广东省阳江中学高中数学必修4导学案 两角和差公式应用及化一公式
人教版高中数学必修四导学案：3.1.1两角和与差的余弦Word版
高一年级数学导学案3.1.1 两角和与差的余弦学习目标：1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用。
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题。
重点：运用两角和与差的余弦公式求值和证明难点：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式活动一：知识梳理：两角和与差的余弦公式：=-)cos(βα βα-C()=+βαcos βα+C活动二：合作探究用向量法证明公式βα-C 的过程中角α，β的终边与单位圆分别相交于点A, B ，向量A O ,B O 的坐标是如何得到的？活动三：要点导学要点一：求值问题例1：求 105cos 及15cos 的值要点二：给值求值例2：已知)2(54cos παπα<<-=，求)6cos(),6cos(απαπ+-。
要点三：公式的正用，逆用例3：求值：（1）)25sin()35sin()25cos()35cos(αααα+-++-（2）)3cos()3cos(ϕπϕπ-++（3） 313sin 253sin 223sin 163sin +要点四：给值求角例4：已知锐角βα,满足10103cos ,55sin ==βα，求βα+要点五：例5：设α为锐角，求证：（1）)6cos(sin 21cos 23απαα-=+（2）)4cos(2sin cos θπθθ+=-课堂小结：作业：P135练习A,B。
高中数学必修4 同步导学案：第3章 3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案
3.1.2 两角和与差的正弦1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(重点)[基础·初探]教材整理两角和与差的正弦阅读教材P136内容，完成下列问题.1.公式：名称简记符号公式使用条件两角和的正弦Sα＋βsin(α＋β)＝sin αcos β＋cosαsin βα，β∈R两角差的正弦Sα－βsin(α－β)＝sin αcos β－cosαsin βα，β∈Ry＝a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝aa2＋b2，sinθ＝ba2＋b2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是任意的.( )(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立.( )(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立.( )(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()【解析】(1)√.根据公式的推导过程可得.(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]给角求值(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A.－32B.－12C.12D.32(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用.(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值. 【自主解答】 (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.【答案】 C(2)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值.2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换.[再练一题] 1.化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (2)sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β).【解】 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋βcos α－cosα＋βsin αsin α＝sin[α＋β－α]sin α＝sin βsin α. 给值求值(2016·青岛高一检测)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值.【导学号：72010078】【精彩点拨】 观察出角的关系，即2α＝(α－β)＋(α＋β)，然后求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，利用两角和的正弦公式求解结果.【自主解答】 因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝ 1－cos 2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－ 1－sin 2α＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式. (2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，应根据题目合理拆分.(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围.[再练一题]2.本例中条件不变，试求sin 2β的值. 【解】 由例题中解法知：sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45.所以sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋45×513＝－1665.[探究共研型]辅助角公式的应用探究1 函数y 【提示】 不对.因为sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 所以函数的最大值为 2.探究2 函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？ 【提示】 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ， 令cos φ＝35，sin φ＝45，则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)， 所以函数y 的最大值为5.探究3 如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式. 【提示】 a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定).当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.【精彩点拨】 可先用公式S α±β将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)形式再求最大值对应的x 值.【自主解答】 函数为y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3， 当0≤x <2π时，－π3≤x －π3<5π3，所以当y 取得最大值时，x －π3＝π2，所以x ＝5π6. 【答案】5π61.对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.[再练一题]3.函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( ) A.[－2,2] B.[]－3，3 C.[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32【解析】 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]. 故选B. 【答案】 B[构建·体系]1.(2016·清远期末)化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32【解析】 原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D. 