中考数学专题复习--规律探究型问题
中考数学二轮-专题1-规律探究型问题针对训练
第二部分专题一类型1 数式规律1．(2018·梧州)按一定规律排列的一列数依次为：2,3,10,15,26,35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100 个数是( A )A．9 999 B．10 000C．10 001 D．10 0022．(2017·贺州)将一组数 2，2， 6，2 2， 10，…，2 10，按下列方式进行排列：2，2， 6，2 2，10；2 3， 14，4,3 2，2 5；…若2 的位置记为(1,2)，2 3的位置记为(2,1)，则38这个数的位置记为( B ) A．(5,4) B．(4,4)C．(4,5) D．(3,5)3．(2018·绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵：135791113 15 17 1921 23 25 27 29…按照以上排列的规律，第25 行第20 个数是( A )A．639 B．637C．635 D．6334．(2018·枣庄)将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列：第 1 行1第 2 行234第 3 行98765第 4 行10 11 12 13 14 15 16第 5 行25 24 23 22 21 20 19 18 17则2 018 在第45 行．5 7 9 11 415．(2018·百色)观察以下一列数：3，，，，，…，则第20 个数是 .4 9 16 25 4006．(2016·贵港)已知a＝t，a＝1，a＝1，…，a ＝1(n为正整数，11＋t121－a131－a2n＋1 1－a n且t≠0,1)，则a2016＝－(用含有t的代数式表示)．t1 1 17．(218·成都)已知a＞，S1＝2－134315，…(即a S2S41当n为大于1 的奇数时，S＝；当n为大于1 的偶数时，S＝－S －1)，按此规律，Sa＋1－ .anSn－1n n－1 2 0181 1 1 18．(2018·咸宁)按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前 2 018 个数的和为2 018.2 0192 6 12 209．(2016·南宁)观察下列等式：第1 层1＋2＝3第2 层4＋5＋6＝7＋8第3 层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4 层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2 016 在第44 层．10．(2018·桂林)将从1 开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10 记为(3,2)，自然数15 记为(4,2)…按此规律，自然数2 018 记为(505,2) .行列第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 1 行1234第 2 行8765第 3 行910 11 12第 4 行16 15 14 13………………第m行…………类型2 图形累加规律1．(2018·烟台)如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按＝此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为( C )A ．28B ．29C ．30D ．312．(2018·重庆 A 卷)把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 4 个三角形，第②个图案中有 6 个三角形，第③个图案中有 8 个三角形，…，按此规律排列下去， 则第⑦个图案中三角形的个数为( C )A ．12B ．14C ．16D ．183．观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4 个点，第 2 个图中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点，…，按此规律第 6 个图中点的个数是( C )A ．46B ．63C ．64D ．734．(2018·自贡)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 018个图形共有6_055 个○.5．(2018·赤峰)观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第 n 个“星阵”中 的★的个数是n22 .类型 3 图形成倍递变规律3)n －11．(2016·钦州)如图，∠M O N ＝60°，作边长为 1 的正六边形 A 1B 1C 1D 1E 1F 1，边 A 1B 1，F 1E 1 分别在射线 O M ，O N 上，边 C 1D 1 所在的直线分别交 O M ，O N 于点 A 2，F 2，以 A 2F 2 为边作正六边 形A 2B 2C 2D 2E 2F 2 ，边 C 2D 2 所在的直线分别交 O M ，O N 于点 A 3 ，F 3 ，再以 A 3F 3 为边作正六边形ABCDEF ，…，依此规律，经第 n 次作图后，点 B 到 O N 的距离是 3n －1· 3 .3 3 3 3 3 3n2．如图，在边长为 1 的菱形 A B C D 中，∠DAB ＝60°.连接对角线 A C ，以 A C 为边作第二个菱形A C C 1D 1，使∠D 1A C ＝60°.连接 A C 1，再以 A C 1 为边作第三个菱形 A C 1C 2D 2，使∠D 2A C 1＝60°，……，按此规律所作的第 n 个菱形的边长是 ( .3．(2018·贵港)如图，直线 l 为 y ＝ 3x ，过点 A 1(1,0)作 A 1B 1⊥x 轴，与直线 l 交于点 B 1，以原点 O 为圆心，O B 1 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A 2；再作 A 2B 2⊥x 轴，交直线 l 于点 B 2， 以原点 O 为圆心，O B 2 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A 3；……，按此作法进行下去，则点 A n 的 坐标为 (2n －1,0) .4．(2016·梧州)如图，在坐标轴上取点 A 1(2,0)，作 x 轴的垂线与直线 y ＝2x 交于点 B 1，作等腰直角三角形 A 1B 1A 2；又过点 A 2 作 x 轴的垂线交直线 y ＝2x 交于点 B 2，作等腰直角 三角形 A 2B 2A 3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到 A n (n 为正整数)点时，则 A n 的坐标 是 (2×3n －1,0) .5．(2018·广东)如图，已知等边△OAB ，顶点 A 在双曲线 y ＝ 3(x ＞0)上，点 B 的坐1 111x标为(2,0)．过B1作B1A2∥O A1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为(26，0).6．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点A6的坐标是(63,32).类型 4 图形周期变化规律1．(2018·钦州三模)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2018处，则点A2018与点A0间的距离是( C )第 1 题图A．0 B．2C．2 3 D．42．(2018·广州改编)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1 m．其行走路线如图所示，第1次移动到A，第2次移动到A，…，第n次移动到A，则△O AA的面积是504_m2.1 2 n 2 2 018第 2 题图3．等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A(－6,0)，点B在原点，CA ＝CB ＝5，把等腰三角形 ABC 沿 x 轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第 1 次翻转到位置 ①，第 2 次翻转到位置②，…，依此规律，第 15 次翻转后点 C 的横坐标是 77 .第 3 题图14．(2018·衡阳)如图，在平面直角坐标系中，函数 y ＝x 和 y ＝－ x 的图象分别为直线2l 1，l 2，过点 A 1(1，－ 1)作 x 轴的垂线交 l 1 于点 A 2，过点 A 2 作 y 轴的垂线交 l 2 于点 A 3，过点 2A 3 作 x 轴的垂线交 l 1 于点 A 4，过点 A 4 作 y 轴的垂线交 l 2 于点 A 5，…依次进行下去，则点 A 2 018的横坐标为 21 008 .第 4 题图5．(2017·咸宁) 如图，边长为 4 的正六边形 A B C D E F 的中心与坐标原点 O 重合，A F ∥x 轴，将正六边形 A B C D E F 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转 60°.当 n ＝2 017 时，顶点 A 的坐标为 (2,2 3) .第 5 题图。
中考数学题型归类与解析31---规律探究题(解析版)
中考数学题型归类与解析专题31 规律探究题一、单选题1．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．23【答案】D【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值． 【解析】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 会发现是以：213,,32-，循环出现的规律， 202136732=⨯+，2021223a a ∴==， 故选：D ．【小结】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．2．（2021·湖北中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【解析】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【小结】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．3．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【解析】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【小结】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．4．（2021·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（）A ．100B ．121C ．144D ．169【答案】B【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【解析】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【小结】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．5．