纳什均衡举例4公地悲剧
纳什均衡举例4：公地悲剧
（1）基本假设：
一个村庄有n个农民和一块公共草地．每个农民都有在草地上放牧、养羊的自由。
用g i∈{0，∞}代表第i个农民饲养的数量，
G＝∑g i，代表n个农民饲养的总数量；
V代表每只羊的平均价值,是G的函数,V＝V(G)。
公地最大可牧羊量为G mx：当G＜Gmx时，V(G)＞0；当G≥G mx时，V(G)=0。
同时，。
即平均收益和边际收益都递减。
（2）公地产权不清下的个体决策行为
在这个博弈里，每个农民的问题是选择g以最大化自己的利润。
假定购买一只羊羔的价格为c，那么，第i个农户养羊的利润函数为：
最优化的一阶条件是：
这是一个公地产权没有界定条件下，个人得益最优的一阶条件。
上述n个一阶条件定义了n个反应函数：
n个反应函数的交叉点就是纳什均衡:
将n个一阶条件相加，我们得到：
（3）公地产权清晰下的决策行为
现在假设公地由一家农户享有所有权，其最优的目标是最大化如下定义的总剩余价值：
这里，G**一是其最优的饲养量。
（4）两种情况的比较与结论
公地悲剧的例子表明，一个资源如果没有排他性产权，就会导致资源的过度使用。
像公海捕鱼、中国一些地区的小煤窑的过度发展等。
公共地悲剧的例子
q1
R(q2
,
q3 )
48
1 2
q2
1 2
q3
q2
R(q1, q3 )
48
1 2
q1
1 2
q3
q3
R(q1, q2 )
48
1 2
q1
1 2
q2
三个反应函数的交点(
q1*
,
q
* 2
,
q3*
)就是博
弈的纳什均衡，我们将
上羊的总数 Q为，
u Q(100 Q) 4Q 96Q Q2
使总得益 u 最大的养羊数 Q* 必使总得
益函数的导数为0，即：
96 2Q* 0
解之得 Q* 48 ，将 Q* 48代入总得益函数
，得 u* 2304 ，比三个农户各自独立 决定自己养羊数时三个农户得益的总和
在此博弈中，博弈方就是 n 个农户；他们各
自的策略空间就是他们可能选择的养羊数目
qi (i 1,..., n) 的集合，当各户养羊数为q i,…
qn 时, 放在公共草地上的羊的总数为，
Q q1 ... qn
根据前面的介绍，每只羊的产出应是羊的总
数 Q的减函数， V V (Q) V (q1 ... qn )
公 共 资 源 问 题 ( common resource problem)，也是一种重要的外部效 应现象
公共地悲剧的例子:
设某村庄有个农户，该村有一片大家都可自由放牧 羊群的公共草地。由于这片草地的面积有限，因此 草的数量只能让某一数量的羊吃饱，如果在此草地 上放牧的羊的实际数量超过此限度，则每只羊都无 法吃饱，从而羊的产出（毛、皮、肉的总价值）就 会减少，甚至只能勉强存活或要饿死。假设这些农 户只在夏天才到公共草地上放羊，而每年春天决定 养羊的数量，则可看作各农户在决定自己养羊的数 量时是不知道其他农户的养羊数的，即各农户养羊 数的决策是同时做出的。再假设所有农户都清楚这 片公共草地最多能养多少羊和在草地上羊的总数的 各个水平下每只羊的产出，这就构成了各农户之间 关于养羊数的博弈，并且是一个静态博弈。
纳什均衡
纳什均衡，又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。
在一个博弈过程中，无论对方的策略选择如何，当事人一方都会选择某个确定的策略，则该策略被称作支配性策略。
如果两个博弈的当事人的策略组合分别构成各自的支配性策略，那么这个组合就被定义为纳什均衡。
一个策略组合被称为纳什均衡，当每个博弈者的均衡策略都是为了达到自己期望收益的最大值，与此同时，其他所有博弈者也遵循这样的策略。
[编辑]关于纳什均衡的普遍意义和存在性定理的证明等奠定非合作博弈理论发展基础的重要成果，是约翰·纳什在普林斯顿大学攻读博士学位时完成的。
