《电动力学》公式推导荟萃
电动力学公式
电动力学期末复习Maxwell方程组介质对电磁场的影响简单介质的电磁性质电磁场的能量和动量电磁势电磁辐射的推迟势电磁场的边值关系静电场D E ε=G G2f,ρϕε∇=−分离变量法20ϕ∇=2222222111sin sin sin r r r r r r θ2θθθθ∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞∇=++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠φ 11,,(,,)(cos )cos (cos )sin n m nm nm nm nm n nm nn n n m n m b d r a r P m c r P r r m ϕθφθφθφ++⎛⎞⎛⎞=+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑ ˆˆˆsin R e e e R R R φθθθφ∂∂∇=++∂∂∂∂镜像法2,,RQ R q b a a=−=电多极矩3001()111():446V Q p D x dV R x r RR ρϕπεπεR ⎡⎤′′⋅⎛⎞=⇒++∇∇⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫∫∫GG G G G()V x dV Q i ρ′′=∫∫∫G,()i Vx x dV ρp ′′′=∫∫∫G,()23()3()i j ij i j ij VVx .ij x x dV D x x r x dV ρδρ′′′′′′′′′=⇒=−∫∫∫∫∫∫G GE DW p =−⋅GG , , ()e F p E =⋅∇G G G e M p E =×G G G .磁多极矩03()()44VJ x dV m R A x r R μμππ′′×=⇒∫∫∫G GG G G G 1()2Vm x J x dV ′′′=×⇒∫∫∫G G G G GIS BW m =−⋅G G ， ， ()e F m B =⋅∇G G Ge M m B =×G G G时谐电磁波模简谐平面电磁波简谐平面电磁波的能量和动量0(,)cos()E x t E k x t ω=⋅−G G GG G0(,)cos()B x t B k x t ω=⋅−G G GG G简谐平面电磁波的反射和折射狭义相对论 光速不变原理22222222()()0ct x y z ct x y z ′′′′−−−=−−−=狭义相对性原理协变量 Einstein 约定 矩阵形式 标量U U ′=四维矢量 V a V μμνν′=V A V′=⋅二阶张量 F a a F μνμλντ′=λτ F AFA ′=3231211230000i 123B B E ci B B E c F F iB B E c i i i E E E cccμν⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
电动力学知识的总结
第一章 电磁现象的普遍规律§1.1 电荷与电场1、库仑定律（1）库仑定律如图1-1-1所示，真空中静止电荷'Q 对另一个静止电荷Q 的作用力F 为()'3''041r r rr Q Q F --=πε （1.1.1）式中0ε是真空介电常数。
（2）电场强度E静止的点电荷'Q 在真空中所产生的电场强度E为()'3''41r r r r Q E --=πε （1.1.2）（3）电场的叠加原理N 个分立的点电荷在r 处产生的场强为()'13'0'4iNi i i r r r r Q E --=∑=πε （1.1.3）体积V 内的体电荷分布()'rρ所产生的场强为()()'3'''041r r r r dV r E V--=⎰ρπε （1.1.4）式中'r 为源点的坐标，r为场点的坐标。
2、高斯定理和电场的散度高斯定理：电场强度E穿出封闭曲面S 的总电通量等于S 内的电荷的代数和)(∑ii Q 除以0ε。
用公式表示为∑⎰=⋅iiSQS d E 01ε （分离电荷情形） （1.1.5）或⎰⎰=⋅VSdV S d E ρε01（电荷连续分布情形） （1.1.6）其中V 为S 所包住的体积，S d为S 上的面元，其方向是外法线方向。
应用积分变换的高斯公式⎰⎰⋅∇=⋅VSdV E S d E（1.1.7）由（1.1.6）式可得静电场的散度为ρε01=⋅∇E 3. 静电场的旋度由库仑定律可推得静电场E的环量为0=⋅⎰Ll d E（1.1.8）应用积分变换的斯托克斯公式⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLS d E l d E从（1.1.8）式得出静电场的旋度为0=⨯∇E（1.1.9）§1.2 电流和磁场1、电荷守恒定律不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。
对于体积为V ，边界面为S 的有限区域内，有⎰⎰-=⋅V S dV dtdS d J ρ （1.2.1） 或0=∂∂+⋅∇tJ ρ（1.2.2）这就是电荷守恒定律的数学表达式。
