用二次函数求实际中的应用问题
二次函数与实际问题
二次函数与实际问题一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一部分，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文旨在介绍二次函数的基本概念、性质以及如何应用到实际问题中。
二、二次函数的定义与性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a,b,c为常数，x,y为自变量和因变量。
2. 二次函数的图像特征（1）对称轴：x=-b/2a（2）顶点：(-b/2a, c-b²/4a)（3）开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
（4）零点：即方程ax²+bx+c=0的解。
当b²-4ac>0时，有两个不相等实根；当b²-4ac=0时，有一个重根；当b²-4ac<0时，无实根。
3. 二次函数与一次函数、常数函数的比较（1）一次函数y=kx+b是一个斜率为k、截距为b的直线。
（2）常数函数y=c是一个水平直线，其值始终为c。
（3）与一次函数相比，二次函数具有更加复杂的图像特征；与常数函数相比，二次函数具有更加丰富的变化。
三、二次函数的应用1. 最值问题对于二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，其最小值为c-b²/4a，即顶点的纵坐标；当a<0时，其最大值为c-b²/4a。
2. 零点问题对于二次函数y=ax²+bx+c，求其零点即为求解方程ax²+bx+c=0的解。
可以使用求根公式或配方法等方式来求解。
3. 优化问题在实际生活中，很多问题都可以转化为求某个目标函数的最大值或最小值。
例如，在制作一个长方形纸箱时，如何使得纸箱的容积最大？假设纸箱长为x，宽为y，高为h，则容积V=xyh。
由于长和宽已知，因此我们只需要确定h的取值范围，并找出使得V最大的h即可。
由于纸箱需要稳定，在实际中我们还需要考虑其他因素（如纸板厚度等），从而确定出一个合适的取值范围。
二次函数的实际应用问题解题技巧
二次函数的实际应用问题解题技巧二次函数是一种在数学中非常重要的函数,它在各个领域都有广泛的应用,比如物理、工程、经济学等等。
本文将介绍二次函数的一些实际应用问题解题技巧,以及如何在实际问题中应用这些技巧。
正文:1. 二次函数的实际应用问题二次函数在数学中主要用于描述抛物线、双曲线等曲线的情况。
在各个领域,二次函数都有广泛的应用,下面列举几个例子:- 物理学:在物理学中,二次函数主要用于描述质点的运动轨迹,如牛顿第二定律、万有引力定律等。
- 工程学:在工程学中,二次函数主要用于描述机械、电气、建筑等领域中的问题,如压力、张力、电流等。
- 经济学:在经济学中,二次函数主要用于描述供求关系、价格变化等。
例如,抛物线可以用来描述通货膨胀率的变化。
2. 二次函数的解题技巧在实际问题中,我们需要用到二次函数的一些基本性质和解题技巧,下面列举一些常见的解题技巧:- 求抛物线与x轴的交点:通过用x=0和x=抛物线顶点式来求解。
- 求抛物线的对称轴:通过用y=-b/2a来求解,其中a和b是二次函数的系数。
- 求二次函数的极值:通过用抛物线的对称轴和x轴的交点来求解。
- 求二次函数的图像形状:通过用抛物线的顶点坐标和参数方程来求解。
3. 拓展除了上述技巧,我们还可以利用二次函数的一些特殊性质来解决实际问题。
例如,我们可以通过用二次函数的对称性来解决实际问题,如求解一个二次函数的极值、图像形状等。
此外,我们还可以利用二次函数的性质来解决实际问题,如求解一个二次函数的方程、求抛物线的解析式等。
二次函数在数学中有着广泛的应用,而且在实际问题中,我们需要用到二次函数的基本性质和解题技巧来解决实际问题。
掌握这些技巧,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二次函数的应用问题
二次函数的应用问题二次函数是一种常见的代数函数，它的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c都是实数且a ≠ 0。
由于二次函数具有抛物线的形状，因此在各种实际问题中都能够找到应用。
本文将介绍二次函数在现实生活中的一些典型应用问题，并通过具体案例来解析解决方法。
问题一：飞行物体高度计算假设有一架飞机以初速度v₀从地面起飞，以固定的加速度a直线上升，问它在时间t后的高度h为多少？解决方法：根据牛顿第二定律，加速运动下飞机在t时刻的速度v可以表示为v = v₀ + at，高度h可以表示为h = v₀t + 1/2at²。
将其中的v带入，得到h = v₀t + 1/2a(v - v₀)，代入飞机起飞时速度为0的条件，可得到简化的高度公式h = 1/2at²。
这就是一个二次函数，其中a为加速度，t为时间。
问题二：物体抛射问题假设有一个人以速度v₀把一个物体从一定高度h₀抛出，考察物体的运动轨迹。
解决方法：物体的垂直位移可以通过二次函数来表示。
首先，垂直方向上的受力只有重力，因此物体在下落过程中的运动可以描述为s = -1/2gt² +v₀t + h₀，其中s为垂直位移，g为重力加速度。
而在水平方向上，物体保持匀速运动，所以可以通过s = v₀x来描述其水平位移，其中x为时间。
问题三：最优化问题对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c，如何确定其在定义域内的最大值或最小值。
