中考数学规律探究题(1)含答案

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规律探究题中考真题(解析版)

规律探究题中考真题1．【阅读理解】我们知道，，那么结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第行个圆圈中数的和为，即.这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为.【规律探究】将桑拿教学数阵经两次旋转可得如图所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：.因此，= .【解决问题】根据以上发现，计算的结果为.【答案】1345【详解】试题分析：先利用转化的而思想来探究=；再利用公式解决问题.试题解析：1345=考点：探究问题、解决问题的能力.2．观察以下等式：第1个等式：10101 1212++⨯=，第2个等式：11111 2323++⨯=，第3个等式：12121 3434++⨯=，第4个等式：13131 4545++⨯=，第5个等式：14141 5656++⨯=，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．【答案】（1）1515++=16767；（2）1111++=111n nn n n n--⋅++，证明见解析．【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证．【详解】（1）观察可知第6个等式为：15151 6767++⨯=，故答案为：15151 6767++⨯=；（2）猜想：1111111n nn n n n--++⨯=++，证明：左边=111111n nn n n n--++⨯++=1(1)1(1)n n n nn n++-+-+=(1)(1)n nn n++=1，右边=1，∴左边=右边，∴原等式成立，∴第n个等式为：1111111n nn n n n--++⨯=++，故答案为1111111n nn n n n--++⨯=++．【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键．3．观察以下等式:第1个等式:211 =111+，第2个等式:211=326+，第3个等式:211=5315+，第4个等式:211=7428+，第5个等式:211=9545+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.【答案】（1）211=11666+；（2）21121(21)n n n n=+--，见解析【分析】观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边式子的分母的值从1开始，后一项的值比前一个分母的值大2，分子不变，等式右边分子不变，第一个式子的分母等序增加，第二个分母的值依次为：1,6，15,28,45，根据顺序关系可以记作第n组式子对应的分母为n（2n+1），然后解题即可．【详解】解：（1）第6个等式：211= 11666+（2）211=2n-1n n2n-1+（）证明：∴右边112n-1+12====n n2n-1n2n-12n-1+（）（）左边.∴等式成立．【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．4．观察以下等式：第1个等式：121 12 311⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭第2个等式：321 12 422⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭第3个等式：521 12 533⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭第4个等式：721 12 644⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭第5个等式：921 12 755⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭······按照以上规律．解决下列问题：()1写出第6个等式____________；()2写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明．【答案】（1）112112866⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭；（2）2121122nn n n-⎛⎫⨯+=-⎪+⎝⎭，证明见解析．【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：112112866⎛⎫⨯+=-⎪⎝⎭；（2）2121122nn n n-⎛⎫⨯+=-⎪+⎝⎭，证明：∴左边=2122122111222n n n nn n n n n n--+-⎛⎫⨯+=⨯==-⎪++⎝⎭=右边，∴等式成立．【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．5．某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【答案】（1）2 ；（2） 24n+；（3）1008块【分析】（1）由图观察即可；（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；故答案为：2 ；（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；所以当地砖有n 块时，等腰直角三角形地砖有（24n +）块；故答案为：24n +；（3）令242021n += 则1008.5n =当1008n =时，242020n +=此时，剩下一块等腰直角三角形地砖∴需要正方形地砖1008块．【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．。

中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。

含答案中考数学复习专题六规律探索题

专题六规律探索题类型一数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六规律探索题类型一数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875，即点B 21的纵坐标为3875.。

2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)

2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1，，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55，，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝－52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。

