高中数学 1.2.1、2课后练习同步导学 新人教A版选修11
高中数学 3.2课后练习同步导学 新人教A版选修11
高中数学 3.2课后练习同步导学 新人教A 版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1解析： 因为y ′＝x －2－x x －22＝－2x －22，则曲线在点(1，－1)处的切线的斜率k ＝－21－22＝－2，所以所求切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选D.答案： D2．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析： 因为f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋1， 所以f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2， 所以ln x 0＝1，即x 0＝e. 答案： B3．若函数f (x )＝exx在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值等于( )A ．0B ．1 C.12D ．不存在解析： 由于f (x )＝e xx ，∴f (x 0)＝e x 0x 0，又f ′(x )＝e x ·x －e x x2＝exx －1x 2， ∴f ′(x 0)＝e x 0x 0－1x 20，依题意知f (x 0)＋f ′(x 0)＝0， 所以e x 0x 0＋e x 0x 0－1x 2＝0，∴2x 0－1＝0，得x 0＝12，故选C.答案： C4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析： 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，直线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564.当x 0＝32时，直线方程为y ＝274x －274.由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，得a ＝________，b ＝________.解析： (0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1， 又y ′＝2x ＋a ，y ′|x ＝0＝a ＝1. 答案： 1 16．函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析： f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，f ′(x )＝3x 2＋2x －1，f ′(1)＝3＋2－1＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)7．曲线y ＝x (1－ax )2(a ＞0)，且y ′|x ＝2＝5，求实数a 的值． 解析： ∵y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x (1－2ax ＋a 2x 2)′＝(1－ax )2＋x (－2a ＋2a 2x )， ∴y ′|x ＝2＝(1－2a )2＋2(－2a ＋4a 2)＝5，即3a 2－2a －1＝0. ∵a ＞0，∴a ＝1.8．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． 解析： (1)∵y ′＝2x ＋1，直线l 1的方程为y ＝3x －3. 设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2切于点A (a ，a 2＋a －2)， 则l 2的方程为y ＝(2a ＋1)x －a 2－2， 因为l 1⊥l 2，则有2a ＋1＝－13，a ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，所以所求三角形的面积S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解析： (1)由f (x )＝x 3＋x －16，可得f ′(x )＝3x 2＋1， 所以曲线在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13， 切线方程为y ＋6＝13(x －2)， 即y ＝13x －32.(2)设切点为P (x 0，y 0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，直线l的方程为y－y0＝(3x20＋1)(x－x0)，即y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又因直线l过点(0,0)，所以(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，解得x0＝－2.代入f(x)＝x3＋x－16中可得y0＝－26，斜率为3x20＋1＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。
高中数学 2章质量评估课后练习同步导学 新人教A版选修11
高中数学 2章质量评估课后练习同步导学 新人教A 版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 答案： C2．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( ) A ．22 B ．21 C ．20D ．13解析： 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26， 又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22. 答案： A3．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1解析： 双曲线x 24－y 212＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，c ＝23， ∴b 2＝4，所求方程为x 24＋y 216＝1，故选D.答案： D4．若抛物线x 2＝2py 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析： 椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D5．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3. 故k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．故选A.答案： A6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析： 由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22. 因为0<e <1，所以0<e <22.即椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.故选C. 答案： C7．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析： 点P 在抛物线上，则由抛物线定义可得点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离， 如图，点Q 在抛物线内部， 则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |， 故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得， 此时P ，Q 的纵坐标都是－1，所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.故选A. 答案： A8．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2，∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 35，2a 35，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案： C9．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析： 设圆与直线PM 、PN 分别相切于E 、F ， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |.所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的一支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2＝8，∴所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x >1)．答案： A10．设M (x 0，y 0)为拋物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为拋物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和拋物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析： ∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由拋物线的定义知|MF |＝y 0＋2，以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 的圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4＜y 0＋2，∴y 0＞2.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．解析： 由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是(10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝112．