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【解析】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12， 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=， 此时132132⨯=mg ， 故选C ．【小结】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．6．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11A OB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（ ）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2-D ．()201120212,2-【答案】C由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【解析】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷=，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒ ，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22， ()2020202020212,2A ∴，故选：C ．【小结】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21n n Y =-，代入规律求解即可．解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯， 故答案选：B ．【小结】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题8．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 【答案】12n n +【分析】 根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【解析】解：根据题意可知：第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+， 第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +． 【小结】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．9．（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a 的值为______．【答案】-2【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值．【解析】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，∴626a -++=-，∴2a =-，故答案为：2-．【小结】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功． 10．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】2m m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和． 【解析】由题意规律可得：2399100222222++++=-． ∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++==， ∵22991001012222222+++++=-，∴10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++． 令012992222S ++++=①12310022222S ++++=② ②-①，得10021S -=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=- 故答案为：2m m -．【小结】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．11．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【解析】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +， 则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...， 其中每3个数中，都有2个能被3整除， 33÷2=16...1， 16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275， 故答案为：1275． 【小结】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．12．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________． 【答案】()12112n n n a b +-+-⋅【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号． 【解析】解：∵当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，∴第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+-【小结】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．13．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3 【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和． 【解析】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律， 例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加， 即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加， 即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加， 即空缺数为：3， 故答案是：3． 【小结】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题． 14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________． 【答案】()221n n --． 【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可． 【解析】解：∵22110=-，22321=-， 22532=-，…∴第n 个等式为：()22211n n n -=--故答案是：()221n n --． 【小结】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．15．（2021·黑龙江中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【解析】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【小结】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1)2n n-．16．（2021·四川中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【解析】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【小结】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．17．（2021·四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得． 【解析】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1， 第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2， 第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3， 第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4， ……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)， ∴第20个图形共有210个小球． 故答案为：20． 【小结】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n 【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可． 【解析】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯ 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯ …由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+故答案为：2n 2+2n ． 【小结】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．19．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）. 【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可. 【解析】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M 将1x =代入直线解析式y x =中得1y = ∴1OM MN ==，MON ∠=45° ∵1ONM =∠90° ∴1ON NM = ∵1ON NM ⊥ ∴11OM MM == ∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0） 同理可以求出3M 的坐标为（8，0） 同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0） ∴2021M 的坐标为（20212，0） 故答案为：（20212，0）.【小结】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律. 20．（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．【答案】202020202019202033(,)22【分析】由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解． 