电动力学理论证明集锦
电动力学总结 郭版
库仑定律F 304'r QQ πε=r 电场强度E=304r Qπεr 电场强度磁通量的高斯定理⎰sE d s=0εQ 静电场的散度 ∆·E=ερ旋度 ∆×E=0 恒定电流时有∆·J =0 电荷守恒定律的微分形式（电流连续性方程）∆·J+t∂∂ρ=0 J 是电流密度 安培环路定律⎰LBdl =0μI⎰LBdl =0μ⎰sJ d s恒定磁场的一个基本微分方程∆×B=0μJ 恒定磁场的散度∆·B=0 电场的散度只存在于电荷分布的区域，没电荷分布的空间中散度为0 磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而周围空间是无旋的 磁场对电场作用的基本规律∆×E=-t ∂∂B 位移电流J D =0εt∂∂E 麦克斯韦方程组∆×E=-t ∂∂B ∆×B=0μJ+0μ0εt∂∂E ∆·E=0ερ ∆·B=0洛伦兹力公式F=q E+q v ×B 自由电荷密度f ρ 束缚电荷密度p ρ 电位移矢量D ：D=0εE+p ∆·D=f ρ 介质极化率e χ：p=e χ0εE 磁场强度H ：H=1μB-M ∆×H=J f +t∂∂D 磁化率m χ：M=m χH 介质中的麦克斯韦方程组∆×E=-t ∂∂B ∆×H=J+t∂∂D ∆·E=ρ ∆·B=0 介质中电磁性质方程D=εE B=μH J=σEεμσ分别为电容、磁导、电导率边值关系e n ×（E 2-E 1）=0 e n ×（H 2-H 1)=a e n ·（D 2-D 1)=σ e n ·(B 2-B 1)=0能量守恒定律微分形式∆·S+t∂∂w=-f ·v 能流密度S=E ×H 能量密度变化率t ∂∂w=E t ∂∂D+H t ∂∂B w=21(E ·D+H ·B )真空中S=1μE ×B w=21(0εE 2+01μB 2)静电势基本微分方程（泊松方程）∆2ϕ=-ερ边值关系21ρρ= σϕεϕε-=∂∂-∂∂nn 1122导体静电条件1内部不带静电荷，只能分布于表面，2导体内电场为0，3表面电场沿法线方向，表面为等势面，整体电势相等。
电动力学重点知识总结(期末复习必备)
电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学是物理学的重要分支之一，研究电荷之间相互作用导致的电场和磁场的规律。
在这篇文章中，我们将整理电动力学的重点知识，以帮助大家进行期末复习。
一、库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的基本定律。
根据库仑定律，电荷之间的力与它们的电量大小和距离的平方成正比。
即$$ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} $$其中$F$为电荷之间的力，$q_1$和$q_2$分别为两个电荷的电量，$r$为它们之间的距离，$k$为库仑常数。
二、电场电场是描述电荷对周围空间产生影响的物理量。
任何一个电荷在其周围都会产生一个电场，其他电荷受到这个电场的力作用。
1. 电场强度电场强度$E$定义为单位正电荷所受到的电场力。
即$$ E =\frac{F}{q} $$电场强度的方向与电场力方向相同。
2. 电荷在电场中的受力当一个电荷$q$在电场中时，它受到的电场力$F$为$F = qE$，其中$E$为电场强度。
3. 电场线电场线是一种用于表示电场分布的图形。
电场线从正电荷发出，或者进入负电荷。
电场线的密度表示电场强度大小，电场线越密集，电场强度越大。
三、高斯定律高斯定律是用于计算电场分布的重要工具。
它描述了电场与通过闭合曲面的电通量之间的关系。
1. 电通量电通量是电场通过曲面的总电场线数。
电通量的大小等于电场强度与曲面垂直方向的投影之积。
电通量的计算公式为$$ \Phi = \int \mathbf{E} \cdot \mathbf{dA} $$其中$\mathbf{E}$为电场强度，$\mathbf{dA}$为曲面元。
2. 高斯定律高斯定律表示电通量与包围曲面内所有电荷之和的比例关系。
即$$ \Phi = \frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_0} $$其中$\Phi$为通过曲面的电通量，$Q_{\text{内}}$为曲面内的总电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数。
电动力学
第一章1. 根据算符∇的微分性与矢量性，推导下列公式：()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇21()()2A A A A A ⨯∇⨯=∇+⋅∇解：1）()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇首先算符∇是一个微分算符，其具有对其后所有表达式起微分的作用，对于本题，∇将作用于A 和B 。