【答案】 D2.函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π【解析】 y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，所以T ＝2π.【答案】 C 3.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A.－32B.－12C.12D.32【解析】 sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30° ＝12. 【答案】 C4.(2016·淮安高一检测)sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________. 【解析】 原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝ sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32. 【答案】325.已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. 【导学号：72010079】【解】 ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十五) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32B.32C.－12D.12【解析】 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.【答案】 D2.(2016·北京高一检测)在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A.255 B.－255C.55D.－55【解析】 因为cos B ＝1010且0<B <π， 所以sin B ＝31010又A ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin π4cos B ＋cos π4sin B＝22×1010＋22×31010＝255. 【答案】 A3.已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝( )A.1B.2C.22＋36D.22－36【解析】 ∵π4＜β＜π2，∴cos β＝1－sin 2β＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝12sin β＋32cos β＝12×223＋32×13＝22＋36. 【答案】 C4.(2016·温州高一检测)在△ABC 中，若sin B ＝2sin A cos C ，那么△ABC 一定是( ) A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形D.等边三角形【解析】 在△ABC 中，因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sinC ＝2sin A cos C ，所以sin A cos C －cos A sin C ＝0，即sin(A －C )＝0，因为0＜A ＜π，0＜C ＜π，所以－π＜A －C ＜π，所以A －C ＝0，即A ＝C ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选B.【答案】 B5.已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，则tan αtan β＝( )【导学号：72010080】A.115 B.25 C.119D.－119【解析】 由已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，得sin αcos β＋cos αsin β＝35，sin αcos β－cos αsin β＝－23，两式分别相加减得sin αcos β＝－130，cos αsin β＝1930，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－1301930＝－119，故选D.【答案】 D 二、填空题6.求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________.【解析】sin 10°－3cos 10°cos 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 10°－32cos 10°cos 40°＝2sin 10°－60°cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2. 【答案】 －27.(2016·汕头高一检测)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝________.【解析】 由题意得：sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝12，又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π3. 【答案】 π38.若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.【解析】 由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin 2α＋80sin αcos β＋25cos 2β＝36.①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos 2α＋80 cos α sin β＋25sin 2β＝100.②①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136，∴sin(α＋β)＝4780. 【答案】 4780 三、解答题9.已知：π6＜α＜π2，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517，求cos α，sin α的值. 【解】 因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3. 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝817. 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝83＋1534， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝153－834. 10.(2016·普宁高一检测)已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值. 【解】 因为π4<α<3π4，所以π2<π4＋α<π， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，3π4<3π4＋β<π， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， 所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513 ＝6365. [能力提升]1.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)的值为( )A.2 3B. 3C.1D.0【解析】 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－π3＝2sin π3x ，因为周期为6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0 ，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.【答案】 D2.(2016·衡水高一检测)使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)为奇函数，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数的φ的一个值为( ) A.