中考数学高频考点《规律探究题》专项测试卷-带答案

中考数学高频考点《规律探究题》专项测试卷-带答案（14道）一、单选题1．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线” 其中12C C 23C C 34C C 45C C …的圆心依次按O A B 1C 循环．当1OA =时点2023C 的坐标是( )A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，2．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形第1幅图形中“●”的个数为1a 第2幅图形中“●”的个数为2a 第3幅图形中“●”的个数为3a … 以此类推那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2021B ．6184C ．589840D ．4317603．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想数学皆有可衡”数学创新设计活动中 “智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m n 按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（） A ．m n +B ．mC ．n m -D ．2n4．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023二填空题6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形顶点1B 2B 3B 4B 5B …都在x 轴上顶点1C 2C 3C 4C …都在正比例函数14y x =（0x ≥）的图象上且21212B C A C = 32322B C A C = 43432B C A C = … 连接12A B 23A B 34A B 45A B … 分别交射线1OC 于点1O 2O 3O 4O … 连接12O A 23O A 34O A … 得到122O A B ∆ 233O A B ∆ 344O A B ∆ …．若()12,0B ()23,0B ()13,1A ，则202320242024O A B ∆的面积为．7．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，ABC 是正三角形点A 在第一象限点()0,0B ()1,0C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至1CP 将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120︒至2BP 将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120︒至3AP 将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至4CP ……以此类推，则点99P 的坐标是．8．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图根据图中各式的规律 7()a b +展开的多项式中各项系数之和为． 9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中点A 在y 轴上点B 在x 轴上4OA OB == 连接AB 过点O 作1OA AB ⊥于点1A 过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B 过点1B 作12B A AB ⊥于点2A 过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B 过点2B 作23B A AB ⊥于点3A 过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B … 按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为．12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是．13．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．三解答题14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法可以探究23...n q q q q +++++的值其中01q <<．例求2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．方法1：借助面积为1的正方形观察图①可知2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于该正方形的面积即23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法2：借助函数1122y x =+和y x =的图象观察图①可知 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于1a 2a 3a … n a …等各条竖直线段的长度之和即两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x 轴的距为1所以 23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【实践应用】任务一完善2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的求值过程．方法1：借助面积为2的正方形观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象观察图①可知因为两个函数图象的交点的坐标为______所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．任务二参照上面的过程选择合适的方法求23233334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．任务三用方法2 求23n q q q q +++++的值（结果用q 表示）．【迁移拓展】 51+的矩形是黄金矩形将黄金矩形依次截去一个正方形后得到的新矩形仍是黄金矩形．观察图① 直接写出2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线” 其中12C C 23C C 34C C 45C C …的圆心依次按O A B 1C 循环．当1OA =时点2023C 的坐标是( )A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，【答案】A【分析】由题得点的位置每4个一循环经计算得出2023C 在第三象限与3C 7C 11C …符合同一规律探究出3C 7C 11C ...的规律即可．【详解】解：由图得123450110()()()()(140)205C C C C C ---，，，，，，，，， 67(506)1()C C --，，， … 点C 的位置每4个一循环202350543=⨯+①2023C 在第三象限与3C 7C 11C … 符合规律()11n --+，①2023C 坐标为)12(022--，．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究理解题意求出坐标是解题关键．2．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形第1幅图形中“●”的个数为1a 第2幅图形中“●”的个数为2a 第3幅图形中“●”的个数为3a … 以此类推那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2021B ．6184C ．589840D ．431760【答案】C【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律进而求解即可．【详解】解：1313a2824a 31535a 42446a…()2n a n n =+ ①123191111a a a a +++⋅⋅⋅+ 11111132435461921=++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯11111111111232435461921⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11111222021⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭589840=故选①C ．【点睛】此题考查图形的变化规律找出图形之间的联系找出规律是解题的关键．3．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想数学皆有可衡”数学创新设计活动中 “智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m n 按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（） A ．m n + B ．mC ．n m -D ．2n【答案】D【分析】先逐步分析前面5次操作可得整式串每四次一循环再求解第四次操作后所有的整式之和为：0m n n m m n n m ++----+= 结合202345053÷=⋅⋅⋅ 从而可得答案．【详解】解：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后得到整式串m n n m - m - n - 第4次操作后得到整式串m n n m - m - n - n m -+ 第5次操作后得到整式串m n n m - m - n -n m -+m⋅⋅⋅⋅⋅⋅归纳可得：以上整式串每六次一循环 ①202363371÷=⋅⋅⋅①第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等 ①这个和为2m n n m n ++-= 故选D【点睛】本题考查的是整式的加减运算代数式的规律探究掌握探究的方法并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．4．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点即2A 到()91,1A 第3圈有16个点即10A 到()252,2A 依次类推第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确故选B ．【点睛】本题考查图形与规律利用所给的图形找到规律是解题的关键．5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致故202023在第20列即20b = 向前递推到第1列时分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．二填空题6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形顶点1B 2B 3B 4B 5B …都在x 轴上顶点1C 2C 3C 4C …都在正比例函数14y x =（0x ≥）的图象上且21212B C A C = 32322B C A C = 43432B C A C = … 连接12A B 23A B 34A B 45A B … 分别交射线1OC 于点1O 2O 3O 4O … 连接12O A 23O A 34O A … 得到122O A B ∆ 233O A B ∆ 344O A B ∆ …．若()12,0B ()23,0B ()13,1A ，则202320242024O A B ∆的面积为．【答案】2023202494【分析】根据题意和图形可先求得12312290A B B B B A ∠∠=︒= 34323290A B B B B A ∠∠=︒=45434390A B B B B A ∠∠=︒=11190n n n n n n B A B B A B +--∠∠=︒= 333,02B ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233,02n n B -⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得2022202433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2023202533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2023202220232024202533333222B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2022202220232024143332342O n B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⨯⎝⎭⨯⨯⎭⎝ 利用三角形的面积公式即可得解．【详解】解：①()12,0B ()23,0B ()13,1A①点()13,1A 与点()23,0B 的横坐标相同 12OB = 12321B B =-= 121A B = 23OB = ①12A B x ⊥轴 ①1290A B O ∠=︒ ①21212B C A C = ①21212B C A C = ①四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形 ①1122A B A B ∥ 222A C OB ∥ 233A B OB ∥ 2223A B C B = 1121A B B C = ①112223A B B A B B ∠=∠ 12212C A C C B O ∠=∠ 12212C C A C OB ∠=∠ 2222111232B A B A B A BC == ①12212C C A C OB ∠∽ ①21222212232OB C B OB C A C A B B === ①23211322B B OB ==⨯①1222123232B B B B B A B C == 3233322OB OB ==⨯ ①212312A A B B B B ∽ ①12312290A B B B B A ∠∠=︒= ①333,02B ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭同理可得34323290A B B B B A ∠∠=︒= 45434390A B B B B A ∠∠=︒=11190n n n n n n B A B B A B +--∠∠=︒=2433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233,02n n B -⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2022202433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2023202533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2023202220232024202533333222B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①2022202333,2O n ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在14y x =上 ①2022202220232024143332342O n B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⨯⎝⎭⨯⨯⎭⎝①202320242024202320232202302240464220242025404820240211333222223944O A B SB O A B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭故答案为：2023202494．