2021中考数学必刷题(456)
2021中考数学必刷题 (493)
2021中考数学必刷题493第Ⅰ卷(选择题共48分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分)1．|－15|的相反数是( )A.15B．－15C．－5 D．52．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )3．2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二.82.7万亿用科学记数法表示为( )A．0.827×1014B．82.7×1012C．8.27×1013D．8.27×10144．下列运算正确的是( )A．a2·a3＝a6B．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2C．(ab3)2＝a2b6D．5a－2a＝35．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳成绩，下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是( )A．平均数B．中位数C．众数D．方差6．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )A．90°－α B．α C．180°－α D．2α7．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝bx(b≠0)与二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象大致是( )8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x－7<5（x－1），x3≤3－x－22的解集是( )A．x＜－2 B．x≤245C．－2＜x≤245D．2＜x≤2459.如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为( )A.13πB.23πC.49πD.59π 10．下列四个函数：①y＝－2x ＋1；②y＝3x －2；③y＝－3x ；④y＝x 2＋2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的函数是( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．②④11．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是( )1 2 3 256 7 2 2 3 10… … …A ．210 B.41 C ．5 2 D.5112．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD，分别交BC ，BD 于点E ，P ，连接OE ，∠ADC＝60°，AB ＝12BC ＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝7；③S 平行四边形ABCD ＝AB·AC；④OE＝14AD ；⑤S △APO ＝312，正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷(非选择题 共102分)二、填空题(本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分)13．计算：|－3|－1＝________．14．一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两根为x 1，x 2，则x 12－4x 1＋2x 1x 2的值为________．15．三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG 中，EF ＝8 cm ，EG ＝12 cm ，∠EFG＝45°.则AB 的长为________cm .16．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC________∠DAE.(填“＞”“＝”或“＜”)17．已知：[x]表示不超过x 的最大整数．例：[3.9]＝3，[－1.8]＝－2.令关于k 的函数f(k)＝[k ＋14]－[k4](k 是正整数)．例：f(3)＝[3＋14]－[34]＝1.则f(2 019)－f(2 018)＝________． 18．如图，矩形OABC 的边AB 与x 轴交于点D ，与反比例函数y ＝k x (k＞0)在第一象限的图象交于点E ，∠AOD＝30°，点E 的纵坐标为1，△ODE 的面积是433，则k 的值是________．三、解答题(本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(本题满分8分)化简分式(a 2－3a a 2－6a ＋9＋23－a )÷a －2a 2－9，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．20．(本题满分10分)某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目(四项选一项)”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图解答下列问题：(1)本次抽样人数有________人；(2)补全条形统计图和扇形统计图；(3)该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有________人；(4)若从3名最喜欢“篮球”项目的学生和1名最喜欢“跳绳”项目的学生中随机抽取两人参加训练，用列表或画树状图的方法求所抽取的两人都最喜欢“篮球”项目的概率．21．(本题满分10分)如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？(结果保留整数．参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos 65°≈0.4，2≈1.4)22．(本题满分12分) 如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．23．(本题满分12分)在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．销售量y(千克) …34.8 32 29.6 28 …售价x(元/千克) …22.6 24 25.2 26 …(1)(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？24．(本题满分12分)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：(1)如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹，找出3个即可)；(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG ＝30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．25．(本题满分14分)如图，抛物线y＝13x2－13x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．参考答案1.B2.A3.C4.C5.D6.C7.D8.C9.C 10.C 11.B12.D13．2 14.2 15.4 2 16.＞17.1 18.3 319．解：原式＝[a（a－3）（a－3）2－2a－3]÷a－2（a＋3）（a－3）＝(aa－3－2a－3)·（a＋3）（a－3）a－2＝a－2a－3·（a＋3）（a－3）a－2＝a＋3.∵a≠－3，2，3，∴a＝4或a＝5，取a＝4，则原式＝7.20．解：(1)50(2)补全条形统计图和扇形统计图如下．(3)180(4)列表如下(用A表示最喜欢“篮球”，用B表示最喜欢“跳绳”)．A1A2A3 BA1(A1，A2) (A1，A3) (A1，B)A2(A2，A1) (A2，A3) (A2，B)A3(A3，A1) (A3，A2) (A3，B)B (B，A1) (B，A2) (B，A3)项目的结果共有6种，∴所抽取的两人都最喜欢“篮球”项目的概率P ＝612＝12.21．解：如图，作AH⊥CN 于H.在Rt △ABH 中，∵∠BAH＝45°，BH ＝10.5－2.5＝8(米)， ∴AH＝BH ＝8米．在Rt △AHC 中，tan 65°＝CHAH ，∴CH＝8tan 65°≈16.8(米)， ∴BC＝CH －BH ＝16.8－8≈9(米)．答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米． 22．(1)证明：如图，连接OC ，OD ， 则OC ＝OD.∵PD，PC 是⊙O 的切线， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°. 在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC ，OP ＝OP ， ∴Rt △ODP≌Rt △OCP， ∴∠DOP＝∠COP. ∵OD＝OC ， ∴OP⊥CD.(2)解：连接AD ，BC 如图所示，则OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝2， ∴∠ADO＝∠DAO＝50°， ∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°， ∴∠COD＝60°. ∵OD＝OC ，∴△CO D 是等边三角形． 由(1)知，∠DOP＝∠COP＝30°， 在Rt △ODP 中，OP ＝OD cos 30°＝433.23．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b. 将(22.6，34.8)，(24，32)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧22.6k ＋b ＝34.8，24k ＋b ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝80， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋80. 当x ＝23.5时，y ＝－2x ＋80＝33. 答：当天该水果的销售量为33千克． (2)根据题意得(x －20)(－2x ＋80)＝150， 解得x 1＝35，x 2＝25. ∵20≤x≤32， ∴x＝25.答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元． 24．(1)解：如图所示，点D 1，D 2，D 3，D 4任选三个点即可．(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°， ∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠ADC＝140°， ∴∠BDC＋∠ADB＝140°， ∴∠A＝∠BDC， ∴△ABD∽△BDC，∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”． (3)解：如图，过点E 作EQ⊥FG 于Q.∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∴△EFH 与△HFG 相似． ∵∠EFH＝∠HFG， ∴△FEH∽△FHG， ∴FE FH ＝FHFG， ∴FH 2＝FE·FG，∴EQ＝FE·sin 60°＝32FE.∵12FG·EQ＝23，∴12FG·32FE ＝23， ∴FG·FE＝8，∴FH 2＝FE·FG＝8，∴FH＝2 2.25．解：(1)当y ＝0时，13x 2－13x －4＝0，解得x 1＝－3，x 2＝4，∴A(－3，0)，B(4，0)， 当x ＝0时，y ＝－4， ∴C(0，－4)． (2)存在．满足条件的Q 点坐标为(522，522－4)或(1，－3)．(3)如图，过点F 作FG⊥PQ 于点G,则FG∥x 轴．由B(4，0)，C(0，－4)得△OBC 为等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝∠QFG＝45°， ∴△FQG 为等腰直角三角形， ∴FG＝QG ＝22FQ.∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG＝∠ACO. ∵∠FGP＝∠AOC＝90°， ∴△FGP∽△AOC. ∴FG OA ＝PG CO ，即FG 3＝PG 4， ∴PG＝43FG ＝43·22FQ ＝223FQ ，∴PQ＝PG ＋GQ ＝223FQ ＋22FQ ＝726FQ ，∴FQ ＝327PQ.设P(m ，13m 2－13m －4)(0＜m ＜4)，则Q(m ，m －4)，∴PQ＝m －4－(13m 2－13m －4)＝－13m 2＋43m ，∴FQ＝327(－13m 2＋43m)＝－27(m －2)2＋427.∵－27＜0， ∴QF 有最大值，∴当m ＝2时，QF 有最大值．。
2021中考数学必刷题 (375)
23．（10.00 分）2017 年 3 月 19 日上午 8 时，一年一度的重庆国际马拉松赛在南 滨路和巴滨路上正式开跑，3 万名来自世界各地的马拉松运动员沿长江母亲河畔 展示了速度与激情．某广告公司抓住这一商机自制了一款文化衫，每件成本为 20 元，调研发现这一天可以销售 150 件． （1）如果广告公司要求当天的利润不低于 2250 元，则文化衫销售单价至少为多 少元？ （2）为了扩大该广告公司的认知度，公司在比赛当天开展促销活动，使销售量 尽可能大，决定销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低 m%，则销售 量可以在 150 件的基础上增加 m 件，结果当天的销售额为 5670 元，求出 m 的值． 24．（10.00 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D 为 AC 上一点，连接 BD，过 C 点作 BD 的垂线交 BD 的延长线于点 E，连接 AE，过点 A 作 AF⊥AE 交 BD 于点 F，连接 CF． （1）若 CE=2，AE= ，求 BC 的长； （2）若点 D 为 AC 的中点，求证：CF=2CD．
2021年中考数学必刷压轴题专题：抛物线之任意角三角函数(含解析)-个人用心整理
中考数学抛物线压轴题之任意角三角函数1．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O 的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．2．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC＝20．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP＝，求M点坐标．3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P是y轴上的动点，当△CMN的面积最大时，求△MPN的周长取得最小值时点P的坐标；（3）如图2，线段AE在第一象限内交BD于点E，其中tan∠EAB＝，将抛物线向右水平移动，点A平移后的对应点为点G；将△ABD绕点B逆时针旋转，旋转后的三角形纪为△A1BD1，若射线BD1与线段AE的交点为F，连接FG．若线段FG把△ABF分成△AFG和△BFG两个三角形，是否存在点G，使得△AFG是直角三角形且△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；（2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标；（3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求点P的横坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y＝ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y＝ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE ∥CF．①若特征点C为直线y＝﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．6．如图，抛物线y＝（x﹣1）2+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连BC交对称轴于G点，且BG ＝2CG．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有两动点M、N（点M在点N的下方），且MN＝6，若四边形ACMN的周长最小，试求AN+CM的长．（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使tan∠APC＝？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x﹣3交于点E，若tan∠DPE＝，求四边形BDEP的面积．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC①当△PBC的面积最大时，y轴上是否存在点M，使四边形PMAB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；②连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．10．综合与探究：如图，已知抛物线y＝2x2+4x﹣6与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴相交于点D．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若点E为坐标平面内一点，且AE＝BE＝CE，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使tan∠ABP＝tan∠ABE？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，点A（m，n）是抛物线y＝x2上的任意一点（m＞0）．直线y＝kx+b经过点A，交y轴于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，∠ABO的平分线交x轴于点D，交AC延长线于点E，且AD⊥BE．（1）求证：AB＝AE；（2）求点D的坐标（用含m的代数式表示）并求OB的长；（3）若60°≤∠BAE＜90°，且n是整数．①直接写出满足条件的所有k的值；②当k取最大值时，在x轴上找一点P，使tan∠APB＝，直接写出此时OP的长．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣与x轴交于点A和点D（点A在点D左侧），点C和点B在y轴正半轴上，且OC＝OA，OB＝OD，将线段OB，OD分别绕点O逆时针旋转α°（0＜α＜90）得到OB′，OD′，点BD的对应点分别是B′D′，（1）点A的坐标是，点D的坐标是；（2）判断AB′与CD′的关系，并说明理由；（3）直线CD′与x轴相交于点N，当tan∠B'AN＝2时，点N的坐标是；（4）连接BD，点Q在BD上，且2BQ＝5DQ，点P是抛物线上的一点，直线PQ交x轴于点K，设△BPQ的面积为S1，△DKQ的面积为S2，当S1：S1＝15：2时，直接写出满足条件的点P的纵坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tanC＝，5OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR ∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．15．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ∥y轴交BC于Q，当线段PQ的长度最大时，在x轴上找一点M，使PM+CM的值最小，求PM+CM的最小值；（3）抛物线的顶点为点E，连接AE，在抛物线上是否存在一点N，使得直线AN与直线AE的夹角为45度，若存在请直接写出满足条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣2交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C，过C作CD∥x轴，交抛物线于点D，E（﹣2，3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一点，过点P作PF⊥CD，垂足为F，连接PE交y轴于G，求证：FG∥DE；（3）如图2，在（2）的条件下，过点F作FM⊥PE于M．若∠OFM＝45°，求P点坐标．18．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求k的值和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．②连接BN，当∠PBN＝45°时，求m的值．19．如图1，直线AD对应的函数关系式为y＝﹣2x﹣2，与抛物线交于点A（在x轴上），点D．