）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为m．14．（3分）若反比例函数的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是．15．（3分）将抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是，半径是．三、解答题（共13道小题，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17．（5分）计算：cos60°+tan30°•sin60°﹣（cos45°﹣）0．18．（5分）已知，求代数式的值．19．（5分）求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．20．（5分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积．21．（5分）李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦，∠B=60°，OD⊥AC，垂足为D．（1）求OD的长；（2）求劣弧AC的长．23．（5分）在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．24．（5分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）25．（5分）已知抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求m的值．26．（5分）在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D以1cm/s 的速度从点A出发到点B止，动点E以2cm/s 的速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动的时间t．27．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．28．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．29．（8分）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2015-2016学年北京市顺义区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣的倒数是（）A．3 B．C．﹣ D．﹣3【解答】解：﹣的倒数是﹣3；故选：D．2．（3分）计算的结果是（）A．B．C．D．3【解答】解：•=，故选：B．3．（3分）不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【解答】解：移项得，3x＞﹣1﹣2，合并同类项得，3x＞﹣3，把x的系数化为1得，x＞﹣1．故选：C．4．（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：D．5．（3分）若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由比例的性质，得3x=4y，故A正确；B、由比例的性质，得xy=12，故B错误；C、由比例的性质，得4x=3y，故C错误；D、由比例的性质，得4x=3y，故D错误；故选：A．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴AC==4，∴cosA==，故选：B．7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA 的延长线交于点F，若AE=2ED，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴△AFE∽△CDE，∴AF：CD=AE：ED，∵AE=2ED，∴AF：CD=AE：ED=2：1，∴=．故选：D．8．（3分）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin∠CBA=，∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选：C．9．（3分）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6， B．，3 C．6，3 D．，【解答】解：∵正方形的边长为6，∴AB=3，又∵∠AOB=45°，∴OB=3∴AO==3，即外接圆半径为3，内切圆半径为3．故选：B ．10．（3分）如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：过点O 作OD ⊥AB ，∵∠AOB=120°，OA=2，∴∠OAD===30°，∴OD=OA=×2=1，AD===， ∴AB=2AD=2，∴S 阴影=S 扇形OAB ﹣S △AOB =﹣×2×1=．故选：A ．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m=m（n+3）2．【解答】解：mn2+6mn+9m=m（n2+6n+9）=m（n+3）2．故答案为：m（n+3）2．12．（3分）一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是8．【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，9，则中位数为：8．故答案为：8．13．（3分）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为12m．【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例．设旗杆的高是xm．∴1.6：1.2=x：9∴x=12．即旗杆的高是12米．故答案为12．14．（3分）若反比例函数的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是m＞1．【解答】解：∵图象在每一个象限中y随着x的增大而减小，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，故答案为：m＞1．15．（3分）将抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣3．【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移3个单位得y=2x2﹣3，再向左平移1个单位，得y=2（x+1）2﹣3；故所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣3．故答案为：y=2（x+1）2﹣3．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是（5，2），半径是2．【解答】解：∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，又∵到B，C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，∴三角形的外心位置基本确定，只有（5，2）点到三角形三个顶点距离相等，∴（5，2）点是三角形的外接圆圆心．利用勾股定理可得半径为：2．故答案为：（5，2），2．三、解答题（共13道小题，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17．（5分）计算：cos60°+tan30°•sin60°﹣（cos45°﹣）0．【解答】解：原式=+•﹣1=+﹣1=0．故答案为：0．18．（5分）已知，求代数式的值．【解答】解：•（a﹣2b）=•（a﹣2b）=，∵=≠0，∴a=b，∴原式====．19．（5分）求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．【解答】解：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为：（2，﹣1），对称轴为直线：x=2，当y=0，则0=（x﹣2）2﹣1，解得：x1=1，x2=3，故抛物线与x轴交点为：（1，0），（3，0）．