电动力学重点知识总结(期末复习必备)
电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学是物理学的重要分支之一，研究电荷之间相互作用导致的电场和磁场的规律。
在这篇文章中，我们将整理电动力学的重点知识，以帮助大家进行期末复习。
一、库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的基本定律。
根据库仑定律，电荷之间的力与它们的电量大小和距离的平方成正比。
即$$ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} $$其中$F$为电荷之间的力，$q_1$和$q_2$分别为两个电荷的电量，$r$为它们之间的距离，$k$为库仑常数。
二、电场电场是描述电荷对周围空间产生影响的物理量。
任何一个电荷在其周围都会产生一个电场，其他电荷受到这个电场的力作用。
1. 电场强度电场强度$E$定义为单位正电荷所受到的电场力。
即$$ E =\frac{F}{q} $$电场强度的方向与电场力方向相同。
2. 电荷在电场中的受力当一个电荷$q$在电场中时，它受到的电场力$F$为$F = qE$，其中$E$为电场强度。
3. 电场线电场线是一种用于表示电场分布的图形。
电场线从正电荷发出，或者进入负电荷。
电场线的密度表示电场强度大小，电场线越密集，电场强度越大。
三、高斯定律高斯定律是用于计算电场分布的重要工具。
它描述了电场与通过闭合曲面的电通量之间的关系。
1. 电通量电通量是电场通过曲面的总电场线数。
电通量的大小等于电场强度与曲面垂直方向的投影之积。
电通量的计算公式为$$ \Phi = \int \mathbf{E} \cdot \mathbf{dA} $$其中$\mathbf{E}$为电场强度，$\mathbf{dA}$为曲面元。
2. 高斯定律高斯定律表示电通量与包围曲面内所有电荷之和的比例关系。
即$$ \Phi = \frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_0} $$其中$\Phi$为通过曲面的电通量，$Q_{\text{内}}$为曲面内的总电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数。
电动力学公式总结
电动力学公式总结电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷在电场和磁场中的行为规律。
本文将对电动力学中常见的几个重要公式进行总结和介绍。
库仑定律库仑定律是电动力学中最基本的定律之一，描述了两个电荷之间的相互作用力的大小。
库仑定律公式如下：F=k⋅q1⋅q2 r2其中，F表示电荷间的作用力，q1和q2分别表示两个电荷的大小，r表示它们之间的距离，k是库仑常数。
电场强度电场强度描述了单位正电荷在电场中所受到的力，电场强度的大小与电场中的电荷量有关。
电场强度E与电场中的电荷q之间的关系可以用如下公式表示：E=F q其中，F为电荷所受力，q为电荷量。
高斯定律高斯定律是描述电场的一项基本定律，它规定了电场通过一个封闭曲面的电场通量与内部电荷量的比值。
高斯定律可以用如下公式表示：Φ=Q enc ε0其中，Φ表示电场通过曲面的电场通量，Q enc表示曲面内的电荷量，ε0是真空介电常数。
安培环路定理安培环路定理描述了电流在产生的磁场中所受的力。
根据安培环路定理，磁场力与电流及它们之间的关系可以用如下公式表示：F=B⋅l⋅I⋅sin(θ)其中，F表示力的大小，B表示磁场强度，l表示电流元长度，I表示电流强度，θ表示磁场与电流元之间的夹角。
洛伦兹力洛伦兹力是描述带电粒子在电场和磁场中所受合力的物理定律。
洛伦兹力F对带电粒子的加速度a描述如下：F=q(E+v×B)其中，q为电荷量，E为电场强度，v为带电粒子的速度，B为磁场强度。
以上就是电动力学中的几个重要公式的简要总结，这些公式在电场和磁场的研究中具有重要作用，有助于我们理解电荷之间、电流与磁场之间的相互作用规律。
《电动力学》公式推导荟萃
1. 电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t DJ H B tBE D 0ρ和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v Jρ=，结合公式E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(EtD HE J⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( Et D E H ⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []Et D H E H E⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( Et D H t B H E⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(令H E S⨯=H t B E t D t w ⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂对应的积分形式为注释:对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出能量密度为)(21B H D E w ⋅+⋅=而H E S⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。
