子空间的直和
子空间的直和
§6.7 子空间的直和
再证 Pn V1 V2 .
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
（3）Vi Vj 0,i 1,2,
ji
§6.7 子空间的直和
s
, s （4）dimW dimVi
i 1
例1 每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和.
证：设 1, 2 , , n 是 n 维线性空间V的一组基,
则 V L(1, 2 , , n ) L(1 ) L( 2 ) L( n )
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
s
（1）W Vi 是直和
i 1
（2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
§6.7 子空间的直和
A(k ) kA k0 0 V2 , k V2
故 V2 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
（2）先证 P n V1 V2 .
任取 Pn, 有 A ( A ),
其中 A V1, 又 A( A ) A A2 A A 0 A V2 . 于是有 V1 V2 . Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ”
若 1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
子空间的直和的充要条件
子空间的直和的充要条件一、引言在线性代数中，子空间是向量空间的一个重要概念。
直和则是子空间的一个重要性质。
本文将介绍子空间的直和以及充要条件。
二、子空间2.1 定义向量空间V中的非空子集U称为V的子空间，如果U对于向量加法和数乘运算也构成一个向量空间。
2.2 子空间的性质•零向量属于任意子空间•对于任意u，v属于U，u+v也属于U•对于任意k，u属于U，ku也属于U三、直和3.1 定义设V是线性空间，W1和W2是V的两个子空间。
如果满足以下两个条件，则称W1与W2的直和为V：•V = W1 + W2：即任意v属于V都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
•W1 ∩ W2 = {0}：即W1与W2只有零向量交集。
3.2 直和的几何理解直和可以理解为两个子空间在几何上没有交集，并且它们的所有组合可以覆盖整个向量空间V。
四、充要条件子空间的直和有以下充要条件：4.1 直和的充要条件一设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当对于任意v属于V，存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2。
4.2 直和的充要条件二设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当维数公式成立：dim(V) = dim(W1) + dim(W2)。
4.3 证明充分性证明：如果存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = v1 + v2。
这说明V = W1 + W2。
另外，假设存在一个非零向量w同时属于W1与W2，则w既属于W1又属于W2，那么存在唯一的w’属于W1和w’‘属于W2，使得w = w’ + w’’。
由此可知w也可以表示为其他两个不同向量之和，与唯一性矛盾。
因此，W1与W2的交集只有零向量。
必要性证明：如果V是两个子空间W1和W2的直和，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
线性子空间的和与直和
线性子空间的和 线性子空间的和的维数公式 线性子空间的和的基的求法 线性子空间的直和
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
1
线性子空间的和
两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。
也是一个线性子空间，
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
proof
10
命题2.1的证明
证明：
所以 W 是线性子空间。
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
back
11
命题 2.2 的证明
证明: 由定义, 有
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
back
12
引理２.３的证明
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向量组可以 被扩充成该子空间的一组基。 证明:
有
线性空间与欧几里得空间
所以
有
back
15
定理 2.6 的证明
证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
back
16
定理 2.7 的证明
back
由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。
7
线性子空间的直和: 定义
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.
必要性是显然的, 下证充分性.
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
8
线性子空间的直和，补子空间
proof
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
7.子空间的直和
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
sБайду номын сангаас
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
6[1].7 子空间的直和
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1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
这就是说，向量 的分解式是唯一的.
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和. 记为 V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 4 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一； 3) Vi
V
j i
j
{0}
(i 1,2,, s) ;
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
解 要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取
e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性.
设 V1 + V2 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.
51-子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1V1，α2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αiVi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。
必要性：显然成立；充分性：设αV1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）那么α1=-α2 V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），αV1，—αV2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。
子空间的直和
等价的，也就与维(W) = 维(V1) + 维(V2) 等价. 这就
证明了定理.
证毕
三、直和的性质
定理 11 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，
那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W .
这时 U 叫做 W 的补空间，W 叫做 U 的补空间，
或者 U 与 W 是互补子空间.
证明 取 U 的一组基 1 , … , m . 把它扩充
为 V 的一组基 1 , … , m , m + 1 , … , n . 令 W = L(m + 1 , … , n ) .
则 W 即满足要求.
证毕
例 1 在 3 维空间 P3 中，过原点的两条相交直
线的直和就是由这两条直线所确定的平面. 如图6-9 所示.
L2
例 2 设 V = P 3 ，L 是过原点的直线， 是过
原点的平面. 令 L 上的点构成的空间为 U， 上的
点构成的空间为 W，如果 U ∩ W = { 0 } ， 即 L 不
上，则 V = U W . 如图 6-10 所示.
z
L
o
y
x
图 6-10
例例 33 设设VV==PP33，，UU==LL((11))，，11==(1(1, ,11, ,11)，)，
面( 直线不在平面上 ) 上的全体向量构成的
二、直和的充分必要条件
定理 9 和 V1 + V2 是直和的充分必要条件是
等式
1 + 2 = 0， 1 V1 , 2 V2 ,
只有在1, 2全为零时才成立.
证明 定理的条件实际上就是：零向量的分
解式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的. 下面 来证这个条件的充分性.