如图所示：20．（5分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积．【解答】解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得，解得k=10，b=3；（2）作AC⊥x轴于点C，由（1）得直线AB的解析式为y=x+3，∴点B的坐标为（﹣3，0），∴OB=3，∵点A的坐标是（2，5），∴AC=5，∴=5=．21．（5分）李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）有分析可得：S=x×（40﹣x）=﹣x2+40x，且有0＜x＜40，所以S与x之间的函数关系式为：S=x×（40﹣x）=﹣x2+40x，并写出自变量x的取值范围为：0＜x＜40；（2）求S=﹣x2+40x的最大值，S=﹣x2+40x=﹣（x﹣20）2+400，所以当x=20时，有S的最大值S=400，答：当x是20时，矩形场地面积S最大，最大面积是400．22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦，∠B=60°，OD⊥AC，垂足为D．（1）求OD的长；（2）求劣弧AC的长．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，又∵OD⊥AC，∴AD=CD=，∠ADO=90°，∵∠B=60°∴∠A=30°，在Rt△AOD中，OA=2，OD=1；（2）连接OC，则∠AOC=120°，∴的长l===．23．（5分）在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．【解答】解：如图，连接BD，由AB=AD，∠A=60°．则△ABD是等边三角形．即BD=8，∠1=60°．又∠1+∠2=150°，则∠2=90°．设BC=x，CD=16﹣x，由勾股定理得：x2=82+（16﹣x）2，解得x=10，16﹣x=6所以BC=10，CD=6．24．（5分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，由题意∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，则AD=AB+BD=（40+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，则，解得x=60（米），经检验得：x=60是原方程的根，∴这条河的宽度为60米．25．（5分）已知抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求m的值．【解答】解：设一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0的两根为α、β，∴α+β=﹣，αβ=﹣，∴|α﹣β|==2，∴（α+β）2﹣4αβ=4，即（﹣）2+=4，解得m=2或m=．26．（5分）在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D以1cm/s 的速度从点A出发到点B止，动点E以2cm/s 的速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动的时间t．【解答】解：当动点D、E同时运动时间为t时，则有AD=t，CE=2t，AE=12﹣2t．∵∠A是公共角，∴（1）当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC，有，即，∴t=3；（2）当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB，有，即解得t=4.8．综上可得：当点D、E同时运动3s和4.8s时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．27．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．【解答】解：（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：连接OD，∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，∴=，∴OD⊥BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴OD⊥DE，∴ED与⊙O的位置关系是相切；（2）连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，在直角△ABD中，BD===，∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵∠AFC=∠BFD，∴∠FBD=∠CAD=∠BAD∴△FBD∽△BAD，∴=∴FD=∴AF=AD﹣FD=5﹣=．28．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．29．（8分）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）令y=3x+3=0得：x=﹣1，故点C的坐标为（﹣1，0）；令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3故点A的坐标为（0，3）；∵△OAB是等腰直角三角形．∴OB=OA=3，∴点B的坐标为（3，0），设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，解得：∴解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，∴解得：∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3∵线CD∥AB∴设直线CD的解析式为y=﹣x+b∵经过点C（﹣1，0），∴﹣（﹣1）+b=0解得：b=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x﹣1，令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3，解得：x=﹣1，或x=4，将x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5，∴点D的坐标为：（4，﹣5）；（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x．S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB=（OA+PN）•ON+PN•BN﹣OA•OB=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3=（x+y）﹣，∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：S △PAB =（x +y ）﹣=﹣（x 2﹣3x ）=﹣（x ﹣）2+，∴当x=时，S △PAB 取得最大值．当x=时，y=﹣x 2+2x +3=， ∴P （，）．所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P ，使得△ABP 的面积最大；P 点的坐标为（，），最大值为：．附加：初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征： 60°60°60° 45°45°45°运用举例： 1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；x yB C AO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．l s 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2015-2016年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷及答案