又∇是一个矢量算符，具有矢量的所有性质。
因此，利用公式()()()c a b a c b c a b ⨯⨯=⋅-⋅可得上式，其中右边前两项是∇作用于A ，后两项是∇作用于B 。
2）根据第一公式，令A =B 可得证。
2. 设u 是空间坐标x ,y ,z 的函数，证明：d ()dud ()du d ().du ff u u u u u u ∇=∇∇⋅=∇⋅∇⨯=∇⨯AA AA 证明： 1）f(u)(u)(u)d u d u d u d ()du du du dux y z x y z f f f f f ff u u x y z x y z ∂∂∂∂∂∂∇=++=⋅+⋅+⋅=∇∂∂∂∂∂∂e e e e e e 2）(u)d (u)d (u)d u u u()du du du y y x x z z x y z u x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇⋅=++=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂A A A A A A A e e ed duu =⋅∇A3）()()(u)(u)x y z x y z u x y z A u A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A()()()yy x x z z x y z A A A A A A y z z x x y∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂e e ed d d d d d u u u u u u ()()()du du du du du du d .duy y x x z z x y zA A A A A A y z z x x yu ∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂=∇⨯e e e A3.设=r 'x 到x 的距离，r 的方向规定为从源点到场点。
电动力学典型试题分析-证明题和答案解析
典型试题分析1、 证明题：1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=•∇B证明：由式：()()''0'3'0144dv rx J dv r r x J B ∇⨯=⨯=⎰⎰πμπμ又知：()()''11x J r r x J ⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇，因此 ()()⎰⎰=⨯∇=⨯∇=r dv x J A A dv rx J B ''0''04 4πμπμ式中由 ()0=⨯∇•∇=•∇A B 所以原式得证。
2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.tAE ∂∂--∇=ϕ证：在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。
电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。
因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。
在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。
t B E A B ∂∂-=⨯∇⨯∇=式代入得：0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇t A E ，该式表示矢量t A E ∂∂+是无旋场，因此它可以用标势ϕ描述，ϕ-∇=∂∂+tAE 。
因此，在一般情况下电场的表示式为：.tAE ∂∂--∇=ϕ。
即得证。
3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式221cv l l -=。
答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。
如图所示，设物体沿x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘∑。
若物体后端经过1P 点（第一事件）与前端经过2P 点（第二事件）相对于∑同时，则21P P 定义为∑上测得的物体长度。
物体两端在‘∑上的坐标设为'2'1x x 和。