抛物线与x 轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连结CD，过点D作x轴的垂线，垂足为点E，直线AD与y轴交点为F，若点P由点D出发以每秒1个单位的速度沿DE边向点E移动，1秒后点Q也由点D出发以每秒3个单位的速度沿DC，CO，OE边向点E移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒，当PQ⊥DF时，求t 的值；（图3为备用图）（3）如果点M是直线BC上的动点，是否存在一个点M，使△ABM中有一个角为45°？若存在，直接写出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．20．已知抛物线y＝ax2﹣4x+c的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于点B，且该抛物线经过点E（4，3），联结BD．（1）求点E关于直线BD的对称点E′的坐标：（2）联结BC，若点P在直线x＝2左侧的抛物线上，且∠PDB＝∠OBC，求点P的坐标：（3）点M在x轴负半轴上，如果∠AMB＝45°，求点M的坐标．21．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC＝20．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP＝，求M点坐标．解析：1．【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），可得a＝﹣，b＝﹣，∴y＝﹣x2﹣x+6；（2）过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，∵tan∠AED＝，∴AN＝，NE＝3，Rt△AFN∽Rt△EFO，∴，∵EF2＝OF2+4，∴NF＝3﹣EF，∴＝，∴OF＝2，∴F（﹣2，0），∴EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，∴﹣x﹣2＝﹣x2﹣x+6时，x＝，∴D（，）；（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，∴Q点的运动轨迹是线段，当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4），当P点在C点时，Q（﹣6，6），∴Q点的轨迹长为2，故答案为2．2．【解答】解：（1）如图①，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C．∴A（﹣5，0），C（5，0）．∴OC＝OA＝5．∵S△ABC＝20，∴AB＝8．∴OB＝3．∴B（3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+5经过A，B两点，∴．解得．∴抛物线解析式为：；（2）如图②，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交AC于点G设点P的横坐标为3n，则纵坐标为：．∴E（0，﹣3n2﹣2n+5），F（﹣3n，0）．∴OE＝﹣3n2﹣2n+5，OF＝﹣3n在矩形PEOF中，PE＝OF，PF＝OE，∴PE＝﹣3n，PF＝﹣3n2﹣2n+5．∵OC＝OA＝5，∴AF＝5﹣3n，∠OAC＝∠OCA＝45°．∴∠PDE＝∠DPE＝45°．∴．∵PD＝3PH，∴．∵∠DPE＝45°，∴∠GPH＝45°．∵PH⊥AC，∴PG＝﹣2n．∵∠OAC＝45°，∴AF＝GF＝5+3n，∴PF＝﹣2n+5+3n＝n+5．∵PF＝﹣3n2﹣2n+5，∴n＝﹣1或n＝0（舍）∵点P在第二象限的抛物线上．∴n＝﹣1．∴；（3）∵M（m，7+m），∴点M在直线y＝x+7上．∵n＝﹣1，∴P（﹣3，4）．∴点P也在直线y＝x+7上．①如图③，当点M在点P上方时，过点M作MN⊥PE于点N∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴N（m，4）．∴PN＝m﹣（﹣3）＝m+3，MN＝7+m﹣4＝m+3．∴∠MPN＝∠PMN＝45．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝∠MPN+∠DPE＝90°．在直角三角形PMN中，PN＝m+3，MN＝m+3，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣2．∴M（﹣2，5）；②如图④，当点M在点P下方时，过点M作MK⊥EP延长线于点K，∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴K（m，4）．∴PK＝﹣3﹣m，MK＝4﹣（7+m）＝﹣3﹣m．∴PK＝MK．∴∠MPK＝∠PMK＝45°．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝180°﹣∠MPK﹣∠DPE＝90°．在直角三角形PMK中，PK＝﹣3﹣m，MK＝﹣3﹣m，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣4．∴M（﹣4，3）．∴点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣4，3）．3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），∵对称轴为x＝＝，且C，D关于对称轴对称，∴D（，2）．令y＝0，则0＝﹣x2+x+2，∴x1＝﹣，x2＝2，∴A（﹣，0），B（2，0），设直线AD解析式y＝kx+b，．解得：k＝1，b＝，∴直线AD解析式y＝x+；（2）如图1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT设M（m，2），则T（m，m+）∵A（﹣，0），D（，2），∴AH＝DH∴∠DAH＝∠ADH＝45°＝∠CDA∵MT∥DH，KN∥CD∴∠KNT＝∠KTN＝45°＝∠CDA∴KT＝KN，MT＝MD∵MN∥BD，∴∠MND＝∠ADB且∠CDA＝∠DAB∴△ADB∽△MND，∴＝＝，∴ND＝MD．∵DT＝MD，∴NT＝MD．∵KN∥CD，∴＝＝，∴KT＝MT∴KM＝MT＝（﹣m）∴S△CMN＝CM×KM＝m×（﹣m）＝﹣m2+m∴当m＝时，S△CMN最大值．∴M（，2）．如图2 作M关于y轴对称点M1（﹣，2），由B（2，0），D（，2）得到直线BD的解析式为：y＝﹣2x+4．∵MN∥BD，∴设直线MN的解析式为：y＝﹣2x+t．把M（，2）代入求得：y＝﹣2x+3．联立方程组，解之得，即N（，），由M1（﹣，2），N（，）得到直线M1N的解析式为：y＝﹣x+．令x＝0，则y＝，即：P（0，）．（3）如图3：①当AG＝FG，∠GFB＝90°时，∵tan∠EAB＝，∴设FH＝a，则AH＝2a，设AG＝FG＝x，则GH＝2a﹣x ∵FH2+GH2＝FG2∴a2+（2a﹣x）2＝x2∴x＝a，∴GH＝a，∵FH⊥AB，GF⊥FB∴∠FBG＝∠GFH∴tan∠GFH＝tan∠FBG∴＝，∴BH＝ a∵AH+BH＝AB＝3，∴2a+a＝3，∴a＝，∵OG＝AG﹣AO∴OG＝×﹣＝，∴G（，0）．不会题意，舍去．②如图4当FG＝BG，∠AGF＝90°时，设GF＝a，则AG＝2a，BG＝a，∴AB＝AG+BG＝3a＝3，∴a＝，∴G（，0）；③如图5：当FG＝BG，∠AFG＝90°时，设GF＝a，则BG＝a，AG＝a．∴AB＝AG+BG＝a+a＝3，∴a＝，∵OG＝AG﹣AO＝a﹣＝，∴G（，0），综上所述G（，0），（，0），（，0）．4．【解答】解：（1）该二次函数的对称轴是：直线x＝﹣＝﹣1；（1分）∵当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，连接AC，BC，∵S△ABC＝AB•OC＝12，AB＝6，∵A、B关于直线x＝﹣1对称，∴A（﹣4，0），B（2，0），把B（2，0）代入y＝ax2+2ax﹣4中得：4a+4a﹣4＝0，a＝，∴二次函数的解析式为：y＝x2+x﹣4；（2分）（2）如图1，∵∠BOC＝∠AOD＝90°，且OB＝2，OC＝OA＝4，∴＝，分两种情况：①当△AOD∽△COB时，＝2，∴OD＝2，即D1（0，2）或D2（0，﹣2）；②当△AOD∽△BOC时，，∴OD＝2OA＝8，即D3（0，8）或D4（0，﹣8）；综上所述，点D的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）；（6分）（3）如图2，过D作DF⊥x轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时，由（1）得：A（﹣4，0），∵D（﹣2，1），∴AF＝2，DF＝1，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，得tan∠ADF＝＝2，延长DF交抛物线于P1，则P1就是所求，∴P1（﹣2，﹣4）；（8分）②当点P在直线AD的上方时，延长P1A至点G，使得AG＝AP1，连接DG，作GH⊥x轴于H，∴△GHA≌△P1FA，∴HA＝AF，GH＝P1F，∵A（﹣4，0），P1（﹣2，﹣4），∴G（﹣6，4），易得DG的解析式为：y＝﹣x﹣，在△ADP1中，DA＝，DP1＝5，AP1＝2，∴，∴∠DAP1＝90°，∴DA⊥GP1，∴DG＝DP1，∴∠ADG＝∠ADP1，∴tan∠ADG＝tan∠ADP1＝2，设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求，设P2（x，+x﹣4），代入DG的解析式中，﹣x﹣＝+x﹣4，解得x＝，∵P2点在第二象限，∴P2点的横坐标为x＝（舍正）（11分）综上，P点的横坐标为﹣2或．（12分）5．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y＝ax+b，解得：a＝3，b＝0，∴直线y＝3x，抛物线解析式：y＝3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b＝0，∴（ax+b）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣，x＝1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C为直线y＝﹣4x上一点，∴b＝﹣4a．∵抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴．∴点D的坐标为（2，0）．∵点F的坐标为（1，0），∴DF＝1．∵特征直线y＝ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为（0，b）．∵点C的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE＝DF＝1．∴a＝﹣1．∴特征点C的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜||＜2，解得：＜|2a|＜2，∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE＝DF，由题意可得：1+＝a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）整理得：b＝2a2﹣2a即：b＝2（a﹣）2﹣当b＝2（a﹣）2﹣时，当﹣1＜a＜﹣，可得．当＜a＜1时，可得﹣≤b＜0综上所述：或﹣≤b＜0．6．【解答】解：（1）如图，设抛物线的对称轴交x轴于点D，则DG∥OC，∵BG＝2CG，∴BD：OB＝BG：CG＝2，∴BD＝2OD，∴B点的横坐标是3．将B（3，0）代入y＝（x﹣1）2+m，得4+m＝0，解得m＝﹣4．∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，将点C（0，﹣3）向上平移6个单位得C′（0，3），连BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位得点M，则AN+CM最小．∵CC′∥MN，CC′＝MN＝6，∴CC′NM是平行四边形，∴C′N＝CM．∵A、B两点关于MN对称，∴BN＝AN，∴AN+CM＝BN+C′N＝BC′．∵B（3，0），C′（0，3），∴BC′＝＝3，即四边形ACMN的周长最小时，AN+CM的长为3；（3）如图，在x轴正半轴上取一点D，使OD＝9．∵tan∠ADC＝＝＝，tan∠APC＝，∴tan∠ADC＝tan∠APC，∴∠ADC＝∠APC，∴A、C、D、P四点共圆，易证∠ADC＝∠ACO，∴∠ADC+∠DAC＝∠ACO+∠DAC＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AD是直径，∠APD＝90°．设在第一象限的抛物线上存在点P（x，y），使tan∠APC＝，则x＞0，y＞0．∵AP2+PD2＝AD2，A（﹣1，0），D（9，0），∴（x+1）2+y2+（x﹣9）2+y2＝102，化简整理，得y2＝（x+1）（9﹣x），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），∴（x+1）2（x﹣3）2＝（x+1）（9﹣x），∵x＞0，∴x+1≠0，∴（x+1）（x﹣3）2＝（9﹣x），化简整理，得x3﹣x2+4x＝0，∵x（x﹣1）（x﹣4）＝0，∵x＞0，∴x＝1或4，当x＝1时，y＝﹣4＜0，不合题意舍去；当x＝4时，y＝5＞0，符合题意．故所求P点坐标为（4，5）．7．【解答】解：（1）∵直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，∴A（1，0），B（0，﹣3），∵抛物线y＝ax2+2x+c过点A（1，0），B（0，﹣3）∴，解得．∴y＝x2+2x﹣3，∴y＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）①∵B、C两点关于直线x＝﹣1对称，∴C（﹣2，﹣3），BC∥x轴∴AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝3x+b，∵C（﹣2，﹣3），∴﹣6+b＝﹣3，∴b＝3，∴直线CD的解析式为y＝3x+3∴D（0，3），②作DF⊥PE于F，则PF＝7，在Rt△DFP中，tan∠DPE＝＝＝，∴DF＝3，∴P（3，﹣4），即EP的方程为x＝3，∵点E在直线y＝3x﹣3上，∴y＝3×3﹣3＝6，∴点E（3，6），∴S四边形BDEP＝（BD+EP）•DF＝（6+10）×3＝24．8．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝，点N的横坐标为：+＝5，故点N的坐标为（5，﹣3）；（3）∵tan∠ACO＝＝tan∠FAC＝，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝，即点R的坐标为：（，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：，故直线AR的表达式为：y＝﹣x+2…②，联立①②并解得：x＝，故点F（，﹣）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）；（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝＝，则sinα＝，cosα＝；①当0≤t≤时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，则DT＝＝＝＝t，DS＝，S＝S△DST＝DT×DS＝t2；②当＜t≤时（右侧图），同理可得：S＝S梯形DGS′T′＝×DG×（GS′+DT′）＝3+（+﹣）＝t﹣；③当＜t≤时，同理可得：S＝t+；综上，S＝．9．【解答】解（1）∵直线y＝x﹣5经过点B，C，点B（5，0），C（0，﹣5），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5…①；（2）①存在．如图1，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D．设点P（m，﹣m2+6m﹣5），则点D的坐标为（m，m﹣5）∴PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m，S△PBC＝PD×OB＝×（﹣m2+5m）×5＝﹣m2+m，∵0＜m＜5，当m＝时，S△PBC取得最大值，此时点P的坐标为（，），如图1，作点P关于y轴的对称点P’，连接P’A交y轴于点M，连接MP，此时，MP+MA的值最小，∵PB，AB为定长线段，此时四边形PMAB的周长最小，点P的坐标为（，），∴点P′的坐标为（﹣，），∵抛物线y＝﹣x2+6x﹣5交x轴于A，B两点，且B（5，0），点A的坐标为（1，0），∴直线P′A的解析式为y＝﹣x+，∴点M的坐标为（0，）；②在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝，则tan∠P′BO＝2tan∠ACO＝，如图2，当点P′位于第一象限时，过点B作直线BE交抛物线于点P′、交y轴于点E，设直线BP′的表达式为：y＝﹣x+b，将点B的坐标代入上式并计算得：b＝2，故直线BP′的表达式为：y＝﹣x+2…②，联立①②并解得：x＝（不合题意值已舍去），则点P′的坐标为（，）；当点P″位于第四象限时，同理可得P″（，﹣）；故点P的坐标为（，）或（，﹣）．10．【解答】解：（1）令y＝0，得2x2+4x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x＝0，得y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣6）；（2）∵EA＝EB＝EC，∴点E在AB的垂直平分线上，同时也在AC的垂直平分线上，∵y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，∴设E（﹣1，m），如图1，连接AE，EC，过点E作EG⊥y轴于点G，则AD＝2，DE＝﹣m，EG＝1，GC＝m+6，∵EA＝EC，∴22+m2＝12+（m+6）2，解得m＝﹣，∴点E的坐标为（﹣1，﹣）；（3）抛物线上存在点P，使tang∠ABP＝tan∠ABE，①当点P在x轴下方时，如图2﹣1，连接EB，PB，PB与直线l相交于点F，在Rt△DBE中，tan∠ABE＝＝，∴tan∠ABP＝tan∠ABE＝2，∴在Rt△DBF中，＝2，∴F（﹣1，﹣4），将B（1，0），F（﹣1，﹣4）代入y＝kx+b，得，解得：k＝2，b＝﹣2，∴y BF＝2x﹣2，联立y＝2x2+4x﹣6与y BF＝2x﹣2，得2x2+4x﹣6＝2x﹣2，解得x1＝1，x2＝﹣2，∴P（﹣2，﹣6），②如图2﹣2，当点P在x轴上方时，点F关于x轴的对称点F'的坐标为（﹣1，4），将B（1，0），F'（﹣1，4）代入y＝kx+b，得解得：k＝﹣2，b＝2，∴y BF＝﹣2x+2，联立y＝2x2+4x﹣6与y BF'＝﹣2x+2，得2x2+4x﹣6＝﹣2x+2，解得x1＝1，x2＝﹣4，∴P（﹣4，10）；综上所述，在抛物线上存在点P，使tan∠ABP＝tan∠ABE，满足条件的点P的坐标为（﹣2，﹣6），（﹣4，10）．11．【解答】解：（1）∵AC⊥x轴，∴AC∥OB，∴∠E＝∠ABE＝∠OBD，∴AB＝AE；（2）在等腰三角形ABE中，∵AD⊥BE，∴D是BE的中点，∴BD＝DE，∠EDC＝∠BDO，∠ACO＝∠BOD＝90°，∴△EDC≌△BDO（AAS），∴OD＝DC，OB＝CE，点A（m，n），则：OC＝m，AC＝n，点D的坐标为（m，0）；AE＝AC+CE＝AC+OB＝n+CE＝n+OB，AB2＝（AC﹣OB）2+OC2＝m2+（n﹣OB）2，由AB2＝AE2，解得：OB＝＝1，即点B的坐标为（0，1），（3）①点B的坐标为（0，1），则直线AB的表达式为：y＝kx+1 点A时抛物线和直线的交点，则：n＝km+1，n＝m2，整理得：n2﹣2（2k2+1）n+1＝0，…当n＝0时，k无解，当n＝1时，k无解，当n＝2时，k＝，当n＝3时，k＝，…经验证只有n＝2，3时，符合题意，即：当k＝或时，n为整数，即k值为或；②连接BP交AE于点M，tan∠APB＝，则∠APB＝60°，当k＝为最大值，则∠BAE＝60°＝∠APB，MC∥OB，则△ABE为等边三角形，则：AB＝2BD＝4OB＝4，CO＝2，又∠APB＝∠APB，∴△BAM∽△BPA，∴，即：BP•BM＝AB2＝16，∵MC∥AB，∴，即：，设：OP＝S，在Rt△BOP中，1+S2＝BP2＝，解得：S＝，即：OP的长为．12．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣＝0，解得：x＝7或﹣4，∵点A在点D左侧，∴A（﹣4，0），D（7，0）故答案为：（﹣4，0），（7，0）；（2）AB'＝CD'且AB'⊥CD'，理由是：如图1，由旋转得：OD＝OD'，OB＝OB'，∠DOD'＝∠BOB'，∵OB＝OD，OA＝OC，∴OB'＝OD'，∵∠DOB＝∠AOC，∴∠COD'＝∠AOB'，∴△AOB'≌△COD'，∴AB'＝CD'，∠AB'O＝∠CD'O，延长D'C交OB'于H，交AB'于G，∵∠BOD＝∠B'OD'＝90°，∠OHC＝∠GHB'，∴∠B'GH＝∠B'OD'＝90°，∴AB'⊥CD'；（3）如图2，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∵tan∠B'AN＝2，即＝2，∴MO＝8，∴M（0，8）或（0，﹣8），易得△AOM≌△CON，∴ON＝OM，∴N（8，0）或（﹣8，0），故答案为：（8，0）或者（﹣8，0）；（4）如图3，点P在x轴上方时，过点P作PM⊥BD于M，过K作KN⊥BD于点N，过P作PI⊥x轴于点I，过Q作QH⊥PI于H，∵BQ：DQ＝5：2，可得Q（5，2），∵S△BPQ：S△KDQ＝15：2，∴＝，∴＝＝，可得PM：KN＝3：1，∵PM∥KN，∴△PMQ∽△KNQ，∴，同理得：PH：HI＝3：1，∵HI＝2，∴PH＝6，∴所以P点纵坐标为8；如图4，点P在x轴下方时，过点P作PM⊥BD于M，过K作KN⊥BD于点N，过P作PI⊥x轴于点I，过Q 作QH⊥PI，交PI的延长线于H，同理得：Q（5，2），PM：KN＝PQ：KQ＝PH：HI＝3：1，∵HI＝2，∴PI＝4，所以P点纵坐标为﹣4．综上，所以P点纵坐标为8或﹣4．13．【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），∴F的纵坐标为3，把y＝3代入y＝﹣x2+x+3得，3＝﹣x2+x+3；解得x＝0或x＝4，∴F（4，3）∴OH＝4，∵∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠EDH＝90°，∴∠OCD＝∠EDH，在△OCD和△HDE中，，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH＝OC＝3，∴OD＝4﹣3＝1；（3）①如图3，连接CE，DF，。