【解析】解：∵点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ， ∴1(2,0)A ，1(2,1)B ，∴A 1B 1=1， 根据题意，OA 2=2+1=3， ∴2(3,0)A ，23(3,)2B ， 同理，39(,0)2A ，399(,)24B ，427(,0)4A ，42727(,)48B……由此规律，可得：123(,0)2n n n A --，112133(,)22n n n n n B ----，∴20211202112021202122021133(,)22B ----即2020202020212019202033(,)22B ，故答案为：202020202019202033(,)22．【小结】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．21．（2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．【答案】(1011,1011)--【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点2345,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．【解析】解：由题意得：2(12,12)P -+-+，即2(1,1)P ，3(13,13)P --，即3(2,2)P --，4(24,24)P -+-+，即4(2,2)P ，5(25,25)P --，即5(3,3)P --，观察可知，点1P 的坐标为(1,1)--，其中1211=⨯-， 点3P 的坐标为(2,2)--，其中3221=⨯-，点5P 的坐标为(3,3)--，其中5231=⨯-，归纳类推得：点21n P -的坐标为(,)n n --，其中n 为正整数，2021210111=⨯-，∴点2021P 的坐标为(1011,1011)--，故答案为：(1011,1011)--．【小结】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 22．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到1B 的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而得到答案．【解析】11OB A △为等腰三角形∴直线1OB 的解析式为y x = 由题意得：1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =()111B ∴，1OB ∴=112OA ∴==()12,0A ∴122A A B △为等腰三角形∴设直线12A B 的解析式为y x b =+02b ∴=+，解得2b =-∴直线12A B 的解析式为2y x =- ∴21y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =)21B ∴21222B A A y ∴==∴点2A ()233A A B △为等腰三角形∴设直线23A B 的解析式为1y x b =+∴10b =解得1b =-∴直线23A B的解析式为y x =-1y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得x =∴3B 综上可得：点()111B ，，点)21B，点3B总结规律可得n B 坐标为：故答案为：【小结】 本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标．23．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x=（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x 轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．【分析】由点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点，即可求出点A 的坐标，且可知45AOB ∠=︒，又AB AO ⊥可知AOB ∆是等腰直角三角形，再结合1BA OA //可知11BA B ∆是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求2021A 的坐标，即n A 的坐标（n =1,2,3……），故想到过点2021A 作20212021A C x ⊥轴，即过n A 作n n A C x ⊥轴．设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为2m +，再利用点1A 在双曲线上即可求解1A 坐标，同理可得2021A 的坐标．【解析】解：过n A 作n n A C x ⊥轴于点n C点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点 1y x y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩ ()1,1A ∴1,45OC AC AOC ∴==∠=︒AB AO ⊥∴AOB ∆是等腰直角三角形∴22OB AC ==1BA OA //∴11BA B ∆是等腰直角三角形∴111AC BC =设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为12m +点1A 在双曲线上∴()1121m m +=解得11m =设2A 的纵坐标为()20m m >，则2A的横坐标为12222m m m ++=∴()221m m =解得2m =同理可得3m =由以上规律知：n m =2021m ∴=2021A∴2021A =【小结】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．24．（2021·山东中考真题）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．【答案】1322n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】 根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n 个正方形的边长．【解析】 解：点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2， ∴点1B 纵坐标为1．1OB ∴==分别过1B ，14,,C C ⋅⋅⋅作x 轴的垂线，分别交于14,,,D D D ⋅⋅⋅，下图只显示一条；111111190,B DA C DB B OD A B D ∠=∠=︒∠=∠,∴111Rt B DO Rt A DB ∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有11111211112n n n nC A BD B A C A OD OB C A C A +====⋅⋅⋅=， 不妨设第1个至第n 个正方形的边长分别用：12,,,n l l l ⋅⋅⋅来表示，通过计算得：112OB l ==1211233222l l l C A =+==，22322333222l l l C A ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⋅⋅⋅ 111133222n n n n n n l l l C A ----⎛⎫=+== ⎪⎝⎭按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为1322n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小结】 本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n 个正方形边长的方法与技巧．25．（2021·湖北中考真题）如图，过反比例函数()0,0k y k x x=>>图象上的四点1P ，2P ，3P ，4P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，2A ，3A ，4A ，再过1P ，2P ，3P ，4P 分别作y 轴，11P A ，22P A ，33P A 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，4S ，1122334OA A A A A A A ===，则1S 与4S 的数量关系为_____________．【答案】414S S =．【分析】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ，由点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x =>>图象上，可求得11k A P m =，222k A P m =，333k A P m =，444k A P m=，根据矩形的面积公式可得1111k OA A P k S m m =⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k k A A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k k A A A P m m S =⋅=⋅=，由此即可得414S S =． 【解析】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ，∵点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x=>>图象上， ∴11k A P m =，222k A P m =，333k A P m =，444k A P m=， ∴1111k OA A P k S m m =⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k k A A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k k A A A P m m S =⋅=⋅=， ∴414S S =．故答案为：414S S =．【小结】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上点的特征求得11k A P m =、222k A P m =、333k A P m =、444k A P m=是解决问题的关键． 26．（2021·四川）如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，...，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【解析】解：∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB =3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-， 得：334x =-，得：x =-4，即A （-4，3），∴OB =3，AB =4，OA ，由旋转可知：OB =O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA =O 1A =O 2A 1=…=5，AB =AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4， ∴OB 1=OA +AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129=， 解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875， 故答案为：3875． 