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质平行四边形的性质坐标与图形坐标规律熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键．7．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，ABC 是正三角形点A 在第一象限点()0,0B ()1,0C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至1CP 将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120︒至2BP 将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120︒至3AP 将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至4CP ……以此类推，则点99P 的坐标是．【答案】(49,503-【分析】首先画出图形然后得到旋转3次为一循环然后求出点99P 在射线CA 的延长线上点100P 在x 轴的正半轴上然后利用旋转的性质得到99100CP = 最后利用勾股定理和含30︒角直角三角形的性质求解即可．【详解】如图所示由图象可得点1P 4P 在x 轴的正半轴上 ①．旋转3次为一个循环 ①99333÷=①点99P 在射线CA 的延长线上 ①点100P 在x 轴的正半轴上 ①()1,0C ABC 是正三角形 ①由旋转的性质可得 11AC CP == ①112BP OC CP =+=①()12,0P ①212BP BP ==①3223AP AP OP AO ==+= ①433314CP CP CA AP ==+=+= ①445BP BC CP =+= ①()45,0P①同理可得 ()78,0P ()1011,0P ①()100101,0P ①100101BP = ①1001011100CP =-=①由旋转的性质可得 99100CP = ①如图所示过点99P 作99P E x ⊥轴于点E①60ACB ∠=︒ ①9930EP C ∠=︒ ①991502EC P C == ①49EO EC OC =-= 229999503P E P C EC -=①点99P 的坐标是(49,503-．故答案为：(49,503-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转勾股定理等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．8．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图根据图中各式的规律 7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【答案】128【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开即可得出结果．【详解】根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1 系数和：515101051322+++++==()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1系数和：61615201561642++++++==()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1系数和：71721353521711282+++++++== 故答案为：128．【点睛】此题考查了多项式的乘法运算以及规律型：数字的变化类解题的关键是弄清系数中的规律． 9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．【答案】(3【分析】先确定前几个点的坐标然后归纳规律按规律解答即可．【详解】解：由图形可得：()()()()()()2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A 如图：过1A 作1A B x ⊥轴①12,OA A①111cos601,sin603,OB OA A B OA =︒⨯==︒⨯= ①(13A ,同理：(((47104,3,3,10,3,A A A -①点1A 的横坐标为1 点2A 的横坐标为2 点3A 的横坐标为3 ……纵坐标三个一循环 ①2023A 的横坐标为2023 ①202336741÷= 674为偶数①点2023A 在第一象限 ①(20233A ．故答案为(3．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质解直角三角形坐标规律等知识点先求出几个点发现规律是解答本题的关键．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解．【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律找到规律是解题的关键．11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中点A 在y 轴上点B 在x 轴上4OA OB == 连接AB 过点O 作1OA AB ⊥于点1A 过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B 过点1B 作12B A AB ⊥于点2A 过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B 过点2B 作23B A AB ⊥于点3A 过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B … 按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为．【答案】20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据题意结合图形依次求出123,,A A A 的坐标再根据其规律写出2023A 的坐标即可．【详解】解：在平面直角坐标系中点A 在y 轴上点B 在x 轴上 4OA OB == OAB ∴是等腰直角三角形 45OBA ∠=︒1OA AB ⊥1OA B ∴是等腰直角三角形同理可得：1111,OA B A B B 均为等腰直角三角形 1(2,2)A ∴根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形依次可得：()2342211113,1,4,,4,,2222A A A ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可推出：点2023A 的坐标为20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及点的坐标变化规律问题等腰直角三角形的性质解题的关键是依次求出123,,A A A 的坐标找出其坐标的规律．12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是．【答案】23【分析】解直角三角形得出30AOB ∠=︒ 60BOC ∠=︒ 求出3ABC S 证明111ABC A B C ∽△△222ABC A B C ∽ 得出1114A B C ABCSS= ()22222242A B C ABCABCSSS=⋅=⋅ 总结得出()2222n n nn n A B C ABCABCSSS== 从而得出202320232023220232323A B C S⨯=【详解】解：①22OB =①()22,0B ①AB x ⊥轴①点A 的横坐标为2①13:l y =①点A 32622①2633tan 22AB AOB OB ∠==①30AOB ∠=︒ ①2:3l y x =①设(),C C C x y ，则3C C y x ①tan 3CCy BOC x ∠==①60BOC ∠=︒①1cos602222OC OB =⨯︒==3sin 60226BC OB =⨯︒==①130AOC BOC AOB ∠=∠-∠=︒ ①1AOB AOC ∠=∠ ①OA 平分BOC ∠ ①12AC l ⊥ AB OB ⊥ ①126AC AB ==①1AB AC = OA OA = ①1Rt Rt OAB OAC ≌ ①122OC OB ==①112222CC OC OC =-=①12ABCOABACC BOCSSSS=--126126122226222=⨯⨯--3①2BC l ⊥ ①90BCO ∠=︒①906030CBO ∠=︒-︒=︒ ①112B C l ⊥ 2BC l ⊥ 222B C l ⊥ ①2112B B C C B C ∥∥①112230C B O C B O CBO ∠=∠=∠=︒ ①1122C B O C B O CBO AOB ∠=∠=∠=∠ ①1AO AB = 112AO A B = ①AB x ⊥轴 11A B x ⊥轴①112OB OB = 1212OB OB =①AB x ⊥轴 11A B x ⊥轴 22A B x ⊥轴①1122AB A B A B ∥∥ ①11112AB OB A B OB ==22214AB OB A B OB == ①2112B B C C B C ∥∥ ①11112BC OB B C OB ==22214BC OB B C OB == ①1111AB BCA B B C = ①111903060ABC A B C ∠=∠=︒-︒=︒ ①111ABC A B C ∽△△ 同理222ABC A B C ∽ ①1114A B C ABCS S=()22222242A B C ABC ABCSSS=⋅=⋅ ①()2222n n nn n A B C ABCABCS SS==①202320232023220232323A B C S⨯=故答案为：23【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质解直角三角形三角形面积的计算平行线的判定和性质一次函数规律探究角平分线的性质三角形全等的判定和性质解题的关键是得出一般规律()2222n n nn n A B C ABCABCSSS==．13．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得故2023A 点坐标为()2023,1-．故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．三解答题14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法可以探究23...n q q q q +++++的值其中01q <<．例求2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．方法1：借助面积为1的正方形观察图①可知2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于该正方形的面积即23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法2：借助函数1122y x =+和y x =的图象观察图①可知 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于1a 2a 3a … n a …等各条竖直线段的长度之和即两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x 轴的距为1所以 23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【实践应用】任务一完善2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的求值过程．方法1：借助面积为2的正方形观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象观察图①可知因为两个函数图象的交点的坐标为______所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．任务二参照上面的过程选择合适的方法求23233334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．任务三用方法2 求23n q q q q +++++的值（结果用q 表示）．【迁移拓展】 51+的矩形是黄金矩形将黄金矩形依次截去一个正方形后得到的新矩形仍是黄金矩形．观察图① 直接写出2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】任务一、方法1：2 方法2：()2,2 2 任务二 3 任务三 1qq- [迁移拓展] 51- 【分析】任务一、仿照例题分别根据方法1 2进行求解即可任务二借助函数3344y x =+和y x =得出交点坐标进而根据两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点()2,2到x 轴的距为2 即可得出结果任务三参照方法2 借助函数y qx q =+和y x =的图象得出交点坐标即可求解 [迁移拓展]观察图①第一个正方形的面积为051111-⨯==⎝⎭ 第二个正方形的面积为2251511⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ……进而得出则2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于长51+的矩形减去1个面积为1的正方形的面积即可求解．【详解】解：任务一、方法1：借助面积为2的正方形观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2故答案为：2．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象观察图①可知因为两个函数图象的交点的坐标为()2,2所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．故答案为：()2,2 2．任务二：参照方法2 借助函数3344y x =+和y x =的图象 3344y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 解得：33x y =⎧⎨=⎩ ①两个函数图象的交点的坐标为()3,3232333334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．任务三参照方法2 借助函数y qx q =+和y x =的图象两个函数图象的交点的坐标为,11q q q q ⎛⎫⎪--⎝⎭①231n qq q q q q +++++=- [迁移拓展]根据图① 第一个正方形的面积为051111-⨯==⎝⎭ 第二个正方形的面积为2251511⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ …… 则2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51+的矩形减去1个面积为1的正方形的面积即24625151515151511122n⎛⎫----+-+++++=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了一次函数交点问题正方形面积问题理解题意仿照例题求解是解题的关键．。