2021中考数学必刷题 (370)
2021中考数学必刷题370一、选择题（每小题3分，共42分）1．（3.00分）﹣的相反数是（）A．B．﹣C．﹣2D．22．（3.00分）下列计算正确的是（）A．3x2•4x2=12x4B．x3•x5=x15C．x4÷x=x4D．（x5）2=x73．（3.00分）海南已建成瓜菜基地3000000亩，成为全国人民冬季的菜篮子，数据3000000用科学记数法表示为（）A．3×106B．0.3×107C．3×107D．30×1054．（3.00分）某校对九年级6个班学生平均一周的课外阅读时间进行了统计，分别为（单位：h）：3.5，4，3.5，5，5，3.5．这组数据的众数是（）A．3B．3.5C．4D．55．（3.00分）不等式组的解集是（）A．x＜2B．0＜x＜5C．2＜x＜3D．2＜x＜56．（3.00分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．7．（3.00分）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12B．9C．12或9D．9或78．（3.00分）甲、乙、丙、丁四名选手参加200米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到第1道的概率是（）A．0B．C．D．19．（3.00分）如图，直线a平行b平行c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1=36°，则∠2等于（）A．36°B．44°C．54°D．64°10．（3.00分）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC 关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）11．（3.00分）已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（1，a）、B（3，b），则a与b的关系正确的是（）A．a=b B．a=﹣b C．a＜b D．a＞b12．（3.00分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（）A．x（20+x）=64B．x（20﹣x）=64C．x（40+x）=64D．x（40﹣x）=64 13．（3.00分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=（）A．18°B．36°C．72°D．144°14．（3.00分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D的点重合，AB′交CD于点E，若AD=3，则△AEC的面积为（）A．12B．4C．3D．6二、填空题（每小4分，共16分）15．（4.00分）分解因式：3m2﹣27=．16．（4.00分）在函数y=中，自变量x的取值范围是．17．（4.00分）如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF=NM=2，ME=3，则AN的长度为．18．（4.00分）如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为cm．三、解答题（满分62分）19．（10.00分）（1）计算：﹣（﹣2）+（﹣1）0﹣（2）解方程：．20．（8.00分）“六一”儿童节期间海南省某旅游景区的成人票和学生票均对折，李明同学一家（2个成人和1个学生）去了该景区，门票共花费200元，王玲同学一家（3个成人和2个学生）去了该景区，门票共花费320元，则夏雨同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费多少元？21．（8.00分）“3•15”前夕，为了解食品安全状况，质监部门抽查了甲、乙、丙、丁四个品牌饮料的质量，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）这次抽查了四个品牌的饮料共瓶；（2）请你在答题卡上补全两幅统计图；（3）求图1中“甲”品牌所对应的扇形圆心角的度数；（4）若四个品牌饮料的平均合格率是95%，四个品牌饮料月销售量约20万瓶，请你估计这四个品牌的不合格饮料有多少瓶？22．（8.00分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．23．（14.00分）如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．（1）求证：PA=PF；（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．24．（14.00分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共42分）1．【考点】14：相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣的相反数是，故选：A．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；49：单项式乘单项式．【分析】直接利用单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、3x2•4x2=12x4，故此选项正确；B、x3•x5=x8，故此选项错误；C、x4÷x=x3，故此选项错误；D、（x5）2=x10，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：3000000=3×106，故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．【考点】W5：众数．【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．【解答】解：在这一组数据中3.5出现了3次，次数最多，故众数是3.5．故选：B．【点评】本题考查了众数的定义，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．5．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式＞x，得：x＞2，解不等式1﹣（x﹣4）＞0，得：x＜5，则不等式组得解集为2＜x＜5，故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得第一层有2个正方形，第二层有2个正方形．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．7．【考点】K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．8．【考点】X4：概率公式．【分析】由赛场共设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵赛场共设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，∴甲抽到1号跑道的概率是：；故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．9．【考点】JA：平行线的性质．【分析】首先根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数，然后求得∠4的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．【解答】解：∵a∥b，∴∠3=∠1=36°，∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣36°=54°．∵b∥c，∴∠2=∠4=54°．故选：C．【点评】本题利用了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．10．【考点】P6：坐标与图形变化﹣对称．【分析】让点A的横坐标为原来横坐标的相反数，纵坐标不变可得所求点的坐标．【解答】解：∵A的坐标为（﹣3，2），∴A关于y轴的对应点的坐标为（3，2）．故选：B．【点评】考查图形的对称变换；用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．11．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】利用反比例函数的增减性可判断a和b的大小关系，可求得答案．【解答】解：∵k＞0，∴当x＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，∵1＜3，∴a＞b，故选：D．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数在各象限内的增减性是解题的关键．12．【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．【解答】解：设长为xcm，∵长方形的周长为40cm，∴宽为=（20﹣x）（cm），得x（20﹣x）=64．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法．13．【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据圆周角定理可知∠A=∠BOC，求出∠BOC的度数即可得出答案．【解答】解：∵OB=OC，∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=144°，由圆周角定理可知：∠A=∠BOC=72°故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，这是解本题的关键．14．【考点】LB：矩形的性质；R2：旋转的性质．【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，根据正切的概念求出CD，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【解答】解：由旋转的性质可知：AC=AC'，∵D为AC'的中点，∴AD=AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD=30°，∵AB∥CD，∴∠CAB=30°，∴∠C'AB'=∠CAB=30°，∴∠EAC=30°，∴AE=EC，∴DE=AE=CE，∴CE=2DE，CD=AD=3，∴EC=2，∴△AEC的面积=×EC×AD=3．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数，三角形面积计算等知识点，清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．二、填空题（每小4分，共16分）15．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3m2﹣27，=3（m2﹣9），=3（m2﹣32），=3（m+3）（m﹣3）．故答案为：3（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了提公因式法和平方差公式分解因式，需要进行二次分解因式，分解因式要彻底．16．【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．17．【考点】L8：菱形的性质．【分析】由△MAE∽△NAF，推出=，可得=，解方程即可解决问题．【解答】解：设AN=x，∵四边形ABCD是菱形，∴∠MAE=∠NAF，∵∠AEM=∠AFN=90°，∴△MAE∽△NAF，∴=，∴=，∴x=4，∴AN=4，故答案为4．【点评】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．18．【考点】M2：垂径定理．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AB=2AM，已知OA、OM，根据勾股定理求出AM即可．【解答】解：连接OA，∵⊙O的直径CD=20cm，∴OA=10cm，在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM==8cm，∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．故答案为：16．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．三、解答题（满分62分）19．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；B3：解分式方程．【分析】（1）先根据二次根式的性质、去括号法则、零指数幂、负整数指数幂分别求出每部分的值，再代入求出即可；（2）先把分式方程变成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）原式=3+2+1﹣3=3；（2）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：2x（x﹣1）﹣3=2（x+1）（x﹣1），解得：x=﹣，检验：当x=﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以x=﹣是原方程的解，所以原方程的解为x=﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质、去括号法则、零指数幂、负整数指数幂和解分式方程等知识点，能求出各个部分的值是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．20．【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】设成人票是x元/张，学生票是y元/张，根据“李凯同学一家（2个成人和1个学生）去了该景区，门票共花费200元，王玲同学一家（3个成人和2个学生）去了该景区，门票共花费320元”列出方程组，求得x、y的值即可．【解答】解：设成人票是x元/张，学生票是y元/张，依题意得：，解得，则x+y=120．即夏雨同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费120元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可．21．【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】（1）根据乙的瓶数40，所占比为20%，即可求出这四个品牌的总瓶数；（2）根据丁品牌饮料的瓶数70，总瓶数是200，即可求出丁所占的百分比，再用整体1减去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以总瓶数，即可得出丙的瓶数，从而补全统计图；（3）根据甲所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案；（4）用月销售量×（1﹣平均合格率）即可得到四个品牌的不合格饮料的瓶数．【解答】解：（1）四个品牌的总瓶数是：40÷20%=200（瓶）；（2）丁所占的百分比是：×100%=35%，丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，则丙的瓶数是：200×15%=30（瓶）；如图：（3）甲所对应的扇形圆心角的度数是：30%×360°=108°；（4）根据题意得：200000×（1﹣95%）=10000（瓶）．答：这四个品牌的不合格饮料有10000瓶．故答案为：200．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=30，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=30，则tanC=，∴CD==10，∴BC=30+10．故该船与B港口之间的距离CB的长为30+10海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识的应用，掌握锐角三角函数的概念、选择正确的三角函数是解题的关键．23．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）连结PC，由正方形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBP，然后依据SAS证明△APB≌△CPB，由全等三角形的性质可知PA=PC，∠PCB=∠PAB，接下来利用四边形的内角和为360°可证明∠PFC=∠PCF，于是得到PF=PC，故此可证明PF=PA．（2）连结AC交BD于点O，依据正方形的性质可知△AOB为等腰直角三角形，于是可求得AO的长，接下来，证明△APO≌△PFQ，依据全等三角形的性质可得到PQ=AO；（3）过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N，首先证明△PBN为等腰直角三角形于是得到PN+BN=PB，由角平分线的性质可得到PM=PN，然后再依据LH证明△PAM≌△PFN可得到FN=AM，PM=PN，于是将AB+BF=可转化为BN+PN的长．【解答】解：（1）证明：连结PC．∵ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP．在△APB和△CPB中，，∴△APB≌△CPB．∴PA=PC，∠PCB=∠PAB．∵∠ABF=∠APF=90°，∴∠PAB+∠PFB=180°．∵∠PFC+∠PFB=180°，∴∠PFC=∠PAB．∴∠PFC=∠PCF．∴PF=PC．∴PF=PA．（2）PQ的长不变．理由：连结AC交BD于点O，如图2．∵PF⊥AE，∴∠APO+∠FPQ=90°．∵FQ⊥BD，∴∠PFQ+∠FPQ=90°．∴∠APO=∠PFQ．又∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOP=∠PQF=90°，AO=a．在△APO和△PFQ中，，∴△APO≌△PFQ．∴PQ=AO=a．（3）如图3所示：过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．∵四边形ABCD为正方形，∴∠PBN=45°．∵PN⊥BN，∴BN=PN=BP．∴BN+PN=PB．∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM=PN．在△PAM和△PFN中，，∴△PAM≌△PFN．∴AM=FN．∵∠MBN=∠BNP=∠BMP=90°，∴MB=PN．∴AB+BF=AM+MB+BF=FN+BF+PN=BN+PN=PB．【点评】本题考查四边形的综合题、全等三角形的性质和判断、正方形的性质、角平分线的性质、特殊锐角三角函数值、矩形的判断等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．24．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】方法一：（1）利用待定系数法即可求得；（2）如答图1，四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．求出△PBC面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值；（3）如答图2，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称．连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G 为所求．分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标．方法二：（1）略．（2）由于△ABC面积为定值，因此只需△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，利用水平底与铅垂高乘积的一半可求出P点坐标．（3）因为点A，C关于直线DE对称，因此直线AM与直线DE的交点即为点G．联立AM与DE的直线方程，可求出G点坐标．【解答】方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．