6.7 子空间的直和
第六章 线性空间学习单元7： 子空间的直和_________________________________________________________● 导学学习目标：了解子空间的直和的概念；理解子空间的直和的判别；掌握证明线性空间V 是两个子空间的直和的证明方法。
学习建议：本学习单元的理论比较抽象，建议大家认真看书，深刻理解概念及定理的条件与结论，通过例题掌握证明方法。
重点难点：重点：深刻理解子空间的直和的概念与判别法。
难点：线性空间分解成两个子空间的直和的证明。
_________________________________________________________● 学习内容一、直和的概念观察两个子空间的和的特点例 212,{(,,0)|,},{(0,,)|,}V P V a b a b P V x y x y P ==∈=∈，则12V V V +=，但V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法不唯一，如(1,7,4)(1,2,0)(0,5,4)(1,3,0)(0,4,4)=+=+ 又12{(,,0)|,},{(0,0,)|}V a b a b P V x x P =∈=∈。
则12V V V +=，而V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法唯一。
定义 V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，如果12V V +中向量表为1V 与2V 中向量的和时，表法唯一，即由1212111222,,,,V V αααββαβαβ=+=+∈∈可推出1122,αβαβ==，则称这个和为直和，记为12V V ⊕。
二、直和的判别定理 设12,V V 为数域P 上线性空间V 的两个子空间，则下列几条等价。
（1）1212V V V V +=⊕；（2）12V V +中零向量表法唯一；（3）12{0}V V =I ；（4）1212dim()dim dim V V V V +=+。
推广定理 设1,,s V V V ≤L ，则下列几条等价。
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设 V1 + V2 ，它有两个分解式
1 , 1 V1 , 2 , 2 V2. = 1 + 2 = 1 + 2 ，
于是
( 1 - 1 ) + ( 2 - 2 ) = 0 ,
其中1 - 1 V1 , 2 - 2 V2 . 由定理的条件，有
1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
1) W Vi 是直和； 2) 零向量的表法唯一；
3) Vi
V
j i ;
4) 维( W ) = 维( Vi ) .
证明略.
本节内容已结束 !! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 !! ! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 本节内容已结束 本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , , ,, 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 , , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 . . ,!, 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 .. 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 .. 请单击返回按钮 请单击返回按钮.
那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W . 这时 U 叫做 W 的补空间，W 叫做 U 的补空间， 或者 U 与 W 是互补子空间.
证明
取 U 的一组基 1 , … , m . 把它扩充
令
为 V 的一组基 1 , … , m , m + 1 , … , n .
W = L(m + 1 , … , n ) .
则 W 即满足要求.
证毕
例 1 在 3 维空间 P3 中，过原点的两条相交直
线的直和就是由这两条直线所确定的平面. 如图6-9 所示. L2
例 2 设 V = P 3 ，L 是过原点的直线， 是过
原点的平面. 令 L 上的点构成的空间为 U， 上的 点构成的空间为 W，如果 U ∩ W = { 0 } ， 即 L 不
这就是说，向量 的分解式是唯一的.
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
1 = - 2 V1 ∩ V2 .
由假设 V1 ∩ V2 = { 0 } ，得
上，则 V = U W . 如图 6-10 所示.
z
L
o
y
x 图 6-10
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
四、多个子空间的直和
定义 18 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间. 如果和 V1 + V2 + … + Vs 中每个向量
第七节 子空间的直和
主要内容
定义 直和的充分必要条件 直和的性质 多个子空间的直和
一、定义
子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊
情形.
定义 17 设 V1 , V2 是线性空间 V 的子空间，
如果和 V1 + V2 中每个向量 的分解式
= 1 + 2 ，
1 V1 , 2 V2 ,
而由前面 定理 9 和 的推论知 V1 + V2 为直和的充 V1 + V2 是直和的充分必要条件
1 + 2 = 0，
1 V1 , 2 V2 ,
等价的，也就与维(W) = 维(V1) + 维(V2) 等价. 这就 证明了定理.
证毕
三、直和的性质
定理 11 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，
的分解式
= 1 + 2 + … + s , i Vi ( i = 1,2,…,s )
是唯一的，这个和就称为直和. 记为
V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 12 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
是唯一的，这个和就称为直和，记为 V1 V2 . 在第六节的
中的和就是直和.
二、直和的充分必要条件
定理 9 和 V1 + V2 是直和的充分必要条件是
等式
1 + 2 = 0，
1 V1 , 2 V2 ,
只有在1, 2全为零时才成立.
证明
定理的条件实际上就是：零向量的分
解式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的. 下面 来证这个条件的充分性.
证毕
定理 10 设 V1 , V2 是 V 的子空间，令 W = V1
+ V2 ，则
W = V1 V2
的充分必要条件为 维( W ) = 维( V1 ) + 维( V2 ) .
证明
因为
维(W) + 维(V1 ∩ V2 )= 维(V1) + 维(V2) , 要条件是 V1 ∩ V2 = { 0 } ，这是与维(V1 ∩ V2 ) = 0 等式
1 = - 2 = 0 .
这就证明了 V1 + V2 是直和.
再证必要性. 任取向量 V1 ∩ V2 . 向量可以表示成
于是零
0 = + ( - ) ， V1 , - V2 . 因为是直和，所以 = - = 0 . 这就证明了 V1 ∩ V2 = { 0 } .