北京大学微观经济学教学导案第七章生产者均衡及其变动

第七章 生产者均衡及其变动在前两章中，我们重点分析了企业行为的基本特征和企业的生产技术，并回答了如何解决企业决策过程中能够选择什么的问题，这一章，我们接着分析生产者决策过程中的另外两个问题，即选择什么和如何选择的问题。

在给定初始条件并假定不变的情况下分析择什么和如何选择的问题，我们就会得出生产者均衡这一重要概念。

我们知道，经济生活中的内外部条件，如拥有资本量（可支成本）、价格等是经常变化的，这种变化会影响生产者的决策，即条件变化后的最优决策和原来的最优决策必然不同，换言之，经济条件的变化影响着均衡的变化。

因此本章还将分析由经济条件特别是价格变动、技术进步、成本总量变动等因素所引起的生产者均衡的变动。

第一节 等成本曲线一、成本预算X 代表生产要素组合的向量，X1和X2代表两种不同的生产要素，r 是代表生产要素价格组合的向量，r1 和 r2分别表示要素X1和X2的价格。

C 表示成本。

1.价格向量),(21r r r r =2.要素向量),(21X X X X =3.成本约束/或成本预算2211X r X r C +=二、等成本曲线 1.含义:生产者投入要素生产时，使价格向量与要素向量相匹配，保持总成本固定不变。

2.表达：（1）2211X r X r C +=（2）图示：如图7.1，各条直线都代表不同的等成本曲线。

3.生产可行集：一定的成本总量限制下，所有可能的要素组合。

如图7.1，阴影区域就是对应等成本曲线下的生产可行集。

第二节 生产者均衡一、生产中的均衡 1.含义：厂商谋求利润最大化，或产出最大化，或成本最小化，但是受制于其他条件或其他利益主体，主要提供要素的厂商、市场价格等方面的约束，各种要素交织在一起，使生产者达到最优状态，称为生产者均衡。

2.达到均衡的方法（1）提高产量：即保持成本不变，寻求最高的产量，如图，从A 点或C 点移动到B 点，就是在成本固定的前提下达到了最高的产量。

（2）产量固定，减小支出：如图，从A 点或C 点移动到D 点，就是在产量固定的前提下达到了最低的成本。

3.均衡投入生产者选择一种投入组合，在既定的产量下使成本最小化，或者在既定的成本下使产量最大化。

如图中的B 点和D 点，是等成本曲线和等产量曲线的切点，这些点都是代表对应产量下的最低成本或者对应成本下的最高产量。

二、产量最大化1.问题的提出：在生产函数Q=Q(X1, X2)、要素价格和总成本C 给定的前提下，选择要素组合（X1, X2）使产量最大化：221121,..),(.21X r X r C t s X XQ x Ma X X +=2.问题的解： 构造拉氏函数求解：Max )(),(),,(22112121X r X r C X X Q X X L --+=λλ0002211222111=--=∂∂=-∂∂=∂∂=-∂∂=∂∂X r X r C Lr X QX L r X QX L λλλ我们假设，则由以上各式可以得到：进一步可得：212121r r MP MP X QX Q==∂∂∂∂2211r MP r MP = 生产者均衡时，各要素边际产量和其自身价格的比为一定值。

3.产量最大时的要素投入函数由一阶条件，可解得均衡时X1，X2和λ的表达式，即产量最大化时的要素需求函数，也称为等成本要素需求函数：),,(),,(),,(21**21*2*221*1*1C r r C r r X X C r r X X λλ===令r 2和C 为常数，则得要素1的自价格需求函数和要素2的交叉价格需求函数：)()(1*2*21*1*1r X X r X X ==同理令r 1和C 为常数，则得要素2的自价格需求函数和要素1的交叉价格需求函数：)()(2*2*22*1*1r X X r X X ==总之，在已知要素价格和总成本的前提下，厂商就可以依据等成本要素需求函数决定要素投入组合，使得产量最大。

三、利润最大化1.问题提出：在生产技术、要素价格和产品价格给定的条件下最大化利润，利润可表示成总收益与总成本的差，厂商可以通过选择适当的产量或者投入要素使得利润达到最大，即C R Max -=π其中，π代表利润， R 代表总收益，C 代表总成本。

2.问题的分析和求解： （1）产量分析：即以产量为选择变量求解，)()()(Q C Q R Q Max Q-=π一阶条件为：MC MR dQ dCdQ dR dQ d =⇒=-⇒=00π结论是利润最大化时对应的产量，其边际成本等于边际收益。

（2）要素分析即以投入要素为选择变量求解，)(),(),(22112121,21X r X r X X Q P XX Max X X +-*=π一阶条件为：00222111=-∂∂*=∂∂=-∂*=∂r X QP X r X P X π进一步可得：2211r MP P r MP P =*=*均衡时要素的边际产量与产品价格的乘积即为要素的边际产值，它必须等于要素自身的价格，否则，利润就有增长的空间。

如果要素边际产值大于要素价格，则应该继续投入要素，降低边际产量，获取更大利润；反之，如果边际产值小于要素价格，就应该减少要素投入，增加边际产量，以获取更大利润。

3.要素需求函数由要素分析中的一阶条件，可解得要素需求函数，（区别于产量最大化下的等成本要素需求函数）：),,(),,(21*2*221*1*1P r r X X P r r X X ==类似的，在r1或r2为常数的条件下，可导得要素的自价格需求函数以及交叉价格需求函数。