∴，解得，∴这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B（2，0）、C（0，2）代入得：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如答图1，连接BC．四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．设P（x，﹣x2+x+2），过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F（x，﹣x+2）．∴PF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x．S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF（x F﹣x C）+PF（x B﹣x F）=PF（x B﹣x C）=PF=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1∴S△PBC∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P（1，2）．∴当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大．（3）存在．∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE，∴=，即=，解得AE=，∴E（，0）．∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点D为AC的中点，∴D（﹣，1）．可求得直线DE的解析式为：y=﹣x+①．∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴M（，）．又A（﹣1，0），则可求得直线AM的解析式为：y=x+②．∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点A、C关于直线DE对称．如答图2，连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．联立①②式，可求得交点G的坐标为（﹣，）．∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为（﹣，）．方法二：（1）略．（2）连接BC，过点P作x轴垂线，交BC′于F，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大．∵B（2，0）、C（0，2），∴lBC：y=﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），∴F（t，﹣t+2），S△BCP=（P Y﹣F Y）（B X﹣C X）=（﹣t2+t+2+t﹣2）×2=﹣t2+2t，有最大值，即四边形ABPC的面积最大．∴当t=1时，S△BCP∴P（1，2）．（3）∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点A是点C关于直线DE对称，∴GC=GA，∴△CMG的周长最小时，M，G，A三点共线．∵抛物线y=﹣x2+x+2，∴M（，），A（﹣1，0），∴l MA：y=x+，∵A（﹣1，0），C（0，2），∴K AC==2，∵AC⊥DE，∴K AC×K DE=﹣1，K DE=﹣，∵点D为AC的中点，∴D x==﹣，D Y==1，∴D（﹣，1），∴l DE：y=﹣x+，∴⇒，∴G（﹣，）．【点评】本题是二次函数综合题，难度适中，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、相似三角形、轴对称﹣最短路线、图形面积计算、最值等知识点．。
2021中考数学必刷题 (284)
2021中考数学必刷题284一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣3的绝对值等于（）A．﹣3B．﹣C．±3D．32．（3分）“校园足球”已成为灵武市第四张名片，这一新闻获得2400000的点击率，2400000这个数用科学记数法表示，结果正确的是（）A．0.24×103B．2.4×106C．2.4×105D．24×1043．（3分）下列运算结果正确的是（）A．b3•b3=2b3B．（a5）2=a7C．（﹣ab2）3=﹣ab6D．（﹣c）4÷（﹣c）2=c2 4．（3分）下面四个几何体中，主视图与俯视图相同的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（3分）下列说法中不正确的是（）A．函数y=2（x﹣1）2﹣1的一次项系数是﹣4B．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨C．若a为实数，则|a|＜0是不可能事件D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个球除了颜色外都相同），如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n 的和是66．（3分）如图，已知点A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线CD与y轴交于点G，再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG，若反比例函数y=的图象经过点E，则k的值是（）A．33B．34C．35D．367．（3分）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，原点O是线段AB的中点，∠BAC=30°，∠ABC=90°，以点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB 的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．60°B．55°C．50°D．45°9．（3分）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，已知B（0，），∠BAO=30°，圆心P的坐标为（1，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的P′的个数是（）A．2B．3C．4D．510．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）3的算术平方根是．12．（3分）分解因式：a2b﹣b3=．13．（3分）已知关于x的分式方程=3的解是正数，那么字母m的取值范围是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将线段OP沿y轴正方向移动m（m＞0）个单位长度至O′P′，以O′P′为直角边在第一象限内作等腰直角△O′P′Q，若点Q在直线y=x上，则m的值为．15．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为．16．（3分）如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，P n（n，P n）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，A n…，连接A1P2，A2P3，…，A n﹣1P n，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点B n的纵坐标是．（结果用含n代数式表示）三、解答题（共23分）17．（5分）计算：﹣|1﹣|+3tan30°+（2018﹣π）0．18．（6分）先化简（﹣）÷，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．19．（6分）如图，平行四边形ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧，）BE∥DF（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．20．（6分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣4，2）、B（2，n）两点，且与x轴交于点C．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围．四、实践应用（共30分）21．（6分）为了调查某校学生对“校园足球”喜爱的情况，随机对该校学生进行了调查，调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“基本喜欢”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D．根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请解答下列问题：（1）扇形统计图中表示“C”的扇形的圆心角度数为度，并请补全男生的条形统计图；（2）选择“C”的男生中有2人是九年级的，选择“D”的女生中有1人是九年级的，现在要从选择“C”的男生和选择“D”的女生中各选1人来谈谈各自对“校园足球”的感想，请用画树状图或列表法求选中的两人刚好都来自九年级的概率．22．（8分）某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司5月份运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B 货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？23．（8分）如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？（参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果精确到个位）24．（8分）如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A对称点D落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折：S▱ABCD=．痕分别是线段，；S矩形AEFG（2）▱ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长；（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．五、推理论证题（共9分）25．（9分）已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O 上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AF：FC=5：3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．六、拓展探索题（共10分）26．（10分）已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【考点】15：绝对值．【分析】根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：|﹣3|=3．故选：D．【点评】此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将2400000用科学记数法表示为：2.4×106．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、b3•b3=b3+3=b6，故本选项错误；B、（a5）2=a5×2=a10，故本选项错误；C、（﹣ab2）3=﹣a3b6，故本选项错误；D、（﹣c）4÷（﹣c）2=（﹣c）4﹣2=（﹣c）2=c2，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．4．【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形进行分析．【解答】解：①正方体的主视图与俯视图都是正方形；②圆锥主视图是三角形，俯视图是圆；③球的主视图与俯视图都是圆；④圆柱主视图是矩形，俯视图是圆；故选：B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5．【考点】X3：概率的意义；H1：二次函数的定义；X1：随机事件；X4：概率公式．【分析】分别利用概率的意义以及随机事件的意义和二次函数的定义以及概率公式分别求出即可．【解答】解：A、函数y=2（x﹣1）2﹣1=2x2﹣4x+1故一次项系数是﹣4，此选项正确，不合题意；B、“明天降雨的概率是50%”表示降雨的可能性，故此选项错误，符合题意；C、若a为实数，则|a|＜0是不可能事件，此选项正确，不合题意；D、一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个球除了颜色外都相同），如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6，此选项正确，不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的意义和二次函数的定义以及概率公式等知识，正确把握相关定义是解题关键．6．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；LE：正方形的性质．【分析】作EH⊥x轴于H，求出AB的长，根据△AOB∽△BCG，求出DG的长，再根据△AOB∽△EHA，求出AE的长，得到答案．【解答】解：作EH⊥x轴于H，∵OA=1，OB=2，由勾股定理得，AB=，∵AB∥CD，∴△AOB∽△BCG，∴CG=2BC=2，∴DG=3，AE=4，∵∠AOB=∠BAD=∠EHA=90°，∴△AOB∽△EHA，∴AH=2EH，又AE=4，∴EH=4，AH=8，点E的坐标为（9，4），k=36，故选：D．【点评】本题考查的是正方形的性质和反比例函数图象上点的特征，运用相似三角形求出图中直角三角形两直角边是关系是解题的关键，解答时，要认真观察图形，找出两正方形边长之间的关系．7．【考点】KQ：勾股定理；29：实数与数轴．【分析】首先求得AB的长，然后在直角△ABC中利用三角函数即可求得AC的长，则AD=AC即可求得，然后求得OD即可．【解答】解：∵点A表示﹣1，O是AB的中点，∴OA=OB=1，∴AB=2，在直角△ABC中，AC===，∴AD=AC=，∴OD=．故选：D．【点评】本题考查了三角函数，在直角三角形中利用三角函数求得AC的长是关键．8．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．【解答】解：如图，连接OB，∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=65°﹣25°=40°．∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴直线AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣40°﹣40°=100°，∴∠CEF=∠CEO=50°．故选：C．【点评】该题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．9．【考点】MR：圆的综合题．【分析】求出函数与x轴、y轴的交点坐标，求出函数与x轴的夹角，计算出当⊙P与AB线切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围．【解答】解：如图，作⊙P′与⊙P″切AB于D、E．∵B（0，），∠BAO=30°，∴OA=OBcot30°=3．则A点坐标为（﹣3，0）；连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，则在Rt△ADP′中，AP′=2×DP′=2，同理可得，AP″=2，则P′横坐标为﹣3+2=﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4=﹣5，∴P横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜﹣1，∴横坐标为整数的点P坐标为（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）．故选：B．【点评】本题考查圆的综合题，熟悉一次函数的性质和切线的性质是解题的关键．10．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣=﹣2，∴b=4a，ab＞0，∴b﹣4a=0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，∴②⑤正确，∵当x=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，∴③正确，故正确的有②③④⑤．故选：C．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．二、填空题（每小题3分，共18分）11．【考点】22：算术平方根．【分析】根据开平方的意义，可得算术平方根．【解答】解：3的算术平方根是，故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．12．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b），故答案为：b（a+b）（a﹣b）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．【分析】先分式方程求解，然后令x＞0且x+1≠0即可求出m的范围【解答】解：2x﹣m=3x+3∴2x﹣3x=m+3∴x=﹣m﹣3∵x＞0，且x+1≠0，∴x＞0∴﹣m﹣3＞0∴m＜﹣3故答案为：m＜﹣3【点评】本题考查分式方程的解法，涉及不等式的解法，属于基础题型．14．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】以O′P′为直角边在第一象限内作等腰直角△O′P′Q，需要分两种情况进行讨论，先根据等腰直角三角形的性质，判定全等三角形，再根据全等三角形的性质，得出对应边相等，最后根据线段的和差关系以及平移的方向，得出平移的距离即可．【解答】解：①如图所示，当△O′P′Q为等腰直角三角形时，过点P'作P'A⊥y轴于A，过Q作QB⊥y轴于B，则∠O'AP'=90°=∠QBO'，∠P'O'Q=90°，∴∠AO'P'+∠BO'Q=90°=∠O'QB+∠BO'Q，∴∠AO'P'=∠O'QB，又∵O'P'=QO'，∴△O'AP'≌△QBO'，∴AP'=BO'，AO'=BQ，∵点P的坐标为（1，2），∴由平移可得，AP'=1，AO'=2，∴BO'=1，当点Q在直线y=x上时，BQ=2=BO，此时OO'=BO'+BO=1+2=3，即平移的距离m为3；②如图所示，过点P'作x轴的平行线交y轴于C，过点Q作y轴的平行线，交直线CP'于点D，过点Q作QE⊥y轴于E，同理可得，△O'CP'≌△P'DQ，∴CE=DQ=CP'=1，DP'=CO'=2，∴CD=EQ=1+2=3=OE，EO'=CO'﹣CE=2﹣1=1，∴OO'=OE﹣O'E=3﹣1=2，即平移的距离m为2，故答案为：2或3．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及平移的性质，解决问题的关键是根据图形进行分类讨论，运用全等三角形的对应边相等进行计算求解．15．【考点】M8：点与圆的位置关系；KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB===10，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE=AB=5．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME=AD=2．∴在△CEM中，5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．∴最大值为7，故答案为：7．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．16．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G2：反比例函数的图象；L5：平行四边形的性质．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点B n的纵坐标是：y n+1+y n=+=．【解答】解：∵点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数的图象上，∴y1=3，y2=；∴P1A1=y1=3；又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，∴P1A1=B1P2=3，P1A1∥B1P2，∴点B1的纵坐标是：y2+y1=+3，即点B1的纵坐标是；同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y2=1+=；点B3的纵坐标是：y4+y3=+1=；…点B n的纵坐标是：y n+1+y n=+=；故答案是：．【点评】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点B n的纵坐标y n+1+y n．