2015-2016学年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）4．（3分）若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．15．（3分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．B．C．D．6．（3分）抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x+1）2﹣3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+37．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，，则AB的长为（）A．B．C．D．129．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（）A．B．C．2 D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是．14．（3分）如图，正比例函数y=mx（m≠0）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是．15．（3分）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为．16．（3分）正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tanB=2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tanB 的值为．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）17．（5分）计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．18．（5分）解方程：x2+2x﹣5=0．19．（5分）如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．20．（5分）已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m ﹣1）的值．21．（5分）已知二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣2，0），求点B的坐标．22．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．23．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=kx﹣2交于点A（3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y=kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y=上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y=kx﹣2于点D．若DC=2OB，直接写出点P的坐标为．25．（5分）如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α=45°，β=50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE=∠A；（2）若⊙O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．27．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，定义直线x=m与双曲线y n=的交（m、n为正整数）为“双曲格点”，双曲线y n=在第一象限内的部分沿着点A m，n竖直方向平移或以平行于x轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A 2，1的坐标为；②若线段A 4，3A 4，n 的长为1个单位长度，则n= ；（2）图中的曲线f 是双曲线y 1=的一条“派生曲线”，且经过点A 2，3，则f 的解析式为y= ；（3）画出双曲线y 3=的“派生曲线”g （g 与双曲线y 3=不重合），使其经过“双曲格点”A 2，a 、A 3，3、A 4，b ．28．（8分）（1）如图1，△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD ．若AC=2，BC=1，则△BCD 的周长为；（2）O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且△EDF 的周长等于AD 的长．①在图2中求作△EDF （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在图3中补全图形，求∠EOF 的度数； ③若，则的值为．29．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，定义直线y=ax +b 为抛物线y=ax 2+bx 的特征直线，C （a ，b ）为其特征点．设抛物线y=ax 2+bx 与其特征直线交于A 、B 两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．2015-2016学年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==，故选：A．2．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故选：B．3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）【解答】解：∵y=（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x=2，故选：D．4．（3分）若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．1【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，∴3=ab，∴ab﹣4=3﹣4=﹣1．故选：C．5．（3分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是AB的中点，∴BE=AB=CD；∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴=（）2=．故选：C．6．（3分）抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x+1）2﹣3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2（x+1）2﹣3．故选：B．7．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【解答】解：∵函数中，k=1＞0，∴此函数的图象的两个分支位于一三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜0＜x2＜x3，∴点A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）、C（x3，y3）在第一象限，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2．故选：B．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，，则AB的长为（）A．B．C．D．12【解答】解：连接AC，由圆周角定理得，∠B=∠D，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴cosB==，又BC=8，∴AB=12，故选：D．9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【解答】解：设点A的坐标为（﹣，a），∵点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，=4×|a|=6，∴S△AOB解得：a=±3，∴点A的坐标为（﹣2，3）（2．﹣3）．故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（）A．B．C．2 D．【解答】解：抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴△=b2﹣4ac=0，∴b2﹣4c=0，设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，可得：b2﹣4（c﹣m）=9，解得：m=．故选：B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y=﹣．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y=﹣，故答案为：y=﹣．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜9．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0，解得：m＜9．故答案为m＜9．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是（8，0）．【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），所以位似中心的坐标为（8，0）．故答案为：（8，0）14．（3分）如图，正比例函数y=mx（m≠0）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（﹣1，﹣2）．【解答】解：把点A的坐标为（1，2）代入y=mx与y=，得m=2，n=2．即y=2x①，y=②，解之得：x=±1，将x=﹣1代入①得y=﹣2，∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）．方法二：∵A、B关于原点对称，A（1，2），∴B（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．15．（3分）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．【解答】解：设竿长为x尺，由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．故答案为：（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．16．（3分）正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tanB=2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tanB的值为．