解决方法：对于给定的二次函数f(x)，可以通过求取其导数f'(x)来确定最大值或最小值的位置。
当f'(x) = 0时，函数取得极值。
根据二次函数的性质，若a > 0，f(x)开口向上，则该极值为最小值；若a < 0，f(x)开口向下，则该极值为最大值。
问题四：实际应用问题二次函数还有很多其他实际应用，比如经济学中的成本、利润和产量问题，物理学中的速度、加速度和位移问题，以及几何学中的抛物线问题等等。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题【实用版】目录1.二次函数与实际问题的关系2.典型例题解析3.总结与建议正文二次函数与实际问题的关系二次函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过对二次函数的学习和理解，我们可以更好地解决实际问题，提高自己的数学素养。
典型例题解析例题 1：某商场在推出优惠活动，满 200 元打 8 折，满 300 元打7 折。
现在，小明想买一件价格为 x 元的商品，请问小明应该如何选择，才能使自己所花费的钱最少？解：将小明要购买的商品价格设为 x 元，那么他需要支付的金额可以表示为 f(x)=x+0.2(x-200)+0.3(x-300)，其中 x>300。
通过求导，可以得到 f(x) 的最小值出现在 x=400，此时小明需要支付的金额为f(400)=360 元。
所以，小明应该选择购买价格为 400 元的商品，才能使自己所花费的钱最少。
例题 2：一个农民有一块形状为抛物线的土地，他想在土地上种植庄稼，使得种植的庄稼面积最大。
已知土地的顶点为 (1,2)，抛物线方程为y=a(x-1)^2+2。
请问农民应该如何种植庄稼？解：由于 a<0，所以抛物线开口向下。
根据二次函数的性质，顶点是函数的最大值点。
所以，农民应该在土地的顶点处种植庄稼，即 x=1，此时庄稼的面积最大，为 2。
总结与建议通过对二次函数与实际问题的典型例题进行解析，我们可以发现数学知识在解决实际问题中的重要性。
为了更好地应对类似的问题，我们建议：1.加强对二次函数概念的学习，了解其性质和应用；2.多做练习题，提高自己对二次函数问题的解题能力；3.注重数学知识的实际应用，学会将理论知识运用到实际问题中。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数简介1.二次函数的定义2.二次函数的图像和性质二、二次函数与实际问题的联系1.实际问题中的二次函数模型2.二次函数在实际问题中的应用案例三、二次函数典型例题解析1.求解二次函数的顶点坐标2.求解二次函数的图像与x 轴的交点3.求解二次函数的最值问题4.二次函数在实际问题中的综合应用正文：二次函数与实际问题典型例题一、二次函数简介二次函数是数学中一种常见的函数形式，一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，x 为自变量。
二次函数的图像通常为抛物线，具有一定的对称性和顶点特征。
根据a 的值，二次函数可以分为开口向上或向下的两种情况，分别具有不同的性质。
二、二次函数与实际问题的联系1.实际问题中的二次函数模型在实际问题中，二次函数常常作为问题的数学模型出现。
例如，物体在重力作用下的自由落体运动、抛射物体的运动轨迹、电池的放电过程等都可以用二次函数来描述。
2.二次函数在实际问题中的应用案例（1）物体自由落体运动：假设物体从高度h 自由落下，空气阻力不计，仅受重力作用。
根据牛顿第二定律，物体下落的速度v 与时间t 的关系可以表示为v = gt - 1/2gt^2，其中g为重力加速度。
可以看出，这是一个开口向下的二次函数模型。
（2）抛射物体运动：假设一个物体在水平方向以初速度v0 抛出，仅受重力作用。
根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的运动可以表示为h = v0t - 1/2gt^2，其中h为物体的高度，t为时间。
这也是一个开口向下的二次函数模型。
三、二次函数典型例题解析1.求解二次函数的顶点坐标顶点坐标是二次函数的一个重要特征，可以通过公式法或配方法求解。
例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，顶点的x 坐标为x = -b/2a，y坐标为y = f(x) = c - b^2/4a。
2.求解二次函数的图像与x 轴的交点二次函数与x 轴的交点即为函数值为0 时的自变量解。
二次函数的应用案例总结
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。
案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。
根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。
案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。
案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。
案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D，价格为p。
根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。
综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
二次函数的实际问题