π3 B.5π3 C.2π3 D.4π3【解析】 f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin 2x ＋φ＋32cos 2x ＋φ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x ＋φcos π3＋cos 2x ＋φsin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3为奇函数，所以φ＋π3＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π3(k ∈Z )，排除A 和D ；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数，又2x ＋φ＋π3＝2x ＋k π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2k ∈Z ，所以k 为奇数，故选C. 【答案】 C3.在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的值为________.【解析】 由已知得(4sin A ＋2cos B )2＋(2sin B ＋4cos A )2＝28，即16＋4＋16(sin A cos B ＋cos A sin B )＝28，∴20＋16sin(A ＋B )＝28，∴sin(A ＋B )＝12， ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12. 【答案】 124.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2. (1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的单调性，并求f (x )的最大值. 【解】 (1)f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3·sin x cos x·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos x ＋cos π6sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜π2. (2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是单调增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上是单调减函数. ∴当x ＝π3时，f (x )有最大值为2.。
人教版高中数学必修四导学案：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版
高一年级数学导学案3.1.2 两角和与差的正弦学习目标：1.理解两角和与差的正弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导βα±S 中的作用2.能运用两角和与差的正弦公式进行化简与求值，并要注重公式的正用，逆用和变形用3.熟练掌握辅助角公式，并逐步体会在三角变换中的重要作用重点：公式βα±S 的推导与应用难点：公式的逆用活动一：知识梳理：.两角和与差的正弦 =+)s i n (βα βα+S=-)sin(βα βα-S活动二：合作探究1. 你能结合三角函数诱导公式，由公式βα+C 或βα-C 推导出公式βα-S 吗？2. 如何准确记住公式？3. 辅助角公式222222sin ,cos ),sin(cos sin b a b b a a x b a x b x a +=+=+⋅+=+ϕϕϕ其中活动三：要点导学要点一：求值例1：求 15sin ,75sin 的值要点二：公式的正用，逆用例2：求下列各式的值：（1） 14cos 44sin 14sin 44cos -（2）)36sin()54cos()36cos()54sin(x x x x +-++-（3）15cos 2315sin 21-要点三：给值求值例3：已知βαβα,,32cos ,31sin -==均在第二象限，求)sin()sin(βαβα-+和的值。
要点四：辅助角公式例4：求函数x b x a y cos sin +=的最大值、最小值和周期，其中b a ,是不同时为零的实数。
要点五： 例5：已知向量P O =(3，4),逆时针旋转 45到/P O 的位置，求点),(y x P '''的坐标例6：已知点P(x,y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到),(y x P '''，求证： ⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x课堂小结作业：P139练习A,B。
化一公式及其应用
3 3
2.化简：sin(x ) +2 sin(x )
3
3
3 sin(x )
6
三.综合练习
例1.函数 y 3sin 2x 3 3 cos 2x 1 的最小正周期是 ，
最小值是 －5
，y取最小值时对应的x的取值集合
｛x│x 5 k，k Z｝
问题导入
前面我们遇到过这样一个问题：
已知：f(x)=sinx+cosx+sinxcosx+1,求f(x)的值域。
当时我们采用了换元法：
令：t =sinx+cosx
则：
f
sin
(x)
x
cos x t 2
t t2 1 2
2
1，
且
＿＿＿2 ＿t ＿ ＿2，＿＿＿＿
1 1 (t 1)2,（
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
cos sin
a2 b2 b
a2 b2
bcos Fra bibliotek a2 b2
a2 b2 sin x cos cos x sin a2 b2 sin x
邢长太
一.复习回顾
1、两角和、差角的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、两角和、差角的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
人教版高中数学必修四3.1.2 两角和差的正弦、余弦、正切公式 【导学案】
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用． 2．能熟练地把asin x ＋bcos x 化为Asin(ωx ＋φ)的形式．(1)与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，cos(α±β)≠cos α±cos β，tan(α±β)≠tan α±tan β. (2)和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α.当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(3)使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α.这也体现了数学中的整体原则．(4)注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．【做一做1－1】 若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝( )A ．－3B ．－13C ．3 D.13【做一做1－2】 sin 75°的值为( )A.2－12B.2＋12C.6－24D.6＋24【做一做1－3】 cos 75°＝__________.答案：sin αcos β－cos αsin β cos αcos β＋sin αsin βtan α－tan β1＋tan αtan β sin αcos β＋cos αsin β cos αcosβ－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan β【做一做1－1】 D tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 【做一做1－2】 D sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24. 【做一做1－3】6－24cos 75°＝cos(45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24.