【解答】解：（1）∵四边形CEDF为正方形，∴ED=EC，∠CED=90°，在Rt△BDE中，∵tanB==2，∴DE=2BE，∴==；（2）连结DC、DC′，如图，∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，∴DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，即=，∴△DBB′∽△DCC′，∴==，设DC=3x，BD=5x，∵四边形CEDF为正方形，∴DE=3x，在Rt△BDE中，BE===4x，∴tanB===．故答案为，．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）17．（5分）计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．【解答】解：原式=+3﹣=．18．（5分）解方程：x2+2x﹣5=0．【解答】解：x2+2x﹣5=0x2+2x=5，x2+2x+1=6，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．19．（5分）如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA．∵∠B=∠DAE，∴△ABC∽△DAE．20．（5分）已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m ﹣1）的值．【解答】解：把x=m代入方程得：m2+m﹣1=0，即m2+m=1，则原式=m2+2m+1+m2﹣1=2（m2+m）=2．21．（5分）已知二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣2，0），求点B的坐标．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于点A （﹣2，0），∴0=4﹣2b+8，∴b=6，∴二次函数解析式为y=x2+6x+8，当y=0时，x2+6x+8=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（﹣4，0）．22．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为y=﹣x2+16x（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．【解答】解：（1）y=（16﹣x）x=﹣x2+16x；（2）∵y=﹣x2+16x，∴y=﹣（x﹣8）2+64．∵0＜x＜16，∴当x=8时，y的最大值为64．答：矩形ABCD的最大面积为64平方米．23．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=kx﹣2交于点A（3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y=kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y=上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y=kx﹣2于点D．若DC=2OB，直接写出点P的坐标为P（，2）或（﹣，﹣6）．【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣2过点A（3，1），∴1=3k﹣2．∴k=1．∴直线的解析式为y=x﹣2．∵双曲线y=过点A（3，1），∴m=3．∴双曲线的解析式为．（2）∵PC∥x轴，DC=2OB，∴==，∴CF=2OF，由直线y=x﹣2可知F（0，﹣2），∴OF=2，∴CF=4，∴C的坐标为（0，2）或（0，﹣6），∴P的纵坐标为2或﹣6，代入y=得，2=，解得x=，﹣6=，解得x=﹣，∴P（，2）或（﹣，﹣6）．故答案为P（，2）或（﹣，﹣6）．25．（5分）如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α=45°，β=50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）【解答】解：如图，依题意，可得CD=AB=10，FG=AC=1.5，∠EFC=90°，在Rt△EFD中，∵β=50°，，∴EF=1.2FD，在Rt△EFC中，∵α=45°，∴CF=EF=1.2FD，∵CD=CF﹣FD=10，∴FD=50，∴EF=1.2FD=60，∴EG=EF+FG=60+1.5=61.5答：塔的高度为61.5米．26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE=∠A；（2）若⊙O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．【解答】（1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC，∴∠A=∠M，∠MCB=90°，∴∠M+∠MBC=90°，∵DE是⊙O的切线，∴∠CBE+∠MBC=90°，∴∠CBE=∠M，∴∠CBE=∠A；（2）解：过点C作CN⊥DE于点N，∴∠CNF=90°，由（1）得，∠M=∠CBE=∠A，∴tanM=tan∠CBE=tanA=2，在Rt△BCM中，∵BM=5，tanM=2，∴，在Rt△CNB中，∵，∴CN=4，BN=2，∵BF=2，∴FN=BF+BN=4，在Rt△FNC中，∵FN=4，CN=4， ∴．27．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，定义直线x=m 与双曲线y n =的交点A m ，n （m 、n 为正整数）为“双曲格点”，双曲线y n =在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于x 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A 2，1的坐标为（2，）；②若线段A 4，3A 4，n 的长为1个单位长度，则n= 7 ；（2）图中的曲线f 是双曲线y 1=的一条“派生曲线”，且经过点A 2，3，则f 的解析式为y= +1 ；（3）画出双曲线y 3=的“派生曲线”g （g 与双曲线y 3=不重合），使其经过“双曲格点”A 2，a 、A 3，3、A 4，b ．【解答】解：（1）①把x=2代入y=得：y=，则A 的坐标是（2，）；②把x=4代入y=得y=．根据题意得：（4﹣2）2+（﹣）2=1，解得：n=7．故答案是：（2，），7；的坐标是（2，）．（2）把x=2代入y=得y=，则点A2，3设f的解析式为y=+k，把（2，）代入，得=+k，解得：k=1．则f的解析式是：；的坐标是（2，）；（3）把x=2代入y=得y=，则A2，a的坐标是（3，1）；把x=3代入y=得y=1，则A3，3的坐标是（4，）．把x=4代入y=得y=，则A4，b如图．28．（8分）（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为3；（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF 的周长等于AD的长．①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②在图3中补全图形，求∠EOF的度数；③若，则的值为．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D，∴BD=AD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=1+2=3，故答案为：3；（2）①如图1所示：△EDF即为所求；②如图2所示：AH=DE，连接OA、OD、OH，∵点O为正方形ABCD的中心，∴OA=OD，∠AOD=90°，∠1=∠2=45°，在△ODE和△OAH中，，∴△ODE≌△OAH（SAS），∴∠DOE=∠AOH，OE=OH，∴∠EOH=90°，∵△EDF的周长等于AD的长，∴EF=HF，在△EOF和△HOF中，，∴△EOF≌△HOF（SSS），∴∠EOF=∠HOF=45°；③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，如图3所示：设AF=8t，则CE=9t，设OG=m，∵O为正方形ABCD的中心，∴四边形OGDK为正方形，CG=DG=DK=KA=AB=OG，∴GE=CE﹣CG=9t﹣m，DE=2CG﹣CE=2m﹣9t，FK=AF﹣KA=8t﹣m，DF=2DK﹣AF=2m ﹣8t，由（2）②知△EOF≌△HOF，∴OE=OH，EF=FH，在Rt△EOG和Rt△HOK中，，∴Rt△EOG≌Rt△HOK（HL），∴GE=KH，∴EF=GE+FK=9t﹣m+8t﹣m=17t﹣2m，由勾股定理得：DE2+DF2=EF2，∴（2m﹣9t）2+（2m﹣8t）2=（17t﹣2m）2，整理得：（m+6t）（m﹣6t）=0，∴m=6t，∴OG=OK=6t，GE=9t﹣m=9t﹣6t=3t，FK=8t﹣m=2t，∴====．故答案为．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为（3，0）；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是或．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y=ax+b，解得：a=3，b=0，∴直线y=3x，抛物线解析式：y=3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b=0，∴（ax+b）（x﹣1）=0，解得：x=﹣，x=1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C为直线y=﹣4x上一点，∴b=﹣4a．∵抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴．∴点D的坐标为（2，0）．∵点F的坐标为（1，0），∴DF=1．∵特征直线y=ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为（0，b）．∵点C的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE=DF=1．∴a=﹣1．∴特征点C的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜||＜2，解得：＜|2a|＜2，∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE=DF，由题意可得：1+=a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）整理得：b=2a2﹣2a即：b=2（a﹣）2﹣当b=2（a﹣）2﹣时，当﹣1＜a＜﹣，可得．当＜a＜1时，可得﹣≤b＜0综上所述：或﹣≤b＜0．。