【小结】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB 的各边，计算出OB 21的长度是解题的关键．27．（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形1ABCB 中，AB =AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20202(3【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【解析】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A tan30°=，∴111AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=133⨯=，∴2112=2A A -⨯；∴线段20202021A A =20211202022()33-⨯=,故答案为：2020. 【小结】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.28．（2021·黑龙江中考真题）如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1A C 为一边，在BC 的延长线上作菱形111A CC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得1S =，2S =……由此规律可得242n n S -，然后问题可求解．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆……. 202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，如图所示：∴sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴112112A D BE A S D =⋅==，同理可得：22221244S A D ==⨯=22332444S A D ===……；∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-=；故答案为40382【小结】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．29．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA =，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB 沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11A O 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．【答案】()3,1【分析】根据已知条件结合等腰直角三角形的性质先求出点B ()1,1，点1B ()2,1，即可得出点B 向右每次平移1个单位长度，而2B 为点B 向右平移2个单位后的点，根据点平移规律即可得到答案【解析】如图过点B 作BC OA ⊥，△AOB 为等腰直角三角形，斜边OA 在y 轴上，2OA =1BC ∴=，11CO BO ==()1,1B ∴ AOB 向右平移至111AO B ，点B 在11A O 上，同理可得点1B 的坐标为()2,1AOB ∴每次向右平移1个单位，即点B 向右每次平移1个单位，2B ∴为点B 向右平移2个单位后的点2B ∴点的坐标为()3,1故答案为：()3,1【小结】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及坐标与图像变换—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图像上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 30．（2021·湖北荆门市·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．【答案】64 5【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解【解析】通过观察发现：1=1 3=1+26=1+2+310=1+2+3+4……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +， 则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1 设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<- 即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积，2263=396964=4096,,m n ，为正整数，64n ∴=当64n =时，=5m故答案为：64，5【小结】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．31．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为11a =，第二个图形表示的三角形数记为23a =，…，则第n 个图形表示的三角形数n a ＝___．（用含n 的式子表达）【答案】()12n n + 【分析】由题意易得11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..；然后由此规律可得第n 个图形表示的三角形数．【解析】解：由图及题意可得：11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..∴第n 个图形表示的三角形数()112342n a n n n +=++++⋅⋅⋅⋅+=； 故答案为()12n n +． 【小结】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可． 32．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”，再代入n ＝30即可得出结论．【解析】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n ＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n ＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【小结】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“a n ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”是解题的关键．33．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n -1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【解析】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n -1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【小结】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．。
中考数学高频考点《规律探究题》专项测试卷-带答案
中考数学高频考点《规律探究题》专项测试卷-带答案（14道）一、单选题1．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形 曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线” 其中12C C 23C C 34C C 45C C …的圆心依次按O A B 1C 循环．当1OA =时 点2023C 的坐标是( )A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，2．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状 大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形 第1幅图形中“●”的个数为1a 第2幅图形中“●”的个数为2a 第3幅图形中“●”的个数为3a … 以此类推 那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．4317603．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想 数学皆有可衡”数学创新设计活动中 “智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m n 按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项 都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差 小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ） A ．m n +B ．mC ．n m -D ．2n4．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023二 填空题6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形 顶点1B 2B 3B 4B 5B …都在x 轴上 顶点1C 2C 3C 4C …都在正比例函数14y x =（0x ≥）的图象上 且21212B C A C = 32322B C A C = 43432B C A C = … 连接12A B 23A B 34A B 45A B … 分别交射线1OC 于点1O 2O 3O 4O … 连接12O A 23O A 34O A … 得到122O A B ∆ 233O A B ∆ 344O A B ∆ …．若()12,0B ()23,0B ()13,1A ，则202320242024O A B ∆的面积为 ．7．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，ABC 是正三角形 点A 在第一象限 点()0,0B ()1,0C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至1CP 将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120︒至2BP 将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120︒至3AP 将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至4CP ……以此类推，则点99P 的坐标是 ．8．