化简a sin α±b cos α(ab ≠0)剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sin αcos β±cos αsin β的形式来化简．a sin α±b cos α＝a2＋b2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b2sin α±b a2＋b2cos α，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＋b22＝1， ∴可设cos θ＝a a2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.则tan θ＝ba (θ又称为辅助角)．∴a sin α±b cos α＝a2＋b2(sin αcos θ±cos αsin θ)＝a2＋b2sin(α±θ)． 特别是当b a ＝±1、±3、±33时，θ是特殊角，此时θ取±π4、±π3、±π6.例如，3sin α－33cos α＝9＋27⎝⎛⎭⎪⎫39＋27sin α－339＋27cos α＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝6⎝⎛⎭⎪⎫sin αco s π3－c os αsi n π3 ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.在公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)中，(1)sin φ＝b a2＋b2，cos φ＝aa2＋b2，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想．(2)a sin α＋b cos α中的角必须为同角α，否则不成立．题型一给角求值问题【例1】 求下列各式的值： (1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；(2)3sin π12＋cos π12.分析：本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题(2)可构造两角和的正弦公式求解． 反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用C (α±β)，S (α±β)公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一．题型二给值(式)求值问题【例2】 已知cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝－35，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．分析：求出sin α，cos β的值，代入公式S (α±β)即可．反思：分别已知α，β的某一三角函数值，求sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)时，其步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α，β其余的三角函数值；(2)代入公式S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)计算即可．题型三利用角的变换求值【例3】 已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，3π2＜α＋β＜2π，π2＜α－β＜π，求cos 2α的值．分析：解答本题关键是探寻α＋β，α－β与2α之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解．反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式． 题型四易错辨析【例4】 已知π＜α＜α＋β＜2π，且满足cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，求β.错解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝π4或3π4.错因分析：以上错解是由于求β的三角函数值时，函数选择不当所致．由于满足sin β＝22且β∈(0，π)的β有两值，两值的取舍就是个问题，事实上cos β＝－22，故β＝3π4，只有一值，故应计算角β的余弦值．反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α，sin α，cos α中的一个值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角值；(4)写出α的大小．答案：【例1】 解：(1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin(13°＋32°)＝sin 45°＝22. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin π12＋12cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π6＋sin π6cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2sin π4＝2. 【例2】 解：∵cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos2α＝232.∵sin β＝－35，β是第三象限角，∴cos β＝－1－sin2β＝－45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－3＋8215. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝3－8215. 【例3】 解：∵cos(α＋β)＝45，3π2＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. ∵cos(α－β)＝－45，π2＜α－β＜π，∴sin(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－725. 【例4】 正解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝3π4.1．(2011·山东青岛高三质检)已知cos α＝45-，且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．17-B ．－7 C.17D ．72x x 的结果是( )A ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．25π11π11π5πsin cos cos sin126126-＝__________. 4．在△ABC 中，cos A ＝35且cos B ＝513，则cos C 的值是__________．5．已知tan(α－β)＝12，tan β＝17-，且α，β∈(0，π)．(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．答案：1．D 由于α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α＝35，所以tan α＝sin cos αα＝34-， 所以πtan 4α⎛⎫-⎪⎝⎭＝1tan 1tan αα-+＝7.2．D 原式＝1cos 22x x ⎫-⎪⎪⎭＝ππsincos cos sin 66x x ⎫-⎪⎭＝π6x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝ππ26x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.25π11π11π5πsin cos cos sin 126126- ＝ππππsin 2πcos 2πcos πsin π126126⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ππππsincos cos sin 126126+＝ππsin 126⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin4＝2.4.3365由于在△ABC 中，cos A ＝35，可知A 为锐角，∴sin A＝45.由于cos B ＝513，可知B 也为锐角，∴sin B＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 5．解：(1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--＝11271114-+＝13. (2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan()tan 1tan()tan αβααβα-+--＝1.∵tan β＝17-＜0，∴π2＜β＜π. 又tan α＝13＞0，∴0＜α＜π2.∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝12＞0，∴－π＜α－β＜π2-.∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝3π4-.。