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析： 设直线方程为y －1＝k (x －2)，与双曲线方程联立得(1＋4k 2)x 2＋(－16k 2＋8k )x ＋16k 2－16k －12＝0， 设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，所以直线方程为x ＋2y －4＝0. 答案： x ＋2y －4＝013.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析： ∵△POF 2是面积为3的正三角形， ∴12c 2sin 60°＝3， ∴c 2＝4， ∴P (1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋3b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2＝2 3.答案： 2 314．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．解析： ∵x 24＋y 2k＝1表示双曲线，∴k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e 2＝4－k k ＝1－k 4.又∵e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4.∴－12<k <0. 答案： (－12,0)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．解析： 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)， 离心率e ＝45，所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2， 从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3. 所以双曲线方程为y 24－x 212＝1.16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．解析： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.17．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．解析： 设M (x ，y )、P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)． ∵M 是FQ 的中点， ∴x ＝1＋x 22，y ＝y 22.∴x 2＝2x －1，y 2＝2y ， 又Q 是OP 的中点． ∴x 2＝x 12，y 2＝y 12，∴x 1＝2x 2，y 1＝2y 2， ∴x 1＝4x －2，y 1＝4y . ∵P 在抛物线y 2＝4x 上， ∴(4y )2＝4(4x －2)，所以M 点的轨迹方程为y 2＝x －12.18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程． 解析： (1)∵F 1到直线x ＝－a 23的距离为33， ∴－3＋a 23＝33.∴a 2＝4. 而c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y11＋3，⎩⎨⎧x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1.∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1，43－3x 124＋－3y 12＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1033，y 1＝233取正值.∴l 的斜率为233－01033－3＝ 2.∴l 的方程为y ＝2(x －3)， 即2x －y －6＝0.。
新课标同步导学数学人教A选修211章整合课后练习
1章整合(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin π2＝1；④x2－4x＋4＝0.其中是命题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x，不能判断真假．答案： B2．与命题：“若a∈P，则b∉P”等价的命题是()A．若a∉P，则b∉P B．若b∉P，则a∈PC．若a∉P，则b∈P D．若b∈P，则a∉P答案： D3．对命题p：1∈{1}，命题q：1∉∅，下列说法正确的是()A．p且q为假命题B．p或q为假命题C．非p为真命题D．非q为假命题解析：∵p、q都是真命题，∴綈q为假命题．答案： D4．下列四个命题中真命题的个数为()①若x＝1，则x－1＝0；②“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题；③“等边三角形的三边相等”的逆命题；④“全等三角形的面积相等”的逆否命题．A．1 B．2C．3 D．4解析：①是真命题；②逆否命题为“若b≠0，则ab≠0”，是假命题；③“等边三角形的三边相等”改为“若p，则q”的形式为“若一个三角形为等边三角形，则这个三角形的三边相等”，其逆命题为“若一个三角形的三边相等，则这个三角形为等边三角形”，是真命题；④“全等三角形的面积相等”改为“若p，则q”的形式为“若两个三角形为全等三角形，则这两个三角形的面积相等”，其逆否命题为“若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不是全等三角形”，是真命题．答案： C5．已知命题①若a >b ，则1a <1b ，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析： 命题①是假命题，其逆命题为1a <1b ，则a >b ，是假命题．故A 、C 错误．命题②是真命题，其逆命题为假命题，逆否命题为真命题．故选D.答案： D6．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析： 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a(a >0)， ∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a .当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值． ∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，故选C. 答案： C7．“x <－1”是“x 2－1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： x 2－1>0⇒x >1或x <－1， 故x <－1⇒x 2－1>0，但x 2－1>0⇒/ x <－1， ∴“x <－1”是“x 2－1>0”的充分而不必要条件． 答案： A8．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 由a >0且b >0可得a ＋b >0，ab >0，由a ＋b >0有a ，b 至少一个为正，ab >0可得a 、b 同号， 两者同时成立，则必有a >0，b >0.故选C. 答案： C9．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1>0C ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析： 由于已知命题是全称命题，其否定应为特称命题，并且对原命题的结论进行否定，由此可知B 正确．答案： B10．对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( ) A ．－4≤k ≤0 B ．－4≤k <0 C ．－4＜k ≤0D ．－4＜k ＜0解析： 依题意，有k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0.解得－4<k ≤0.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．“若x 2＝y 2，则x ＝－y ”的逆命题是________命题，否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析： 若x 2＝y 2，则x ＝－y 的逆命题为：若x ＝－y ，则x 2＝y 2，是真命题；否命题为：若x 2≠y 2，则x ≠－y ，是真命题．答案： 真 真12．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．解析： 由a ＋b ＝0得a ＝－b ，即a ∥b ，但a ∥b 不一定有a ＝－b ，所以“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．答案： 充分不必要 13．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有________．(填序号)解析： ①中不等式x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔x ∈R . ∴对∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3成立．①是真命题．②中log 2x ＋log x 2≥2⇔(log 22x －2log 2x ＋1)log 2x≥0⇔log 2x >0或log 2x ＝1⇔x >1.∴②是真命题．③中⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0⇒1a <1b c <0⇒c a >c b ， 原命题为真命题，逆否命题为真命题，∴③是真命题． ④中p 为真命题，q 为真命题，命题p ∧綈q 是假命题．答案： ①②③14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析： 对∀x ∈R ，p (x )是真命题，就是不等式ax 2＋2x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立． (1)若a ＝0，不等式化为2x ＋1＞0，不能恒成立；(2)若⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a >1；(3)若a ＜0，不等式显然不能恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围是a ＞1. 