实际上，博弈论的研究起始于1944年冯·诺依曼（Von Neumann）和奥斯卡·摩根斯坦（Oscar Morgenstern）合著的《博弈论和经济行为》。
然而却是纳什首先用严密的数学语言和简明的文字准确地定义了纳什均衡这个概念，并在包含“混合策略（mixed strategies）”的情况下，证明了纳什均衡在n人有限博弈中的普遍存在性，从而开创了与诺依曼和摩根斯坦框架路线均完全不同的“非合作博弈（Non-cooperative Game）”理论，进而对“合作博弈（Cooperative Game）”和“非合作博弈”做了明确的区分和定义。
阿尔伯特·塔克（Albert tucker）教授评价其论文，“这是对博弈理论的高度原创性和重要的贡献。
它发展了本身很有意义的n人有限非合作博弈的概念和性质。
并且它很可能开拓出许多在两人零和问题以外的，至今尚未涉及的问题。
在概念和方法两方面，该论文都是作者的独立创造。
”[编辑]在一个博弈过程中，无论对方的策略选择如何，当事人一方都会选择某个确定的策略，则该策略被称作支配性策略。
如果两个博弈的当事人的策略组合分别构成各自的支配性策略，那么这个组合就被定义为纳什均衡。
纳什均衡又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，它是以美国数学家、日后成为电影《美丽心灵》主人公的纳什的名字命名的。
精选最新生活中纳什均衡例子
首先我们先简单看一下纳什均衡的经济学含义：所谓纳什均衡，指的是参与人的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。
换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡。
大家可以现有一个简单的印象，结合下面的案例再回来看这个定义。
案例一、智猪博弈猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。
猪圈的一边有个踏板，每踩一下踏板，在远离踏板的猪圈的另一边的投食口就会落下少量的食物。
如果有一只猪去踩踏板，另一只猪就有机会抢先吃到另一边落下的食物。
当小猪踩动踏板时，大猪会在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物;若是大猪踩动了踏板，则还有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽，争吃到另一半残羹。
那么，两只猪各会采取什么策略?答案是：小猪将选择“搭便车”策略，也就是舒舒服服地等在食槽边;而大猪则为一点残羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之间。
原因何在?因为，小猪踩踏板将一无所获，不踩踏板反而能吃上食物。
对小猪而言，无论大猪是否踩动踏板，不踩踏板总是好的选择。
反观大猪，已明知小猪是不会去踩动踏板的，自己亲自去踩踏板总比不踩强吧，所以只好亲力亲为了。
案例二、囚徒困境(1950年，数学家塔克任斯坦福大学客座教授，在给一些心理学家作讲演时，讲到两个囚犯的故事。
)假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。
警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪。
如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白，则两人各被判刑8年;如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪(因已有证据表明其有罪)再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。