2021年中考数学真题规律探究题-(解析版)

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）31规律探究题一、单选题1．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（） A ．23- B ．13C ．12-D ．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律， 202136732=⨯+，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．2．（2021·湖北中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．3．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A ．23B ．511C ．59D ．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102= 故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．4．（2021·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（）A ．100B ．121C ．144D ．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，…… 22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ∴第n 个图中的143q =， ∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去) ∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键． 5．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C 【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【详解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=，再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=，此时132132⨯=mg ，故选C ．【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．6．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11A OB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2-C ．()202020202,2D ．()201120212,2-【答案】C 【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷=，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒ ，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22-，()2020202020212,2A ∴，故选：C ．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题8．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12n n + 【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12n n +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．9．（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a 的值为______．【答案】-2 【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值．【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，∴626a -++=-， ∴2a =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功．10．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】2m m - 【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-． ∴1002=m∴23991000222222=2m m +++++==， ∴22991001012222222+++++=-，∴10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++．令012992222S ++++=①12310022222S ++++=②∴-∴，得10021S -=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=- 故答案为：2m m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．11．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第∴个图形中的黑色圆点的个数为：1，第∴个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第∴个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第∴个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．12．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________．【答案】()12112n n n a b +-+-⋅【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．【详解】解：∴当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，∴第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+- 【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．13．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3 【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．【答案】()221n n --．【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：∴22110=-，22321=-， 22532=-，…∴第n 个等式为：()22211n n n -=--故答案是：()221n n --．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．15．（2021·黑龙江中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1)2n n-．16．（2021·四川中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．17．（2021·四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=()12n n+，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∴第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4， ……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)， ∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n 【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯ 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯ …由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+故答案为：2n 2+2n ．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键． 19．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）. 【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可. 【详解】解：如图，过点N 作NM ∴x 轴于M 将1x =代入直线解析式y x =中得1y = ∴1OM MN ==，MON ∠=45° ∴1ONM =∠90° ∴1ON NM = ∴1ON NM ⊥ ∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0） ∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律. 20．（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．【答案】202020202019202033(,)22【分析】由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解．【详解】解：∴点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ， ∴1(2,0)A ，1(2,1)B ，∴A 1B 1=1，根据题意，OA 2=2+1=3， ∴2(3,0)A ，23(3,)2B ，同理，39(,0)2A ，399(,)24B ，427(,0)4A ，42727(,)48B ……由此规律，可得：123(,0)2n n n A --，112133(,)22n n n n n B ----，∴20211202112021202122021133(,)22B ----即2020202020212019202033(,)22B ，故答案为：202020202019202033(,)22．【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．21．（2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．【答案】(1011,1011)-- 【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点2345,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：由题意得：2(12,12)P -+-+，即2(1,1)P ，3(13,13)P --，即3(2,2)P --，4(24,24)P -+-+，即4(2,2)P ， 5(25,25)P --，即5(3,3)P --，观察可知，点1P 的坐标为(1,1)--，其中1211=⨯-，点3P 的坐标为(2,2)--，其中3221=⨯-，点5P 的坐标为(3,3)--，其中5231=⨯-，归纳类推得：点21n P -的坐标为(,)n n --，其中n 为正整数，2021210111=⨯-，∴点2021P 的坐标为(1011,1011)--，故答案为：(1011,1011)--．【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．22．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）【答案】【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到1B 的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而得到答案．【详解】11OB A △为等腰三角形 ∴直线1OB 的解析式为y x =由题意得：1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =()111B ∴，1OB ∴=112OA ∴== ()12,0A ∴122A A B △为等腰三角形∴设直线12A B 的解析式为y x b =+02b ∴=+，解得2b =-∴直线12A B 的解析式为2y x =-∴21y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =)21B ∴21222B A A y ∴==∴点2A ()233A A B △为等腰三角形∴设直线23A B 的解析式为1y x b =+∴10b =解得1b =-∴直线23A B的解析式为y x =-1y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得x =∴3B综上可得：点()111B ，，点)21B，点3B 总结规律可得n B坐标为：故答案为：【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标．23．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x =（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x 轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．【分析】由点A 是直线y x =与双曲线1y x =的交点，即可求出点A 的坐标，且可知45AOB ∠=︒，又AB AO ⊥可知AOB ∆是等腰直角三角形，再结合1BA OA //可知11BA B ∆是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求2021A 的坐标，即n A 的坐标（n =1,2,3……），故想到过点2021A 作20212021A C x ⊥轴，即过n A 作n n A C x ⊥轴．