二次函数的实际问题二次函数是数学中的一个重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
通过二次函数可以描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、金融领域的利润分析等。
本文将通过几个不同的实际问题，来说明二次函数在各个领域中的应用。
问题一：投掷运动考虑一个常见的物理问题，即投掷运动。
假设有一个物体从地面上以初始速度v₀竖直向上抛出，受到重力的作用下落。
我们希望能够描述物体的运动轨迹，并找到物体在空中的最高点和落地点。
首先，我们可以建立一个二次函数来表示物体的高度y与时间t之间的关系。
假设物体的初始高度为h₀，则物体的高度可以表示为：y(t) = -gt² + v₀t + h₀其中g表示重力加速度。
通过这个二次函数，我们可以计算出物体的运动轨迹，以及物体在空中的最高点和落地点的时间和高度。
问题二：利润分析在金融领域中，我们经常需要对企业的利润进行分析和预测。
假设一个企业的销售额与广告投入之间存在某种关系，我们可以建立一个二次函数来描述销售额与广告投入之间的关系。
假设销售额为P，广告投入为x，则二次函数可以表示为：P(x) = ax² + bx + c其中a、b、c为常数。
通过这个二次函数，我们可以分析销售额与广告投入之间的关系，并找到使得利润最大化的最优广告投入额。
问题三：物质衰变在化学领域中，物质的衰变速率也可以用二次函数来描述。
假设一个物质的衰变速率与时间的关系可以用二次函数表示：R(t) = -kt² + bt + c其中k、b、c为常数。
通过这个二次函数，我们可以分析物质的衰变速率与时间之间的关系，并预测物质的衰变情况。
总结：通过以上三个实际问题的例子，我们可以看到二次函数在不同领域中的应用之广泛。
二次函数可以方便地描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、企业的利润分析以及物质的衰变情况等。
掌握二次函数的概念和应用，对我们理解和解决实际问题具有重要意义。
本文通过具体的实际问题，说明了二次函数的应用。
高中数学中的二次函数应用案例分析
高中数学中的二次函数应用案例分析二次函数是高中数学中一个重要的内容，也是数学中的一种基本函数类型。
它在实际生活中有着广泛的应用，可以用来描述许多自然现象和经济问题。
本文将通过几个案例分析，展示二次函数在实际问题中的应用。
案例一：抛物线的轨迹假设有一位运动员在训练中进行跳远，他的跳远轨迹可以用一个抛物线来描述。
我们知道，抛物线的方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
通过观察运动员的跳远过程，我们可以得到一些数据点，例如跳远的起点、最高点和落地点。
根据这些数据点，我们可以建立一个二次函数模型，进而预测运动员在不同距离上的跳远成绩。
案例二：物体的自由落体在物理学中，自由落体是一个常见的现象。
当一个物体从高处自由下落时，它的运动轨迹可以用一个抛物线来描述。
假设有一个小球从高楼上自由落下，我们可以通过观察小球在不同时间点的位置，建立一个二次函数模型来描述小球的运动。
通过这个模型，我们可以计算小球在不同时间点的位置和速度，进而研究物体的自由落体规律。
案例三：经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是一个重要的概念。
假设有一个公司生产某种产品，它的生产成本可以用一个二次函数来表示。
这个二次函数的自变量可以是产品的产量，因变量可以是生产成本。
通过分析这个二次函数，我们可以研究不同产量下的生产成本变化规律，进而优化生产过程，提高经济效益。
案例四：建筑物的抗震设计在建筑工程中，抗震设计是非常重要的。
为了保证建筑物在地震中的稳定性，工程师需要通过数学模型来分析建筑物的抗震性能。
其中，二次函数可以用来描述建筑物受力分布的曲线。
通过分析这个二次函数，工程师可以确定建筑物的结构参数，进而设计出更加安全可靠的建筑物。
通过以上几个案例的分析，我们可以看到二次函数在实际问题中的广泛应用。
它不仅可以用来描述物体的运动轨迹，还可以用来分析经济问题、优化生产过程和设计建筑物等。
在高中数学教学中，教师可以通过这些案例，引导学生理解二次函数的概念和性质，培养学生的实际问题解决能力。
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(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才 能使日销售利润最大？
设日销售利润为w元，则w＝p(x－30)＝(－30x＋1 500)(x－30)， 即w＝－30x2＋2 400x－45 000， ∴当x＝－ 2（2 4－0300）＝40时，w有最大值， 故这批农产品的销售价格定为40元/kg，才能使日销售利润最大．
(2)商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定 为____5_5___元最合适，最大利润是___5_0_7___元．
返回
8
5．便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利
润y(单位：元)与每件销售价x(单位：元)之间的关系满
足y＝－2(x－20)2＋1 558，由于某种原因，每件销售价
x(单位：元)满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润
其图象的对称轴为直线x＝－22
400+30a （－30）
＝40＋12a.