2015-2016年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷和解析答案

2015-2016学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地．1．（3分）﹣3地倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．（3分）已知⊙O地半径是4，OP=3，则点P与⊙O地位置关系是（）A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定3．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+3地顶点坐标为（）A．（2，1） B．（2，﹣1）C．（﹣1，3）D．（1，3）4．（3分）若3a=2b，则地值为（）A．B．C．D．5．（3分），则（﹣xy）2地值为（）A．﹣6 B．9 C．6 D．﹣96．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新地抛物线，则新抛物线地表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣37．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2地度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°8．（3分）如图，AB是⊙O地直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠AOC等于（）A．25°B．30°C．50°D．65°9．（3分）如图，在边长为1地小正方形组成地网格中，△ABC地三个顶点均在格点上，则tan∠ABC地值为（）A．1 B．C．D．10．（3分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径地半圆上地动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC地长为x，△ABC地面积为y，则下列图象中，能表示y与x地函数关系地图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共16分，每小题3分）11．（3分）如果代数式有意义，那么实数x地取值范围为．12．（3分）反比例函数地图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数地解析式为．13．（3分）分解因式：ax2﹣4a=．14．（3分）活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC地坡度为1：1，斜坡AC地坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升地高度BC为．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别是边AD，AB地中点，EF交AC于点H，则地值为．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过A（0，3），B（2，3）两点．请你写出一组满足条件地a，b地对应值．a=，b=．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：+2sin60°﹣|﹣|﹣（﹣2015）0．18．（5分）求不等式组地整数解．19．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BCD∽△ACB；（2）如果BC=，AC=3，求CD地长．20．（5分）在一个不透明地箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球地概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表地方法表示出所有可能出现地结果，并求两次取出地都是白色球地概率．21．（5分）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x地一些对应值：（1）根据表格中地数据，确定b，c，n地值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y地最大值．22．（5分）如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC=，求AB地长．23．（5分）如图，在边长为1个单位长度地小正方形组成地网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线地交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形地面积；（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．24．（5分）如果关于x地函数y=ax2+（a+2）x+a+1地图象与x轴只有一个公共点，求实数a地值．25．（5分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b地图象和反比例函数y=地图象地两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数地关系式；（2）求△AOC地面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0地解集．（直接写出答案）26．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P地半径是4，直线y=x被⊙P截得地弦AB地长为，求点P地坐标．27．（7分）已知关于x地一元二次方程x2+2x+=0有实数根，k为正整数．（1）求k地值；（2）当此方程有两个非零地整数根时，将关于x地二次函数y=x2+2x+地图象向下平移9个单位，求平移后地图象地表达式；（3）在（2）地条件下，平移后地二次函数地图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线地另一个交点为C，直线BC上方地抛物线与线段BC组成新地图象，当此新图象地最小值大于﹣5时，求k地取值范围．28．（7分）在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上地点P处（如图1）．（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接，OP、OA．已知△OCP与△PDA 地面积比为1：4，求边AB地长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB地延长线上，且BN=PM，连接MN、CA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1中画出图形；②在△OCP与△PDA地面积比为1：4不变地情况下，试问动点M、N在移动地过程中，线段EF地长度是否发生变化？请你说明理由．29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n地值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN地最大值．（3）在（2）地条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．2015-2016学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地．1．（3分）﹣3地倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【解答】解：﹣3地倒数是﹣．故选：C．2．