高中数学必修四导学案-两角和与差的正弦、余弦、正切公式
疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.显然，=(cos α,sin α),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·=(cos α,sin α)·(cos(-β),sin(-β))=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.于是cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β)=cos ［2π-(α-β)］=cos ［(2π-α)+β］=cos(2π-α)cos β-sin(2π-α)sin β=sin αcos β-cos αsin β. 在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β均为任意角. 误区警示 公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，学习时一定要注意这一点.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++，当cos αcos β≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cos αcos β，即得用tan α和tan β表示的公式： tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式： tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. 2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tan α、tan β存在.并且1+tan αtan β的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠k π+2π,β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决. 学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差例1 求sin75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯； tan15°=tan(60°-45°)=32311345tan 60tan 145tan 60tan -=+-=︒︒+︒-︒， 或tan15°=tan(45°-30°)=3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒︒+︒-︒. 例2 求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值. 思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=︒︒+︒-︒︒︒+︒+︒8sin )87sin(7cos 8sin )87cos(7sin ︒︒︒-︒-︒︒︒︒+︒-︒=︒∙︒-︒︒︒-︒︒∙︒-︒︒︒+︒=8sin 8cos 7sin )8sin 1(7cos 8sin 8cos 7cos )8sin 1(7sin 8sin 7cos 8sin 8cos 7sin 7cos 8sin 7sin 8sin 8cos 7cos 7sin 2222 ︒︒-︒︒︒︒+︒︒=︒︒︒-︒∙︒︒︒︒+︒∙︒=8sin 7sin 8cos 7cos 8sin 7cos 8cos 7sin 8sin 8cos 7sin 8cos 7cos 8sin 8cos 7cos 8cos 7sin 223215tan 15cos 15sin -=︒=︒︒=. 巧解提示:原式=︒∙︒-︒-︒︒∙︒+︒-︒8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin( ︒∙︒-︒∙︒+︒∙︒︒∙︒+︒∙︒-︒∙︒=8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin ︒∙︒︒∙︒=8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) 3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒∙︒+︒-︒=. 方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二 已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值例3 已知sin α=31，求cos(3π+α)的值. 思路分析：因为3π是个特殊角，所以根据C (α+β)的展开式，只需求出cos α的值即可.由于条件只告诉了sin α=31，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cos α的值，再代入展开式确定cos(3π+α)的值. 解：∵sin α=31>0，∴α位于第一、二象限. 当α是第一象限角时，cos α=322)31(12=-， ∴cos(3π+α)=cos 3πcos α-sin 3πsin α=6322312332221-=⨯-⨯; 同理，当α是第二象限角时，cos α=322-， ∴cos(3π+α)=6332+-. 方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)、C (α±β)、T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos(2π+α)这样的函数求值，由于它们的角与2π的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导公式可能更简单.例4 已知cos(α-2β)=91-，sin(2α-β)=32，并且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求2c o s βα+的值. 思路分析：观察给出的角)2()2(2βαβαβα---=+，结合公式C (α-β)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-2β)、cos(2α-β)的值即可. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π.∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π. 又∵cos(α-2β)=91-＜0，∴πβαπ<-<<22. ∴954)91(1)2(sin 1)2sin(22=--=--=-βαβα. 同理，∵sin(2α-β)=32>0，∴220πβα<-<. ∴35)32(1)2(sin 1)2cos(22=-=--=-βαβα. 故)]2()2cos[(2cos βαβαβα---=+ =cos(α-2β)cos(2α-β)+sin(α-2β)sin(2α-β) 2757329543591=⨯+⨯-=. 例5 在△ABC 中，sinA=53,cosB=135，求cosC. 思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意.解：∵cosB=22135<,∴B∈(4π,2π)且sinB=1312. ∵sinA=2253<,∴A∈(0,4π)∪(43π,π). 