6.4-数列的简单应用PPT课件
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(公开课)《数列的概念与简单表示法》课件资料30页PPT
1、 写出下列数列的一个通项公式： （1）1，－1，1，－1； （2）2，0，2，0； （3）9，99，999，9999； （4）0.9，0.99，0.999，0.9999。
答案： （1） a n 1 n 1 （2） a n 1 1 n 1
（3） a n 10 n 1 （4） a n 1 10 n
n
4 1,1,1,(- 1 ) n {(1)n}(nN*) a n (-1)n
5 1,1,1, 1 {1 n } an 1 (nN*)
数列是一种特殊函数！
x
y
1
3
2
4
2.5
5
4
6
4.5
7
n
an
1
a1
2
a2
3
a3
4
a4
5
a5
定义域是 N*(或它的 有限子集)
通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式
( 5 )数列 1 , 3 , 7 , 15 , 的一个通项公式 2 4 8 16
为 __________ ____;
( 6 )数列 0 , 1 lg 2 ,lg 3 ,lg 2 , 的一个通项公 2
式为 __________ _____ .
28
29
谢谢！
xiexie!
你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法， 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公 式也是数列的一种表示方法。
递推公式是数列所特有的表示法，它包含两 个部分，一是递推关系，一是初始条件，二 者缺一不可．
24
三基能力强化
4．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1 ＋an(n∈N*)．若a1＝1，a2＝2.则a5＝ ________.
答案： （1） a n 1 n 1 （2） a n 1 1 n 1
（3） a n 10 n 1 （4） a n 1 10 n
n
4 1,1,1,(- 1 ) n {(1)n}(nN*) a n (-1)n
5 1,1,1, 1 {1 n } an 1 (nN*)
数列是一种特殊函数！
x
y
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2.5
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n
an
1
a1
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a4
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a5
定义域是 N*(或它的 有限子集)
通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式
( 5 )数列 1 , 3 , 7 , 15 , 的一个通项公式 2 4 8 16
为 __________ ____;
( 6 )数列 0 , 1 lg 2 ,lg 3 ,lg 2 , 的一个通项公 2
式为 __________ _____ .
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谢谢！
xiexie!
你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法， 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公 式也是数列的一种表示方法。
递推公式是数列所特有的表示法，它包含两 个部分，一是递推关系，一是初始条件，二 者缺一不可．
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三基能力强化
4．已知数列{an}满足an＋2＝an＋1 ＋an(n∈N*)．若a1＝1，a2＝2.则a5＝ ________.
课件4：6.4 数列求和
若干项． ❖ (4)倒序相加法 ❖ 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的
推导过程的推广． ❖ (5)错位相减法 ❖ 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数
列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
❖ (6)并项求和法
❖ 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
活学活用 2 (2015·黑龙江哈尔滨三模)已知数列{an}的各
项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ana2n＋1，n∈N＋.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设 bn＝21Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求 Tn.
(1)证明：∵2Sn＝a2n＋an.
①
当 n＝1 时，2a1＝a21＋a1，∵a1＞0，∴a1＝1.
第六章 数 列
6.4 数列求和
考纲要求
❖ 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． ❖ 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． ❖ 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并
能用相关知识解决相应的问题．
[要点梳理] 1．求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d.
即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．
❖ 当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列， ∴a1≠2；
❖ 当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列， ❖ ∴a1＝1. ❖ ∴an＝3n－2，bn＝4n－1. ❖ (2)由(1)得 ❖ Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③ ❖ ∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41. ④ ❖ 由④－③，得
第6章 §6.4 数列中的构造问题--新高考数学新题型一轮复习课件
命题点3 an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1) 例3 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求数列{an}的通项 公式.
方法一 原递推式可化为
an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1).
①
比较系数得λ＝－4，①式即是
an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1). 则数列{an－4·3n－1}是首项为a1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列， ∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，即an＝4·3n－1－5·2n－1. 方法二 将 an＋1＝2an＋4·3n－1 的两边同除以 3n＋1，得a3nn＋＋11＝23·a3nn＋342， 令 bn＝3ann，则 bn＋1＝23bn＋94，
思维升华
(2)递推公式 an＋1＝αan＋β 的推广式 an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1， β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以 γn＋1 后得到aγnn＋＋11＝αγ·aγnn＋βγ，转化 为 bn＋1＝kbn＋βγ(k≠0,1)的形式，通过构造公比是 k 的等比数 列bn－γ1－β k求解.
思维升华
两边同时取倒数转化为an1＋1＝ps·a1n＋pr的形式，化归为 bn＋1＝ pbn＋q 型，求出a1n的表达式，再求 an.