（3分）已知⊙O地半径是4，OP=3，则点P与⊙O地位置关系是（）A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定【解答】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O地位置关系是点在圆内．故选B．3．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+3地顶点坐标为（）A．（2，1） B．（2，﹣1）C．（﹣1，3）D．（1，3）【解答】解：y=2（x﹣1）2+3地顶点坐标为（1，3）．故选D．4．（3分）若3a=2b，则地值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵3a=2b，∴=，设a=2k，则b=3k，则==﹣．故选A．5．（3分），则（﹣xy）2地值为（）A．﹣6 B．9 C．6 D．﹣9【解答】解：∵+|y+3|2=0，∴x=1，y=﹣3，∴（﹣xy）2=[﹣1×（﹣3）]2=9．故选：B．6．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新地抛物线，则新抛物线地表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3【解答】解：抛物线y=5x2地顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点地坐标为（﹣2，3），所以新抛物线地表达式是y=5（x+2）2+3．故选A．7．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2地度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵EF平分∠CEG，∴∠CEG=2∠CEF又∵AB∥CD，∴∠2=∠CEF=（180°﹣∠1）÷2=50°，故选C．8．（3分）如图，AB是⊙O地直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠AOC等于（）A．25°B．30°C．50°D．65°【解答】解：∵CD⊥AB，∠DAB=65°，∴∠D=90°﹣∠DAB=25°，∴∠AOC=2∠D=50°．故选C．9．（3分）如图，在边长为1地小正方形组成地网格中，△ABC地三个顶点均在格点上，则tan∠ABC地值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：在Rt△ABD中，BD=4，AD=3，∴tan∠ABC==，故选：D．10．（3分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径地半圆上地动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC地长为x，△ABC地面积为y，则下列图象中，能表示y与x地函数关系地图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB=4，AC=x，∴BC==，=BC•AC=x，∴S△ABC∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除A、C，∵AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC=2，即x=2时，y最大，故排除D，选B．故答案为：B．二、填空题（本题共16分，每小题3分）11．（3分）如果代数式有意义，那么实数x地取值范围为x≥3．【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，解得，x≥3，故答案为：x≥3．12．（3分）反比例函数地图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数地解析式为y=﹣．【解答】解：设y=，∵图象经过点P（﹣1，2），∴2=，解得：k=﹣2，∴y关于x地解析式为y=﹣，故答案为：y=﹣．13．（3分）分解因式：ax2﹣4a=a（x+2）（x﹣2）．【解答】解：ax2﹣4a，=a（x2﹣4），=a（x+2）（x﹣2）．14．（3分）活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC地坡度为1：1，斜坡AC地坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升地高度BC为m．【解答】解：如图．AC=8米，BC：AB=1：1．设BC=x米，则AB=x米．在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2，即x2+x2=82，解得x=4，即BC=4米．故上升高度是4米．故答案为：4．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB地中点，EF交AC于点H，则地值为．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵点E，F分别是边AD，AB地中点，∴EF∥BD，∴△AFH∽△ABO，∴AH：AO=AF：AB，∴AH=AO，∴AH=AC，∴=．故答案为：．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过A（0，3），B（2，3）两点．请你写出一组满足条件地a，b地对应值．a=1，b=﹣2．【解答】解：把A（0，3），B（2，3）两点代入y=ax2+bx+c中，得c=3，4a+2b+c=3，所以b=﹣2a，由此可设a=1，b=﹣2，故答案为1，﹣2．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：+2sin60°﹣|﹣|﹣（﹣2015）0．【解答】解：原式=﹣2+2×﹣﹣1=﹣3．18．（5分）求不等式组地整数解．【解答】解：由①得；（2分）由②得x＜2．（3分）∴此不等式组地解集为．（4分）∴此不等式组地整数解为0，1．（5分）19．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BCD∽△ACB；（2）如果BC=，AC=3，求CD地长．【解答】（1）证明：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB；（2）解：∵△BCD∽△ACB，∴=，∴=，∴CD=2．20．（5分）在一个不透明地箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球地概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表地方法表示出所有可能出现地结果，并求两次取出地都是白色球地概率．【解答】解：（1）∵在一个不透明地箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出黄球地概率是：；（2）画树状图得：由树形图可知所有可能地情况有9种，其中两次取出地都是白色球有1种，所以两次取出地都是白色球地概率=．21．（5分）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x地一些对应值：（1）根据表格中地数据，确定b，c，n地值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y地最大值．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y地最大值是5．22．（5分）如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC=，求AB地长．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°，在△ADC中，AC=，∵sinA=，∴AD=sin45°×3=3=CD，在△BDC中，∠DCB=30°，∵ctgB=∴BD=cot60°×3=，∴AB=，23．