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1. 设()cos,XtABtt，其中A和B为相互独立均服从(0,1)N的随机变量.
（1）证明{(),}Xtt为正态过程；
（2）求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.

2. 设{(),(,)}Xtt是均值函数为0，自相关函数(,)/2XRststst

的正态过程，证明1()()YtXt，0t，2()(),0YtXtt是相互独立的正态过程。
3. 设0{()}Wt是参数为2的维纳过程，试证明
1
()0()00tWtWttt











是参数为2的维纳过程。
4. 设{(),0}Wtt是参数为2的维纳过程，证明12()()0tWtcWtc是参数为2的维纳
过程。
5. 设{(),0}Wtt是参数为2的维纳过程，证明2()()WtWt是参数为2的维纳过程。

6. 设{(),0}Wtt是参数为2的维纳过程，证明3,0()()()0tWtWtaWaa是参数
为2的维纳过程
7. 设{(),0}Wtt是参数为2的维纳过程，令
2
3

1
()0()00tWtWttt











（1）,0Wtt是否为正态过程；

（2）,0Wtt是否为维纳过程。
8. 设{(),0}Xtt是具有零均值和协方差(,)Cst的正态过程，则对于任意的非负数,st和，
证明：

（1）2[()](,)()EXtCttDt；

（2）222[()]2(,)2()DXtCttDt；
2

（3）222cov((),())2(,)XsXtCst；
（4）[()()](,)EXtXtCtt；
（5）2[()()](,)(,)(,)DXtXtCttCttCtt；
（6）cov[()(),()()](,)(,)(,)(,)XsXsXtXtCstCstCstCst
9. 设{(),0}Wtt是参数24的维纳过程，令
(3)(1),(4)(2).XWWYWW
求：()DXY和cov(,).XY

10. 设0{()}Wt是为参数为2的Wiener过程，求下列过程的均值函数和自相关函数。

1）1()()()0XtWtaWta
2）2()()()XtWtaWa 0a
3）3()(1)()1tXttWt 01t
4）24()()XtWt
5）52()()(0)tXtaWaa
6）26()(1)(0)atatXteWea
11. 设{()}Xt为平稳独立增量过程. (0)0X，~(0,1)VN，()Xt，V相互独立.
()()YtXtV
.
求{()}Yt的相关函数、协方差函数.

12. 设1{(),0}Ntt是参数为1的Poisson过程，2{(),0}Ntt是参数为2的Poisson过程，
二者相互独立，设
1212
()()(),()()()XtNtNtYtNtNt

（1）证明{(),0}Xtt是参数为12的Poisson过程；
（2）证明{(),0}Ytt不是Poisson过程.
13. 设1{(),0}Ntt和2{(),0}Ntt是两个参数分别为1和2的独立的Poisson过程。试判断

12
{()(),0}NtNtt
是否为复合Poisson过程？
3

14. 设()Nt表示某发射源在[0,)t内发射的粒子数，{(),0}Ntt是平均率为的Poisson过程.
若每一个发射的粒子都以概率p的可能被记录. 且一粒子的记录不仅独立于其他粒子
的记录，也独立于()Nt. 若以()Mt表示在[0,)t内被记录的粒子数. 证明{(),0}Mtt是
一平均率为p的Poisson过程.
15. 设{(),0}Xtt是复合的Poisson过程，
()1(),0,Nt
n
nXtYt




试证明{(),0}Xtt是平稳的独立增量过程。

16. 假设[0,)t内顾客到达商场的人数{(),0}Ntt是平均率为的Poisson过程，且每一个到
达商场的顾客是男性还是女性的概率分别为p和q. (1)pq设1()Nt和2()Nt分别为

[0,)t
内到达商场的男女顾客数. 求1()Nt和2()Nt的分布. 并证明它们相互独立.
17. 设{(),0}Ntt是参数为的Poisson过程，分别求：
（1）[()()]ENsNts；
（2）0st时，{()|()}PNskNtn；
（3）{()|()}PNtsjNsi.

18. 设1{(),0}Ntt是参数为1的Poisson过程，2{(),0}Ntt是参数为2的Poisson过程，
二者相互独立，对0kn，证明下列成立.

（1）121121212{()|()()}knkknPNtkNtNtnC
（2）111212[()|()()].nENtNtNtn
19. 设到达电影院的观众组成强度为的Poisson流，如果电影院在t时刻开演，求在[0,]t到
达电影院的观众等待时间总和的均值。
20. 某子商店上午8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，从8时开始顾
客平均到达率为5人/h，11时到达率为20人/h，从11时至下午1时到达率不变，从下
午1时至5时顾客率线性下降，到下午5时顾客到达率为12人/h，设在不同时间间隔
内到达的顾客数相互独立，求上午8时至9时无顾客的概率，以及该时间段的平均顾客
数。