高等数学第二单元导数与微分测试(A)

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(高等数学)导数与微分习题

一. 填空题(理工类)1. , 则= _______.解. , 假设, 则, 所以2. 设, 则______.解. ,3. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______. 解. , 所以4. 已知f(－x) =－f(x), 且, 则______.解. 由f(－x) =－f(x)得, 所以所以5. 设f(x)可导, 则_______.解.=+=6. 设, 则k = ________.解. , 所以所以7. 已知, 则_______.解. , 所以. 令x2= 2, 所以8. 设f为可导函数, , 则_______.解.9. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导. 所以切线斜率. 法线斜率为, 法线方程为, 即 x－2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以=, 于是======所以, 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以========所以存在. (a)是答案.2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d)解. , 假设=, 所以=, 按数学归纳法=对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a(c) f(x)在x = 1处可导, 且 b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入=, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.4. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. .所以n = 2, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0+ ∆x时, 记∆y为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞解. 由微分定义∆y = dy + o(∆x), 所以. (b)是答案.6. 设在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以, 所以b = 0., , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在. (b) 存在.(c) h)存在. (d) 存在.解. 由存在可推出(a)中的极限值为, (b)中的极限值为 , (d)中的极限值为, 而(c)中的极限为:;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定存在, 举反例如下: , 排除(d). 所以(b)是答案.由(b)推出存在证明如下:==所以存在.8. 设函数f(x)在(－∞, +∞)上可导, 则(a) 当时, 必有(b) 当时, 必有(c) 当时, 必有(d) 当时, 必有解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为, 所以对于充分大的x,单增. 如果, 则证明结束, 否则单增有上界, 则存在(k为有限数). 任取x, 在区间[x, x + 1]上用拉格朗日定理(x < ξ < x + 1)令x → +∞, 于是0 = +∞, 矛盾. 所以.9. 设函数f(x)在x = a处可导, 则函数|f(x)|在x = a处不可导的充分条件是(a) f(a) = 0且. (b) f(a) = 0且.(c) f(a) > 0且. (d) f(a) < 0且.解. (a) 反例f(x) = 0, 取a = 0. 排除(a); (c) 反例: , 取a = 0. f(0) = 1 > 0, , |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明不存在.不妨假设. . 所以存在δ, 当x ∈ (a－δ, a + δ)时. 所以当x> a时, f(x) > 0. 于是. 当x < a时f(x) < 0. 于是. 所以不存在.三. 计算题(理工类)1.解.2. 已知f(u)可导,解.=3. 设y为x的函数是由方程确定的, 求. 解., 所以4. 已知, 求.解. ,5. 设, 求解. ,6. 设函数f(x)二阶可导, , 且, 求, .解. , 所以=3.所以7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.解. . 所以所以.所以. 在t = 1的曲率为四. 已知, 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求.解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以,所以, 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以=(2) 方法1:=== (0 < ξ < x)=所以方法2:====五. 已知当x≤ 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时二阶可导.解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(－0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且存在, 所以, 所以, 所以六. 已知.解., k = 0, 1, 2, …, k = 0, 1, 2, …七. 设, 求.解. 使用莱布尼兹高阶导数公式=所以。

自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.

第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章导数与微分【圣才出品】

第二章　导数与微分2.2　课后习题详解习题2-1　导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】　当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。