************************************************练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。
2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将E D ε=，ϕ-∇=E代入f D ρ=⋅∇ 得f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(即ερϕεεϕf -=∇⋅∇+∇12对于均匀介质, 有0=∇ε此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中f ρ为自由电荷体密度。
注释:当0=∇ε，或E⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。
3. 静电场能量公式的推导在线性介质中，电场总能量为⎰∞⋅=dVD E W 21 对于静电场，利用ρϕ=⋅∇-∇=D E,给出ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E所以⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ)( 又=⋅⎰∞s d D ϕ，故注释:（1）电场能量分布于空间电场中。
电动力学公式总结
电动力学公式总结电动力学是物理学中研究电荷间相互作用及其相关现象的分支学科。
电动力学公式是描述电场、电势、电流、电荷等电动力学量之间关系的数学表达式。
本文将总结常见的电动力学公式，并进行简要解释。
1. 库仑定律（Coulomb's Law）库仑定律用于描述两个电荷之间的相互作用力。
假设两个电荷分别为q1和q2，它们之间的作用力F由以下公式给出：F = k * (q1 * q2) / r^2其中，k为库仑常数，r为两个电荷间的距离。
2. 电场强度（Electric Field Strength）电场强度描述在给定点附近单位正电荷所受到的力的大小和方向。
电场强度E由以下公式给出：E =F / q其中，F为单位正电荷所受的力，q为正电荷的大小。
3. 电势差（Electric Potential Difference）电势差描述电场对电荷进行的功所引起的状态变化。
电势差V由以下公式给出：V = W / q其中，W为电场对电荷进行的功，q为电荷的大小。
4. 高斯定理（Gauss's Law）高斯定理是一个描写电场线分布和电荷分布之间关系的重要定理。
它表示电场的流出和流入电荷的总和等于电荷总量除以真空介电常数ε0。
该定理由以下公式给出：∮E · dA = (1 / ε0) * Q_enclosed其中，E为电场强度，dA为微元的面积矢量，Q_enclosed为电荷的总量。
5. 法拉第电磁感应定律（Faraday's Law of Electromagnetic Induction）法拉第电磁感应定律描述通过磁场的变化引起的电场变化。
它由以下公式给出：ε = -dΦ/dt其中，ε代表感应电动势，dΦ/dt为磁通量的变化率。
6. 奥姆定律（Ohm's Law）奥姆定律描述了电流、电压和电阻之间的关系。
根据奥姆定律，电流I等于电压V与电阻R的比值，即：I = V / R其中，I为电流，V为电压，R为电阻。
最新电动力学重点知识总结
最新电动力学重点知识总结电动力学是物理学的一个重要分支，研究带电粒子在电场和磁场中的运动规律及其相互作用。
以下是最新的电动力学重点知识总结：1.库仑定律：库仑定律描述了两个点电荷之间的电荷间相互作用力的大小和方向。
它以电荷的量及其相对距离为参数，公式为F=k*q1*q2/r^2，其中F是作用力，q1和q2分别是两个电荷的电量，r是两个电荷之间的距离，k是库仑常数。
2.电场强度：电场强度描述了空间中各点受电场力的大小和方向。
电场强度与点电荷的大小和距离成反比，可以用公式E=k*q/r^2表示，其中E是电场强度，q是点电荷的电量，r是点电荷与观察点之间的距离。
3. 电通量：电通量是电场线通过单位面积的数量。
如果一个闭合曲面上的电通量为零，那么在该曲面上没有净电荷。
电通量可以用公式Φ=E*A*cosθ表示，其中Φ是电通量，E是电场强度，A是曲面的面积，θ是电场线与曲面法线之间的夹角。
