中考数学热点专题训练-规律探究问题

中考数学热点练习２规律探究问题数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。

它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.【答案】0，2【解析】根据题目的规则，0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，……，每6个数是一个循环单位，∴前6个数的和是0，2019÷6=336…3，∴这2019个数的和=0+1+1=2.2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043则第20行第19个数是_____________________． 【答案】625【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）=628，∴第20行第19个数是：628﹣3=625．3. （2019·武威）已知一列数a ，b ，a b +，2a b +，23a b +，35a b +，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9个数是 ． 【答案】1321a b +【解析】 由题意知第7个数是58a b +，第8个数是813a b +，第9个数是1321a b +，故答案为1321a b +． 4. （2019·云南）按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，……第n 个单项式是（ ） A.（－1）n －1x 2n －1 B.（－1）n x 2n －1 C.（－1）n －1x 2n ＋1 D.（－1）n x 2n ＋1【答案】C【解析】本题考查了通过探究规律性列代数式的能力，∵x 3=（﹣1）1﹣1x 2×1+1，﹣x 5=（﹣1）2﹣1x 2×2+1，x 7=（﹣1）3﹣1x 2×3+1，﹣x 9=（﹣1）4﹣1x 2×4+1，x 11=（﹣1）5﹣1x 2×5+1，…… 由上可知，第n 个单项式是：（﹣1）n ﹣1x 2n+1，因此本题选C ．5. (2019·聊城) 数轴上O ，A 两点的距离为4，一动点P 从点A 出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO 的中点A 1处，第2次从A 1点跳动到A 1O 的中点A2处，第3次从A 2点跳动到A 2O 的中点A 3处，按照这样的规律继续跳动到点A 4，A 5，A 6，…，A n (n≥3，n 是整数)处，那么线段A n A 的长度为________(n≥3，n 是整数).【答案】4－221-n【解析】∵AO=4，∴OA 1=2，OA 2=1，OA 3=12，OA 4=212，可推测OA n =221-n ，∴A n A=AO －OA n =4－221-n .6．（2019·安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．【答案】2019【解析】观察图表可知：第n 行第一个数是n 2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6=2019，故答案为2019．7. （2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a ＋b)n 的展开式(按b 的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s ＋x)15的展开式按x 的升幂排列得：(s ＋x)15=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 15x 15． 依上述规律，解决下列问题： (1)若s=1，则a 2= ．(2)若s=2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15= ．【答案】(1)105 (2)315【解析】(1)当s=1时， (1＋x)1=1＋x(1＋x)2=1＋2x ＋x 2 a 2=1(1＋x)3=1＋3x ＋3x 2＋x 3 a 2=3=1＋2 (1＋x)4=1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x4a 2=6=1＋2＋3(1＋x)5=1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5 a 2=10=1＋2＋3＋4(1＋x)6=1＋6x ＋15x 2＋20x 3＋15x 4＋6x 5＋x 6 a 2=15=1＋2＋3＋4＋5 当n=15时，a 2=1＋2＋3＋4＋ (14)21×(1＋14)×14=105．(2)若s=2，令x=1，则(2＋1)15= a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15=315． 考向2 几何图形类规律探究型问题1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（ ）A ．上方B ．右方C ．下方D ．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4=504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选C ．2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 个〇．【答案】6058【解析】 由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．3. （2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n =__________．【答案】1010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2213⨯-=个．第3幅图中有2315⨯-=个．第4幅图中有2417⨯-=个．⋯．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n 幅图中共有(21)n -个．当图中有2019个菱形时，212019n -=，1010n =，故答案为1010．4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n 个"T"字形需要的棋子个数为______. 【答案】3n+2【解析】第1个图形有5个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有11个棋子，所以第n 个图形有(3n+2)个棋子5. （2019·龙东地区）如图，四边形OAA 1B 1是边长为1的正方形，以对角线OA 1为边作第二个正方形OA 1A 2B 2，连接AA 2，得到△AA 1A 2；再以对角线OA 2为边作第三个正方形OA 2A 3B 3，连接A 1A 3，得到△A 1A 2A 3，再以对角线OA 3为边作第三个正方形OA 3A 4B 4，连接A 2A 4，得到△A 2A 3A 4，…，记△AA 1A 2，△A 1A 2A 3，△A 2A 3A 4…的面积分别为S 1，S 2，S 3…，如此下去，则S 2019=________．