若A∈(43π,π),B∈(4π,2π)，则A+B∈(π,23π)与A+B+C=π矛盾， ∴A ∉(43π,π).因此A∈(0,4π)且cosA=54. 从而cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=651613125313554=⨯+⨯-. 例6 如图3-1-7，已知向量OP =(3,4)绕原点旋转45°到OP′的位置，求点P′(x′,y′)的坐标.图3-1-7思路分析：本题相当于已知角α的三角函数值，求α+45°的三角函数值.解：设∠xOP=α.因为|OP|=54322=+，所以cos α=53,sin α=54. 因为x′=5cos(α+45°)=5(cos αcos45°-sin αsin45°)22)22542253(5-=⨯-⨯=， 同理,可求得y′=5sin(α+45°)=227，所以P′(22-,227). 方法归纳 ①已知角α的某一三角函数值和角α所在的象限，则角α的其他三角函数值唯一；已知角α的某一三角函数值，不知角α所在的象限，应先分类讨论，再求α的其他三角函数值.②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来.知识点三 已知三角函数值求角例7 已知sin α=55，sin β=1010,且α、β都是锐角，求α+β的值. 思路分析：(1)根据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cos α、cos β即可.(3)由于α、β都是锐角，所以0＜α+β＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据cos(α+β)的值即可求出α+β的值. 解：∵sin α=55,sin β=1010，且α、β都是锐角，∴cos α=552sin 12=-α，cos β= 10103sin 12=-β.∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2210105*********=⨯-⨯. 又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4π. 方法归纳 给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四 利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sin β=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tan α.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sin β=3sin ［(α+β)-α］=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α，sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α，又3sin β=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α.∴2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α.∴tan(α+β)=2tan α.方法归纳 对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.知识点五 变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33 tan12°·tan18°=33. 解：∵︒∙︒-︒+︒18tan 12tan 118tan 12tan =tan(12°+18°)=tan30°=33， ∴tan12°+tan18°=33 (1-tan12°·tan18°)， 即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边. ∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33. 方法归纳 三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --+=1，所以tan α+tan β+tan αtan β=1，即(1+tan α)(1+tan β)=2. 于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2. 又因为1+tan45°=2，所以原式=223.方法归纳 当α+β=k π+4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2； 当α+β=k π-4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2tan αtan β. 问题•探究思想方法探究问题1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β化简为__________.将α-β看作一个角，β看作另一个角,则cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=cos ［(α-β)+β］=cos α. 解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换. 探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+.除了掌握其正向使用之外，还需掌握如下变换：1-tan αtan β=)tan(tan tan βαβα++；tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)；tan αtan βtan(α+β)=tan (α+β)-tan α-tan β等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉，其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题2 2004年重庆高考有一题为：求函数y=sin 4x+32sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在［0,π］上的单调递增区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角变换？探究过程:形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.asinx+bcosx=)cos sin (222222x b a b x b a a b a -+++, 令cos φ=22b a a +,sin φ=22b a b +，则 原式=22b a +(sinxcos φ+cosxsin φ)=22b a +sin(x+φ).(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a b 确定，常常取φ=arctan ab ). 探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如2sinx-3cosx ，就可以利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为a=2,b=-3,A=1322=+b a ，所以2sinx-3cosx=13sin(x+φ)，(其中φ在第四象限，且tan φ=23-)，所以2sinx-3cosx 的最大值是13，最小值是13-.。
必修4第三章和差公式导学案
高一数学导学案必修4第三章 三角恒等变换 §3.1.1两角差的余弦公式一、预习案1.判断是否正确：设α，β为两个任意角, 则cos(α－β)＝cos α－cos β恒成立（ ） 2．已知如图1,OP 为角α的终边，在单位圆中用角α的三角函数来表示点P 的坐标__________3.如图2，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则=OA ( ) OB =( )OB OA ⋅=4.公式 称为差角的余弦公式，记作()C αβ-. 二、探究案例1 利用差角余弦公式求 cos150的值.例2 )cos(),23,(,43cos ),,2(,32sin βαππββππαα-∈-=∈=求已知例3 已知锐角α,β满足cos α=53, cos(α-β)=135-求cos β.三、训练案1. 1.cos79cos34sin79sin34︒︒+︒︒=( )A. 12B.1C. 22D. 322.已知4cos ,(,)52πααπ=-∈，则cos()4πα-=（ ） A.210B. 210-C. 210-D. 2103.若31sin sin 1cos 22αβαβ-=--=-，则cos()αβ-=____________ 4. cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则cos()αβ-=____________ 5.已知15sin 17θ=，θ是第二象限角，求cos()3πθ-的值。