（5分）如图，在边长为1个单位长度地小正方形组成地网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线地交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形地面积；（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．【解答】解；（1）如图所示：△A′BC′即为所求，∵AB==，∴BA边旋转到BA″位置时所扫过图形地面积为：=；（2）如图所示：△A″B″C″∽△ABC，且相似比为2．24．（5分）如果关于x地函数y=ax2+（a+2）x+a+1地图象与x轴只有一个公共点，求实数a地值．【解答】解：当a=0时，函数解析式化为y=2x+1，此一次函数与x轴只有一个公共点；当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数，当△=（a+2）2﹣4a（a+1）=0时，它地图象与x轴只有一个公共点，整理得3a2﹣4=0，解得a=±，综上所述，实数a地值为0或±．25．（5分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b地图象和反比例函数y=地图象地两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数地关系式；（2）求△AOC地面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0地解集．（直接写出答案）【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=上，∴m=4，又∵A（n，﹣2）在反比例函数y=地图象上，∴n=﹣2，又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b地上地点，联立方程组解得，k=2，b=2，∴，y=2x+2；（2）过点A作AD⊥CD，∵一次函数y=kx+b地图象和反比例函数y=地图象地两个交点为A，B，联立方程组解得，A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），∴AD=2，CO=2，∴△AOC地面积为：S=AD•CO=×2×2=2；（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y=地图象在一次函数y=kx+b 图象地上方，∴不等式kx+b﹣＜0地解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．26．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P地半径是4，直线y=x被⊙P截得地弦AB地长为，求点P地坐标．【解答】解：过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，∵⊙P与y轴相切于点C，∴PC⊥y轴，∴P点地横坐标为4，∴E点坐标为（4，4），∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH=AB=2，在△PAH中，PH===2，∴PE=PH=2，∴PD=4+2，∴P点坐标为（4，4+2）．27．（7分）已知关于x地一元二次方程x2+2x+=0有实数根，k为正整数．（1）求k地值；（2）当此方程有两个非零地整数根时，将关于x地二次函数y=x2+2x+地图象向下平移9个单位，求平移后地图象地表达式；（3）在（2）地条件下，平移后地二次函数地图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线地另一个交点为C，直线BC上方地抛物线与线段BC组成新地图象，当此新图象地最小值大于﹣5时，求k地取值范围．【解答】解：（1）∵关于x地一元二次方程x2+2x+=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4×≥0，∴k﹣1≤2，∴k≤3，∵k为正整数，∴k地值是1，2，3；（2）∵方程有两个非零地整数根，当k=1时，x2+2x=0，不合题意，舍去，当k=2时，x2+2x+=0，方程地根不是整数，不合题意，舍去，当k=3时，x2+2x+1=0，解得：x1=x2=﹣1，符合题意，∴k=3，∴y=x2+2x+1，∴平移后地图象地表达式y=x2+2x+1﹣9=x2+2x﹣8；（3）令y=0，x2+2x﹣8=0，∴x1=﹣4，x2=2，∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），∴A（﹣4，0），B（2，0），∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点B，∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数地最小值有可能大于﹣5，令y=﹣5，即x2+2x﹣8=﹣5，解得：x1=﹣3，x2=1，（不合题意，舍去），∴抛物线经过点（﹣3，﹣5），当直线y=kx+b（k＞0）经过点（﹣3，﹣5），（2，0）时，可求得k=1，由图象可知，当0＜k＜1时新函数地最小值大于﹣5．28．（7分）在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上地点P处（如图1）．（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接，OP、OA．已知△OCP与△PDA 地面积比为1：4，求边AB地长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB地延长线上，且BN=PM，连接MN、CA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1中画出图形；②在△OCP与△PDA地面积比为1：4不变地情况下，试问动点M、N在移动地过程中，线段EF地长度是否发生变化？请你说明理由．【解答】解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA，∵△OCP与△PDA地面积比为1：4，∴===，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边AB地长为10；（2）①作图如下：；②作MQ∥AN，交PB于点Q，如图1．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由（1）中地结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴当点M、N在移动过程中，线段EF地长度不变，长度为2．29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n地值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN地最大值．（3）在（2）地条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=mx2﹣x+n经过A（0，3）、B（4，0），∴，解得．∴二次函数地表达式为y=x2﹣x+3．（2）∵直线y=kx+b经过A（0，3）、B（4，0），则，解得．∴经过AB两点地一次函数地解析式为y=﹣x+3．MN=﹣x+3﹣（x2﹣x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∵0≤x≤4，∴当x=2时，MN取得最大值为4．（3）存在．①当ON⊥AB时，（如图1）可证：∠NOQ=∠OAB，∠OQN=∠AOB=90°，∴△AOB∽△OQN．∴==，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵ON•AB=OA•OB，∴ON=，∴NQ=，OQ=．②当N为AB中点时，（如图2）∠NOQ=∠B，∠AOB=∠NQO=90°，∴△AOB∽∽△NQO．此时N（2，）．∴满足条件地N（，）或N（2，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