【答案】22017.【解析】△AA 1A 2中，AA 1=1，AA 1边上的高是1，它的面积S 1=12×1×1； △A 1A 2A 3中，A 1A 2A 1A 2边上的高是S 2=12△A 2A 3A 4中，A 2A 3A 2A 3边上的高是它的面积S 3=12…如此下去，△A 2018A 2019A 2020中，A 2018A 2019=201822222⨯⨯⨯⨯个相乘…=2018，A 2018A 2019边上的高是2018，它的面积S 2019=12×2018×2018=22017. 6. （2019 ·扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E DF D F D F ++⋯++++⋯+=__________．A 4AA 1【答案】40380【解析】11//D F AC ，11//D E AB ，∴111D F BF AC AB =，即1111D F AB DE AC AB-=， 5AB =，4BC =，11114520D E D F ∴+=，同理22224520D E D F +=，⋯，20192019201920194520D E D F +=，1122201920191122201920194()5()20201940380D E D E D E D F D F D F ∴++⋯++++⋯+=⨯=；故答案为40380．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）【答案】D【解题】延长DA 交x 轴于点M ∵A （-3，4），B （3，4），∴AB=6，AB ∥x 轴， ∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB=6，∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°， 连结OD ，Rt △DMO 中，MO=3 DM=10 则D 点的坐标为（-3，10）将△OAB 和正方形ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO 也同步绕点O 每次顺时针旋转90° 当图形绕点O 顺时针第一次旋转90°后， D 点的坐标为（10，3）， 当图形绕点O 顺时针第二次旋转90°后， D 点的坐标为（3，-10）， 当图形绕点O 顺时针第三次旋转90°后， D 点的坐标为（-10，-3）， 当图形绕点O 顺时针第四次旋转90°后， D 点的坐标为（-3，10）， 当图形绕点O 顺时针第五次旋转90°后， D 点的坐标为（10，3），······每四次为一个循环，∵70÷4=17···2，∴旋转70次后，D 点的坐标为（3，-10）， 故选D.2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）【答案】C【解析】A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），A 5（2，1），A 6（3，1），…， 2019÷4=504…3，所以A 2019的坐标为（504×2+1，0）， 则A 2019的坐标是（1009，0），故选C ．3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使1260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．【答案】2017(2-，2．【解析】由题意得，1A 的坐标为(1,0)，2A 的坐标为，3A 的坐标为(2-，，4A 的坐标为(8,0)-，5A 的坐标为(8,--，6A 的坐标为(16,-，7A 的坐标为(64,0)，⋯由上可知，A 点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x 正半轴上，其横坐标为12n -，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n -，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n -， 与第四点方位相同的点在x 负半轴上，其横坐标为12n --，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n --与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n --201963363÷=⋯，∴点2019A 的方位与点23A 的方位相同，在第二象限内，其横坐标为2201722n --=-，纵坐标为2故答案为：2017(2-，2．4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .【答案】：-31009【解析】：本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律： A 1（1，33），A 2（1，3-）， A 3（-3，3-），A 4（-3，33）， A 5（9，33），A 6（9，39-）， A 7（-27，39-），……A 2n+1[(-3)n ，3×(-3)n ]（n 为自然数），2019=1009×2+1，所以A 2019的横坐标为：(-3)1009=-31009. 5. （2019·本溪）如图，点B 1在直线l ：12y x =上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点C n的横坐标为【答案】1 7322n-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.【解题过程】如图，过B1、C1点分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，∵点B1在直线l：12y x=上，且点B1的横坐标为2，∴B1（2，1），∴B1M=1，OM=2，∴A1M=12.∵四边形A1C1B2B1是正方形，∴△A1B1M≌△C1A1N，∴A1N=1，∴C1的横坐标为2+1+12=2+32，在Rt△A1MB1中A1B12=，∴OB2=2，∴B2的坐标为（3，32）同理可得C2的横坐标为3+32×32，B3（92，94），C3的横坐标为92+94×32，…B n（2×132n-⎛⎫⎪⎝⎭，132n-⎛⎫⎪⎝⎭），C n的横坐标为2×132n-⎛⎫⎪⎝⎭+132n-⎛⎫⎪⎝⎭×32=17322n-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故答案为17322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.6. （2019·齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．【答案】191663-n ）（ 【解析】由题意知OA=1，则OB 1=33，∴S 1=63； ∴A 2(33，34)，∴A 2B 1=34，B 1B 2=394，∴S 2=63916⨯； ∴A 3(937，916)，∴A 2B 1=916，B 1B 2=32716，∴S 2=632916）（⨯；...∴Sn=191663-n ）（。