4.利润函数：将要素需求函数代入目标函数，可得利润函数：)),,(),,,((),(),,(21*221*1*2*121P r r X P r r X X X P r r πππ==即在既定的生产技术，产品价格和要素价格下，厂商能够获得的最大的利润水平。

四、成本最小化 1.问题提出：在生产技术、产量和要素价格给定的前提下，对投入要素进行选择，使得成本最小，即：),(..2122112,1X X Q Q t s X r X r c Min X X =+=2.分析与求解：构造拉氏函数求解：)),((),,(21221121,,21X X Q Q X r X r X X L Min X X -++=λλλ一阶条件是：0),(0021222111=-=∂∂=∂∂-=∂∂=∂-=∂X X Q Q LX Qr X L X r X λλλ同样得到：2211r MP r MP =，即均衡时各要素的边际产量比上其自身价格为常数。

3.成本函数和条件要素需求函数由上面地一阶条件，我们可求出均衡时的要素需求函数,也称为条件要素需求函数：),,(),,(21*2*221*1*1Q r r X X Q r r X X ==类似的，在r1或r2为常数的条件下，可导得要素的自价格需求函数以及交叉价格需求函数。

将条件要素需求函数代入目标函数，就可得到成本函数：),,(),,(),,(21*2221*1121Q r r X r Q r r X r Q r r C *+*=即在既定的生产技术、要素价格和产量之下，企业所要支付的最小成本。

第三节 均衡的变动一、要素价格不变，总成本变动即成本预算约束的斜率不变，但截距变化。

如果总成本增大，则预算线向右上方移动，均衡点也向右上方移动，厂商所能获得的最高产量增加。

随着均衡点的移动，我们可以得到一条生产者的最优扩张线OE ，由扩张线上的各点对应的成本和产量又能得到成本曲线。

如图7.3。

二、要素价格变动，总成本不变 如果要素价格改变，而总成本不变，则等成本曲线的斜率将发生变化，如图7.4，假设要素1的价格减小 ，则等成本线在横轴上的截距将越来越大，均衡点也向左移动，均衡产量越来越大。

各均衡点的连线也形成一条曲线，反映了随着要素价格变动，均衡产量的变动情况。

同时，我们还可以通过各均衡点对应的要素价格和要素投入量，得到投入要素的自价格需求曲线和交叉价格需求曲线，如图7.4和7.5。

三、技术进步1.含义：能使要素价格变的低廉的技术革新，称为技术进步。

2.分类：（1）劳动的技术进步：（2）资本的技术进步：其中包括实物资本和货币资本（3）其他的技术进步：3.技术进步的度量在生产函数Q=Q(X1,X2)中，将技术因素隐含其中，技术通过作用于要素而间接的影响产量。

我们也可显式的表示技术因素，即定义生产函数为：Q=A(t)*Q(X1,X2)，其中A(t)表示技术因子，而Q(X1,X2)表示未考虑技术因素的最大产出。

其对数形式为：lnQ=lnA(t)+lnQ(X1,X2)，对此两边全微分，可得：22221111212211)()(),()()(X dX X X Q QX dX X X Q Q t A t dA X X Q dX X QdX X Qt A t dA Q dQ ∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+=显然，111X X Q QE ∂∂=为要素1的产出弹性，而222X X Q QE ∂∂=为要素2的产出弹性，因此222111)()(X dX E X dX E t A t dA Q dQ ++=，进而可得：）（222111)()(X dX E X dX E Q dQt A t dA +-=，即技术进步率等于产出增长率减去非技术要素的增长对产出增长的贡献，也就是减去所有非技术要素的增长率和它们各自的产出弹性的乘积，这样我们就得到技术进步的一个比较直观的度量方法。

第四节 多要素分析一、等成本在多种要素的情况下，厂商也可调整生产要素的组合方式，将成本固定在某一水平上。

假定要素价格向量和要素向量如下：),,,(),,,(2121n n X X X X X r r r r r ==，则多要素等成本意味着：∑==ni ii Xr C 1。

二、等成本面在n 维空间中由方程∑==ni ii Xr C 1确定的超平面。

三、生产者均衡 1.产量最大化),,,(21.n X X XX Q x Ma is.t. ∑==ni i i X r C 1构造拉氏函数求解：Max )(),,,(),,,,(12121∑=-+=ni ii n n Xr C X X X Q X X X L λλ001=-=∂∂=-∂∂=∂∂∑=ni i i ii Xi r C Lr X QX L λλ其中，i=1,2,……，n 。

我们假设，则由以上各式可得：n i r MP r X Qiii i ,,2,1, ===∂∂其中λ。

即生产者均衡时，各要素边际产量和其自身价格的比为一定值。

同时由一阶条件的n+1个方程，可解得均衡时X1，X2，……，Xn 和λ的表达式，即产量最大化时的要素需求函数，也称为等成本要素需求函数：ni C r r r X X n i i ,,2,1),,,,(21** ==其中，根据等成本要素需求函数，在已知要素价格和总成本的前提下，厂商就可以依据等成本要素需求函数决定要素投入组合，使得产量最大。