4.高斯定律：高斯定律是描述电场的一个基本定律，它表明电场的总通量与包围该电场的闭合曲面上的净电荷成正比。
数学表达式为Φ=Q/ε₀，其中Φ是闭合曲面上的电通量，Q是闭合曲面内的净电荷，ε₀是真空的介电常数。
5.电势能：电荷在电场中具有电势能。
电势能是一个量值，并且仅依赖于电荷和它在电场中的位置。
电势能可以用公式U=q*V表示，其中U是电势能，q是电荷的电量，V是电势。
6. 电势差：电势差是单位正电荷从一个点到另一个点的电势能的差值，也可以看作是电场力对单位正电荷所做的功。
电势差可以用公式ΔV=∫E·dl来计算，其中ΔV是电势差，∫E·dl是电场强度在路径上的线积分。
7.电容器：电容器是一种可以存储电荷的装置。
它由两个导体板和介质组成，其中导体板上的电荷存储在电场中。
电容器的电容可以用公式C=Q/V表示，其中C是电容，Q是电荷的量，V是电势差。
8.电流：电流是单位时间内通过导体横截面的电荷量。
电流可以用公式I=ΔQ/Δt表示，其中I是电流，ΔQ是通过导体横截面的电荷量，Δt是时间。
电动力学_知识点总结
电动力学_知识点总结电动力学是物理学的一个重要分支，研究电荷、电场、电流、磁场等现象和它们之间的相互作用。
下面是电动力学的一些重要知识点的总结。
1.库仑定律：库仑定律描述了两个点电荷之间的力，它与它们之间的距离成反比，与它们的电荷量成正比。
该定律为电场的基础，用数学公式表示为F=k(q1*q2)/r^2，其中F是电荷之间的力，k是库仑常数，q1和q2是电荷量，r是两个电荷之间的距离。
2.电场：电场是指任何点周围的电荷所受到的力的效果。
电场可以通过电场线来表示，电场线从正电荷出发，指向负电荷。
电场线的密度表示了电场的强度，而电场线的形状表示了电场的方向。
3.电势能：电势能是指一个电荷在电场中具有的能量。
电荷在电场中移动时，会因电场做功而改变其势能。
电势能可以表示为U=qV，其中U是电势能，q是电荷量，V是电势。
4.电势：电势是一种描述电场中电场强度的物理量。
电势可以通过电势差来表示，电势差是指两个点之间的电势差异。
电势差可以表示为ΔV=W/q，其中ΔV是电势差，W是从一个点到另一个点所做的功，q是电荷量。
5.高斯定理：高斯定理是描述电场和电荷之间关系的一个重要定律。
它表明，穿过一个闭合曲面的电场通量等于该曲面内部的总电荷除以真空介电常数。
数学表达式为Φ=∮E*dA=Q/ε0，其中Φ是电场通量，E是电场强度，dA是曲面的微元面积，Q是曲面内的电荷，ε0是真空介电常数。
6. 安培定律：安培定律是描述电流和磁场之间关系的一个重要定律。
它表明，通过一个闭合回路的磁场强度等于该回路内部的总电流除以真空中的磁导率。
数学表达式为∮B * dl = μ0I，其中∮B * dl是磁通量，B是磁场强度，dl是回路的微元长度，I是回路内的电流，μ0是真空中的磁导率。
7. 法拉第定律：法拉第定律描述了电磁感应现象。
它表明，当一个导体中的磁通量发生变化时，该导体内产生的电动势与磁通量的变化率成正比。
数学表达式为ε = -dΦ/dt，其中ε是产生的电动势，dΦ是磁通量的变化量，dt是时间的微元。
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1. 电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t DJ H B tBE D 0ρ和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v Jρ=，结合公式E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(Et D H E J⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( Et D E H⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []Et D H E H E⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( Et D H t B H E⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(令H E S⨯=H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂对应的积分形式为注释:对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出能量密度为)(21B H D E w ⋅+⋅=而H E S⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。