如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。
囚徒困境博弈A╲B坦白抵赖坦白-8，-80，-10抵赖-10，0-1，-1关于案例，显然最好的策略是双方都抵赖，结果是大家都只被判1年。
纳什均衡原理
纳什均衡原理
纳什均衡，英文是 Nash Equilibrium，也有人叫它“非合作均衡”、“非合作博弈均衡”，它是一个比较抽象的概念，需要运用数学的知识才能理解。
纳什均衡是指在一个博弈中，每一个人在做选择时都不能确定其他人是否会做同样的选择。
这个时候，如果一方做出了某种选择，那么另一方就会做出相应的反应。
这个反应的结果，就是双方都选择了一种对自己最有利的行为。
比如在博弈论中有这样一个例子：两个人在玩猫捉老鼠游戏，一个人是猫，另一个人是老鼠。
这个时候如果两个人都不敢抓老鼠，因为如果抓了老鼠的话，那他们俩都会被关进笼子里；如果两个人都抓老鼠的话，那他们俩都会被关进笼子里；但是如果两个人都不抓老鼠的话，那么他们俩都会被关进笼子里。
那么结果是怎样呢？这就是纳什均衡的结果。
在这个游戏中，如果只有一个人选择了不抓老鼠的话，那就只有他自己被关进笼子里；如果两个人都选择了不抓老鼠的话，那就是他们两个都被关进笼子里。
—— 1 —1 —。
公地的悲剧
由v(G*)+G*v'(G* )/n ＝c两边同加上
(n-1)G*v'(G* )/n 可得
v(G*)+G*v'(G* )=c+(n-1)G*v'(G* )/n＜c=v(G* * )+G* * v'(G* * ) 可知G**<G*。从而社会最优放牧量小于各个农民个体最优放牧量的总和，从而《博弈论与 信息经济学》得到结论说，公有草地被过度使用了，这就是公地悲剧。
G
模型
上述n个一阶条件联立，可以解出每个农民的最优放羊数量gi*。，从而纳什均衡的总饲养量G*。
将n个一阶条件相加，可以得到：v(G*)+G*v‘(G* )/n ＝c 而社会最优的目标是最大化社会总剩余价值：max Gv(G)-Gc
最优化的一阶条件为：v(G* * )+G* * v’(G* * )＝c（对上式求一阶导数）
防止悲剧
私人对效用 的期望
社会资源可 持续利用
1、资源私有化 2、税或费用 3、设置使用者上限
反公地悲剧
“公地悲剧”说明了人们过度利用(overuse)公共资源的恶果，但是资 源也有未被充分利用的可能性。
在公地内，存在着很多权利所有者。为了达到某种目的，每个当事人 都有权阻止其他人使用该资源或相互设置使用障碍，而没有人拥有有 效的使用权，导致资源的闲置和使用不足，造成浪费，于是就发生了" 反公地悲剧"。
因为草场退化的代价是由大家负担的。
“公地的悲剧”就上演了——草场持续退化，直至无法养羊，最 终导致所有的牧民破产。
生活中纳什均衡例子
生活中纳什均衡例子
纳什均衡是博弈论中的一个概念，指在双方或多方进行博弈时，
当每个参与者都选择了最优策略后，游戏的结果已经达到了一个稳定
状态。
生活中，我们可以看到很多纳什均衡的例子。
1.超市降价促销：当超市降价促销时，消费者可以选择是抢购或
等待。
如果大多数人都抢购，那么超市就会获得更多的销售额；如果
消费者等待，那么超市可以考虑再次降价吸引消费者购买。
2.交通拥堵：在道路狭窄且车流量大的情况下，司机们可以选择
是慢行还是超车。
如果每个司机都选择了超车，那么道路的拥堵就会
更加严重；如果司机们都选择慢行，那么车流量就会更加平缓。
3.竞拍：在竞拍中，每个竞拍者都会选择自己认为是最高的出价。
如果竞拍者们都认为这个物品的价值很高，那么竞拍的价格就会越来
越高。
如果有人放弃竞拍，价格就会下降，直到达到平衡。
4.恋爱：在恋爱中，每个人都希望自己的感情得到回报。
如果两
个人都对对方很有感情，那么他们就会在一起；如果只有一个人喜欢
对方，那么他们就不会在一起。