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年 我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表 人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图 根据图中各式的规律 7()a b +展开的多项式中各项系数之和为 ． 9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 点A 在y 轴上 点B 在x 轴上4OA OB == 连接AB 过点O 作1OA AB ⊥于点1A 过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B 过点1B 作12B A AB ⊥于点2A 过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B 过点2B 作23B A AB ⊥于点3A 过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B … 按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为 ．12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．13．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．三 解答题14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法 可以探究23...n q q q q +++++的值 其中01q <<．例求2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．方法1：借助面积为1的正方形 观察图①可知2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于该正方形的面积即23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法2：借助函数1122y x =+和y x =的图象 观察图①可知 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于1a 2a 3a … n a …等各条竖直线段的长度之和即两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x 轴的距为1所以 23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【实践应用】任务一 完善2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的求值过程．方法1：借助面积为2的正方形 观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象 观察图①可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．任务二 参照上面的过程 选择合适的方法 求23233334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．任务三 用方法2 求23n q q q q +++++的值（结果用q 表示）．【迁移拓展】 51+的矩形是黄金矩形 将黄金矩形依次截去一个正方形后 得到的新矩形仍是黄金矩形．观察图① 直接写出2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形 曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线” 其中12C C 23C C 34C C 45C C …的圆心依次按O A B 1C 循环．当1OA =时 点2023C 的坐标是( )A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，【答案】A【分析】由题得点的位置每4个一循环 经计算得出2023C 在第三象限 与3C 7C 11C …符合同一规律 探究出3C 7C 11C ...的规律即可．【详解】解：由图得123450110()()()()(140)205C C C C C ---，，，，，，，，， 67(506)1()C C --，，， … 点C 的位置每4个一循环202350543=⨯+①2023C 在第三象限 与3C 7C 11C … 符合规律()11n --+，①2023C 坐标为)12(022--，． 故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究 理解题意求出坐标是解题关键．2．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状 大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形 第1幅图形中“●”的个数为1a 第2幅图形中“●”的个数为2a 第3幅图形中“●”的个数为3a … 以此类推 那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．431760【答案】C【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律 进而求解即可． 【详解】解：1313a2824a 31535a 42446a…()2n a n n =+ ①123191111a a a a +++⋅⋅⋅+ 11111132435461921=++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯11111111111232435461921⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11111222021⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭589840=故选①C ．【点睛】此题考查图形的变化规律 找出图形之间的联系 找出规律是解题的关键．3．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想 数学皆有可衡”数学创新设计活动中 “智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m n 按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项 都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差 小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ） A ．m n + B ．mC ．n m -D ．2n【答案】D【分析】先逐步分析前面5次操作 可得整式串每四次一循环 再求解第四次操作后所有的整式之和为：0m n n m m n n m ++----+= 结合202345053÷=⋅⋅⋅ 从而可得答案．【详解】解：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后得到整式串m n n m - m - n - 第4次操作后得到整式串m n n m - m - n - n m -+ 第5次操作后得到整式串m n n m - m - n -n m -+m⋅⋅⋅⋅⋅⋅归纳可得：以上整式串每六次一循环 ①202363371÷=⋅⋅⋅①第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等 ①这个和为2m n n m n ++-= 故选D【点睛】本题考查的是整式的加减运算 代数式的规律探究 掌握探究的方法 并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．4．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点 即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点 即2A 到()91,1A 第3圈有16个点 即10A 到()252,2A 依次类推 第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上 且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上 且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确 故选B ．【点睛】本题考查图形与规律 利用所给的图形找到规律是解题的关键．5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致 故202023在第20列 即20b = 向前递推到第1列时 分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点 解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．二 填空题6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形 顶点1B 2B 3B 4B 5B …都在x 轴上 顶点1C 2C 3C 4C …都在正比例函数14y x =（0x ≥）的图象上 且21212B C A C = 32322B C A C = 43432B C A C = … 连接12A B 23A B 34A B 45A B … 分别交射线1OC 于点1O 2O 3O 4O … 连接12O A 23O A 34O A … 得到122O A B ∆ 233O A B ∆ 344O A B ∆ …．若()12,0B ()23,0B ()13,1A ，则202320242024O A B ∆的面积为 ．【答案】2023202494【分析】根据题意和图形可先求得12312290A B B B B A ∠∠=︒= 34323290A B B B B A ∠∠=︒=45434390A B B B B A ∠∠=︒=11190n n n n n n B A B B A B +--∠∠=︒= 333,02B ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233,02n n B -⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得2022202433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2023202533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2023202220232024202533333222B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2022202220232024143332342O n B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⨯⎝⎭⨯⨯⎭⎝ 利用三角形的面积公式即可得解．