MOOC慕课高等数学(二)单元测试及考试答案

A.得分/总分A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了4单选(6分)1.下列为齐次方程的是（）得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了5单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了6单选(6分)1.下列微分方程满足所给初始条件的特解为（）得分/总分•A.•B.•C.0.00/6.00•D.正确答案：A你错选为C1判断(5分)得分/总分•A.5.00/5.00•B.正确答案：A你选对了2判断(5分)得分/总分•A.•B.5.00/5.00正确答案：B你选对了3单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了4单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了5单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了6判断(5分)得分/总分•A.5.00/5.00•B.正确答案：A你选对了1单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.y轴上•D.第一卦限内正确答案：A你选对了2单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了3单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了4单选(6分)得分/总分•A.•B.6.00/6.00•C.•D.正确答案：B你选对了5单选(6分)得分/总分•A.•B.•C.•D.6.00/6.00正确答案：D你选对了6单选(6分)得分/总分•A.•B.•C.6.00/6.00•D.正确答案：C你选对了1单选(6分)得分/总分•A.•B.•C.•D.6.00/6.00正确答案：D你选对了2单选(6分)得分/总分•A.•B.0.00/6.00•C.•D.正确答案：D你错选为B3单选(6分)得分/总分•A.0.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：C你错选为A4单选(6分)得分/总分•A.•B.6.00/6.00•C.D.正确答案：B你选对了5单选(6分)得分/总分•A.直线垂直平面•B.直线平行平面且不在平面上6.00/6.00•C.直线在平面上•D.直线与平面相交但不垂直正确答案：B你选对了6单选(6分)得分/总分•A.B.6.00/6.00•C.•D.正确答案：B你选对了1单选(6分)得分/总分•A.•B.•C.•D.6.00/6.00正确答案：D你选对了2单选(6分)得分/总分•A.•B.0.00/6.00•C.•D.正确答案：D你错选为B3单选(6分)得分/总分•A.0.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：C你错选为A4单选(6分)得分/总分•A.•B.6.00/6.00•C.•D.正确答案：B你选对了5单选(6分)得分/总分•A.直线垂直平面•B.直线平行平面且不在平面上6.00/6.00•C.直线在平面上•D.直线与平面相交但不垂直正确答案：B你选对了6单选(6分)得分/总分•A.•B.6.00/6.00•C.•D.正确答案：B你选对了1单选(6分)得分/总分•A.•B.6.00/6.00•C.•D.正确答案：B你选对了2单选(6分)得分/总分•A.平面Y=1上的椭圆6.00/6.00•B.椭圆柱面在平面Y=0的投影曲线•C.椭圆柱面•D.椭球面正确答案：A你选对了3单选(6分)得分/总分•A.椭球面•B.单叶双曲面6.00/6.00•C.椭圆抛物面•D.双叶双曲面正确答案：B你选对了得分/总分得分/总分•A.•B.5.00/5.00正确答案：B你选对了1单选(6分)得分/总分•A.3•B.2•C.1•D.6.00/6.00正确答案：D你选对了2单选(6分)得分/总分•A.•B.6.00/6.00•C.•D.正确答案：B你选对了3单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了单选(6分)得分/总分•A.既非充分条件也非必要条件•B.充分必要条件•C.充分条件但非必要条件•D.必要条件但非充分条件6.00/6.00正确答案：D你选对了2单选(6分)得分/总分•A.•B.•C.•D.0.00/6.00正确答案：B你错选为D3单选(6分)得分/总分•A.等于1•B.等于06.00/6.00•C.•D.不存在正确答案：B你选对了4单选(6分)得分/总分•A.•B.•C.6.00/6.00•D.正确答案：C你选对了5单选(6分)得分/总分•A.•B.6.00/6.00•C.•D.正确答案：B你选对了6判断(5分)得分/总分•A.•B.5.00/5.00正确答案：B你选对了1单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了2单选(6分)得分/总分•A.•B.•C.•D.6.00/6.00正确答案：D你选对了3单选(6分)得分/总分•A.•B.6.00/6.00•C.•D.正确答案：B你选对了4单选(6分)得分/总分•A.•B.•C.•D.6.00/6.00正确答案：D你选对了5单选(6分)得分/总分•A.6.00/6.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了6判断(5分)垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的切平面的法向量。