三、解答题（共23分）17．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简各数得出答案．【解答】解：原式=﹣4﹣+1+3×+1=﹣2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法进行计算，最后代入求出即可．【解答】解：（﹣）÷=•=，∵a≠±1，∴当a=时，原式==2．【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．19．【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）通过全等三角形△BEC≌△DFA的对应边相等推知BE=DF，则结合已知条件证得结论；（2）连接BD，再根据矩形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAF=∠BCE．又∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA．在△BEC与△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE=DF．又∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形；（2）连接BD，BD与AC相交于点O，如图：∵AB⊥AC，AB=4，BC=2，∴AC=6，∴AO=3，∴Rt△BAO中，BO=5，∵四边形BEDF是矩形，∴OE=OB=5，∴点E在OA的延长线上，且AE=2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．20．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y=，再求出B的坐标是（2，﹣4），利用待定系数法求一次函数的解析式；=×2×4+×2×2=6；（2）把△AOB的面积分成两个部分求解S△AOB（3）当一次函数的值＜反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围﹣4＜x＜0或x＞2．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，因为经过A（﹣4，2），∴k=﹣8，∴反比例函数的解析式为y=．因为B（2，n）在y=上，∴n==﹣4，∴B的坐标是（2，﹣4）把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y=ax+b，得，解得：，∴y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2中，当y=0时，x=﹣2；∴直线y=﹣x﹣2和x轴交点是C（﹣2，0），∴OC=2=×2×4+×2×2=6；∴S△AOB（3）﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．四、实践应用（共30分）21．【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】（1）先利用B等级的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再利用D等级所占的百分比计算D等级的人数，则可得到D等级中男生人数，接着用调查的总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，则可计算出C等级中男生人数，然后用×360°得到C等级的扇形的圆心角度数；最后补全条形统计图；（2）C组的男生有4人，用C3表示九年级的，D组的女生有3人，用D3表示九年级的，画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两人都来自九年级的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总人数=（4+2）÷15%=40，所以D等级的人数=40×10%=4，D等级中男生人数为4﹣3=1，所以C等级的人数=40﹣18﹣6﹣4=12，所以C等级中男生人数=12﹣8=4，C等级所占的百分比=×100%=30%，C等级的扇形的圆心角度数=360°×30%=108°；条形统计图为：故答案为108；（2）C组的男生有4人，用C3表示九年级的，D组的女生有3人，用D3表示九年级的，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两人都来自九年级的结果数为2，所以P（两人都来自九年级）==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，根据题意可得到一个关于x的不等式组，解方程组求解即可；（2）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，依题意得：，解之得：．答：物流公司月运输A种货物100吨，B种货物150吨．（2）设A种货物为a吨，则B种货物为（330﹣a）吨，依题意得：a≤（330﹣a）×2，解得：a≤220，设获得的利润为W元，则W=70a+40（330﹣a）=30a+13200，根据一次函数的性质，可知W随着a的增大而增大当W取最大值时a=220，即W=19800元．所以该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．23．【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】（1）Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；（2）延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，tanA=，∴AB====55（cm）；（2）延长FE交DG于点I．则DI=DG﹣FH=100﹣72=28（cm）．在Rt△DEI中，sin∠DEI===，∴∠DEI=69°，∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°，∴此时β不是符合科学要求的100°．【点评】此题综合性比较强，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到几何图形中来考虑，就能迎刃而解．24．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得出△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，得出S=S▱ABCD，即可得出答案；矩形AEFG（2）由矩形的性质和勾股定理求出FH，即可得出答案；（3）折法1中，由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，由叠合正方形的性质得出BM=FM=4，由勾股定理得出GM=CM==3，得出AD=BG=BM﹣GM=1，BC=BM+CM=7；折法2中，由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MC=CN，求出GH=CD=5，由叠合正方形的性质得出EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，由勾股定理求出FM=BM==3，设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，由梯形ABCD的面积得出BC=﹣x，求出MC=BC﹣BM=﹣x﹣3，由MN=MC得出方程，解方程求出AD=，BC=；折法3中，由折叠的性质、正方形的性质、勾股定理即可求出BC、AD的长．【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，=S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2；∴S矩形AEFG故答案为：AE，GF，1：2；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，∴FH==13，由折叠的性质得：AD=FH=13；（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：①折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM=FM=4，∴GM=CM===3，∴AD=BG=BM﹣GM=1，BC=BM+CM=7；②折法2中，如图5所示：由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，∴GH=CD=5，∵四边形EMHG是叠合正方形，∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，∵∠B=90°，∴FM=BM==3，设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25，∴AD+BC=，∴BC=﹣x，∴MC=BC﹣BM=﹣x﹣3，∵MN=MC，∴3+x=﹣x﹣3，解得：x=，∴AD=，BC=﹣=；③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，则E、G分别为AB、CD的中点，则AH=AE=BE=BF=4，CG=CD=5，正方形的边长EF=GF=4，GM=FM=4，CM==3，∴BC=BF+FM+CM=11，FN=CF=7，DH=NH=8﹣7=1，∴AD=5．【点评】本题是四边形综合题目，考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度．五、推理论证题（共9分）25．【考点】MD：切线的判定；KF：角平分线的性质；M5：圆周角定理．【分析】（1）连接OD，只要证明∠ODE=90°即可．（2）连接BF，根据圆周角定理及平行线性质不难求得AB的长．【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切，证明：如图，连接OD，∵AD平分∠FAE，∴∠CAD=∠DAE．∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAE．∴∠CAD=∠ODA．∴OD∥AC．∵EC⊥AC，∴OD⊥EC．∴CE是⊙O的切线．（2）如图，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．∵∠C=90°，∴∠AFB=∠C．∴BF∥EC．∴AF：AC=AB：AE．∵AF：FC=5：3，AE=16，∴5：8=AB：16．∴AB=10．【点评】本题利用了角的平分线的性质，等边对等角，平行线的判定和性质，切线的概念，直径对的圆周角是直角求解．六、拓展探索题（共10分）26．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；（2）设M的坐标为（x，y），由△ACM与△ABC的面积相等可得到|y|=3，将y=3或y=﹣3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而得到点M的坐标；（3）先利用配方法求得点D的坐标，当∠DNA=90°时，DN⊥OA，可得到点N的坐标，从而得到AN=2，然后再求得AD的长；当∠N′DA=90°时，依据sin∠DN′A=sin ∠ADN可求得AN′的长，从而可得到N′的坐标．【解答】解：（1）将x=0代入AB的解析式得：y=3，∴B（0，3）．将y=0代入AB的解析式得：﹣x+3=0，解得x=3，A（3，0）．将点A和点B的坐标代入得：，解得：b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）设M的坐标为（x，y）．∵△ACM与△ABC的面积相等，∴AC•|y|=AC•OB．∴|y|=OB=3．当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或x=2，∴M（2，3）、（0、3）．当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=1+或x=1﹣．∴M（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．综上所述点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．①当∠DNA=90°时，如图所示：∵∠DNA=90°时，∴DN⊥OA．又∵D（1，4）∴N（1，0）．∴AN=2．∵DN=4，AN=2，∴AD=2．②当∠N′DA=90°时，则∠DN′A=∠NDA．∴=，即=，解得：AN′=10．∵A（3，0），∴N′（﹣7，0）．综上所述点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，求得点A和点B的坐标是解答问题（1）的关键，求得点M的纵坐标是解答问题（2）的关键，求得AN′的长是解答问题（3）的关键．。
【2021中考数学冲刺】勾股定理综合必刷题含答案
2021年九年级中考数学二轮复习勾股定理综合必刷题1．已知点A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3）．（1）求A，B两点之间的距离；（2）求点C到x轴的距离；（3）求三角形ABC的面积；（4）观察线段AB与x轴的关系，若点D是线段AB上一点（不与A，B重合），则点D 的坐标有什么特点？2．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC＝2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．3．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A （2）已知S△ABC运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．4．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A 方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．5．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC 于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD＝x，DF＝y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．7．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．10．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）填空：∠ACB＝度；（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点A）时，试求出的值；（3）若AB＝8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D 运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长．11．在△ABC中，∠ABC＝90°，D为平面内一动点，AD＝a，AC＝b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE．（1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE；（2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；（3）若∠BAC＝α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为（用含α的式子表示）．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB ＝13，BC ＝10，求AF 的长度； （2）如图2，若AF ＝BC ，求证：BF 2+EF 2＝AE 2．13．（1）如图（1），分别以Rt △ABC 三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，写出S 1，S 2，S 3之间关系．（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt △ABC 三边为边向外作正三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，确定它们的关系并证明．14．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝3cm ，AB ＝6m ，点P 在线段AC 上以1cm /s 的速度由点C 向点A 运动，同时，点Q 在线段AB 上以2cm /s 的速度由点A 向点B 运动，设运动时间为t （s ）．（1）当t ＝1时，判断△APQ 的形状，并说明理由；（2）当t 为何值时，△APQ 与△CQP 全等？请写出证明过程．15．在△ABC中，AB＝13，BC＝14．（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD＝5，则△ABC的面积为；（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH 的垂线，垂足为E，F，设BH＝x，AE＝m，CF＝n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n 的最大值和最小值．参考答案1．解：（1）∵点A（﹣2，3），B（4，3），∴AB＝＝6；（2）∵点C坐标为（﹣1，﹣3），∴点C到x轴的距离为|﹣3|＝3；（3）过C作CD⊥AB，∵A（﹣2，3），B（4，3），C（4，3），∴CD＝|﹣2﹣4|＝6，AB＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，＝AB•CD＝×6×6＝18；∴S△ABC（4）∵A（﹣2，3），B（4，3），∴AB∥x轴，∵点D在线段AB上，∴点D横坐标的范围是﹣2＜x＜4，纵坐标为3．2．（1）如图1，证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD与△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；（2）连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD＝DE，∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，∴BD＝5；（3）如图，过B作BF⊥BD，且BF＝AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，∴AB＝EF，设∠AEF＝x，∠AED＝y，则∠FED＝x+y，∠BAE＝180°﹣x，∠EAD＝∠AED＝y，∠BAC＝2∠ADB＝180°﹣2y，∠CAD＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE﹣∠EAD＝360°﹣（180°﹣2y）﹣（180°﹣x）﹣y＝x+y，∴∠FED＝∠CAD，在△ACD和△EFD中，，∴△ACD≌△EFD（SAS），∴CD＝DF，而BD2+BF2＝DF2，∴CD2＝BD2+4AH2．3．（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，（2）解：S△ABC∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，∴t＝5；当DN∥BC时，AD＝AN，得：t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，∴DE＝AC＝5，当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t﹣4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t﹣4，过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：∵ED＝EA，∴DF＝AF＝AD＝3，在Rt△AEF中，EF＝4；∵BM＝t，BF＝7，∴FM＝t﹣7则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，∴t＝．综上所述，符合要求的t值为9或10或．4．解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．5．（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．6．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30，∴∠C＝30°，∵CD＝x，DF＝y．∴y＝x；（2）∵四边形AEFD为菱形，∴AD＝DF，∴y＝60﹣x∴方程组，解得x＝40，∴当x＝40时，四边形AEFD为菱形；（3）①当∠EDF＝90°，∵∠FDE＝90°，FE∥AC，∴∠EFB＝∠C＝30°，∵DF⊥BC，∴∠DEF+∠DFE＝∠EFB+∠DFE，∴∠DEF＝∠EFB＝30°，∴EF＝2DF，∴60﹣x＝2y，与y＝x，组成方程组，得解得x＝30．