这是一个常见的纳什均衡例子。
总之，纳什均衡是在人与人之间相互影响，相互制约下的一种结果。
只有当每个人都选择自己认为最优的策略，才能形成稳定的状态。
§2.5 纳什均衡案例分析
Q* 72 * 1728
公地悲剧—— N人囚徒困境
情形2：私人牧场上 支付： private Q(100 Q) 4Q
max private Q(100 Q) 4Q
96 Q2
FOC :
96 2Q 0
*
Q
48 Q*
public
* 2304 * public
公地悲剧—— N人囚徒困境
• 公有牧场上：max (Vqi - c qi ) Q=∑qi
• 结果：
Q * common > Q * private
公地悲剧—— N人囚徒困境
• 假设：
一只羊的价值 一只羊的成本
V=100-Q c=4
Q=∑qi
• 情形1：公共牧场上 （假设有3个牧民）
• 支付： 1 q1[100 (q1 q2 q3)] 4q1
反应函数：
q1
48
1 2
q2
1 2
q3
公地悲剧—— N人囚徒困境
•
对于所有牧民：
q1
R1(q2 ,
q3 )
48
1 2
q2
1 2
q3
q2
R2 (q1, q3 )
48
1 2
q1
1 2
q3
q3
R1(q1, q2 )
48
1 2
q1
1 2
q2
• 均衡解：
q1* q2* q3* 24
1*
* 2
* 3
576
0，1
1，0
1，1
单纯战略的NE均衡：（鹿，鹿）&（兔，兔） 帕累托最优的结果：（鹿，鹿）即（3，3） 现实状况： 往往出现 （兔，兔）
行车的默契
纳什均衡案例
纳什均衡案例纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，由约翰·纳什提出，用于描述博弈参与者之间的一种策略选择状态。
在这种状态下，每个参与者都知道其他参与者的策略选择，并且没有动机单方面改变自己的策略。
纳什均衡是一种稳定状态，当所有参与者都采取最优策略时，任何一方都没有动机改变自己的策略。
下面我们通过一个案例来具体了解纳什均衡的概念。
假设有两家冰淇淋店A和B，它们位于同一条街上，销售的冰淇淋口味和质量都是一样的。
每天下午4点，顾客会同时到两家店购买冰淇淋。
店家可以选择提高或降低价格，而顾客会选择到价格更便宜的店购买冰淇淋。
在这种情况下，我们来分析一下店家的最优策略选择。
首先，我们假设店家A提高了价格，而店家B保持不变，那么顾客肯定会选择到店家B购买冰淇淋，因为价格更便宜。
同理，如果店家B提高了价格，而店家A保持不变，顾客也会选择到店家A购买冰淇淋。
这说明在任何一家店提高价格的情况下，另一家店都会获得更多的顾客。
接着，我们假设店家A降低了价格，而店家B保持不变，那么顾客肯定会选择到店家A购买冰淇淋。
同理，如果店家B降低了价格，而店家A保持不变，顾客也会选择到店家B购买冰淇淋。
这说明在任何一家店降低价格的情况下，另一家店都会失去更多的顾客。
因此，我们可以得出结论，在这种情况下，店家A和店家B都会选择保持自己的价格不变，因为任何一家店单方面改变价格都无法获得更多的顾客，反而会失去顾客。
这种状态就是纳什均衡，即当每个参与者都知道其他参与者的策略选择，并且没有动机单方面改变自己的策略。
通过这个案例，我们可以更好地理解纳什均衡的概念。
在博弈论中，纳什均衡是一种重要的策略选择状态，它描述了参与者之间的稳定状态，当所有参与者都采取最优策略时，任何一方都没有动机改变自己的策略。
纳什均衡的概念不仅在经济学领域有着重要的应用，也在其他领域有着广泛的影响，如政治、生物学等领域都可以看到纳什均衡的身影。
总之，纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，通过案例分析可以更好地理解其内涵和应用。
(4)公共事业管理模式的概念和决定因素
3.主要特点