设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为2m +，再利用点1A 在双曲线上即可求解1A 坐标，同理可得2021A 的坐标．【详解】解：过n A 作n n A C x ⊥轴于点n C点A 是直线y x =与双曲线1y x =的交点1y xy x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩ ()1,1A ∴1,45OC AC AOC ∴==∠=︒AB AO ⊥∴AOB ∆是等腰直角三角形 ∴22OB AC ==1BA OA //∴11BA B ∆是等腰直角三角形 ∴111AC BC =设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为12m + 点1A 在双曲线上∴()1121m m +=解得11m设2A 的纵坐标为()20m m >，则2A 的横坐标为12222m m m ++=∴()221m m =解得2m同理可得3m =由以上规律知：n m2021m ∴2021A∴2021A =【点睛】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律． 24．（2021·山东中考真题）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n 个正方形的边长．【详解】解：点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，∴点1B 纵坐标为1．1OB ∴==分别过1B ，14,,C C ⋅⋅⋅作x 轴的垂线，分别交于14,,,D D D ⋅⋅⋅，下图只显示一条；111111190,B DA C DB B OD A B D ∠=∠=︒∠=∠,∴111Rt B DO Rt A DB ∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有11111211112n n n nC A BD B A C A OD OB C A C A +====⋅⋅⋅=，不妨设第1个至第n 个正方形的边长分别用：12,,,n l l l ⋅⋅⋅来表示，通过计算得：112OB l ==1211233222l l l C A =+==，2232233322l l l C A ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⋅⋅⋅11113322n n n n n n l l l C A ----⎛⎫=+== ⎪⎝⎭按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为1322n -⎛⎫⎪⎝⎭，132n -⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n 个正方形边长的方法与技巧． 25．（2021·湖北中考真题）如图，过反比例函数()0,0ky k x x=>>图象上的四点1P ，2P ，3P ，4P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，2A ，3A ，4A ，再过1P ，2P ，3P ，4P 分别作y 轴，11P A ，22P A ，33P A 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，4S ，1122334OA A A A A A A ===，则1S 与4S 的数量关系为_____________．【答案】414S S =．【分析】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ，由点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x =>>图象上，可求得11k A P m =，222k A P m =，333kA P m=，444k A P m =，根据矩形的面积公式可得1111kOA A P k S m m=⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k k A A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k kA A A P m m S =⋅=⋅=，由此即可得414S S =．【详解】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ， ∴点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x=>>图象上，∴11k A P m =，222k A P m =，333k A P m =，444kA P m=， ∴1111k OA A P k S m m =⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k kA A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k kA A A P m m S =⋅=⋅=，∴414S S =．故答案为：414S S =．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上点的特征求得11k A P m =、222k A P m =、333k A P m =、444kA P m=是解决问题的关键．26．（2021·四川）如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出∴AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，...，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【详解】解：∴AB ∴y 轴，点B （0，3），∴OB =3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x =-4，即A （-4，3），∴OB =3，AB =4，OA ，由旋转可知：OB =O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA =O 1A =O 2A 1=…=5，AB =AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4， ∴OB 1=OA +AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-=⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：3875．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出∴OAB 的各边，计算出OB 21的长度是解题的关键．27．（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形1ABCB 中，AB =AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】2020【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可. 【详解】∴AB与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB = ∴∴11B AA =30°，∴11B A =1B A ，∴111AA -；∴11B A =1，∴122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=133⨯=∴2112=2A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020233-⨯=,故答案为：2020. 【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键. 28．（2021·黑龙江中考真题）如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1A C 为一边，在BC 的延长线上作菱形111A CC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆……. 202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得14S =，2S =……由此规律可得242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∴四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ， ∴120ABC ∠=︒， ∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒， ∴1DA CD =， ∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆……. 202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE ∴CD 于点E ，如图所示：∴sin BE BC BCD =⋅∠=，∴11211244A D BE A S D =⋅==，同理可得：222212S A D ===223324S A D ===……； ∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-=；故答案为40382 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．29．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA =，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11A O 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．【答案】()3,1 【分析】根据已知条件结合等腰直角三角形的性质先求出点B ()1,1，点1B ()2,1，即可得出点B 向右每次平移1个单位长度，而2B 为点B 向右平移2个单位后的点，根据点平移规律即可得到答案【详解】如图过点B 作BC OA ⊥，△AOB 为等腰直角三角形，斜边OA 在y 轴上，2OA =1BC ∴=，11CO BO ==()1,1B ∴AOB 向右平移至111AO B ，点B 在11A O 上，同理可得点1B 的坐标为()2,1 AOB ∴每次向右平移1个单位，即点B 向右每次平移1个单位，2B ∴为点B 向右平移2个单位后的点2B ∴点的坐标为()3,1故答案为：()3,1 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及坐标与图像变换—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图像上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减．30．（2021·湖北荆门市·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．【答案】64 5 【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解【详解】通过观察发现： 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +，则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<-即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积，2263=396964=4096,,m n ，为正整数，64n ∴=当64n =时，=5m 故答案为：64，5【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．31．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为11a =，第二个图形表示的三角形数记为23a =，…，则第n 个图形表示的三角形数n a ＝___．（用含n 的式子表达）【答案】()12n n +【分析】由题意易得11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..；然后由此规律可得第n 个图形表示的三角形数．【详解】解：由图及题意可得：11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..∴第n 个图形表示的三角形数()112342n a n n n +=++++⋅⋅⋅⋅+=；故答案为()12n n+．【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可．32．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n个“龟图”中有a n个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n个“龟图”中有a n个“〇”（n为正整数）．观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），∴a30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“a n＝n2−n＋5（n为正整数）”是解题的关键．33．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图①中有5个三角形，图①中有11个三角形，图①中有19个三角形…，依此规律，则第n个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n+-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42 (2)∴上下两部分统一规律为：21+-．n n故答案为：21n n+-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．2021中考真题41。