专升本高等数学第二章导数与微分练习题

第二章导数与微分1、设函数⎩⎨⎧≥+<=)0(),1ln()0(,)(x x x x x f ，求)0(f 与)0(f '2、设⎩⎨⎧+=,,)(b ax e x f x 11>≤x x 在1=x 可导，试求a 与b3、求下列函数的导数（1）32121x x x y ++=（2）x x y =（3）xe x y =（4）xxy sin 1cos +=（5）2)2(arcsin x y =（6）x y ln 1+=（7）)arctan(xe y =（8）)ln(22x a x y ++=（9）x y arccos =（10）212arctanxxy -=4、求下列方程所确定的隐函数)(x y y =的导数（1）0=+-xy e e xy（2）0333=-+axy y x（3）)sin(y x x +=（4）xy e e xy=-5、设参数方程为⎩⎨⎧+==tt y te x t cos sin ，求dx dy6、求下列函数的二阶导数（1）113+=x y（2）xe y x=（3）)1ln(2x x y ++=（4）)sin(y x y +=7、求下列函数的微分（1）)1(ln 2x y -=（2）x x y 2sin =（3）)ln(cos xe y =（4）x y arcsin =8、求下列方程所确定的隐函数)(x y y =的微分（1）yxe y +=1（2）xy e e yx =-（3）xy y x =（4）22ln arctany x xy+=9、求下列极限（1）22)2(sin ln lim x xx -→ππ；（2）)0(lim ≠--→a a x a x nnmm a x（3）xxx 2tan ln 7tan ln lim 0+→（4）xxx 3tan tan lim2π→；（5）xarc x x cot )11ln(lim++∞→（6）)ln 11(lim 1xx x x --→（7）)sin 11(cot lim 0xx x x -→（8）xx x x 20)21(lim +→-（9）)1ln(arctan lim20x tdtxx +⎰→（10）21)(cos lim x x x →10、求下列函数的单调区间（1）)1ln(x x y +-=（2）)0(82>+=x xx y（3）)1ln(2x x y ++=11、求下列函数的极值（1）3223x x y -=（2）x x y 33-=（3）)1ln(x x y +-=12、求下列函数的最大值和最小值（1）40,≤≤+=x x x y（2）31,2824≤≤-+-=x x x y13、求下列函数的凹凸区间和拐点（1）24334+-=x x y（2）x xe y -=（3）xe x y ++=4)1(14、证明下列不等式（1）当0>x 时，1)1ln(+>+x x x（2）)0(211cos 2>->x x x（3）当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++（4）当4>x 时，22x x >15、试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处取得极值，并求此极值。