答案： a ＞1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)写出下列命题的“若p ，则q ”形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．(1)全等三角形的对应边相等； (2)四条边相等的四边形是正方形．解析： (1)“若p ，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；是真命题．逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；是真命题． 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等；是真命题． 逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等；是真命题． (2)“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；是假命题． 逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命题． 否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；是真命题． 逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等；是假命题．16．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假：(1)p ：3是质数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解．解析： (1)p 或q ：3是质数或3是偶数； p 且q ：3是质数且3是偶数； 非p ：3不是质数．因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题． (2)p 或q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解或x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解； p 且q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解且x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解； 非p ：x ＝－2不是方程x 2＋x －2＝0的解．因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题． 17．(本小题满分12分)是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由．解析： 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1， 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－p 4， 当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p ＜0是x 2－x －2>0的充分条件．18．(本小题满分14分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增．q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．解析： ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3 ＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2. 即p ：a ≤－1或a ≥2 由不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(－a )2－4a ＜0 解得0≤a ＜4 ∴q ：0≤a ＜4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真． ∴p 与q 一真一假． ∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1或a ≥2a <0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜2，0≤a ＜4.∴a ≤－1或a ≥4或0≤a ＜2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明： 充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ， 则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立． 而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 解析： 先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1
人教A版高中数学选修新课标同步导学课后练习(1)(1)(1)
第1章 1.3.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P ＋S ＝272，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A2．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31 解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B3．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33D ．－31解析： 令x ＝0，得a 0＝1； 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D4．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 解析： 令x ＝0，y ＝1得(1＋b )n ＝243，令y ＝0，x ＝1得(1＋a )n ＝32，将选项A 、B 、C 、D 代入检验知D 正确，其余均不正确．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝2 004.答案： 2 0046．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析：x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9∴a9＝－10.答案：－10三、解答题(每小题10分，共20分)7．在(x－y)11的展开式中，求(1)通项T r＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．解析：(1)T r＋1＝(－1)r C11r x11－r y r；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－C115x6y5，T7＝C116x5y6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T6＝－C115x6y5，T7＝C116x5y6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T7＝C116x5y6；(5)项的系数最小的项为T6＝－C115x6y5；(6)二项式系数的和为C110＋C111＋C112＋…＋C1111＝211；(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.8．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和． 解析： (1)令x ＝1，y ＝1，得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为： C 90＋C 92＋…＋C 98＝28.偶数项二项式系数和为：C 91＋C 93＋…＋C 99＝28. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ， ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(1－2n )1－2－a 0－a n＝2(2n －1)－n －1＝2n ＋1－n －3， ∴2n ＋1－n －3＝29－n ，∴n ＝4.。
新课标同步导学数学人教A选修112.1.2第2课时课后练习