②当∠DEF＝90°时，在Rt△ADE中，AD＝60﹣x，∠AED＝90°﹣∠FEB＝90°﹣∠A＝30°，AE＝2AD＝120﹣2x，在Rt△EFB中，EF＝AD＝60﹣x，∠EFB＝30°，∴EB＝EF＝30﹣x，∵AE+EB＝30，∴120﹣2x+30﹣x＝30，∴x＝48．综上所述，当△DEF是直角三角形时，x的值为30或48．7．解：（1）连接OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B＝，∴OP＝3tan30°＝，在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝；（2）连接OQ，如图2，在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，∴PQ长的最大值为＝．8．解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE＝BC＝，∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32＝×5，解得：t＝，∴当时，△BCP为等腰三角形．9．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．10．解：（1）60；（3分）（2）如图（2），∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE（5分）∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∴＝1（7分）（3）如图（3），①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD ＝30°，作CH⊥BE于点H，则PQ＝2HQ，连接CQ，则CQ＝5．在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝AB＝8，则CH＝BC•sin30°＝8×＝4．在Rt△CHQ中，由勾股定理得：HQ＝，则PQ＝2HQ＝6．（9分）②如图5，当点D在线段AM的延长线上时，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：PQ＝6（11分）③如图4，当点D在线段MA的延长线上时，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠ACB＝180°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD∵∠CAM＝30°∴∠CBE＝∠CAD＝150°∴∠CBQ＝30°同理可得：PQ＝6综上，PQ的长是6．（13分）11．解：（1）如图，（2）连接BF．∵将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，∴AD∥EF，AD＝EF；AB∥FC，AB＝FC．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCF为矩形．∴AC＝BF．∵AD⊥BE，∴EF⊥BE．∵AD＝a，AC＝b，∴EF＝a，BF＝b．∴．（3）①如图，当线段BE的长度最大时，E点在BF的延长线上，∵四边形ABCF是矩形，∠BAC＝α，∴∠BFC＝α，∴∠EFC＝180°﹣α．∴∠BAD＝180°﹣α．②如图，当线段BE的长度最小时，E点在BF上，∵四边形ABCF是矩形，∠BAC＝α，∴AC＝BF，且互相平分，∴∠BAC＝∠ABF，∠BFC＝∠ACF，∵∠AOB＝∠COF，∴∠BAC＝∠ABF＝∠BFC＝∠ACF，∴∠BFC＝∠BAC＝α，∴∠BAD＝α．故答案为：180°﹣α，α．12．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，在△CHB 和△AEF 中， ∵，∴△CHB ≌△AEF （SAS ），∴AE ＝CH ，∠AEF ＝∠BHC ，∴∠CEF ＝∠CHE ，∴CE ＝CH ，∵BD ＝CD ，FD ⊥BC ，∴CF ＝BF ，∴∠CFD ＝∠BFD ＝45°，∴∠CFB ＝90°，∴EF ＝FH ，Rt △CFH 中，由勾股定理得：CF 2+FH 2＝CH 2，∴BF 2+EF 2＝AE 2．13．解：（1）S 2+S 3＝S 1，由三个四边形都是正方形则：∵S 3＝AC 2，S 2＝BC 2，S 1＝AB 2，∵三角形ABC 是直角三角形，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴S 2+S 3＝S 1．（2）∵S 3＝AC 2，S 2＝BC 2，S 1＝AB 2，∵三角形ABC 是直角三角形，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴S 2+S 3＝S 1．（3）∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，∴S2+S3＝S1．14．解：（1）△APQ是等边三角形，理由是：∵t＝1，∴AP＝3﹣1×1＝2，AQ＝2×1＝2，∴AP＝AQ，∵∠A＝60°，∴△APQ是等边三角形；（2）存在t，使△APQ和△CPQ全等．当t＝1.5s时，△APQ和△CPQ全等．理由如下：∵在Rt△ACB中，AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∠A＝60°，当t＝1.5，此时AP＝PC时，∵t＝1.5s，∴AP＝CP＝1.5cm，∵AQ＝3cm，∴AQ＝AC．又∵∠A＝60°，∴△ACQ是等边三角形，∴AQ＝CQ，在△APQ和△CPQ中，，∴△APQ≌△CPQ（SSS）；即存在时间t，使△APQ和△CPQ全等，时间t＝1.5；15．解：（1）在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∴AD＝＝＝12．∵BC＝14，∴＝＝84．故答案为：84．（2）∵S ABC＝S ABH+S，△BHC∴．∴xm+xn＝168．∴m+n＝∵AD＝12，DC＝14﹣5＝9，∴AC＝＝15．∵m+n与x成反比，∴当BH⊥AC时，m+n有最大值．∴（m+n）BH＝AC•BH．∴m+n＝AC＝15．∵m+n与x成反比，∴当BH值最大时，m+n有最小值．∴当点H与点C重合时m+n有最小值．∴m+n＝，∴m+n＝12．∴m+n的最大值为15，最小值为12．。
2021中考数学必刷题 (340)
2021中考数学必刷题340一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．1．（3分）﹣2018的绝对值的相反数是（）A．B．﹣C．2018D．﹣20182．（3分）下列运算正确的是（）A．3x﹣2=x B．（2x2）3=8x5C．x•x4=x5D．（a+b）2=a2+b23．（3分）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板如图放置，直角顶点落在直线b上，若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．30°B．35°C．45°D．55°4．（3分）中国女排超级联赛2017﹣2018赛季，上海与天津女排经过七场决战，最终年轻的天津女排通过自己的拼搏站上了最高领奖台．赛后技术统计中，本赛季超级新星李盈莹共得到804分，创造了女排联赛得分的历史记录．804这个数用科学记数法表示为（）A．8.04×102B．8.04×103C．0.84×103D．84.0×1025．（3分）下列几何体，其三视图都是全等图形的是（）A．球B．圆柱C．三棱锥D．圆锥6．（3分）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）从如图四张图片中随机抽取一张，概率为的事件是（）A．是轴对称图形B．是中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．是轴对称图形但不是中心对称图形8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（）A．100°B．110°C．115°D．120°9．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．1210．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a﹣b+c＜0；③当x＜1时，y随x增大而增大；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤若ax2+bx+c=b，则b2﹣4ac=0．其中正确的是（）A．①②③B．①④⑤C．①②④D．③④⑤二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．11．（3分）﹣=．12．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是．13．（3分）有一组数据：2，a，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的中位数是．14．（3分）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，进行如下操作：①以B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点F；②再分别以D，F为圆心，BD长为半径作弧，两弧恰好相交于AC上的点E处；③连接DE，FE．若AB=6，BC=4，那么AD=．15．（3分）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边A的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，若OA=2，则图中阴影部分的面积为．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP 与△BCP相似时，DP=．三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=+1．18．（6分）我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，胡老师一共调查了名同学，其中女生共有名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．19．（6分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）20．（7分）如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上修建两横竖通道，横竖通道的宽度比为2：1，其余部分种植花草，若通道所占面积是整个场地面积的．（1）求横、竖通道的宽各为多少？（2）若修建1m2道路需投资750元，种植1m2花草需投资250元，此次修建需投资多少钱？21．（7分）如图，已知Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，反比例函数y=经过点B．（1）求反比例函数解析式；（2）连接BD，若点P是反比例函数图象上的一点，且OP将△OBD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．22．（8分）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）若点B是EF的中点，AB=2，CB=2，求AE的长．23．（10分）“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：销售量n（株）n=﹣x+50销售单价m（元/株）当1≤x≤20时，m=当21≤x≤30时，m=10+（1）①请将表中当1≤x≤20时，m与x间关系式补充完整；②计算第几天该果苗单价为25元/株？（2）求该基地销售这种果苗30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；（3）“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？24．（11分）问题背景：如图1，△ABC为等边三角形，作AD⊥BC于点D，将∠ABC绕点B顺时针旋转30°后，BA，BC边与射线AD分别交于点E，F，求证：△BEF为等边三角形．迁移应用：如图2，△ABC为等边三角形，点P是△ABC外一点，∠BPC=60°，将∠BPC绕点P逆时针旋转60°后，PC边恰好经过点A，探究PA，PB，PC之间存在的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，将∠ABC绕点B顺时针旋转到如图所在的位置得到∠MBN，F是BM上一点，连接AF，DF，DF交BN于点E，若B，E两点恰好关于直线AF对称．（1）证明△BEF是等边三角形；（2）若DE=6，BE=2，求AF的长．25．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，连接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．1．【考点】15：绝对值；14：相反数．【分析】直接利用绝对值以及相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣2018的绝对值为：2018，故2018的相反数是：﹣2018．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值以及相反数，正确把握相关定义是解题关键．2．【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法及完全平方公式依次计算可得．【解答】解：A、3x和﹣2不是同类项，不能合并，此选项错误；B、（2x2）3=8x6，此选项错误；C、x•x4=x5，此选项计算正确；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则及完全平方公式．3．【考点】JA：平行线的性质．【分析】依据直角顶点落在直线b上，∠1=55°，即可得到∠3=90°﹣55°=35°，再根据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=35°．【解答】解：∵直角顶点落在直线b上，∠1=55°，∴∠3=90°﹣55°=35°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=35°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．4．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：804=8.04×102，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】任意方向上的视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是圆，其他的几何体的视图都有不同的．【解答】解：三棱锥，圆柱，圆锥，球中，三视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是圆，故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，本题解题的关键是看出各个图形的在任意方向上的视图．6．【考点】AA：根的判别式；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，∴，解得：k＞﹣1．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及在数轴上表示不等式的解集，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．7．【考点】X4：概率公式．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义先找出图形，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：A、∵轴对称图形有①②④，∴是轴对称图形的概率是，故本选项错误；B、∵中心对称图形有②③，∴是中心对称图形的概率是，故本选项错误；C、∵轴对称图形又是中心对称图形②，∴是轴对称图形又是中心对称图形的概率是，故本选项正确；D、∵是轴对称图形但不是中心对称图形①④，∴是轴对称图形但不是中心对称图形的概率是，故本选项错误；故选：C．【点评】此题考查了概率公式，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．8．【考点】M5：圆周角定理．【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度数．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠AED=20°，∴∠ACD=20°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，故选：B．【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．10．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；当x=﹣1时，y＞0，得到a﹣b+c＞0，结论②错误；根据抛物线的对称性得到结论③错误；将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；根据抛物线的顶点坐标为（2，b），判断⑤．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），∴抛物线过原点，结论①正确；②∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，结论②错误；③当x＜1时，y随x增大而减小，③错误；④抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，∴﹣=2，c=0，∴b=﹣4a，c=0，∴4a+b+c=0，当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；⑤∵抛物线的顶点坐标为（2，b），∴ax2+bx+c=b时，b2﹣4ac=0，⑤正确；综上所述，正确的结论有：①④⑤．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．11．【考点】78：二次根式的加减法．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解：原式=3﹣2=，故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和法则．12．【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出自变量x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．【考点】W4：中位数；W1：算术平均数．【分析】根据平均数为5，求出a的值，然后根据中位数的概念，求解即可．【解答】解：∵该组数据的平均数为5，∴，∴a=6，将这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，4，6，6，7，可得中位数为：6，故答案为：6．【点评】本题考查了中位数和算术平均数的知识，解答本题的关键是排好顺序，然后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．14．【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据尺规作图可知四边形BDEF是菱形，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由尺规作图可知：四边形BDEF是菱形，∴DE∥BC，BD=DE，∴△ADE∽△ABC∴，设AD=x，∴BD=6﹣x ，∴解得：x=3.6故答案为：3.6【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用菱形的判定与性质，本题属于中等题型．15．【考点】MO ：扇形面积的计算．【分析】先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC ，AC 的长，利用S △ABC ﹣S 扇形BOE =图中阴影部分的面积求出即可．【解答】解：连接BD ，BE ，BO ，EO ，∵B ，E 是半圆弧的三等分点，∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∴∠BAC=∠EBA=30°，∴BE ∥AD ，∵OA=2，∴AD=4，∴AB=ADcos30°=2，∴BC=AB=，∴AC===3，∴S △ABC =×BC ×AC=××3=，∵△BOE 和△ABE 同底等高，∴△BOE 和△ABE 面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S △ABC ﹣S 扇形BOE =﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE 和△ABE 面积相等是解题关键．16．【考点】S8：相似三角形的判定；LB ：矩形的性质．