第2章导数与微分题目

第二章导数与微分一、考试大纲考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数。

当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形. 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径. 二、主要内容三、基础题１．如果()f x 为偶函数,且(0)f '存在,证明(0)0f '=．２．求曲线cos y x =上点1(,)32π处的切线方程和法线方程．３．讨论下列函数在0x =处的连续性与可导性：(1) |sin |y x = ； (2)21sin ,00,0x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩．４．已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，求'()f x ．５．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a ．６．以初速度0v 竖直上抛的物体，其上升高度s 与时间t 的关系是2012s v t gt =-，求： (1) 该物体的速度；(2) 该物体达到最高点的时刻．７．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数．８．设()f x 可导，求下列函数y 的导数dy dx： (1)2()y f x =； (2) 22(sin )(cos )y f x f x =+．９．若()f x ''存在，求下列函数y 的二阶导数22d ydx：(1) 2()y f x = (2) ln[()]y f x =．10．求由下列方程所确定的隐函数的导数:dydx（1）+-=3330x y ax ；（2）=-1y y xe ． 11．求下列参数方程所确定的函数的导数：(1) 23x aty bt⎧=⎪⎨=⎪⎩； (2)2223131at x t at t ⎧=⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩． 12．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22d ydx：(1)cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩ (2)32t tx e y e-⎧=⎨=⎩ 13．求下列函数的微分:(1) =sin2y x x ； (2) 2ln (1)y x =-． 14．计算下列反三角函数值的近似值:：(1) arcsin 0.5002； (2) arccos 0.4995．四、提高题１．试从1dx dy y ='导出： (1) 223"(')d x y dy y =-； (2) 32353(")''''(')d x y y y dy y -=．２．求下列函数所指定的阶的导数：(1) cos ,x y e x =求 (4)y ； (2) ,y xshx =求(100)y ；(3) 2sin 2,y x x =求 (50)y ．３．求函数2sin y x =的n 阶导数的一般表达式．４．求曲线222333x y a +=在点)处的切线方程．５．求下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d ydx：(1) tan()y x y =+：(2)1yy xe =+．６．用对数求导法求下列函数的导数：(1);(2)1xx y y x ⎛⎫==⎪+⎝⎭７．求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33d ydx：(1) 231,;x t y t t ⎧=-⎨=-⎩ (2) 2ln(1),arctan .x t y t t ⎧=+⎨=-⎩ ８．溶液自水深18cm 顶直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1/min cm ，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？９．设3,0()||0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求复合函数()[()]x f f x Φ=的导数，并讨论'()x Φ的连续性．三、考研题１．(01，3分) 设=(0)0f ，则()f x 在点0x =可导的充要条件为(A) 201lim (1cosh)h f h→-存在. (B) 01lim (1)h h f e h →-存在.(C) 201lim (1sinh)h f h→-存在. (D) 01lim [(2h)()]h f f h h →-存在.２．（04.4分）设函数()f x 连续，且'(0)0,f >则存在0δ>，使得（A ）()f x 在(,0)δ-内单调增加. (B) ()f x 在(0,)δ内单调减少.(C) 对任意的(0,)x δ∈有()(0).f x f > (D) 对任意的(,0)x δ∈-有()(0).f x f >３．(02.3分)已知函数()y y x =由方程2610y e x y x ++-=确定，则(0)y ''= ．４．（03.12分）设函数()y y x =在(,)-∞+∞内具有二阶导数，且'0,()y x x y ≠=是()y y x =的反函数．(1) 试将()x x y =所满足的微分方程322(sin )0d xdx y x dy dy ⎛⎫++= ⎪⎝⎭变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件3(0)0,'(0)2y y ==的解．５．(92.3分) 设22()3||f x x x x =+，则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.６．（05.3分）设函数()lim n f x =()f x 在(,)-∞+∞内（）（ A ）处处可导 ( B )恰有一个不可导点. ( C ) 恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点. ７．（06.3分）设函数()=y f x 具有二阶导数，且'''>>∆()0,()0,f x f x x 为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分，若0x ∆>，则 ( )（ A ）0.dy y <<∆ （ B ）0y dy <∆<. ( C )0y dy ∆<<. ( D ) 0.dy y <∆< ８．（98.3分）函数23()(2)||f x x x x x =---不可导点的个数是（A ）3．（B ） 2 ( C ) 1 . ( D ) 0 ９．(97.3分) 对数螺旋线e θρ=在点2(,)(,)2e ππρθ=处的切线的直角坐标方程为.10．(04.3分) 曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 .四、测试题１．填空题（1）．已知函数()y y x =由方程2610y e xy x ++-=确定，由''=(0)y . （2.）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定,则0|x dy == .（3）曲线33cos sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩,上对应于6t π=点处的法线方程是 .（4）. 设函数()y y x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-所确定,则曲线()y f x =在点(1,0)处的法线方程为 .２．单项选择题（1）．设函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy a x∆∆=++且当0x ∆→时,a 是x ∆的高阶无穷小,(0),y π=则(1)y 等于(A) 442.().().().B C e D e πππππ（2）．()f x 在0x 处存在左、右导数，则()f x 在0x 点（ A ）可导 ( B ) 连续. ( C ) 不可导. ( D ) 不连续.（3）．设''0lim ()lim ()x x f x f x a +-→→==,则(A) ()f x 在0x x =处必可导且'0().f x a = ( B ) ()f x 在0x x =处必连续,但未必可导. ( C ) ()f x 在0x x =处必E 有极限但未必连续. ( D ) 以上结论都不对. （4）．设()f x 可导，且满足 0(1)(1)lim 1,2x f f x x→=-=-则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线斜率为：（ A ）2. ( B ) -2. (C )12. ( D ) -1.３．讨论2|2|,1(),1x x f x x x -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩的可导性．４．求下列函数的导数：（1）0y a => （2） tan (tan )x x y x x =+（3）y =（4）|(3)|y x x x =-５．求下列隐函数的导数'y（1）y x x y = （2）2y x x y =６．求参数式函数的导数'y ：2arctan 25tx ty ty e =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ７．求下列函数的微分：（1）(0)x y x x =>（2）21ln(12sin ),(2y x x θθ=-+为常数）.８．设()f x 在[,)a +∞可导，lim ()x f x →+∞存在，→+∞'=lim ()x f x b ，求证：0b =.。

高等数学讲义第二章

⾼等数学讲义第⼆章24 第⼆章⼀元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点⼀、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，⾃变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。

如果极限x x f x x f x yx x ?-?+=??→?→?)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。

如果上⾯的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另⼀等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则0000()()()l i mx x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。

右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→?→-+?-'==-? 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→?→-+?-'==-? 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

程：000()()()y f x f x x x '-=-25法线⽅程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表⽰物体在时刻0t 时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处⼀定连续，反之不然，即函数)(x f y =在点0x 处连续，却不⼀定在点0x 处可导。