第2章 2.1.1 第2课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a <2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1解析： 由点A 在椭圆内部得a 24＋122<1∴－2<a < 2 故选A. 答案： A2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解析： 直线y ＝kx －k ＋1恒过定点(1,1)． 又∵129＋124<1，∴点(1,1)在椭圆x 29＋y 24＝1内部．∴直线y ＝kx －k ＋1与椭圆相交．故选B. 答案： B3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋3y ＋4＝0，得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0， 由题意得Δ＝(83b 2)2－4(a 2＋3b 2)(16b 2－a 2b 2)＝0 且a 2－b 2＝4，可得a 2＝7，∴2a ＝27.答案： C4．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6 C.9017D ．7解析： 椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4x 225＋y 29＝1得9x 2＋25(x －4)2＝225， 由弦长公式易求|AB |＝9017. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．解析： 由x 23＋y 24＝1得－2≤y ≤2，∴－2<a <2. 答案： (－2,2)6．若倾斜角为π4的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A ，B 两点，则线段AB 的中点的轨迹方程是________________．解析： 设中点坐标为(x ，y )，直线方程为y ＝x ＋b ，代入椭圆方程得5x 2＋8bx ＋4(b 2－1)＝0，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22＝－45b ，y ＝b5，得x ＋4y ＝0.由Δ>0得－5<b <5， 故－455<x <455.答案： x ＋4y ＝0⎝⎛⎭⎫－455<x <455 三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知椭圆x 22＋y 2＝1，右焦点为F ，直线l 经过点F ，与椭圆交于点A ，B ，且|AB |＝423.(1)求直线l 的方程；(2)求△OAB 的面积．解析： (1)F 为(1,0)，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2×⎝⎛⎭⎫4k 21＋2k 22－4(2k 2－2)1＋2k 2＝423∴k ＝±1，∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0. (2)S △OAB ＝12|OF |×|y 1－y 2|＝12×1×k 2[(x 1－1)－(x 2－1)]2 ＝12×1×k 2(x 1－x 2)2 ＝12×k 2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4k 21＋2k 22－4×2k 2－21＋2k 2＝12×1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫41＋22－4×01＋2＝238．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解析： (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2. 所以椭圆C 的焦距为4. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知y 1<0，y 2>0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5. 故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.尖子生题库☆☆☆9．(10分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解析： (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解为⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫85c 2＋⎝⎛⎭⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。
人教A版高中数学选修新课标同步导学第课时课后练习(1)
第1章 1.2.2 第1课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．若A m 3＝6C m 4，则m ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析： 由已知得m (m －1)(m －2) ＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4！，解得m ＝7，选C. 答案： C2．若C n ＋17－C n 7＝C n 8，则n 等于( ) A ．15 B ．14 C ．13D ．12 解析： C n ＋17－C n 7＝C n 8，即C n ＋17＝C n 7＋C n 8＝C n ＋18 ∴n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案： B 3．下列问题①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动． 其中是组合问题的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析： ①②为组合问题，③为排列问题． 答案： C4．下面四组元素，不是相同组合的是( ) A ．a ，b ，c ——b ，c ，a B ．a ，b ，c ——a ，c ，b C ．a ，c ，d ——d ，a ，c D ．a ，b ，c ——a ，b ，d答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．对所有满足1≤m ＜n ≤5的自然数m ，n ，方程x 2＋C n m y 2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．解析： ∵1≤m ＜n ≤5，∴C n m 可以是C 21，C 31，C 32，C 41，C 42，C 43，C 51，C 52，C 53，C 54，其中C 31＝C 32，C 41＝C 43，C 51＝C 54，C 52＝C 53，所以x 2＋C n m y 2＝1能表示的不同椭圆有6个．答案： 66．计算：C 105×C 50－C 100100＝________.解析： C 105×C 50－C 100100＝10×9×8×7×65×4×3×2×1×1－1＝251.答案： 251三、解答题(每小题10分，共20分)7．从5个不同元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，共有多少种不同的组合？解析： 要想列出所有组合，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标出来．如图所示．由此可得所有的组合：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，故共有10种．8．要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ (1)A ，B ，C 三人必须入选； (2)A ，B ，C 三人不能入选； (3)A ，B ，C 三人只有一人入选．解析： (1)只需再从A ，B ，C 之外的9人中选择2人，所以有方法C 92＝36(种)． (2)由于A ，B ，C 三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法C 95＝126(种)．(3)可分两步：先从A ，B ，C 三人中选出一人，有C 31种选法；再从其余的9人中选择4人，有C 94种选法．所以共有选法C 31C 94＝378(种)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)从含有甲的4n 个不同元素中取出n 个元素，试证明其中含甲的组合数恰为不含甲的组合数的13.证明： 因为含有甲的组合数为M ＝C 4n －1n －1. 不含有甲的组合数为N ＝C 4n －1n .而C4n－1n－1C4n－1n＝(4n－1)！(n－1)！(3n)！(4n－1)！n！(3n－1)！＝13.即MN＝13，所以M＝13N.。
人教A版高中数学选修新课标同步导学课后练习(2)
第2章 2.1.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析： 设P (x ，y )，∵k P A ＋k PB ＝－1， ∴y －0x －(－1)＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)．答案： B2．已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析： 由|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →，得4×[x －(－2)]2＋(y －0)2＋(4,0)·(x －2，y －0)＝0， ∴y 2＝－8x . 答案： A3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π 解析： 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |得 (x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得x 2－4x ＋y 2＝0 即(x －2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 故S ＝4π. 答案： B4．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·M B →＝0，则动点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)解析： 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )， M B →＝(1－x ，－y )．由MA →·M B →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0， 即x 2＋y 2＝1.故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析： 设点B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1.① 设线段AB 中点为M (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 0－12，即x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入①式，得 2y ＋1＝2·(2x )2＋1.即y ＝4x 2为线段AB 中点的轨迹方程． 答案： y ＝4x 26．