【详解】解：①()12,0B ()23,0B ()13,1A①点()13,1A 与点()23,0B 的横坐标相同 12OB = 12321B B =-= 121A B = 23OB = ①12A B x ⊥轴 ①1290A B O ∠=︒ ①21212B C A C = ①21212B C A C = ①四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形 ①1122A B A B ∥ 222A C OB ∥ 233A B OB ∥ 2223A B C B = 1121A B B C = ①112223A B B A B B ∠=∠ 12212C A C C B O ∠=∠ 12212C C A C OB ∠=∠ 2222111232B A B A B A BC == ①12212C C A C OB ∠∽ ①21222212232OB C B OB C A C A B B === ①23211322B B OB ==⨯①1222123232B B B B B A B C == 3233322OB OB ==⨯ ①212312A A B B B B ∽ ①12312290A B B B B A ∠∠=︒= ①333,02B ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭同理可得34323290A B B B B A ∠∠=︒= 45434390A B B B B A ∠∠=︒=11190n n n n n n B A B B A B +--∠∠=︒=2433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233,02n n B -⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2022202433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2023202533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2023202220232024202533333222B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①2022202333,2O n ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在14y x =上 ①2022202220232024143332342O n B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⨯⎝⎭⨯⨯⎭⎝①202320242024202320232202302240464220242025404820240211333222223944O A B SB O A B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭故答案为：2023202494．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质 平行四边形的性质 坐标与图形 坐标规律 熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键．7．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，ABC 是正三角形 点A 在第一象限 点()0,0B ()1,0C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至1CP 将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120︒至2BP 将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120︒至3AP 将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至4CP ……以此类推，则点99P 的坐标是 ．【答案】(49,503-【分析】首先画出图形 然后得到旋转3次为一循环 然后求出点99P 在射线CA 的延长线上 点100P 在x 轴的正半轴上 然后利用旋转的性质得到99100CP = 最后利用勾股定理和含30︒角直角三角形的性质求解即可．【详解】如图所示由图象可得 点1P 4P 在x 轴的正半轴上 ①．旋转3次为一个循环 ①99333÷=①点99P 在射线CA 的延长线上 ①点100P 在x 轴的正半轴上 ①()1,0C ABC 是正三角形 ①由旋转的性质可得 11AC CP == ①112BP OC CP =+=①()12,0P ①212BP BP ==①3223AP AP OP AO ==+= ①433314CP CP CA AP ==+=+= ①445BP BC CP =+= ①()45,0P①同理可得 ()78,0P ()1011,0P ①()100101,0P ①100101BP = ①1001011100CP =-=①由旋转的性质可得 99100CP = ①如图所示 过点99P 作99P E x ⊥轴于点E①60ACB ∠=︒ ①9930EP C ∠=︒ ①991502EC P C == ①49EO EC OC =-= 229999503P E P C EC -=①点99P 的坐标是(49,503-． 故答案为：(49,503-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转 勾股定理 等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．8．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年 我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表 人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图 根据图中各式的规律 7()a b +展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】128【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开 即可得出结果． 【详解】根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1 系数和：515101051322+++++==()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1系数和：61615201561642++++++==()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1系数和：71721353521711282+++++++== 故答案为：128．【点睛】此题考查了多项式的乘法运算 以及规律型：数字的变化类 解题的关键是弄清系数中的规律． 9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．【答案】(3【分析】先确定前几个点的坐标 然后归纳规律 按规律解答即可．【详解】解：由图形可得：()()()()()()2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A 如图：过1A 作1A B x ⊥轴①12,OA A①111cos601,sin603,OB OA A B OA =︒⨯==︒⨯= ①(13A ,同理：(((47104,3,3,10,3,A A A -①点1A 的横坐标为1 点2A 的横坐标为2 点3A 的横坐标为3 ……纵坐标三个一循环 ①2023A 的横坐标为2023 ①202336741÷= 674为偶数①点2023A 在第一象限 ①(20233A ． 故答案为(3．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质 解直角三角形 坐标规律等知识点 先求出几个点 发现规律是解答本题的关键．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解． 【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律 找到规律是解题的关键．11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 点A 在y 轴上 点B 在x 轴上4OA OB == 连接AB 过点O 作1OA AB ⊥于点1A 过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B 过点1B 作12B A AB ⊥于点2A 过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B 过点2B 作23B A AB ⊥于点3A 过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B … 按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为 ．【答案】20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据题意 结合图形依次求出123,,A A A 的坐标 再根据其规律写出2023A 的坐标即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中 点A 在y 轴上 点B 在x 轴上 4OA OB == OAB ∴是等腰直角三角形 45OBA ∠=︒1OA AB ⊥1OA B ∴是等腰直角三角形同理可得：1111,OA B A B B 均为等腰直角三角形 1(2,2)A ∴根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形 依次可得：()2342211113,1,4,,4,,2222A A A ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可推出：点2023A 的坐标为20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征 以及点的坐标变化规律问题 等腰直角三角形的性质 解题的关键是依次求出123,,A A A 的坐标 找出其坐标的规律．12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．