线性代数 3.5向量空间

n维向量集合不一
en = (0 , 0 , 0 , ... , 1)T .
定是n维向量空间！
是向量组V的最大线性无关组， 从而是向量空间V的一个基. 所以 它是n-1维向量空间.
由向量组 a1 , a2 , ... , am 所生成的向量空间 V ={ x= 1a1 + 2a2 + ... + mam | 1,..., m R}, 显然向量空间 V 与向量组 a1 , a2 , ... , am 等价, 所 以向量组 a1 , a2 , ... , am 的最大无关组就是V 的一 个基, 向量组 a1 , a2 , ... , am 的秩就是 V 的维数.
则有 x + x = ( + )a + ( + )b L, 1 2 1 1 1 2 kx1 = (k1)a + (k1)b L . 这个向量空间称为由向量 a , b 所生成的向量空间.
由向量组 a1 , a2 , ... , am 所生成的向量 空间一般形式为 L={x=1a1 + 2a2 + ... + mam | 1, 2 ,..., m R }. 例 ５ 设向量组 a1 , ... , am与向量组 b1, ... , bs 等价, 记 L1={ x= 1a1 + 2a2 + ... + mam | 1,..., m R}, L2={ x= 1b1 + 2b2 + ... + sbs | 1,..., s R}, 试证 L1 = L2 .
是一个向量空间. 例２ 集合 V = { x = (1 , x2 , ... , xn )T | x2 , ... , xn R } 不是向量空间.
一般地，L = { x = a + b | , R }
是一个向量空间. 因为若
x1 =1a +1b, x2 =2a +2b
此题给出了如何构造向量空间V.
这是一个重要的结论！
由e１ = ( 1,0 ,0,0 , 0)T , e2 = (0 , 1, 0,0, 0)T ,
．．．．．．
组成的空间就是 五维向量空间.
e5 = (0 , 0 , 0 , 0 , 1)T .
根据向量空间的基的定义及 R n的定义知， (1)任何n个线性无关的n维向量， 都可以是向量空间 R n 的一个基， 且由此可知， n n (2) R 的维数为n.我们把 R 称为n维向量空间.
第五节
一、向量空间的定义
向 量 空 间
定义 6 设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V 非空, 且 若 a V, b V, 则 a + b V;
若 a V, R, 则 a V.
那么就称集合 V 为向量空间.
例 １ 集合 V = { x = (0, x2 , ... , xn)T | x2 , ... , xn R}
问题（4）：你能写出
V = { x (0, x2 , ... , xn)T | x2 , ... , xn R} 的一个基吗？这个向量空间的维数是什么？ 显然向量 e2 = (0 , 1, 0 , ... , 0)T ,
e3 = (0 , 0 , 1, ... , 0)T , .........................
二、向量空间的基 向量空间的维数 定义 7 设有向量空间 V1 及V2 , 若 V1 V2, 就称 V1 是 V2 的子空间. 例如任何由 n 维向量所组成的向量空间 V, 总有 V Rn , 所以这样的向量空间总是 Rn 的子空间.
定义 8 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量 a1 , a2 , ... , ar V , 且满足 (i) a1 , a2 , ... , ar 线性无关; (ii) V中任一向量都可由a1 , a2 , ... , ar 线性 表示. 那么,向量组 a1 , a2 , ... , ar 就称为向量空间 V 的 一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V为 r 维 向量空间.
根据基的这一定义，若把向量空间V看作向量组， 问题： V的基就是向量组的最大线性无关组， （1）凡向量空间都有基吗？ V的维数就是向量组的秩 . （2）你能写出一个维数为 0的向量空间吗？ （3）你能写出一个维数n=5的向量空间吗？ 1. 只由一个零向量组成的向量空间没有基. 规定：如果向量空间V没有基，那末V的维数为0. 0 维向量空间只含一个零向量 0.
若向量空间 V Rn , 则 V 的维数不会超过 n, 并且, 当 V 的维数为 n 时, V = Rn .
若向量组 a1 , a2 , ... , ar 是向量空间 V 的 一个基, 则 V 可表示为 V ={ x= 1a1 + 2a2 + ... + rar | 1,..., r R}. 这就较清楚地显示出向量空间V的构造.