在∑上1P 点的坐标为1x ，2P 点的坐标为2x ，两端分别经过1P 和2P 的时刻为21t t =。
对这两事件分别应用洛伦兹变换式得 2222'22211'11,1c vvt x x c v vt x x --=--=，两式相减，计及21t t =，有().*12212'1'2c vx x x x --=-式中12x x -为∑上测得的物体长度l （因为坐标21x x 和是在∑上同时测得的），'1'2x x -为‘∑上测得的物体静止长度0l 。
电动力学知识点归纳
电动力学知识点归纳电动力学是物理学的一个分支，研究电荷和电流以及它们与电场和磁场之间的相互作用。
电动力学是现代工程学和科学研究的基础，也是解释电子、电力、磁性材料、光学和无线通信等现象的关键。
以下是电动力学的几个重要知识点的归纳：1.库仑定律：描述了两个电荷之间的作用力，称为电场力。
它表明，两个电荷之间的作用力正比于它们的电荷量的乘积，反比于它们之间距离的平方。
2.电场：由电荷产生的电场是描述电荷周围的空间的力场。
电场可以通过电场线来可视化，箭头指向正电荷，箭头离开负电荷，线的密度表示电场的强度。
3.电势能和电势差：电势能是一个电荷在电场中的能量，它与电荷量、电场强度和距离之间都有关系。
电势差是沿电场中两点之间的电势能变化，用来描述电荷从一个点移动到另一个点时的能量变化。
4.电流和电阻：电流是电荷在单位时间内通过导体的量，通常用安培(A)来衡量。
电阻是导体对电流的阻碍，其大小与导体材料的特性有关。
欧姆定律描述了电流、电势差和电阻之间的关系，即电流等于电势差与电阻的比值。
5.麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组是描述电磁场行为的一组方程，它们是电动力学的核心。
方程组包括四个方程，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和高斯磁定律。
这些方程描述了电荷和电流如何产生电场和磁场，以及电场和磁场之间如何相互作用。
6.磁场：磁场是由电流产生的，可以通过磁感线来可视化，箭头指向磁南极，箭头离开磁北极。
磁场对运动带电粒子施以洛伦兹力，使其偏离原来的轨道。
7.麦克斯韦-安培定理：描述了电流生成的磁场的环路积分等于通过环路的总电流的情况。
它建立了电流与磁场之间的关系。
8.电感和电容：电感是储存电磁能的元件，通过存储磁场的能量来抵抗电流变化。
电容是储存电荷的元件，通过储存电场的能量来抵抗电压变化。
以上只是电动力学领域中的一些重要概念和原理，还有很多细节和衍生知识需要进一步学习和理解。
电动力学的应用也非常广泛，例如电路设计、电子设备制造、电力输送、无线通信等领域都离不开电动力学的原理。
考研电动力学知识点解析
考研电动力学知识点解析电动力学是物理学的一个重要分支，主要研究电荷在电磁场中的运动规律、电场和磁场之间的相互作用关系等内容。
对于考研电动力学来说，掌握一些基础的知识点是非常重要的。
本文将对几个常见的电动力学知识点进行解析，帮助考生更好地理解和掌握这些内容。
一、库仑定律库仑定律是描述静电力的基本规律，它表达了电荷之间相互作用的力与它们之间的距离的关系。
库仑定律可以表示为：$$ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} $$其中，$F$代表电荷之间的相互作用力，$k$为库仑常数，$q_1$和$q_2$为电荷大小，$r$为电荷之间的距离。
通过这个公式可以看出，电荷之间的作用力与它们的大小和距离的平方成反比。
二、电场电场是描述电荷对其他电荷产生的力或者力密度的物理量。
电场的强弱可以用电场强度来表示，电场强度的大小与电荷大小和距离的平方成正比。
电场强度的计算公式为：$$ E = \frac{F}{q} $$其中，$E$代表电场强度，$F$为电荷所受力，$q$为电荷大小。
电场强度的单位是牛顿/库仑。
三、电场的叠加原理电场具有叠加性，即多个电荷产生的电场可以通过矢量相加得到。
以两个电荷为例，它们产生的电场强度可以表示为：$$ E = \frac{kq_1}{r_1^2} + \frac{kq_2}{r_2^2} $$其中，$r_1$和$r_2$分别为电荷离某点的距离，$q_1$和$q_2$为电荷大小。
通过叠加原理，可以计算多个电荷所产生的电场强度。
四、电势电势是衡量电场的一种物理量，它表示单位正电荷在电场中所具有的能量。
在静电场中，电势可以表示为：$$ V = \frac{kq}{r} $$其中，$V$代表电势，$q$为电荷大小，$r$为电荷离某点的距离。
电势具有可叠加性，在多个电荷存在的情况下，总的电势可以通过电势的矢量相加得到。
五、高斯定理高斯定理是电动力学中的重要定理，它描述了电场与电荷之间的关系。
电动力学_知识点总结