跟踪训练 3 (1)已知函数 f(x)＝3x＋x 1，数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝ f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_a_n_＝__3_n_1－__2_(n_∈__N__*)_.
又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列， 所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2.
命题点2 an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) 例2 已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的 通项公式.
第五章数列-PPT精品.ppt
2
了解数列是自变量为正整数的一类函数．
考纲点击
基础知识梳理 聚焦考向透析 学科能力提升 微 课 助 学
基础知识梳理
梳 理 一 数列的有关概念
梳理自测1
1．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是( C)
A．an＝4n－7
B．an＝(－1)n(4n＋1)
C．an＝(－1)n(4n－1) D．an＝(－1)n＋1(4n－1)
聚焦考向透析 考 向一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分 析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征． 2．观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系 、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇 偶数列等)转换而使问题得到解决．
梳 理 一 数列的有关概念
基础知识系统化4
数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
基础知识梳理
梳 理 二 Sn与an的关系
梳理自测
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8 的值为( A)
A．15 B．16 C．49 D．64
观察数列中每项的共同特 征及随项数变化规律，写 通项公式．
聚焦考向透析 考 向 一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其各项的绝对值的排列规 律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an ＝(－1)n(6n－5)．
数列ppt课件
判断一个数列是否为混合数列；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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详细描述
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
数列ppt课件
数列的分类
有穷数列和无穷数列
• 有穷数列的项数是有限的，无穷数列的项数是无限的 。
等差数列和等比数列
• 等差数列的相邻两项之差是一个常数，等比数列的相 邻两项之比是一个常数。
有序数列和无序数列
• 有序数列是指各项按照一定的顺序排列的数列，无序 数列是指各项没有固定的顺序排列的数列。
数列的应用
在数学领域的应用
数列极限的性质
唯一性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则其极限是唯一的。
有界性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则存在正数$M$，使得当$n$
充分大时，有$|a_n| < M$。
保号性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，且当$n$充分大时，有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），则有$A >
数学分析
收敛数列在数学分析中有 着广泛的应用，如泰勒级 数、洛朗兹级数等。
THANKS
感谢观看
公式
03
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式
通项公式的推导
由等差数列的定义可知，an=a1+(n-1)d，当n=1时，a1=a1+(1-1)d，即 a1=a1+0d=a1，当n=2时，a2=a1+d=(a1+d)，当n=3时， a3=a1+2d=(a1+d)+d=a2+d,依次类推，得出通项公式an=a1+(n-1)d。
减法
如果$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$且$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$， 则有$\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n - b_n) = A - B$。
精品汇报课中职数学基础模块下册：6.4《数列的应用》ppt教学课件(两份)
二、回顾旧知
等差数列 定义 等比数列
通项公式
求和公式
三、新授：生活中的存款贷款、资产折旧、分期付款等
实际问题，都可以用等差数列和等比数列的知识解决 例1 某细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（由一个分 成两个），经过3小时后，这种细菌由一个可繁殖成多 少个？ 分析：由一个细菌开始培养，第n次分裂繁殖所得细菌数记 为 a n , 则 a n 是一个首项 a1=2 ,公比 q =2 的等比数列 解：设第n次分裂繁殖所得细菌数记为 a n , 则 a n 是一个首项 a1=2 ,公比 q =2 的等比数列。 每20分钟分裂一次,3小时共分裂9次 则 a9 29 512 所以可繁殖成 512 个。
例 2 中国人有句老话“一传十，十传百” 。若老师 将消息在一小时内传给两位同学，两位同学再用一小 时各传给两位不知道的同学，依此类推，一天时间可 传遍多少学生？ 第1次 第2次 第3次 第x次 2＝21 4＝22 8＝23
……
2x
例 2 中国人有句老话“一传十，十传百” 。若老师 将消息在一小时内传给两位同学，两位同学再用一小 时各传给两位不知道的同学，依此类推，一天时间可 传遍多少学生？
解 依题意，获知消息的学生数组成等比数列 {an } ，
∵ a 1＝2，q＝2，n＝24.
n a (1 q ) ∴S24＝ 1 1 q
2(1 224 ) 1 2
225 1
答：一天时间可传遍 225 1 个学生．
思考：
如果高一年级有1022个学生，需 要几小时传遍消息？最后一次传了 几个学生？
总利息为它们的和，
而利息税为20%,则税后的利息为 故本利和为 因此到第二年1月1日此人可从银行连本带利取回12312元。 解答数列应用题的基本步骤： 1.建立变量关系，将实际问题转化为数列模型 2.分析题意，判断数列是等差还是等比，是求