自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册

第一章函数与极限一、选择题：1．函数1arccos 2x y +=的定义域是（）(A)1x ≤； (B)31x -≤≤； (C)(3,1)-； (D){}{}131x x x x <⋂-≤≤.2.函数23,401,03x x x x --≤≤⎧⎨+<≤⎩的定义域是（）(A)40x -≤≤；(B)3≤;(C)(4,3)-; (D){}{}4003x x x x -≤≤⋃<≤. 3、函数cos sin y x x x =+是（） (A)偶函数； (B)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 4、函数()1cos2f x x π=+的最小正周期是（）(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)12. 5、函数21xx +在定义域为（）(A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且 1122()f x ≤≤；(D)有界，且 2221xx -≤≤+ . 6、与()f x =）(A) x ；(B) 2；(C) 3； (D) x . 7、当0x →时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A ）2x ；（B ）1cos x -；（C ）tan x x -；（D ）ln(1)x +.8、设00,0,a b ≠则当（）时有10101010........lim .........m m m n n x na x a x a ab x b x b b --→∞+++=+++ . (A)m n > ； (B)m n = ；(C)m n < ； (D),m n 任意取 . 9、设1,10,01x x x x --<≤⎧⎨<≤⎩,则0lim ()x f x →=( )(A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 . 10、0limx xx→（） (A)1； (B)-1；(C)0； (D)不存在. 二、求下列函数的定义域：1sin(21)arctan ;y x x =++、2、()x φ=三、设2(1)231g x x x -=-- （1）试确定,,a b c 的值使2(1)(1)(1)g x a x b x c -=-+-+ ；（2）求(1)g x +的表达式 .四、求2()(1)sgn f x x x =+的反函数1()f x -.五、求极限：1、2221lim (1)n n n n →∞++- ； 2、3x → ； 3、2lim(1)xx x →+ ； 4、1lim (1)xx x e →∞- ；5、当0x ≠时，limcoscos ........cos 242n n x x x→∞； 6、21sinlimx x六、设有函数sin ,1()(1)1,1ax x f x a x x <⎧=⎨--≥⎩试确定a的值使()f x 在1x =连续 .七、讨论函数1arctan1()sin 2x x f x xπ-=的连续性，并判断其间断点的类型 . 八、证明奇次多项式：2120121()n n n P x a x a x a ++=+++ 0(0)a ≠至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数()f x 在点0x 的导数0()f x '定义为（）（A ）00()()f x x f x x+∆-∆；（B ）000()()limx x f x x f x x →+∆-∆；（C ）00()()limx x f x f x x→-∆；（D ）000()()limx x f x f x x x →--；2、若函数()y f x =在点0x 处的导数0()0f x '=，则曲线()y f x =在点(00,()x f x )处的法线（）（A ）与x 轴相平行；（B ）与x 轴垂直；（C ）与y 轴相垂直；（D ）与x 轴即不平行也不垂直：3、若函数()f x 在点0x 不连续，则()f x 在0x ( ) （A ）必不可导；（B ）必定可导；（C ）不一定可导；（D ）必无定义.4、如果()f x =（），那么()0f x '=. (A) arcsin 2arccos x x +； (B) 22sec tan x x +； (C) 22sin cos (1)x x +-；(D) arctan x +arc cot x .5、如果2,0()(1),0ax e x f x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩处处可导，那末（）（A ）1a b ==；（B ）2,1a b =-=-；（C ）1,0a b ==；（D ）0,1a b ==. 6、已知函数()f x 具有任意阶导数，且 []2()()f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时， ()f x 的n 阶导数()()n f x 是（）（A ）1![()]n n f x +；（B ） 1[()]n n f x +；（C ） 2[()]nf x ；（D ）2![()]nn f x .7、若函数()x x t =,()y y t =对t 可导且()0x t '≠,又()x x t =的反函数存在且可导，则dydx=（）（A ）()()y t x t '；（B ）()()y t x t '-'；（C ）()()y t x t ''；（D ）()()y t x t '. 8、若函数()f x 为可微函数，则dy （）（A ）与x ∆无关；（B ）为x ∆的线性函数；（C ）当0x ∆→时为x ∆的高阶无穷小；（D ）与x ∆为等价无穷小.9、设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时，记y ∆为()f x 的增量，dy 为()f x 的微分，0limx y dyx∆→∆-∆等于（）（A ）-1；（B ）0；（C ）1；（D ）∞.10、设函数()y f x =在点0x 处可导，且0()0f x '≠，则 0lim x y dyx∆→∆-∆等于（）.（A ）0；（B ）-1；（C ）1；（D ）∞ . 二、求下列函数的导数：1、2sin ln y x x =；2、cosh x y a = （0a >）；3、2sec (1)x y x =+ ；4、2ln[cos(103)]y x =+；5、设y 为x的函数是由方程arctany x=确定的；6、设2x y y =+，322()u x x =+，求dydu.三、证明sin tx e t =，cos ty e t =满足方程222()2()d y dyx y x y dx dx+=- . 四、已知()cos ,0(),0g x xx f x xa x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =，1、确定a 的值，使()f x 在0X =点连续；2、求()f x '五、设ln ,y x x =求()(1)n f ..七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A ）它们都给出了ξ点的求法 . （B ）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