【答案】23【分析】解直角三角形得出30AOB ∠=︒ 60BOC ∠=︒ 求出3ABC S 证明111ABC A B C ∽△△222ABC A B C ∽ 得出1114A B C ABCSS= ()22222242A B C ABCABCSSS=⋅=⋅ 总结得出()2222n n nn n A B C ABCABCSSS== 从而得出202320232023220232323A B C S⨯=【详解】解：①22OB =①()22,0B ①AB x ⊥轴①点A 的横坐标为2①13:l y =①点A 32622①2633tan 22AB AOB OB ∠==①30AOB ∠=︒ ①2:3l y x =①设(),C C C x y ，则3C C y x ①tan 3CCy BOC x ∠==①60BOC ∠=︒①1cos602222OC OB =⨯︒==3sin 60226BC OB =⨯︒==①130AOC BOC AOB ∠=∠-∠=︒ ①1AOB AOC ∠=∠ ①OA 平分BOC ∠ ①12AC l ⊥ AB OB ⊥ ①126AC AB ==①1AB AC = OA OA = ①1Rt Rt OAB OAC ≌ ①122OC OB ==①112222CC OC OC =-=①12ABCOABACC BOCSSSS=--126126122226222=⨯⨯--3①2BC l ⊥ ①90BCO ∠=︒①906030CBO ∠=︒-︒=︒ ①112B C l ⊥ 2BC l ⊥ 222B C l ⊥ ①2112B B C C B C ∥∥①112230C B O C B O CBO ∠=∠=∠=︒ ①1122C B O C B O CBO AOB ∠=∠=∠=∠ ①1AO AB = 112AO A B = ①AB x ⊥轴 11A B x ⊥轴①112OB OB = 1212OB OB =①AB x ⊥轴 11A B x ⊥轴 22A B x ⊥轴①1122AB A B A B ∥∥ ①11112AB OB A B OB ==22214AB OB A B OB == ①2112B B C C B C ∥∥ ①11112BC OB B C OB ==22214BC OB B C OB == ①1111AB BCA B B C = ①111903060ABC A B C ∠=∠=︒-︒=︒ ①111ABC A B C ∽△△ 同理222ABC A B C ∽ ①1114A B C ABCS S=()22222242A B C ABC ABCSSS=⋅=⋅ ①()2222n n nn n A B C ABCABCS SS==①202320232023220232323A B C S⨯=故答案为：23【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质 解直角三角形 三角形面积的计算 平行线的判定和性质 一次函数规律探究 角平分线的性质 三角形全等的判定和性质 解题的关键是得出一般规律()2222n n nn n A B C ABCABCSSS==．13．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心 半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得 故2023A 点坐标为()2023,1-． 故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索 通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．三 解答题14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法 可以探究23...n q q q q +++++的值 其中01q <<．例求2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．方法1：借助面积为1的正方形 观察图①可知2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于该正方形的面积即23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法2：借助函数1122y x =+和y x =的图象 观察图①可知 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于1a 2a 3a … n a …等各条竖直线段的长度之和即两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x 轴的距为1所以 23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【实践应用】任务一 完善2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的求值过程．方法1：借助面积为2的正方形 观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象 观察图①可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．任务二 参照上面的过程 选择合适的方法 求23233334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．任务三 用方法2 求23n q q q q +++++的值（结果用q 表示）．【迁移拓展】 51+的矩形是黄金矩形 将黄金矩形依次截去一个正方形后 得到的新矩形仍是黄金矩形．观察图① 直接写出2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】任务一、方法1：2 方法2：()2,2 2 任务二 3 任务三 1qq- [迁移拓展] 51- 【分析】任务一、仿照例题 分别根据方法1 2进行求解即可 任务二 借助函数3344y x =+和y x =得出交点坐标 进而根据两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点()2,2到x 轴的距为2 即可得出结果任务三 参照方法2 借助函数y qx q =+和y x =的图象 得出交点坐标 即可求解 [迁移拓展]观察图①第一个正方形的面积为051111-⨯==⎝⎭ 第二个正方形的面积为2251511⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ……进而得出则2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于长51+的矩形减去1个面积为1的正方形的面积 即可求解． 【详解】解：任务一、方法1：借助面积为2的正方形 观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2故答案为：2． 方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象 观察图①可知 因为两个函数图象的交点的坐标为()2,2所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．故答案为：()2,2 2．任务二：参照方法2 借助函数3344y x =+和y x =的图象 3344y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 解得：33x y =⎧⎨=⎩ ①两个函数图象的交点的坐标为()3,3232333334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．任务三 参照方法2 借助函数y qx q =+和y x =的图象 两个函数图象的交点的坐标为,11q q q q ⎛⎫⎪--⎝⎭①231n qq q q q q +++++=- [迁移拓展]根据图① 第一个正方形的面积为051111-⨯==⎝⎭ 第二个正方形的面积为2251511⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ …… 则2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51+的矩形减去1个面积为1的正方形的面积即24625151515151511122n⎛⎫----+-+++++=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了一次函数交点问题 正方形面积问题 理解题意 仿照例题求解是解题的关键．。
第03讲 规律探究性问题-2022中考数学巅峰冲刺(解析版)
【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；1、解数式规律型问题的一般方法:1当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；2当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；3当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n个数用含n 的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．2、探索等式规律的一般步骤:1标序数；2对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数1，2，3，4，…，n之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；3根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．3、根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：1根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；2根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；3确定第一类点的坐标的方法：根据2中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q0≤q ＜n，则第M次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据2中得到的第M 个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．4、对于求面积规律探索问题的一般步骤：1根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；2通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；3根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．5、找图形累加型变化规律的一般步骤:1写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；2数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；3寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差商来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的值为2，那么我们要进行的第一次计算是进行偶数程序，结果输出的是1，返回进行第二次运算则按照奇数程序进行运算，输出的是6，…第2022次输出的结果为【解析】：按照数据运算程序设计进行计算发现，输出的结果分别是1，6，3，8，4，2，因此每六次运算程序一个循环，2022÷6=336---3，故第2022次输出恰好是第三次输出的结果，即为3【原创2】发现任意一个偶数减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的此偶数的倒数，结果为1验证（1）10减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的14，一直减到最后余下的110其结果等于几（2）设一个偶数2n，依次减去其12，再减去余下的14，一直减下去，一直减到最后余下的12n，结果等于几并验证发现的结论是否正确。
常考的规律探究问题-2024年中考数学答题技巧与模板构建(含解析)