电动力学_知识点总结电动力学是物理学的一个重要分支，研究电荷、电场、电流、磁场等现象和它们之间的相互作用。
下面是电动力学的一些重要知识点的总结。
1.库仑定律：库仑定律描述了两个点电荷之间的力，它与它们之间的距离成反比，与它们的电荷量成正比。
该定律为电场的基础，用数学公式表示为F=k(q1*q2)/r^2，其中F是电荷之间的力，k是库仑常数，q1和q2是电荷量，r是两个电荷之间的距离。
2.电场：电场是指任何点周围的电荷所受到的力的效果。
电场可以通过电场线来表示，电场线从正电荷出发，指向负电荷。
电场线的密度表示了电场的强度，而电场线的形状表示了电场的方向。
3.电势能：电势能是指一个电荷在电场中具有的能量。
电荷在电场中移动时，会因电场做功而改变其势能。
电势能可以表示为U=qV，其中U是电势能，q是电荷量，V是电势。
4.电势：电势是一种描述电场中电场强度的物理量。
电势可以通过电势差来表示，电势差是指两个点之间的电势差异。
电势差可以表示为ΔV=W/q，其中ΔV是电势差，W是从一个点到另一个点所做的功，q是电荷量。
5.高斯定理：高斯定理是描述电场和电荷之间关系的一个重要定律。
它表明，穿过一个闭合曲面的电场通量等于该曲面内部的总电荷除以真空介电常数。
数学表达式为Φ=∮E*dA=Q/ε0，其中Φ是电场通量，E是电场强度，dA是曲面的微元面积，Q是曲面内的电荷，ε0是真空介电常数。
6. 安培定律：安培定律是描述电流和磁场之间关系的一个重要定律。
它表明，通过一个闭合回路的磁场强度等于该回路内部的总电流除以真空中的磁导率。
数学表达式为∮B * dl = μ0I，其中∮B * dl是磁通量，B是磁场强度，dl是回路的微元长度，I是回路内的电流，μ0是真空中的磁导率。
7. 法拉第定律：法拉第定律描述了电磁感应现象。
它表明，当一个导体中的磁通量发生变化时，该导体内产生的电动势与磁通量的变化率成正比。
数学表达式为ε = -dΦ/dt，其中ε是产生的电动势，dΦ是磁通量的变化量，dt是时间的微元。
电动力学的基本原理
电动力学的基本原理电动力学是物理学中研究电荷产生的相互作用以及它们对电场和电磁场的影响的分支学科。
它是理解和应用电磁现象的基础，广泛应用于电子工程、通信技术和能源领域等。
本文将详细介绍电动力学的基本原理。
一、库仑定律库仑定律是电动力学中最基本的定律之一，基于电荷间的相互作用。
库仑定律表明，电荷之间的相互作用力与它们之间的距离成反比，与它们的电量成正比。
数学表达式为：\[F = K \frac{q_1 q_2}{r^2}\]其中，F表示电荷之间的相互作用力，K是库仑力常数，\(q_1\)和\(q_2\)分别表示两个电荷的电量，r表示它们之间的距离。
根据库仑定律，同性电荷之间的相互作用力是斥力，异性电荷之间的相互作用力是引力。
二、电场和电场力电场是由电荷产生的一种物理场。
任何一个电荷在周围产生一个电场，该电场会对其他电荷施加电场力。
电场力的大小与电荷间的距离成反比，与电荷的大小成正比。
数学表达式为：\[E = \frac{F}{q}\]其中，E表示电场强度，F表示电场力，q表示电荷量。
电场强度的单位为牛顿/库仑。
电场是矢量场，它的方向由正电荷的运动方向决定。
三、高斯定律高斯定律是电动力学中的重要定律之一，描述了电场可由电荷分布产生的情况。
高斯定律可以通过表明电场线经过一个闭合曲面的通量等于该曲面内的电荷总量除以真空介电常数来表示。
数学表达式为：\[\Phi = \oint E \cdot dA = \frac{Q}{\varepsilon_0}\]其中，\(\Phi\)表示电场通过闭合曲面的通量，E表示电场强度，dA表示曲面上一个微小面元的面积，Q表示闭合曲面内的电荷总量，\(\varepsilon_0\)是真空介电常数。
四、电场的能量电荷在电场中具有势能，其势能大小和位置有关。
电场中的电势能可以通过电势来表示。
电势是描述场中某一点上单位正电荷所具有的势能的物理量。
电势差是指电场沿某一方向的电势变化。
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《电动力学》理论证明集锦为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。
在此编撰了与《电动力学》课程相关的20余条理论证明内容，有的是基础理论，但大部分是扩展内容。
第一章电磁现象的普遍规律1.试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。
［证明］设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为，由麦克斯韦方程之一（安培环路定理）给出对方程两边作任意闭合曲面积分，得即给出总电流为因为矢量场的旋度无散度：，故2.若是常矢量，证明除R=0点以外，矢量的旋度等于标量的负梯度，即, 其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