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析： 设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧， 其半径等于1－x ，则|PC |＝1－x ＋1， 即(x ＋2)2＋y 2＝2－x ， 整理得y 2＝－8x . 答案： y 2＝－8x三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若B P →＝2P A →，且O Q →·A B →＝1.求P 点的轨迹方程．解析： 由B P →＝2P A →，P (x ，y )可得B (0,3y )，A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，∴A B →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y .∵Q 与P 关于y 轴对称， ∴Q (－x ，y )，且OQ →＝(－x ，y )．由O Q →·A B →＝1得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．8．过点P 1(1,5)作一条直线交x 轴于点A ，过点P 2(2,7)作直线P 1A 的垂线，交y 轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解析： 如图所示，设过P 2的直线方程为y －7＝k (x －2)(k ≠0)，则过P 1的直线方程为y －5＝－1k (x －1)，所以A (5k ＋1,0)，B (0，－2k ＋7)．① 设M (x ，y )，则由BM ∶MA ＝1∶2， 得⎩⎨⎧x ＝5k ＋13，y ＝－4k ＋143，②消去k ，整理得12x ＋15y －74＝0. 故点M 的轨迹方程为12x ＋15y －74＝0.③尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析： 方法一(直接法)：如图，因为Q 是OP 的中点， 所以∠OQC ＝90°.设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9， 所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(去掉原点)． 方法二(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(去掉原点)．方法三(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧x ＝x 12y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2xy 1＝2y ，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝⎛⎭⎫y －322＝9， 即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(去掉原点)．。
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高中数学 1.2.1、2课后练习同步导学新人教A版选修11
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析：若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件，故选A.
答案： A
2．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：设数列{a n}的公比为q，因为a1<a2，且a1>0，所以有a1<a1q，解得q>1，所以数列{a n}是递增数列；反之，若数列{a n}是递增数列，则公比q>1且a1>0，所以a1<a1q，即a1<a2，所以“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的充分必要条件．
答案： C
3．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2D．a3>b3
解析：A项：若a>b＋1，则必有a>b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a>b，但不能推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a>b－1，反之，由a>b－1不能推出a>b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但a>b不成立；D项：a>b是a3>b3的充要条件，综上所述答案选A.
答案： A
4．设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A 的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析：由题意得：
故D 是A 的必要不充分条件 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设集合A ＝⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
x |
x
x －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．
解析： A ＝
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x x －1<0＝{x |0<x <1}． m ∈A ⇒m ∈B ，m ∈B ⇒/ m ∈A .
∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件． 答案： 充分不必要
6．下列命题中是假命题的是________．(填序号) (1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件； (2)A ∩B ≠∅是A B 的充分条件；
(3)b 2
－4ac <0是ax 2
＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件；
(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形． 解析： (1)因x >2且y >3⇒x ＋y >5，
x ＋y >5⇒/ x >2且y >3，
故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件． (2)因A ∩B ≠∅⇒/ A B ， A
B ⇒A ∩B ≠∅.
故A ∩B ≠∅是A B 的必要不充分条件． (3)因b 2
－4ac <0ax 2
＋bx ＋c <0的解集为R ，
ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ⇒a <0且b 2－4ac <0，
故b 2
－4ac <0是ax 2
＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件． (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形． 答案： (1)(2)(3)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知p ：1
2≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范
围．
解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ⇒q 但q p . ∵p ：1
2≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.
∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤1
2
.
∴满足条件的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12. 8．在△ABC 中，求证：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充要条件是∠B ＝60°. 证明： 充分性：
在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， 又∵∠B ＝60°， ∴∠A ＋∠C ＝120°， ∴∠A ＋∠C ＝2∠B ，
∴∠A ，∠B ，∠C 成等差数列． 必要性：
∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴∠A ＋∠C ＝2∠B ， 又∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， 即3∠B ＝180°， ∴∠B ＝60°，
综上可知：∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充要条件是∠B ＝60°. 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2
＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2
－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
解析： 先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥1
3时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；
②当a ＜1
3时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．
因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥13
a 2
＋1≤3a ＋1
2a ≥2
解得1≤a ≤3.或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜1
3
a 2
＋1≤2
2a ≥3a ＋1
，
解得a ＝－1.
综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．。