中考数学专题复习分考点归纳练习规律探究之数式(一)

中考数学专题复习分考点归纳练习规律探究之数式（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．122．一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．713．观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．499B．500C．501D．10024．根据图中数字的规律，若第n个图中的143q ，则p的值为（）A．100B．121C．144D．1695．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．216．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣27．已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a=-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（） A ．23-B ．13C ．12-D ．238．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019评卷人得分二、填空题 9．观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．10．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．11．如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．12．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形按此规律摆下去，第n 个图案有_______个三角形（用含n 的代数式表示）．14．观察下列等式： 2+22=23﹣2； 2+22+23=24﹣2； 2+22+23+24=25﹣2； 2+22+23+24+25=26﹣2； …已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m ，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m 的代数式表示)． 15．观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．16．观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．17．按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3-4，37，3﹣11，318，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是______．18．把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：按此规律，可知第n行有_________个正整数19．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．20．将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对(a，b)表示第a排，从左至右第b 个数．例如(4，3)表示的数是9，则(7，2)表示的数是_________.21．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．22．观察下面的变化规律：212112112111,,,133353557577979=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯，……222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________．23．观察下列各式的规律：①2132341⨯-=-=-；①2243891⨯-=-=-；①235415161⨯-=-=-．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．24．有一列数，按一定的规律排列成13，1-，3，9-，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是567-，则这三个数中第一个数是______．25．观察下列各式：1234523101526,,,,,357911a a a a a=====，根据其中的规律可得na=________（用含n的式子表示）．26．下面各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，……，按此规律，第10个图中黑点的个数是________．27．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第①个图形中一共有7个菱形，第①个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第①个图形中菱形的个数为________．28．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．-1-610a-4-52-329．一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b+-+-，…，则第n个式子是30．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．评卷人得分三、解答题 31．阅读解答：（1）填空：1022==_____()2=；2122-=_____()2=；3222-=_____()2=…… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式_________；（3）根据上述规律，计算：012342021222222++++++．参考答案：1．D 【解析】【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+= ∴这个数为51102= 故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键． 2．C 【解析】【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n 个数的表示方法，从而得出结果. 【详解】解：1=1×2-1， 5=2×3-1， 11=3×4-1， 19=4×5-1， ...第n 个数为n （n+1）-1，则第7个数是：55 故选C. 【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是总结出第n 个数为n （n+1）-1. 3．C【解析】【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n 的值．【详解】设最后三位数为x －4,x －2,x ．由题意得: x －4+x －2+x =3000, 解得x =1002． n =1002÷2=501．故选C ．【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤． 4．B 【解析】【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知： 1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ①第n 个图中的143q =， ①2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去) ①2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．5．B【解析】【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第①个图案中黑色三角形的个数．【详解】解：①第①个图案中黑色三角形的个数为1，第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……①第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．6．A【解析】【分析】根据已知条件和2100=S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【详解】解：①2100=S，①2100+2101+2102+…+2199+2200=S+2S+22S+…+299S+2100S=S（1+2+22+…+299+2100）=S（1+2100-2+2100）=S（2S-1）=2S2-S．故选：A．【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 7．D 【解析】【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答． 8．B 【解析】【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1， ①第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2， ①第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9．12nn + 【解析】【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+， … 则第n 项是12nn +；故答案为：12n n +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 10．1275【解析】【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．11．2n+1【解析】【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．12．20【解析】【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：①第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……①第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，①第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．13．()31n +【解析】【分析】由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答．【详解】解：由图形可知：第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形，...第n 个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形．故答案为（3n+1）．【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．14．()21m m﹣．【解析】【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=220(220×2﹣1)，再将220=m 代入即可求解．【详解】①220=m ，①220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=m(2m ﹣1)．故答案为：m(2m ﹣1)．【点睛】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．2m m -【解析】【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-．①1002=m①23991000222222=2m m +++++==， ①22991001012222222+++++=-，①10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……①1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++．令012992222S ++++=① 12310022222S ++++=②①-①，得10021S -=①10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=- 故答案为：2m m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键． 16．()221n n --．【解析】【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：①22110=-，22321=-，22532=-，…①第n 个等式为：()22211n n n -=-- 故答案是：()221n n --．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．17．bc =a##a=bc【解析】【分析】首先判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，前两数相除等于第三个数，可得这列数中的连续三个数，满足a ÷b ＝c ，据此解答即可．【详解】①3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，121333-÷=，213333-÷=，134333--÷=，347333-÷=，4711333--÷=，71118333-÷=，…， ①a ，b ，c 满足的关系式是a ÷b ＝c ，即bc =a ．故答案为：bc =a ．【点睛】此题考查了实数的规律问题，同底数幂的除法运算，负整数指数幂等知识，解题的关键是正确分析出题目中指数之间的规律．18．12n -【解析】【分析】仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1102=2=1-个数字，第二行有2112=2=2-个数字，第三行有3122=2=4-4个数字，第四行有4132=2=8-个数字，由此得出规律求解即可．【详解】解：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1102=2=1-个数字，第二行有2112=2=2-个数字，第三行有3122=2=4-4个数字，第四行有4132=2=8-个数字，①可以推出第n 行有12n -个数字，故答案为：12n -．【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，解题的关键在于准确理解题意得到规律．19． 64 5【解析】【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解【详解】通过观察发现：1=13=1+26=1+2+310=1+2+3+4……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +，则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1 设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<- 即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积，2263=396964=4096,,m n ，为正整数， 64n ∴=当64n =时，=5m故答案为：64，5【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．20．23【解析】【详解】根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6=21，所以第7排；应从左到右由小到大，从22开始数，第二个应是23，所以（7，2）表示的数是23．故答案是：23.21．3【解析】【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．22．2020 2021【解析】【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．【详解】由题干信息可抽象出一般规律：211a b a b=-•（,a b均为奇数，且2b a=+）．故222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯111111111111111202011()()()1 3355720192021335520192019202120212021 -+-+-++-=+-+-++--=-=．故答案：20202021．【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．23． 246524251⨯-=-=- ()()2211n n n ⨯+-+=- 【解析】【分析】（1）按照前三个算式的规律书写即可；（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；【详解】（1）2132341⨯-=-=-，①2243891⨯-=-=-，①235415161⨯-=-=-，①246524251⨯-=-=-；故答案为246524251⨯-=-=-．（2）第n 个式子为：()()2211n n n ⨯+-+=-．故答案为()()2211n n n ⨯+-+=-．【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．24．81-【解析】【分析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设三个数为n ，-3n ，9n ，据题意列式即可求解．【详解】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设第一个数是n ，则三个数为n ，-3 n ，9n由题意：()n 3n 9n 567+-+=-，解得：n=-81，故答案为：-81．【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．25．()12121n n n ++-+【解析】【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n 项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n 2+1，偶数项的分子是n 2-1，即第n 项的分子是n 2+（-1）n+1；依此即可求解．【详解】解：由分析得21(1)21n n n a n ++-=+，故答案为：21(1)21n n n a n ++-=+【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．26．119【解析】【分析】根据题意，找出图形的规律，得到第n 个图形的黑点数为2(1)2n +-，即可求出答案．【详解】解：根据题意，第1个图有2个黑点；第2个图有7个黑点；第3个图有14个黑点；……第n 个图有2(1)2n +-个黑点；①当n=10时，有2(101)21212119+-=-=（个）；故答案为：119．【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形的摆放规律，得出数字之间的运算方法，利用计算规律解决问题．27．57【解析】【分析】根据题意得出第n 个图形中菱形的个数为21n n ++；由此代入求得第①个图形中菱形的个数．【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，2312=+；第①个图形中共有7个菱形，2723=+；第①个图形中共有13个菱形，21334=+；…，第n 个图形中菱形的个数为：21n n ++；则第①个图形中菱形的个数为277157++=．故答案为：57．【点睛】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律． 28．-2【解析】【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值．【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，①626a -++=-，①2a =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功．29．()12112n n n a b +-+-⋅ 【解析】【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．【详解】解：①当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，①第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+- 【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．30．875【解析】【分析】设第n 个“龟图”中有an 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”，再代入n ＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有an 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，①an ＝1＋（n ＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n ＋5（n 为正整数），①a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”是解题的关键．31．（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n -2n -1=2n -1；（3）202221-【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；（2）根据（1）中式子的规律，可得结果；（3）设S =20+21+22+23+24+…+22021，然后表示出2S ，再相减计算即可得解．【详解】解：（1）21-20=1=20，22-21=2=21，23-22=4=22；（2）由题意可得：2n -2n -1=2n -1；（3）设012342021222222S =++++++， ①12342022222222S =+++++， ①2S S S =-=()()1234202201234202122222222222+++++++++++- =202221-．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，主要利用了有理数的乘方的计算，难点在于（3）利用整体思想求解．。