［证明］在的条件下，有另一方面经比较以上两式的右边，便可给出的答案。
注释：本题中所见的矢量和标量的形式在《电动力学》内容中有多处出现, 下供参考开列如（注意比较相同、相异之处）：（1）电偶极矩激发的电势：；（2）磁偶极矩产生的磁标势：；（3）磁偶极矩产生的磁矢势：。
3.试由电场积分公式出发，证明［证明］因为，，得到根据函数的挑选作用，给出4.试由毕奥-萨伐尔定律出发，证明［证明］［方法1 :间接积分计算］其中：0直接计算可得。
以下进一步计算，分两步运算:①计算：其中第一项因为：；第二项运用稳恒电流条件，结果也为零②计算：最终得到:[ 方法2：直接积分计算]利用毕奥-萨伐尔定律直接作积分计算注意到，进一步有（交换积分次序）（利用）注意，则，有（运用斯托克斯公式）（交换积分次序）其中第一项用了奥高积分变换公式、 第二项用了运算与无关化成微分式得[ 方法 3： 直接微分计算 ]利用公式和关系，直接计算因为（求导与函数变量无关） ，故利用函数的挑选作用，给出5．试证明在均匀电介质中存在关系[ 证明 ]因为，并且， =常数，所以6 •试证明在均匀磁介质中存在关系［证明］因为，并且,=常数，所以7 •证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。
［证明］（1）两个电流元之间的相互作用力不服从牛顿第三定律。
设两电流元相距，根据毕奥-萨伐尔定律给出：电流元1在电流元2处产生的磁场为同样，电流元2在电流元1处产生的磁场为其中应用安培力公式，给出电流元1对电流元2的作用力、电流元2对电流元1的作用力分别为虽然、，但一般情况下，，即，因此两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律。
其原因是，不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。
（2）两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力满足牛顿第三定律。
方法1 :（场）电流圈1 （闭合回路1整体）在电流元2处激发的磁场为电流元2 （电流圈2上的抽样）所受的磁力为进一步，电流圈1 对电流圈2（整体两闭合回路）的作用力为其中第一项的积分为这里对回路2 的积分应用了斯托克斯公式，是以闭合回路为周界的任意曲面，且应用了的结果。
所以同理可得比较以上两式，且注意到，可得。
方法2：（力）依据电流元1 对电流元2 的作用力给出电流圈1（闭合回路1 整体）对电流元2 的作用力为进一步，给出电流圈1 对电流圈2（两个闭合回路整体）的作用力为其余运算同前（从略）。
综上可见，虽然两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，但两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力是满足牛顿第三定律的。
8．已知一个电荷系统的偶极距定义为，利用电荷守恒定律证明的变化率为[ 证明 ]因为并矢的散度为, 两边作积分得其中是的函数。
所以又，，故第二章静电场9 •简略证明矢量场的唯一性定理。
［证明］假定有两个矢量场均满足定解条件，即引入差函数，贝U可见无旋，弓I入对应的势函数，代入的散度方程给出即势函数满足拉普拉斯方程，且在S面上将以上结果代入格林第一公式得到因为，所以。
又由于被积函数（非负），故上式成立的条件要求，即，亦即，满足所给定解条件的解是唯一性的。
10. 一块极化介质的极化矢量为，根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静电势为另外，根据极化电荷公式及，极化介质所产生的电势又可表为试证明以上两式是等同的。
［证明］因为，，所以证毕第三章静磁场11 •试证明矢量场能够代表磁场。
［证明］检验是否等于0:因为的大小仅为的函数、方向沿，在球坐标系下容易求出满足高斯定理，故能够代表磁场。
再用另一场方程在球坐标系下计算旋度，求得对应的电流分布为12•试证明规范变换函数满足泊松方程。
［证明］在的定义下，作规范变换：其中为任意可微的标函数（规范变换函数），则即虽不同于，但对应于同一个。
在静磁场中，人为常取（库仑规范）。
若，则可寻找，使，但对需要有限制:即规范变换函数满足泊松方程。
第四章电磁波的传播13．大部分晶体属于各向异性介质，其中麦克斯韦方程组最简单的解是且。
试证明晶体光学第一基本方程成立。