************************************************练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。
2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将E D ε=，ϕ-∇=E代入f D ρ=⋅∇ 得f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(即ρϕεεϕf -=∇⋅∇+∇12对于均匀介质, 有0=∇ε此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中fρ为自由电荷体密度。
注释:当0=∇ε，或E⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。
3. 静电场能量公式的推导在线性介质中，电场总能量为⎰∞⋅=dVD E W 21 对于静电场，利用ρϕ=⋅∇-∇=D E,给出ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E所以⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ)( 又=⋅⎰∞s d D ϕ，故注释:（1）电场能量分布于空间电场中。
在静电情形下，电场决定于电荷分布，场内没有独立的运动，因而静电场的总能量可以由电荷分布决定。
（2）ρϕ21不能视为静电场能量密度，上式只对静电场的总能量才有意义（因为静电能不是分布在电荷上）。
（3）静电相互作用能为⎰∞=dVW e i ρϕ，其中e ϕ为外电场的电势。
4. 静磁场矢势A满足微分方程的推导因为0=⋅∇B ，有A B⨯∇=。
对于各向同性线性介质，将B H =及A B ⨯∇=代入静磁场方程J H=⨯∇，得)(1)(111)1(A A B B B ⨯∇⋅∇+⨯∇⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇μμμμμJA A A =∇-⋅∇∇+⨯∇⋅∇=])([1)(12μμ运用库仑条件0=⋅∇A，经整理给出JA A μμμ-=⨯∇⋅∇-∇)(12对于均匀介质, 有1=∇μ,上式给出J A μ-=∇2)0(=⋅∇A此即为静磁场矢势A满足的微分方程，其中J 为传导电流体密度。
注释:当1=∇μ，或B⊥∇μ1时，均有0)(1=⨯∇⋅∇A μ，此时A 仍满足上述方程。
5. 静磁场能量公式的推导在线性介质中，磁场总能量为⎰∞⋅=dVH B W 21 对于静磁场，结合公式A H H A H A⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(,应用磁场方程J H A B=⨯∇⨯∇=,可给出J A H A H A H A H A H B⋅+⨯⋅∇=⨯∇⋅+⨯⋅∇=⋅⨯∇=⋅)()()()(所以⎰⎰∞∞⋅+⨯⋅∇=dVJ A dV H A W21)(21⎰⎰∞∞⋅+⋅⨯=dV J A s d H A21)(21 又0)(=⋅⨯⎰∞s d H A，故注释:（1）磁场能量分布于空间磁场中。
在静磁场情形下，磁场决定于稳恒电流的分布，因而静磁场的总能量可由电流分布决定。
（2）JA ⋅21不能看作为静磁场的能量密度，上式只对静磁场的总能量才有意义（因为磁能不是分布在电流上）。
（3）J 在外磁场e A 中的相互作用能为⎰⋅=dV A J W e i 。
6. 磁标势m ϕ满足的微分方程的推导在0=J 的区域内（且⎰=⋅L l d H 0），静磁场方程为⎩⎨⎧=⋅∇=⨯∇00B H对介质方程)(0M H B+=μ的两边取散度，得M H ⋅-∇=⋅∇令磁荷密度为0m M ρμ=-∇⋅代入静磁场方程给出（以H为基本量----磁荷观点）：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇=⨯∇）（）（2...........................1...................................00μρm H H由（1）式引入磁标势m ϕm H ϕ-∇=代入（2）式，则得磁标势m ϕ7. 波动方程的推导以真空情况为例加以推导。
由无源)0,0(==J fρ麦克斯韦方程组出发⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇)4(............................................................)3..(......................................................................0)2....(............................................................)1..(......................................................................000t EB E tB E Bεμ运用公式B B B E E E 22)()(,)()(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ 对(2)式取旋度，并应用第(3)、(4)式得2200)()(t EB t E ∂∂-=⨯∇∂∂-=⨯∇⨯∇ εμ则220020E E t με∂∇-=∂同理，对(4)式取旋度，并用第(1)、(2)式得()()200002BB E t t μεμε∂∂∇⨯∇⨯=∇⨯=-∂∂则220020BB t με∂∇-=∂令c =注释:在介质中，对于一定频率ω的电磁波，上述波动方程成为其中波速)()()()()(1)(ωωμωεωμωεωn c cv r r ===8. 亥姆霍兹方程的推导[方法一]对于一定频率的时谐电磁波，有H B E Dμε==,。