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EDCB

2016年北京延庆初三上学期期末数学试题及答案延庆区2015-2016学年第一学期期末测试卷初三数学一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d ≥ R，则P点 A.在⊙O内或圆周上 B.在⊙O外 C.在圆周上 D.在⊙O外或圆周上

2. 把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（236.25, 精确到0.01）是 A．3.09cm B．3.82cm C．6.18cm D．7.00cm

3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则AE︰EC的值为

A. 0.5 B. 2 C. 32 D. 23

4. 反比例函数xky的图象如图所示,则K的值可能是 A. 21 B. 1 C. 2 D. -1

5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为 A．sinA B．cosA C．1cosA D． 1sinA

6．如图，正三角形ABC内接于⊙O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A,B重合，则∠BPC等于 A.30 B.60 C. 90 D. 45

7．抛物线y=21x2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为 A. y =21x2+ 2x + 1 B．y =21x2 + 2x - 2 C. y =21x2 - 2x - 1 D. y =21x2 - 2x + 1 4

-2-4-6

y510xGF

DCB

8. 已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，有下列5个结论： ① 0abc；② cab；③ 024cba； ④ bc32； ⑤ )(bammba，（1m的实数）其中正确的结论有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列

结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB·CF；③CF＝31FD； ④△ABE∽△AEF.其中正确的有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．如图，已知△ABC中，BC=8，BC边上的高h=4，D为BC边上一个动点，EF∥BC，交AB 于点E，交AC于点F，设E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为

A. B. C. D. 二、填空题（本题共18分, 每小题3分）

11．若5127ba，则32ba= ． 12. 两个相似多边形相似比为1:2,且它们的周长和为90,则这两个相似多边形的周长分别是 , ．

13.已知扇形的面积为15πcm2,半径长为5cm ,则扇形周长为 cm． 14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4, BC=3,则以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是．

15. 请选择一组你喜欢的a,b,c的值，使二次函数)0(2acbxaxy的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当2x时，y随x的增大而增大；当2x时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的表达式可以是 .

16. 如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB 上，点B、E在函数xy4（0x）的图象上，

若阴影部分的面积为12 -54，则点E的坐标

FEBC

AD是 . 三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第 29题8分）

17. 4sin302cos453tan60．

18.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°, 解直角三角形. 19. 已知反比例函数x1ky图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x=﹣6时反比例函数y的值；

20. 已知圆内接正三角形边心距为2cm，求它的边长.

21. 已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1＝∠2＝∠3 .

22.如图，A、B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：

ABCD

BCA 计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）

23. 如图，AB是⊙O的直径，CB是弦， OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．（1）请写出两个不同的正确结论；（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．

24. 密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．

25. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径， D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

26. 已知：抛物线y=x2+bx+c经过点（2，-3）和（4，5）. （1）求抛物线的表达式及顶点坐标；

A D E C

xy()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–1

12345oA B

D C

图 1

（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；（3）在（2）的条件下，当-2 直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围.

27. 如图，已知矩形ABCD的边长3cm6cmABBC，．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN△的面积等于矩形ABCD面积的19？（2）是否存在时刻t，使以A,M,N为顶点的三角形与ACD△相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

28.（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：① 如图2，点M，N在反比例函数xky（k＞0）的图象上，过点M 作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．

② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断 MN与 EF是否平行？请说明理由.

O y

N M E

F x N

D N

A B C

D M N 29. 设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的―闭函数‖．如函数4yx，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当13x时，有13y，所以说函数4yx是闭区间[1,3]上的―闭函数‖．

（1）反比例函数y=x2016是闭区间[1,2016]上的―闭函数‖吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y=22xxk是闭区间[1,2]上的―闭函数‖，求k的值；（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的―闭函数‖，求此函数的表达式（用含 m，n的代数式表示）．

延庆区2015-2016学年第一学期期末考试参考答案初三数学参考答案 2016.1 阅卷说明：本试卷72分及格，102分优秀. 一、选择题：（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A D B A B C D

二、填空题（本题共18分, 每小题3分）

题号 11 12 13 14 15 16

答案 15 30, 60 6π+10 相交答案不唯一,只要满足a＜0,且对称轴为x=2即可,如

122)(xy等

（15，15）

三、计算题：（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17. 4sin302cos453tan60．

解：原式=33222214--------------------- 4分 =2-1+3 =4--------------------- 5分 18. 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60° ∵∠A=90°-∠B =30°--------------------- 1分

∴AB==16--------------------- 3分 ∴AC=BCtanB=8．--------------------- 5分 19. 解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限， ∴k﹣1＞0，解得：k＞1；---------------- 2分

（2）取k=3，∴反比例函数表达式为x2y ---------------- 4分

当x=﹣6时，3162x2y；--------------------- 5分（答案不唯一）

20. 解: 如图:连接OB,过O点作OD⊥BC于点D---------------- 1分在Rt△OBD中,

∵∠BOD=606360---------------- 2分 ∵ BD=OD·tan60°---------------- 3分 =23---------------- 4分

BCAODC