[精品]2019学年高中数学课下能力提升五新人教A版必修

课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1 利用同角三角函数的基本关系求值1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C.513D.2132．已知tan α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α＝( )A ．±45B.45C ．－45D.353．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________．4．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.题组2 sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A.23B ．－23C.13D ．－136．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12B ．2 C ．－12D ．－2 7．已知0＜θ＜π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．题组3 三角函数式的化简与证明 8．化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130° . 9．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[能力提升综合练]1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C.15D.352．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1 3.⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x sin 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x4．当α≠k π2(k ∈Z )时，⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋1tan α(sin α＋tan α)的值( )A ．恒为正B ．恒为负C ．恒非负D ．可正可负 5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5(m ≠0)，则m ＝______，tan θ＝________． 6．若sin x ＋cos x ＝2，那么sin 4x ＋cos 4x 的值为________． 7．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.8．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求： (1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．答 案[学业水平达标练]1. 解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＜0，故cos α＝－1－sin 2α＝ －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 2. 解析：选C 由tan α＝34，即sin αcos α＝34，所以sin α＝34cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos α2＋cos 2α＝1，整理得cos 2α＝1625，解得cos α＝±45.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＜0，故cos α＝－45. 3. 解析：由sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝925.已知α是第三象限角，则sin α＜0，于是sin α＝－35.从而tan α＝sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝34.答案：－35 344. 解：(1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α， 则2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α＝1，即4tan 2α－3tan α－1＝0. 解得tan α＝－14或tan α＝1.∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，∴α为第二象限角， ∴tan α＜0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝－2×14－3－4×14－9＝720.5. 解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 6. 解析：选B 由已知可得(cos α＋2sin α)2＝5， 即4sin 2α＋4sin αcos α＋cos 2α＝5(sin 2α＋cos 2α)， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，故tan α＝2.7. 解：∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125.解得sin θcos θ＝1225.∵0＜θ＜π，且sin θ·cos θ＝1225＞0，∴sin θ＞0，cos θ＞0.∴sin θ＋cos θ＝（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝1＋2425＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.8. 解：原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.9. 证明：法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2a sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α（1－cos α）＝sin 2αsin α（1－cos α）＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立．[能力提升综合练]1. 解析：选B ∵sin α＝55，∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－15＝45.sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫552－45＝15－45＝－35.故选B.2. 解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3. 解析：选A ⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x sin 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x sin 2x ＝1sin x cos x ·sin 2x ＝sin x cos x ＝tan x . 4. 解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋1tan α(sin α＋tan α)＝sin αcos α＋cos α·sin αcos α＋sin α·cos αsin α＋1＝sin α＋cos α＋1＋sin αcos α＝(1＋sin α)(1＋cos α)．∵α≠k π2，k ∈Z ，∴1＋sin α＞0，1＋cos α＞0，故选A.5. 解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴（m －3）2（m ＋5）2＋（4－2m ）2（m ＋5）2＝1.得m ＝0(舍)，或m ＝8.∴sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ＝sin θcos θ＝－512.答案：8 －5126. 解析：由sin x ＋cos x ＝2，得2sin x cos x ＝1. 由sin 2x ＋cos 2x ＝1，得sin 4x ＋cos 4x ＋2sin 2x cos 2x ＝1. 所以sin 4x ＋cos 4x ＝1－12(2sin x cos x )2＝1－12×1＝12.答案：127. 证明：法一：∵tan 2α＝2tan 2β＋1， ∴tan 2β＝tan 2α－12.①∵tan 2β＝sin 2βcos 2β，∴tan 2β＝sin 2β1－sin 2β， ∴sin 2β＝sin 2βsin 2β＋cos 2β＝sin 2βcos 2βsin 2βcos 2β＋cos 2βcos 2β＝tan 2β1＋tan 2β.② 由①②，得sin 2β＝tan 2α－121＋tan 2α－12＝tan 2α－1tan 2α＋1＝sin 2αcos 2α－1sin 2αcos 2α＋1＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－1. 法二：∵tan 2α＝2tan 2β＋1，∴tan 2α＋1＝2(tan 2β＋1)． ∴sin 2α＋cos 2αcos 2α＝2·sin 2β＋cos 2βcos 2β. ∴1cos 2α＝2cos 2β. ∴cos 2β＝2cos 2α.∴1－sin 2β＝2(1－sin 2α)． ∴sin 2β＝2sin 2α－1. 8. 解：因为已知方程有两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θcos θ＝m 2，②Δ＝4＋23－8m ≥0. ③1－tan θ(2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 由②，得m 2＝34，所以m ＝32.由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32.(3)因为m ＝32， 所以原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0. 解得x 1＝32，x 2＝12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12.又因为x ∈(0，2π)， 所以θ＝π3或θ＝π6.。