中考规律探索题训练含答案

规律探索一.选择题1.（2015第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A． 2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π考点：旋转的性质；弧长的计算．.专题：规律型．分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．解答：解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，2015÷4=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．2.（2015荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即≥1008，解得：n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．3.（2015第10题3分）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．B．C．D．【答案】D.考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．4. （2015•威海，第12 题3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．.专题：规律型．分析：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．解答：解：连结OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．5．（2015•日照，第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A． 36 B．45 C．55 D．66考点：完全平方公式．.专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键6 , （2015•,第11题3分）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，….按照上述规律，第2015个单项式是（）(A ) 2015x 2015. (B ) 4029x 2014. (C ) 4029x 2015. (D ) 4031x 2015.【答案】C【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n －1），而后面因式x 的指数是连续自然数，因此关于x 的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为. 故选C考点：探索规律7．(2015·，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（） A .（2014,0）B .（2015，－1）C . （2015,1）D . （2016,0）B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r =1，∴半圆长度=π，∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015， ∵2π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：1008×2－1=2015，纵坐标为－1，∴点P (2015，－1) .图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（）A． 14 B．15 C．16 D．17考点：规律型：图形的变化类．.分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．解答：解：第一个图形有：5个○，第二个图形有：2×1+5=7个○，第三个图形有：3×2+5=11个○，第四个图形有：4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．故选：C．点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．8. （2015•省市，第7题，3分）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20，阴影部分是由第l个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（B）A.231πB.210πC.190πD.171π9. （2015•，第10题4分）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h ，若1h =1，则2015h 的值为【】A . 201521B . 201421C . 2015211-D . 2014212-【答案】D .【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是△ABC 的中位线，D 1E 1是△A D 1E 1的中位线，D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线，…∴21111122h =+=-， 32211111222h =++=-， 42331111112222h =+++=-， (20152201420141111112222)h =+++⋅⋅⋅+=-. 故选B二.填空题1．（2015•,第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是45 ，2016是第63 个三角形数．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案即可．解答：解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2016，n（n+1）=4032，解得：n=63．故答案为：45，63．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．4. （2015•省江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；n =n 时，根数为：2n （n +1）．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．5．(2015·，第15题分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第56个图形有个太阳。