6.已知1cos()3αβ-=，求22(sin sin )(cos cos )αβαβ+++的值。
§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、预习案1. ()αβαβ+=--，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos()αβ+= ____________________________________________2.诱导公式sin()cos 2παα±=可以实现由正弦到余弦的转化，sin()αβ+=____________________________________________sin()αβ-=____________________________________________3.正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从()S αβ±、()C αβ±出发，tan()αβ+= ____________________________________________， tan()αβ-= ____________________________________________，3. ①若cos cos a αβ+=, sin sin b αβ-=，则cos()αβ+= ②若sin cos a αβ+=，cos sin b αβ+=，则sin()αβ+=③根据公式()T αβ+，tan tan αβ+=_____________________________________________ 二、探究案例1 已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.例2 已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．例3 已知33350,cos ,sin 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．三、训练案1、利用和差角公式，求下列各式的值① sin72cos42cos72sin 42︒︒-︒︒ ② cos20cos70sin 20sin70︒︒-︒︒③tan17tan 28tan17tan 28︒+︒+︒︒ ④1tan 751tan 75+︒-︒⑤sin(60)2sin(60))x x x +︒+-︒︒- ⑥0000008sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+2.已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+6x+2=0的两实根，求)cos()sin(βαβα-+的值。
高中数学人教A版必修4导学案：3.1.4两角和差公式的应用(一)
两角和差公式的应用（一）①〖学习目标〗复习两角和差公式，辅助公式，二倍角公式，进一步理解公式内在联系。
②〖重点难点〗寻找解决三角函数问题的突破口（结构，名称，角度），灵活运用所学公式进行化简求值与证明。
③〖使用说明及学法指导〗本学案为习题案，先回顾前几张学案，然后做好导学案；做题时多从所给式子的结构，名称，角度入手寻找解决问题的突破口，提高分析问题、解决问题的能力；依据自己学习能力，做到学有所得。
一、自主学习基础练习：（1sin 1212ππ-的值是：（ ）（A ）0 （B ） （C ） （D ）2-（2）在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B <，则ABC ∆是（ ）（A ）直角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）任意三角形（3）22sin 15cos 15︒-︒的值是：（A ）12 （B ）12- （C ）2 （D ）2-（4）tan 20tan 4020tan 40︒+︒+︒︒的值为（5）若1cos 3θ=-，2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，则cos 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（6=A sin1cos1-B cos1sin1-C sin1D cos1小结：二、探究、合作、展示例1 （教材1461P T ） 已知：3c o s 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，512s i n 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，344ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，04πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，分别求()s i n αβ+，()c o s 22αβ+的值。
方法规律总结：例2、已知：sin α=，sin β=，且αβ，为锐角，求αβ+的值。
变式：（学海导航666P T ）已知：22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭、，，tan α，tan β是一元二次方程240x ++=的两根，求αβ+的值。
方法规律总结三、能力拓展例3 （《学海导航》662P T ）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点，已知A ，B 两点的横坐标分别是：10，5。
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3.1 两角和与差的三角函数公式的应用
（一）公式默写：对于任意角,αβ有：
1、sin (α±β)=___________________ ，
cos (α±β)=___________________ ，
tan (α±β)=___________________ 。
2、sin 150= ；sin 750= .
(二）【课内探究】
例1、31sin ,tan ,.57
αβαβαβ=
=+已知、为锐角，且求
例2、求下列各式的值：
)36sin()54cos()36cos()54sin()2(;76sin 44sin 14sin 44cos )1(x x x x +-++-- .15cos 2315sin 21)4(15
tan 115tan 1)3( --+；
变式：化简下列各式：
.sin 6cos 2)3(cos sin 3)2(sin 2
3cos 21)1(x x x x x x -+-；；
例3、已知函数()sin f x x x =+，求该函数的最小正周期以及最值
【总结提高】
1．熟记
105,75,15角的正、余弦值；
2．强化公式的理解和灵活应用（包括公式的顺用、逆用、变用）
3．对于形如ααcos sin b a y +=的函数，常利用两角和与差的正、余弦公式转化为)tan )(sin(22a
b b a y =++=ϕϕα其中的形式。
常见的几个结论： )
6sin(2cos sin 3)3()3sin(2cos 3sin )2()4sin(2cos sin )1(παααπαααπααα±=±±=±±
=±；；【反馈检测】
1.化简：（1）=+ 314sin 254sin 224sin 164sin ； （2）)sin()cos()cos(
)sin(γβαββγβα-+--+= ； （3）=-x x sin 2
3cos 23 .
2、4cos ,sin ,.510
αβαβαβ==+已知、为锐角，且求
0732tan ,tan .32=-+x x 是方程已知βα的两个实数根，求)tan(βα+的值；
4.已知,53sin )cos(cos )sin(=---ααβαβαβ是第三象限，求)4
5sin(πβ+的值。