（1）强调政府的力量和作用，通过政府 “看
得见的手”解决当时的危机；来自（2）建立一系列的管制机构和委员会，对国
家经济和社会多方面进行强力干预；
（3）政府成为了积极的守夜人，管理的内容
和手段也开始走向规范化。
4.典型案例（北欧福利国家）： 国家全面负责其原初由家庭和社区负责 的公共产品的生产和供给，形成了空前庞 大的公共事业部门； “从摇篮到坟墓”，覆盖到公共生活的 各个方面，形成了所谓的“福利国家”。
公共事业管理模式的 概念和决定因素
一、公共选择理论 理论关注政府与社会的关系，独特之处在于 将政府中的官僚和政客看作是会追求自身利益 的理性经济人，为“政府失灵”现象给出了一 种解释，同时开出了一种解决方案： 打破政府的垄断地位，建立公私机构之间的 竞争，从而使公众得到自由选择的机会，以此 改善公共部门和公共服务。 没有任何逻辑理由证明公共服务必须由政府 官僚机构来提供。
2.囚徒困境 （1）单次博弈：纳什均衡非最优策略解 （2）个体理性导致集体非理性结局 3.集体理性与集体行动 （ 1 ）（美）奥尔森（ 1965 ）：《集体行动的逻 辑》； （2）个人在集体行动中存在“搭便车”倾向，当 搭便车者达到一定数量，集体行动就会陷入瘫痪； （3）解决方案：选择性激励，但仍然只适合于小 集团或若干小集团组成的大集团中。
（二）公共事业管理模式的基本内涵 1.定义 即为在公共事业管理生产和供给过程中，承 担公共事业事务的各方主体之间的关系和组合 方式。 （1）谁生产和提供，生产与提供者是同一主 体还是不同主体； （2）提供方式是基于计划的还是市场的； （3）提供者之间如何分工，关系如何。
2.理解要点 （1）公共事业管理模式主要表现在政府与市 场、政府与社会的关系状况； （2）公共事业管理模式受到特定历史环境的 约束，同一管理模式在具体的细节表现上会有 所差异； （3）公共事业管理模式更多是从公共品的生 产和供给方式来考虑的，通过界定承担主体的 组合关系来实现满足公众的需要，但需求方的 参与正逐渐引入进来。
公地悲剧数理推导
公地悲剧的数理推导主要基于数学建模和博弈论。
首先，假设有一个公共资源，例如一片草地，每个牧羊人都可以在这片草地上放牧。
每个牧羊人都有两个选择：放牧或休息。
如果一个牧羊人选择放牧，他可以从这片草地上获得一定量的收益，但同时也会对草地造成一定的损害。
如果所有的牧羊人都选择放牧，那么这片草地可能会被过度使用，导致草地退化甚至消失，所有牧羊人都无法获得收益。
为了简化问题，假设只有两个牧羊人，他们都希望最大化自己的收益。
每个牧羊人的收益函数可以表示为：收益= 如果草地状况好则放牧的收益-如果草地状况差则放牧的收益-如果草地状况好则休息的收益+ 如果草地状况差则休息的收益根据这个收益函数，我们可以建立以下博弈矩阵：在这个博弈矩阵中，每个格子中的数字表示两个牧羊人的收益。
例如，当两个牧羊人都选择放牧时，草地状况变差，但每个牧羊人都能获得一定的收益（+1）。
当一个牧羊人选择放牧而另一个选择休息时，草地状况变好，但选择放牧的牧羊人获得更大的收益（+1），而选择休息的牧羊人获得较小的收益（-1）。
当两个牧羊人都选择休息时，草地状况变差，但每个牧羊人都获得一定的收益（虽然比放牧时的收益小）。
通过分析这个博弈矩阵，我们可以发现这是一个典型的囚徒困境。
无论对方如何选择，自己选择放牧都是最优策略。
然而，如果两个牧羊人都选择放牧，草地状况会变差，导致所有人的收益都降低。
因此，这个博弈没有纯策略纳什均衡，但存在一个混合策略纳什均衡。
在这个均衡中，每个牧羊人都有一定概率选择放牧和休息，这取决于草地状况的不确定性以及其他因素的影响。
公地悲剧的数理推导表明，当资源是公共的且没有有效的管理制度时，个体理性可能会导致集体非理性。
为了解决这个问题，需要引入外部力量来管理公共资源，或者通过制度设计来激励个体采取更有利于集体的行为。