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中考数学规律探究题（1）
1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为．
2.一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，____,_____,____这串数是由小明按照一定规则写下来的,他第一次写下“0，1”,第二次按着写“2，3”,第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么这串数的最后三个数应该是下面的（） A ．31，32，64; B ．31，62，63; C ．31，32，33; D ．31，45，46
3.观察下面的一列数：12 ，-16 ，112 ，-1
20 ……请你找出其中排列的规律，并按此规律填空，第
9个数是_______。

4.观察下列各式：13+12, 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102 ……猜想：13+23+33+…+103
= ． 5.面一组按规律排列的数：1,2,4,8，16，……，第2012个数应是 6.观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（）
A ．2 2007
B ．2 2007-1
C ．2 2008
D ．2
2006
7.观察下面的单项式：a ，-2a 2，4a 3，-8a 4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 8.一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据95 ，1612 ，2521 ，36
32 ，…中得到巴尔末公式，从而
打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________． 9.观察规律并填空：112 ,214 ，31
8 …，第5个数是，第n 个数是．
10.按一定规律排列的一列数依次为
23，58，1015，1724，2635…，按此规律排列下去，这列数的第n 个数是
（n 是正整数）．
11.
那么，当输入数据是7时，输出的数据是
12.观察下面一列分式：3579
234,,,,x x x x y y y y
--…（其中x ≠0），根据你发现的规律．试写出给定的
那列分式中的第7个分式．
13.1766年德国人提丢斯发现，太阳系中的行星到太阳的距离遵循一定的规律，如下表所示：
颗行星到太阳的距离是天文单位．14.观察下列等式：第1行 341=-；第2行 594=-；第3行 7169=-；第4行 92516=-…按照上述规律，第n 行的等式为．
15.观察下列等式：121＝112，12321＝1112，1234321＝11112，…，那么，12345678987654321＝。

16.观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4……请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来 .
17.观察下列各式，你会发现什么规律？1×3
＝22-1；3×5＝42-1；5×7＝62-1；……11×13＝122-1将你发现的规律用只含有一个字母的式子表示出来：。

18.已知：2+
2
3=22×
2
3，3+
3
8=32×
3
8,4+
4
15=42×
4
15，5+
5
24=52×
5
24…,若10+
b
a=102×
b
a符合前面式子的规律，则a + b = ___ ____．
19.观察下列等式：16115
-=；25421
-=；36927
-=；491633
-=；… 用自然数n（其中1
n≥）表示上面一系列等式所反映出来的规律是．
20.观察下列各式：
11
12
33
+=，
11
23
44
+=，
11
34
55
+=，…请你将发现的规律用含自然数(1)
n n≥的等式表示出来．
21.一个由数字1和0组成的2005位的数码，其排列规律是101101110101101110101101110…，其中“0”的个数为____________.
22.观察下列各式：
111
1
1323
⎛⎫
=-
⎪
⨯⎝⎭
，
1111
35235
⎛⎫
=-
⎪
⨯⎝⎭
，
1111
57257
⎛⎫
=-
⎪
⨯⎝⎭
，…，根据观察计算：
1111
133557(21)(21)
n n
++++
⨯⨯⨯-+
＝．（n为正整数）
23.填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = ．
24.是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中由个基础图形组成．
25.搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管．
26.如图一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗.
图1 图2 图3
(第25题图)
27.下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为．
28.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成，图中，第1个黑色L形由3个正方形组成，第2个黑色L形由7个正方形组成，…那么第6个黑色L形的正方形个数是.
29.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆．
30.如下图是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第⑷、第⑸个“上”字分别需用和枚棋子；
（2）第n个“上”字需用枚棋子。

31.如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是______，第n个“广”字中的棋子个数是__ 。

32.为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）
A．26n
+B．86n
+C．44n
+D．8n
33.观察表1，寻找规律．表2是从表1中截取的一部分，其中a b c
，，的值分别为（）
A．20，25，24 B．25，20，24
C．18，25，24 D．20，30，25
27题
34.根据如图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）
A．3n B．3n(n+1) C.6n D.6n(n+1)
35.如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图
②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有
个.
36.观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有个圆．
37.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）
A．2n+2 B．4n+4 C．4n-4 D．4n
38.根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．
39.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．
40.观察下列图形（每幅图中最小
．．的三角形都是全等的），请写出第
n个图中最小
．．的三角形的个数有个．
第1个图第2个图第3个图第4个图38题
答案:
1.50
2.B
3.1
90 4.552 5.22011 6.C 7.-128a88.
(n+2)²
n²+4n9.5
1
32n+
10.
n²+1
n(n+2)11.
7
6212.13.10 14.2n+1=(n+1)
2-n215.1111111112
16.n2+n=n(n+1) 17. n(n+2)=(n+1)2-1 18.109 19.(n+3)2-n2=3(2n+3)
20.n+ 1
n+2=(n+1)
1
n+221.668 22.
n
2n+123.108 24.3n+1 25.83
26.27 27.3n+2 28.23 29.46 30.18,22,4n+2 31.15,2n+5 32.A 33.A 34.B 35.181 36.65 37.D 38.7,63 39.(n+1)2-1=n2+2n 40.4n-1。