①若a≥10，则当x＝45时，y有最大值，
即y最大值＝2 250－150a＜2 430(不合题意)；
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②若a＜10，则当x＝40＋12a时，
y有最大值，将x＝40＋12a代入，
可得y＝ 30(1 a2 10a 100),
D．y＝(60＋x)(40＋2x)
返回
6
知识点 2 用二次函数求实际应用中的最值问题
4．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试 销得知这种服装每天销售量t(单位：件)与每件的 销售价x(单位：元)可看成是一次函数关系：t＝－ 3x＋204.
返回 7
(1)商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件 的销售价x(单位：元)之间的函数解析式为 _y_＝__－__3_x_2_＋__3_3_0_x_－__8__5_6_8_；
4
当y＝2 430时，
2
430＝
30( 1 4
a2
10a
100),
解得a1＝2，a2＝38(不合题意，舍去)．
综上所述，a的值为2.
返回
20
题型 2 二次函数与不等式的综合应用
9．(中考•鄂州)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个 房间定价120元时，房间会全部住满；当每个房间每 天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如 果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元 的各种费用，设每个房间定价增加10x元(x为整数)．
A．5
B．6
C．7
D．8
返回
10
7．(中考•成都)某果园有100棵橙子树，平均每棵树结60 0个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量， 但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了 x棵橙子树．
11
(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(单位：个)与x之 间的关系式． 解：平均每棵树结的橙子个数y(单位：个)与x之 间的关系式为y＝600－5x(0≤x<120且x为整数)．
返回 3
2．(中考•扬州)某电商销售一款夏季时装，进价 40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每 销售一件需缴纳电商平台推广费用a元 (a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降 价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天 的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，
4
2．该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在 这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用 后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为_____0_<_a_<_6___．
17
(3)若农经公司每销售1 kg这种农产品需支出a元(a＞0) 的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的 最大值为2 430元，求a的值．(日获利＝日销售利 润－日支出费用)
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设日获利为y元，
则y＝p(x－30－a)＝(－30x＋1 500)(x－30－a)，
即y＝－30x2＋(2 400＋30a)x－(1 500a＋45 000)，
13
题型 1 二次函数与方程的综合应用
8．(中考•扬州)农经公司以30元/kg的价格收购一批农 产品进行销售，为了得到日销售量p(kg)与销售价 格x(元/kg)之间的关系，经过市场调查获得部分数 据如下表：
14
销售价格x/(元/kg)
30 35 40 45 50
(1)请你根据日表销中售的量数p/据kg，用所学6过00的4一50次3函00数1、50二0次 函数的知识确定p与x之间的函数解析式．
12
(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大
为多少个？ 设果园多种x棵橙子树时，橙子的总产量为W个， 则W＝(600－5x)(100＋x) ＝－5x2＋100x＋60 000 ＝－5(x－10)2＋60 500， 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，
返回
最大为60 500个．
第22章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数 第2课时 用二次函数求实际中的应用问题
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
2
知识点 1 用二次函数解析式表示实际问题
1．把实际问题转化为二次函数问题，其实质是利用 题中存在的公式、隐含的规律等___相__等___关系列 函数解析式，并写出符合实际意义的自变量的取 值范围．
返回 5
3．在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条
金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果整幅
挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么
y关于x的函数解析式是( A )
A．y＝(60＋2x)(40＋2x)
B．y＝(60＋x)(40＋x)
C．y＝(60＋2x)(40＋x)
假设p与x成一次函数关系， 设函数解析式为p＝kx＋b，
15
30k＋b＝600，
k＝－30，
则40k＋b＝300， 解得 b＝1 5，p＝450时；
当x＝45，p＝150时；当x＝50，p＝0时，
都符合一次函数解析式，
∴所求的函数解析式为p＝－30x＋1 500.
是( D )
A．20元
B．1 508元
C．1 550元
D．1 558元
返回
9
6．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候会出现
赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该
景点关闭．经跟踪计算，该景点一年中的利润W(单位：
万元)与月份x之间满足二次函数W＝－x2＋16x－48，
则该景点一年中处于关闭状态有( A )个月．