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一、选择题 1、设函数()f x x = 在0x =处（）
A 不连续
B 连续且可导
C 不连续且不可导
D 不可导
2、若直线y x =与曲线ln 1y x =+相切，则切点坐标为（）
A (0,1)
B (1,1)
C (1,2)
D (2,1)
3、设函数()x f x e =在0x 处可导，且0()1f x '=，则0()f x 等于（）
A 1
B 2
C 3
D 4
4、设函数()f x 在点x a =处可导，则()()lim x a f x f a x a
→--等于（） A 0 B ()f a ' C 2()f a ' D (2)f a '
5、设函数()f x 在点0x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（）
A 等价无穷小
B 同阶非等价无穷小
C 低阶无穷小
D 高阶无穷小
*1、下列凑微分正确的是（）。

A. 2(2)xdx d x =
B.
)(ln 111+=+x d dx x ; C. 2
2(arctan 2)14dx d x x =+； D. cos 2(sin 2)xdx d x =。

*2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（）
A 1
B 12
C 12e
D 2e *3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（）
A 1
B 2e
C 2e
D e *4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x
→+--等于（） A 0 B ()f a ' C 2()f a ' D (2)f a '
*5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（）
A 等价无穷小
B 同阶非等价无穷小
C 低阶无穷小
D 高阶无穷小
*6、下列关于一元函数()y f x =的说法正确的是（）
（A ）连续必定可导；（B ）连续必定可微；（C ）可导必定连续；（D ）可导未必可微。

*7、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.
0,00,1sin )(2x x x x x f 在0x 处 ( ) (Ａ)连续，不可导；（Ｂ）不连续，不可导；（Ｃ）连续且可导；（Ｄ）不连续但可导。

二、判断题 1．若函数()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处连续. （）
2. 若函数()f x 在0x 处连续，则()f x 在0x 处可导. （）
3. 初等函数在其定义域内不一定可导. （）
4. 若函数)(x f 在0x 可导，则()f x 在0x 一定可导. （）
5. 若函数()f x 在0x 处可微，则()f x 在0x 处可导. . （）
三、填空题
1、设函数3()1f x x x =++，则(0)f '
2、设函数()x f x e =，则(0)f ''
3、设函数()f x 在0x 处可导，且0()1f x '=，则dy =
4、已知方程2280x x y -++=确定的隐函数为(x)y y =，则dy dx
= 5、已知参数方程cos sin x a t y b t
=⎧⎨=⎩确定的函数为(x)y y =，则dy dx = 四、计算题 *1、设函数()()(),()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，求()f a '
*2、设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '
*3、求曲线sin cos 2x t y t
=⎧⎨=⎩ 在 6t π=处的切线方程和法线方程 4、已知()21arctan y x x =+，求dy
5、已知x y x =，求y '
6、设函数arctan y x x =，求y '
7、设函数lnx x
y e =+，求dy 8、求曲线 sin cos x t y t
=⎧⎨=⎩ 在 4t π= 处的切线方程五、证明题
讨论函数
32,0
(x)1
,0
2
x
x x
f
x
⎧+≥
⎪
=⎨⎛⎫
<
⎪ ⎪
⎝⎭
⎩
在点0
x=处的连续性。