【分析】需要分类讨论：△APD ∽△PBC 和△PAD ∽△PBC ，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度．【解答】解：①当△APD ∽△PBC 时，=，即=，解得：PD=1，或PD=4；②当△PAD ∽△PBC 时，=，即=，解得：DP=2.5．综上所述，DP 的长度是1或4或2.5．故答案是：1或4或2.5．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．对于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）17．【考点】6D ：分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【解答】解：原式=÷[﹣]=•=，当x=+1时，原式===．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．18．【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图；X6：列表法与树状图法．【分析】（1）用特别好（A）的人数÷特别好的百分数，得出调查的学生数，根据扇形图得出“D”类别人数及女生数，再求女生总人数；（2）由女生数及总人数，得出男生数及“D”类别男生数，再求“C”类别女生数，补充条形统计图；（3）由计算可知，A类别1男2女，D类别1男1女，利用列表法求解．【解答】解：（1）调查学生数为3÷15%=20（人），“D”类别学生数为20×（1﹣25%﹣15%﹣50%）=2（人），其中男生为2﹣1=1（人），调查女生数为20﹣1﹣4﹣3﹣1=11（人），故答案为：20，11；（2）补充条形统计图如图所示；（3）根据胡老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，可以将A类与D类学生分为以下几种情况：利用图表可知所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE=BF=CH=10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC=BE﹣CE即可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在Rt△ADF中，AF=AB﹣BF=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在Rt△CDE中，DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=（70﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设竖通道的宽为xm，则横通道的宽为2xm，除通道外部分场地可拼成长（30﹣2x）m、宽（20﹣4x）m的长方形，根据长方形的面积公式结合通道所占面积是整个场地面积的，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总投资=道路面积×1m2道路造价+草地面积×种植1m2花草费用，即可求出结论．【解答】解：（1）设竖通道的宽为xm，则横通道的宽为2xm．根据题意得：（30﹣2x）（20﹣4x）=30×20×（1﹣），整理得：x2﹣20x+19=0，解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去），∴2x=2．答：横通道宽2m，竖通道宽1m．（2）30×20××750+30×20××250，=114000+112000，=226000（元）．答：此次修建需要投资226000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据总价=单价×数量，求出总投资钱数．21．【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】（1）根据线段OA、AB的长度易得点B的坐标，把点B的坐标代入函数解析式求得k的值即可；（2）由直线OP把△OBD的周长分成相等的两部分且OB=OD，知DQ=BQ，即点Q为BD的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，代入反比例函数解析式可得点P坐标．【解答】解：（1）∵OA=2，AB=1，∴B（2，1），把B（2，1）代入y=中，得k=2，∴y=；（2）设OP与BD交于点Q，∵OP将△OBD的周长分成相等的两部分，又OB=OD，OQ=OQ，∴BQ=DQ，即Q为BD的中点，∴Q（，）．设直线OP的解析式为y=kx，把Q（，）代入y=kx，得=k，∴k=3．∴直线BD的解析式为y=3x．由，得，，∴P1（，），P2（﹣，﹣）．【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据周长相等得出点Q的坐标是解题的关键．22．【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理．【分析】（1）连接BC，根据圆周角定理得到∠D=∠C，根据题意得到∠EAB=∠C，得到∠CAE=90°，根据切线的判定定理证明；（2）根据勾股定理求出AC，证明Rt△AFE∽Rt△BAC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接BC，由圆周角定理得，∠D=∠C．∵∠EAB=∠D，∴∠EAB=∠C，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠EAB+∠CAB=90°，∴∠CAE=90°，∴AE与⊙O相切；（2）∵∠ABC=90°，AB=2，CB=2，∴AC==6，由（1）知∠OAE=90°，在Rt△EAF中，∵B是F的中点，∴EF=2AB=4，∴∠BAF=∠BFA．∵∠ABC=∠EAF，∴Rt△AFE∽Rt△BAC，∴=，即=，解得，AE=4．【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．23．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）①根据图象可以求出当1≤x≤20时，m与x间关系式；②根据表格中的关系式可以解答本题；（2）根据题意和表格中的关系式可以得到该基地销售这种果苗30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；（3）根据（2）中的关系式可以求得基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱．【解答】解：（1）①设当1≤x≤20时，m与x之间的函数关系式为m=kx+b，，得，即当1≤x≤20时，m与x之间的函数关系式为m=，故答案为：m=；②当1≤x≤20时，令m=25，25=，解得，x=10，当21≤x≤30时，令m=25，则25=10+，解得，x=28，经检验x=28是原分式方程的解，答：第10天或第28天该果苗单价为25元/株；（2）分两种情况，①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+x﹣10）（﹣x+50）=﹣x2+15x+500，②当21≤x≤30时，y=（10+﹣10）（﹣x+50）=﹣420，综上，y=；（3）①当1≤x≤20时，y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+，∵a=﹣＜0，=612.5，∴当x=15时，y最大=②21≤x≤30时，由y=﹣420知，y随x的增大而减小，﹣420=580，∴当x=21时，y最大=∵580＜612.5，∴基地负责人向“精准扶贫”捐了612.5元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数关系式，利用数形结合的思想解答．24．【考点】LO：四边形综合题．【分析】问题背景：先判断出∠EBD=∠FBD=30°，进而得出∠BED=60°，即可得出结论；迁移应用：先判断出△BPG为等边三角形，进而得出BG=BP，∠PBG=60°，PB=BG，即可判断△APB≌△CBG，即可得出结论；拓展延伸：（1）利用对称即可得出结论；（2）由（1）知，△BEF是等边三角形，进而得出EF，AE=AB，即可求出DH=HE=DE=3，再判断出∠EFA=∠EFB=30°，最后用三角函数即可得出结论．【解答】解：问题背景：证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，由题意得，∠ABE=30°，∠EBF=60°，∴∠EBD=∠FBD=30°，∵BD⊥AC，∴∠BED=60°，∴△BEF为等边三角形；迁移应用：PC=PA+PB，证明：如图2，在PC上截取PD=PB，连接BD，∵∠BPC=60°，∴△BPG为等边三角形，∴BG=BP，∠PBG=60°，PB=BG，∴∠PBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=60°∴∠PBA=∠GBC，又AB=BC，∴△APB≌△CBG，∴PA=GC，∴PC=PG+CG=PB+PA，拓展延伸：（1）如图3，∵B，E两点关于直线AF对称，∴FE=FB，∵∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形；（2）由（1）知，△BEF是等边三角形，连接AE，过点A作AH⊥DE于点H，∵B，E两点关于直线AF对称，∴AE=AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴AE=AD，∴DH=HE=DE=3，∴HF=HE+EF=3+2=5，由（1）知，△BEF是等边三角形，FA⊥EB，∴∠EFA=∠EFB=30°，在Rt△AHF中，cos∠HFA==，∴AF===．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解本题的关键．25．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△BEF，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m的值为7或9；（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2，∴可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，则∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△BEF中∴△PQN≌△BEF（AAS），∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；②当BE为对角线时，∵B（5，0），E（1，8），∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，∴Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2021中考数学必刷题 (42)
数学题库42一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，满分36分．）1．（3分）|2|-的绝对值的相反数是()A．2-B．2C．3-D．32．（3分）下列计算正确的是()A．336235a a a+=B．538()x x=C．22(3)26m m m m--=--D．2(32)(32)94a a a---+=-3．（3分）我国的“嫦娥四号”于北京时间2019年1月3日10:26分，在月球背面成功软着陆，目前，通过百度搜索“嫦娥四号”可看到有相关的结果约1250000个，则数据1250000用科学记数法可表示为()A．41.2510⨯B．51.2510⨯C．60.12510⨯D．61.2510⨯4．（3分）不等式组213213232x xx++⎧->⎪⎨⎪-⎩的解集在数轴上表示正确的是() A．B．C．D．5．（3分）如图，//AB CD，BC平分ABD∠，150∠=︒，则2∠的度数是()A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒6．（3分）如图，ABC∆中，点D，E分别是AB，AC的中点，则以下结论错误的是( )A ．12DE BC =B ．ADE ∆与ABC ∆的面积之比为12C ．//DE BCD ．ADE ∆与ABC ∆的周长之比为127．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A 经过原点O ，交x 轴于点(8,0)C ，交y 轴于点(0,6)D ，点B 为x 轴下方圆弧上的一点，连接BO ，BD ，则sin OBD ∠的值为( )A ．35B ．45C ．34D ．128．（3分）已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是( )A ．33B ．93C ．183D ．3639．（3分）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为( ) A ．16040016018(120%)x x -+=+ B ．16040018(120%)x x +=+ C ．1604001601820%x x-+= D ．40040016018(120%)x x-+=+ 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10,8)-，则AEF ∆的面积为( )A ．15B ．20C ．25D ．3011．（3分）已知二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，且0)a ≠的图象如图所示，则一次函数2b y cx a =+与反比例函数aby x=在同一坐标系内的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．12．（3分）如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP AP +的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．43二、填空题（本大题共8小题，共40分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分） 13．（5分）因式分解3222x x y xy -+-=14．（5分）已知x 、y 满足关系2(2)|2|0x y -++=，求x y 的值15．（5分）若关于x 的分式方程121m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是 ． 16．（5分）若3是关于x 的方程20x x c -+=的一个根，则方程的另一个根等于 ． 17．（5分）在平面直角坐标系中，若将抛物线2(3)1y x =-++先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ． 18．（5分）如图，ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 是CD 的中点，12BD =，则DOE ∆的周长为 ．19．（5分）如图，将含60︒角的直角三角形ABC 绕顶点A 顺时针旋转45︒度后得到△AB C ''，点B 经过的路径为弧BB '．若60BAC ∠=︒，1AC =，则图中阴影部分的面积是 ．20．（5分）如图用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1个棋子，第二个图形有5个棋子，第三个图形有12个棋子，依次规律，第六个有 枚棋子．三、解答题：（本大题共6个小题，满分74分.解答时请写出必要的演推过程.）21．（10分）先化简：2344(1)11a a a a a -+-+÷++，并从0，1-，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．22．（12分）如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，过AC 的中点O 作EF AC ⊥，交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF ． （1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若3AB =，30DCF ∠=︒，求四边形AECF 的面积．（结果保留根号）23．（12分）AB 为O 直径，BC 为O 切线，切点为B ，CO 平行于弦AD ，作直线DC ． ①求证：DC 为O 切线； ②若8AD OC =，求O 半径r ．24．（12分）网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有“好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．（1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图．利用图中所提供的信息解决以下问题： ①小明一共统计了 个评价；②请将图1补充完整；③图2中“差评”所占的百分比是 ；（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率．25．（14分）某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中的日销售量y 件与销售价x 元之间满足一次函数关系．（1）请借助以下记录确定y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；x35 40 45 50 y57422712（2）若日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价x 为多少元时，才能获得最大的销售利润？26．（14分）如图1，已知平行四边形ABCD 顶点A 的坐标为(2,6)，点B 在y 轴上，且////AD BC x 轴，过B ，C ，D 三点的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,2)，点(,6)F m 是线段AD 上一动点，直线OF 交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF 的面积为S ，请求出S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）如图2，过点F 作FM x ⊥轴，垂足为M ，交直线AC 于P ，过点P 作PN y ⊥轴，垂足为N ，连接MN ，直线AC 分别交x 轴，y 轴于点H ，G ，试求线段MN 的最小值，并直接写出此时m 的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，满分36分．）【分析】根据绝对值的性质求出|2|-，再根据相反数的定义解答． 【解答】解：|2|2-=，所以，|2|-的绝对值的相反数是2-． 故选：A ．【点评】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，比较简单，熟记性质与概念是解题的关键．【分析】A 、原式合并得到结果，即可作出判断；B 、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；C 、原式利用单项式乘多项式法则计算得到结果，即可作出判断；D 、原式利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A 、原式35a =，错误；B 、原式15x =，错误；C 、原式226m m =-+，错误；D 、原式294a =-，正确，故选：D ．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【解答】解：将1250000用科学记数法表示为：61.2510⨯． 故选：D ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2132132x x ++->，得：2x <-， 解不等式32x -，得：1x ，∴不等式组的解集为2x <-，故选：B ．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【分析】先根据平行线的性质求出ABD ∠的度数，再由角平分线的定义即可得出结论． 【解答】解：//AB CD150ABC ∴∠=∠=︒，180ABD BDC ∠+∠=︒， BC 平分ABD ∠，2100ABD ABC ∴∠=∠=︒， 18080BDC ABD ∴∠=︒-∠=︒， 280BDC ∴∠=∠=︒．故选：D ．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 【分析】根据三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质定理判断即可． 【解答】解：D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，12DE BC ∴=，A 正确，不符合题意； ADE ∆与ABC ∆的面积之比为14，B 错误，符合题意； //DE BC ，C 正确，不符合题意；ADE ∆与ABC ∆的周长之比为12，D 正确，不符合题意； 故选：B ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定定理和性质定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【分析】连接CD ，根据圆周角定理可知OBD OCD ∠=∠，再由勾股定理求出CD 的长，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：连接CD ，OBD ∠与OCD ∠是同弧所对的圆周角，OBD OCD ∴∠=∠．