设电磁场量的形式为 )exp()(),(t i x E t x E ω-=)exp()(),(t i x B t x B ω-=则有代换关系ωi t -→∂∂，此时无源区域的麦克斯韦方程组成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯∇=⋅∇=⨯∇=⋅∇)4(.....................)3(.................................0)2(...........................)1(.................................0E i B B B i E Eωμεω① 对（2）式两边取旋度，并利用（1）、（4）式得B i E⨯∇=⨯∇⨯∇ω)(E E E μεω22)(=∇-⋅∇∇ 022=+∇E E μεω即电场E满足的亥姆霍兹方程为)0(022=⋅∇=+∇E E k E其中波数λπωεμω2===vk 。
由此式解出E后，进一步便可由（2）式得到磁场：EiB ⨯∇-=ω。
② 同理，对（4）式两边取旋度，并利用（2）、（3）式，可得磁场B满足的亥姆霍兹方程为)0(022=⋅∇=+∇B B k B进一步由（4）式可给出：BiE ⨯∇=ωμε。
注释:（1）上述推导过程给出两种研究电磁波的途径；（2）0,0=⋅∇=⋅∇B E为横波条件。
--------------------------------------[方法二]对于一定频率的时谐电磁波，设电磁场量的时空变量分离形式为)exp()(),(t i x E t x E ω-=)exp()(),(t i x B t x B ω-=利用代换关系ωi t -→∂∂，由波动方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∇=∂∂-∇01012222222t Bv B t E v E可以直接给出⎪⎩⎪⎨⎧=+∇=+∇002222B k B E k E此即为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
9. 平面电磁波性质的推导对于平面波)](exp[),(0t x k i E t x E ω-⋅=有k i →∇，并且ωi t -→∂∂。
结合H B E D με==,，此时不含源的麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t EB B t BE Eμε成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯=⋅=⨯=⋅）（）（）（）（4..........................................3.....................................................02.................................................1......................................................0E B k B k B E k E kωμεω 其中（1）式、（3）式表明k B k E⊥⊥,；而由（2）式或（4）式给出或n B v E ⨯=，所以0)(1=⨯⋅=⋅E n E v B E。
由此给出平面波的性质为：①k B k E ⊥⊥、，即电磁波为横电磁（TEM ）波； ②B E ⊥，并且),,(k B E 三者组成右手系；③B E、同相位； ④B E、大小成比例，vB E =。
注释:（1）因为)](exp[)]}(exp[{),(00t x k i E t x k i E t x E ωω-⋅∇⋅=-⋅⋅∇=⋅∇),()(t x E k i x k i E ⋅=⋅∇⋅=；同样可得E k i E⨯=⨯∇，即相当于k i →∇（2）对于平面波，因为BvB E εμ1==，所以221B E με=，即电场能量密度等于磁场能量密度m e w B E w ===222121με；并且n vw S =，其中m e w w w +=。
10. 导体中自由电荷随时间变化规律的推导设导体内有自由电荷ρ分布，在均匀介质中激发的电场E 满足方程ερ=⋅∇E, 而欧姆定律为J E σ=,所以 σρ=⋅∇J此外，运用电荷守恒定律 t J ∂∂-=⋅∇ρ给出ρεσρ-=dt d其中0ρ为0=t 时的电荷分布。