其中为波传播方向的单位矢量[ 证明 ]应用无源区域的麦克斯韦方程组对于常幅矢和行波因子为的形式，存在代换：所以将以上关系代入展开式：得利用得即。
证毕14．频率为的电磁波在各向异性介质中传播时，若仍按变化，但不再与平行（即不成立）。
（1）证明，但一般；（2）证明；（3）证明能流与波矢一般不在同一方向上。
[ 证明 ]（1）应用无源区域的麦克斯韦方程组由于仍按变化，则存在代换。
利用，上述方程化为由第一、第二式给出从而综上可见。
此外，虽然，但由于，故一般，直观图示如右。
（2）将代入中得。
（3）利用计算因为，所以上式中第二项不为0,即能流与波矢一般不在同一方向上。
注释：（1）本题中不再与平行，即不成立；但应用了，即是电各向异性介质。
（2）因为，即，又，故三者组成右手系；此外，因为，故三者共面，但不平行于。
显然，与之间的夹角也就是与之间的夹角。
15.试证明在不同介质分界面上电磁波反射和折射时能量守恒。
［证明］设平面波的入射角、反射角和折射角分别为，分界面的面积为，其中为介质的法矢。
（1）入射到面积的功率为注意到一般介质，所以（2）反射波、折射波的功率之和为将电场矢量分解为垂直于和平行于入射面分量的叠加，即，，则由电场矢量垂直于、平行于入射面情况的菲涅耳公式得利用折射定律，即得其中第一项、第三项之和可以利用三角函数化为同理，第二项、第四项之和化为综合以上得最后，比较（1）式、（2）式的结果，可得，即入射波的功率等于反射波的功率与折射波的功率之和。
进一步表明反射波能量与折射波能量之和等于入射波的能量，即在不同介质分界面上电磁波发生反射和折射时遵守能量守恒定律。
注释：（1）本题结果，即可以借助于反射系数R和折射系数T进行表示。
反射系数和折射系数的定义为因为所以即(2)电磁波在介质界面上发生反射和折射，其反射率和折射率的定义为，它们不同于反射系数和折射系数的定义。
由于反射波与入射波在同空间，但与折射波在异空间，所以。
16.试证明导体内部透入任一体积的电磁波能量正好等于这块导体产生的焦耳热。
［证明］(1)设电磁场为：则在良导体内所以故在单位时间内由Z=0金属表面单位面积平均流入内部的电磁能量为(2)另外，金属内部的电流J引起焦耳热功率密度平均值为:故单位面积为底、Z为高的体积内，在单位时间内平均热耗能量为:其中，可见。
证毕17 .试证明良导体在高频下的电阻相当于厚度为的薄层的直流电阻［证明］取Z轴指向导体内部，由于高频趋肤效应，导体内体电流密度为: 其中为表面处的电场。
此电流分布在导体表面附近厚度的薄层内一一视为面电流分布：由此得面电流最大值平方为：而导体内平均热功率密度为：II导体表面单位面积平均热功率为：丰；1Ir l^hl将代入上式，有而良导体，所以［jf与比较，可得表面电阻。
即良导体在高频下的电阻相当于厚度为的薄层的直流电阻。
证毕第五章电磁波的辐射18.证明：如果和满足洛仑兹规范，则只要选择这样一个标函数使之满足, 则新的矢势和标势，仍然满足洛仑兹规范。
［证明］设和是满足洛仑兹规范的势函数，作规范变换则将代入之，得表明，只要满足，则和也满足洛仑兹规范条件19．证明荷质比相同的不同带电粒子构成的体系不会产生偶极辐射。
[ 证明 ]设体系有N个粒子，第个粒子的质量为，电荷为，总质量为M粒子的荷质比相同，则体系的电偶极矩、磁偶极矩分别为（1）电偶极矩在的非相对论情形，应用质心运动定理。
质心的矢径为即，则。
由于系统不受外力，则质心加速度。
将代入电偶极矩中，给出因为，所以。
由电偶极矩辐射公式可知该体系不存在电偶极矩辐射。
（2）磁偶极矩其中体系的角动量，系统不受外力时角动量守恒，即，故。
由磁偶极矩辐射公式可知该体系没有磁偶极矩辐射。
20．试证明真空中电磁场的动量公式可以用表示为[ 证明 ]另外即所以，代入得最后将上式代入得因为三个面积分的被积函数都反比于R的三次方，而S的边界面积正比于R的二次方。
因而注释：结合所证结果，给出一个应用示例：一质量为、带电为的粒子在磁场中运动, 试在稳定情况下给出带电粒子的总动量。
因为，所以；考虑到带电粒子在磁场中以速度运动，机械动量为。
给出该带电为粒子在外磁场中的总动量为第六章狭义相对论21.试用相对论动量------ 能量的变换式证明：是一不变量［证明］因为，且，写成矩阵形式为22.试证明在洛仑兹变换下与为不变量［证明］由电磁场四维张量变换关系可导出电磁场的变换关系：写为更紧致的形式为式中和分别表示与相对速度平行和垂直的分量(1)因为，所以，结论得证(2)因为所以，结论得证。
注释:四维物理量列表(1)四维坐标：；(2)四维电流：；(3)四维电磁势：；(4)四维波矢：；(5)四维电磁场张力张量:(6)四维速度：；(7)四维加速度：(8)四维动量：；(9)四维力：；(10)四维力密度：。
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