(8,0)C ，(0,6)D ，228610CD ∴=+=， 63sin 105OD OBD CD ∴∠===． 故选：A ．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案． 【解答】解：连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ， 等边三角形的边长是23，∴高为3，∴等边三角形的面积是33， ∴正六边形的面积是：183；故选：C ．【点评】本题考查了正多边形和圆，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．【分析】设原计划每天加工x 套，则提高效率后每天加工(120%)x +套，根据共用了18天完成任务，列方程即可．【解答】解：设原计划每天加工x 套，则提高效率后每天加工(120%)x + 套， 由题意得，16040016018(120%)x x-+=+． 故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．【分析】根据折叠的性质得到AF AD =，所以在直角AOF ∆中，利用勾股定理求6OF =，然后设EC x =，则8EF DE x ==-，1064CF =-=，根据勾股定理列方程求出EC ，即可得到EF 的长，最后计算AEF ∆的面积即可．【解答】解：四边形AOCD 为矩形，D 的坐标为(10,8)-， 10AD CO ∴==，8DC AO ==，矩形沿AE 折叠，使D 落在CO 上的点F 处， 10AD AF ∴==，DE EF =，在Rt AOF ∆中，221086OF =-=， 1064FC ∴=-=，设EC x =，则8DE EF x ==-， 在Rt CEF ∆中，222EF EC FC =+， 即222(8)4x x -=+， 解得3x =， EC ∴的长为3，835DE ∴=-=，又90AFE D ∠=∠=︒，AEF ∴∆的面积115102522EF AF =⨯⨯=⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用以及折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．解题时注意方程思想的运用． 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定0ab <，由抛物线与y 轴的交点位置确定0c <，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第二、三、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．【解答】解：抛物线对称轴在y 轴右侧，0ab ∴<，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，对于一次函数2b y cx a =+，0c <，图象经过第二、四象限；02b a<，图象与y 轴的交点在x 轴下方；对于反比例函数ab y x =，0ab <，图象分布在第二、四象限． 故选：B ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当0a >时，抛物线向上开口，当0a <时，抛物线向下；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．也考查了一次函数图象与反比例函数图象．【分析】如图作CE AB '⊥于E '，交BD 于P '，连接AC 、AP '．首先证明E '与E 重合，因为A 、C 关于BD 对称，所以当P 与P '重合时，P A P E '+'的值最小，由此求出CE 即可解决问题．【解答】解：如图作CE AB '⊥于E '，交BD 于P '，连接AC 、AP '．已知菱形ABCD 的周长为16，面积为834AB BC ∴==，83AB CE '=CE ∴'=，在Rt BCE ∆'中，2BE '=，2BE EA ==，E ∴与E '重合，四边形ABCD 是菱形，BD ∴垂直平分AC ，A ∴、C 关于BD 对称，∴当P 与P '重合时，P A P E '+'的值最小，最小值为CE 的长=故选：B ．【点评】本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CE 是ABC ∆的高，学会利用对称解决最短问题．．二、填空题（本大题共8小题，共40分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）【分析】先运用提公因式法，再根据公式法因式分解即可．【解答】解：3222222(2)()x x y xy x x xy y x x y -+-=--+=--，故答案为：2()x x y --．【点评】本题主要考查了因式分解，利用提公因式法以及公式法是解决问题的关键．【分析】根据绝对值和偶次乘方为非负数，求出x 、y 的值，代入原式利用乘方的运算法则可得答案．【解答】解：2(2)|2|0x y -++=，20x ∴-=且20y +=，解得：2x =、2y =-，2(2)4x y ∴=-=．故答案为：4．【点评】本题考查了非负数的性质，解决本题的关键是熟记绝对值和偶次乘方为非负数．【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m 的取值范围．【解答】解：去分母得，12(1)m x -=-，12m x +∴=， 方程的解是非负数，10m ∴+即1m -又因为10x -≠，1x ∴≠， ∴112m +≠， 1m ∴≠，则m 的取值范围是1m -且1m ≠．故选：1m -且1m ≠．【点评】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m 的取值范围，因此也没有必要求得x 的值，求得12(1)m x -=-即可列出关于m 的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉1m ≠，这是因为忽略了10x -≠这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．【分析】设方程的另一个根为a ，根据根与系数的关系得出31a +=，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为a ， 3是关于x 的方程20x x c -+=的一个根，31a ∴+=，解得：2a =-，故答案为：2-．【点评】本题考查了根与系数的关系，能根据知识点得出31a +=是解此题的关键．【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．【解答】解：将抛物线2(3)1y x =-++先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的解析式为：2(32)13y x =-+++-．即：2(5)2y x =-+-，则平移后的抛物线的顶点坐标为：(5,2)--．故答案为：(5,2)--．【点评】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB OD =，又因为E 点是CD 的中点，可得OE 是BCD ∆的中位线，可得12OE BC =，所以易求DOE ∆的周长． 【解答】解：ABCD 的周长为36， 2()36BC CD ∴+=，则18BC CD +=．四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，12BD =，162OD OB BD ∴===． 又点E 是CD 的中点，OE ∴是BCD ∆的中位线，12DE CD =， 12OE BC ∴=， DOE ∴∆的周长11()691522OD OE DE BD BC CD =++=++=+=， 即DOE ∆的周长为15．故答案为：15．【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．【分析】图中AB C ABC ABB S S S S ''∆'=+-阴影扇形．【解答】解：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，1AC =，tan 60133BC AC ∴=︒=，2AB =，132ABC S AC BC ∆∴==．根据旋转的性质知ABC ∆≅△AB C ''，则ABC AB C S S ∆''=，AB AB ='．AB C ABC ABB S S S S ''∆'∴=+-阴影扇形22523602ππ⨯==． 答案为2π． 【点评】本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．【分析】观察各图形得到第2个图形棋子数为14+个，第3个图形棋子数为147++ 个，第4个图形14710+++个，由此可推断第6个图形棋子数为14710131651+++++=个．【解答】解：第1个图形1个棋子，第2个图形棋子数为514=+个棋子第3个图形棋子数为12147=++ 个棋子第4个图形棋子数为14710+++个棋子第5个图形棋子数为1471013++++个棋子第6个图形棋子数为14710131651+++++=个棋子故答案为51．【点评】本题考查了图形的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．三、解答题：（本大题共6个小题，满分74分.解答时请写出必要的演推过程.）【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在0，1-，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．【解答】解：2344(1)11a a a a a -+-+÷++ 23(1)(1)11(2)a a a a a --++=+- 2(2)(2)11(2)a a a a a +-+=+- 22a a +=--， 当0a =时，原式20102+=-=-． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【分析】（1）由过AC 的中点O 作EF AC ⊥，根据线段垂直平分线的性质，可得AF CF =，AE CE =，OA OC =，然后由四边形ABCD 是矩形，易证得AOF COE ∆≅∆，则可得AF CE =，继而证得结论；（2）由四边形ABCD 是矩形，易求得CD 的长，然后利用三角函数求得CF 的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：O 是AC 的中点，且EF AC ⊥，AF CF ∴=，AE CE =，OA OC =，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，AFO CEO ∴∠=∠，在AOF ∆和COE ∆中，AFO CEO AOF COE OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOF COE AAS ∴∆≅∆，AF CE ∴=，AF CF CE AE ∴===，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：四边形ABCD 是矩形，CD AB ∴==在Rt CDF ∆中，cos CD DCF CF∠=，30DCF ∠=︒， 2cos30CD CF ∴==︒， 四边形AECF 是菱形，2CE CF ∴==，∴四边形AECF 是的面积为：23EC AB =．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得AOF COE ∆≅∆是关键．【分析】①连接OD ，要证明DC 是O 的切线，只要证明90ODC ∠=︒即可．根据题意，可证OCD OCB ∆≅∆，即可得90CDO CBO ∠=∠=︒，由此可证DC 是O 的切线； ②连接BD ，OD ．先根据两角对应相等的两三角形相似证明ADB ODC ∆∆∽，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r 的值．【解答】①证明：连接OD ．OA OD =，A ADO ∴∠=∠．//AD OC ，A BOC ∴∠=∠，ADO COD ∠=∠，BOC COD ∴∠=∠．在OBC ∆与ODC ∆中，OB OD BOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBC ODC SAS ∴∆≅∆，OBC ODC ∴∠=∠，又BC 是O 的切线，90OBC ∴∠=︒，90ODC ∴∠=︒，DC ∴是O 的切线；②解：连接BD ．在ADB ∆与ODC ∆中，90A COD ADB ODC ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， ADB ODC ∴∆∆∽，::AD OD AB OC ∴=，222AD OC OD AB r r r ∴===，即228r =，故2r =．【点评】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【分析】（1）①用“中评”、“差评”的人数除以二者的百分比之和可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好评”的人数，补全条形图即可；③根据100%""⨯差评人数总人数可得； （2）可通过列表表示出甲、乙对商品评价的所有可能结果数，通过概率公式计算可得．【解答】解：（1）①小明统计的评价一共有：4020150160%+=-（个)； ②“好评”一共有15060%90⨯=（个)，补全条形图如图1:③图2中“差评”所占的百分比是：20100%13.3%150⨯=；（2）列表如下：好 中 差 好好，好 好，中 好，差 中 中，好 中，中 中，差由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评”的有5种，∴两人中至少有一个给“好评”的概率是59． 故答案为：（1）①150；③13.3%．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．【分析】（1）根据待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=单件利润⨯销售量”得到函数解析式，配方成顶点式即可得其最大值．【解答】解：（1）因日销售量y 件与销售价x 元满足一次函数，故一次函数设为：y ax b =+，由题意得：45275012a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：3162a b =-⎧⎨=⎩， 故1623y x =-为所求的函数关系式，0y ， 054x ∴．（2）依题意得：2(30)(30)(1623)3(42)432P x y x x x =-=--=--+．当42x =时，432max y =，即销售单价为42元/件时，获最大日销售利润432元．答：当销售单价x 为42元时，才能获得最大的销售利润．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．【分析】（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D ，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式．（2）根据////AD BC x 轴，且AD ，BC 间的距离为3，BC ，x 轴的距离也为3，(,6)F m ，确定出(2m E ，3)，从而求出梯形的面积． （3）方法一、先求出直线AC 解析式，然后根据FM x ⊥轴，表示出点3(,9)2P m m -+，最后根据勾股定理求出MN MN 最小值和m 的值． 方法二、由题意知，四边形NOMP 为矩形，MN OP =，所以当OP GH ⊥时，OP 最短，即为MN 最短．然后利用三角形等面积法求出OP 最小值．【解答】解：（1）过B ，C ，D 三点的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,2)， ∴点C 的横坐标为4，4BC =，四边形ABCD 为平行四边形，4AD BC ∴==，(2,6)A ，(6,6)D ∴，设抛物线解析式为2(2)2y a x =-+，点D 在此抛物线上，26(62)2a ∴=-+，14a ∴=， ∴抛物线解析式为2211(2)2344y x x x =-+=-+， （2）////AD BC x 轴，且AD ，BC 间的距离为3，BC ，x 轴的距离也为3，(,6)F m (2m E ∴，3)， 2m BE ∴=， 119()3(2)332224m S AF BE m m ∴=+⨯=-+⨯=- 点(,6)F m 是线段AD 上，26m ∴<， 即：93(26)4S m m =-< （3）方法一、抛物线解析式为2134y x x =-+，(0,3)B ∴，(4,3)C ，(2,6)A ，∴直线AC 解析式为392y x =-+， FM x ⊥轴，垂足为M ，交直线AC 于P3(,9)2P m m ∴-+，(26)m < PN m ∴=，392PM m =-+， FM x ⊥轴，垂足为M ，交直线AC 于P ，过点P 作PN y ⊥轴， 90MPN ∴∠=︒，MN ∴== 26m <，∴当5413m =时，MN =最小 方法二、抛物线解析式为2134y x x =-+， (0,3)B ∴，(4,3)C ，(2,6)A ，∴直线AC 解析式为392y x =-+， (0,9)G ∴，(6,0)H ，GH ∴=，由题意知，四边形NOMP 为矩形，MN OP ∴=，∴当OP GH ⊥时，OP 最短，即为MN 最短，1122GOH S OG OH GH OP ∆=⋅=⋅最小，96OP ∴⨯=最小，OP ∴最小，即：MN ． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，三角形面积的计算方法，勾股定理的运用，解本题的关键是确定出点D的坐标，。
2021中考数学必刷题 (420)
25．（9.00 分）如图，在矩形 OABC 中，OA=5，AB=4，点 D 为边 AB 上一点，将 △BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在 OA 边上的点 E 处，分别以 OC，OA 所 在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系． （1）求点 E 坐标及经过 O，D，C 三点的抛物线的解析式； （2）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 运动，同时 动点 Q 从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长的速度向点 C 运动，当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，DP=DQ； （3）若点 N 在（2）中的抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样 的点 M 与点 N，使得以 M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
3． 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公式．菁
优网版权 所有
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因 式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；同底数 幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．
2． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：数据 68000000 用科学记数法可表示为 6.8×107， 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
2021中考数学必刷题 (446)
正六面体一次，向上一面的数字是 2 的倍数或 3 的倍数的概率是
．
16．（3.00 分）将点（1，5）向下平移 2 个单位后，所得点的坐标为
．
17．（3.00 分）计算（3x+9）（6x+8）=
．
18．（3.00 分）对于任意不相等的两个实数 a，b．定义运算※如下：a※b= ，
如 3※2= = ，那么 8※4=
到小依次排列的是（ ）
A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
5．（3.00 分）不等式组
的整数解共有（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
6．（3.00 分）关于 x 的不等式组
的解集为 x＞1，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1 7．（3.00 分）如图，把菱形 ABCD 沿 AH 折叠，使 B 点落在 BC 上的 E 点处，若 ∠B=70°，则∠EDC 的大小为（ ）
EF=3，AF=5，那么正方形 ABCD 的面积等于
．
三、解答题（共 6 小题；共 57 分） 22．计算：（﹣ ）0﹣|﹣3|+（﹣1）2015+（ ）﹣1．