常考的规律探究问题题型解读|模型构建|通关试练模型01数与式、图形的规律问题数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.模型02平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊---一般----特殊”.这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.模型01数与式、图形的规律问题考|向|预|测数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析.主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．答|题|技|巧第一步：读懂题意，标序号；第二步：根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”；第三步：猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；第四步：验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答1(2023·湖南)观察下列按顺序排列的等式：a1=1-13，a2=12-14，a3=13-15，a4=14-16，⋯，试猜想第n个等式(n为正整数)：a n=．2(2023·安徽)(规律探究)如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第(2)个图比第(1)个图多一层，第(3)个图比第(2)个图多一层，依次类推.(1)第(9)个图中阴影三角形的个数为；非阴影三角形的个数为．(2)第n个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求n.(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.模型02平面直角坐标系中的规律问题考|向|预|测平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等).主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算.答|题|技|巧第一步：观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；第四步：利用有理数的运算解题旋转型1(2023·四川)如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC=2，对角线OA在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐标为()A.2,0B.0,2C.2,2D.-2,-2平移型2(2023·杭州)如图，直角坐标平面xOy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(-1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，-2)，⋯⋯，按这样的运动规律，动点P 第2018次运动到点A.(2018，0)B.(2017，0)C.(2018，1)D.(2017，-2)翻滚型3(2023·安徽)如图所示，在平面直角坐标系中，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，⋯都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，⋯其中点A 1的坐标为2,0 ，点A 2的坐标为1,-3 ，点A 3的坐标为0,0 ，点A 4的坐标为2,23 ，⋯，按此规律排下去，则点A 100的坐标为()A.1,503B.1,513C.2,503D.2,5131(2023·山东)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为a 2,1 ，我们把第4行从左到右数第3个定为a 4,3 ，由图我们可以知道：a 2,1 =1,a 4,3 =3，按照图中数据规律，a 8,5 +a 9,6 的值为．2(2023·河南)如图，找出其变化的规律，则第1349个图形中黑色正方形的数量是．摆成，⋯⋯；按图中所示规律，第n个图需要棋子枚．五角星的个数为()A.n2+1B.n2-1C.2n-1D.2n+15(2023·广东)正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2022次后，数轴上2022这个数所对应的点是()A.A点B.B点C.C点D.D点6(2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，以AB为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线AB方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B点顺时针旋转120°，使点C落在直线l上，第二次翻滚：将等边三角形绕点C顺时针旋转120°，使点A落在直线l上⋯⋯当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是()A.2023,20233D.2021,20243C.2021,20223B.2022,202437(2023·河南)如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为-6,0，、0,-8AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为()A.10,12D.12,-10C.-12,10B.-10,-128(2023·江西吉安·期末)规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒()A.8093B.8095C.8092D.80919(23-24·河南新乡·期末)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律则图⑩中共有圆点的个数是()A.63B.75C.88D.10210(23-24·湖北武汉·期末)已知点A0-1,3，记A0关于直线m(直线m上各点的横坐标都为0)的对称点为A1，A1关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为1)的对称点为A2，A2关于直线p(直线p上各点的横坐标都为-2)的对称点为A3，A3关于直线q(直线q上各点的纵坐标都为3)的对称点为A4，A4关于直线m的对称点为A5，A5关于直线n的对称点为A6，⋯⋯依此规律A2023的坐标是()A.2021,-2021D.-2025,2027C.-2021,-2017B.-2025,-202111(23·山东济宁·期末)如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2；再过点P，作P1P2⊥OP1，且P1P2=1，得OP2=3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2⋯依此法继续作下去，得OP2021=()A.2023B.2022C.2021D.202012(23·广西贵港·期末)请看杨辉三角，并观察下列等式：(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4根据前面各式的规律，则(a+b)6=.13(23-24·辽宁沈阳·期中)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是．14(2023·四川资阳·一模)如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为．15(22-23·江苏)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表(图①)，即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．16(2023九年级上·全国·期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知A点坐标为(1,1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x 轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4⋯，依次进行下去，则点A2023的坐标为．17(22-23九年级上·全国·期末)(规律探究题)下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察，大胆猜想，科学推断，完成练习.序号方程方程的解1x2-2x-3=0x1=-1，x2=32x2-4x-12=0x1=-2，x2=63x2-6x-27=0x1=-3，x2=9⋯⋯⋯(1)这列方程中第10个方程的两个根分别是x1=，x2=.(2)这列方程中第n个方程为.18(22-23·福建莆田·期中)探究规律题按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a,-2a2,3a3,-4a4,,；(2)试写出第2017个和第2018个单项式；(3)试写出第n个单项式；(4)试计算：当a=-1时，a+(-2a2)+3a3+(-4a4)+⋯+99a99+(-100a100)的值.19(23-24·河南安阳)探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：(+2)*(+4)=+(22+42)；(-4)*(-7)=+(-4)2+(-7)2；(-2)*(+4)=-(-2)2+(+4)2；(+5)*(-7)=-(+5)2+(-7)2；0*(-5)=(-5)*0=(-5)2；(+3)*0=0*(+3)=(+3)2．0*0=02+02=0(1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．(文字语言或符号语言均可)特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，(2)计算：+1*0*-2．(3)是否存在有理数m，n，使得m-1*n+2=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．20(23-24·浙江杭州·期中)探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算．”然后他写出了一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；(-3)※(+4)=-7；(+5)※(-6)=-11；(0)※(+8)=8；(0)※(-8)=8；(-6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※(加乘)运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)观察以上式子，类比计算：①-1 2※-15=，-23※+1 =；(2)计算：(-2)※[0※(-1)]；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤)(3)若1-a※b-3=0．计算：1a×b +1a+2×b+2+1a+4×b+4+1a+6×b+6+1的值．a+8×b+8常考的规律探究问题题型解读|模型构建|通关试练模型01数与式、图形的规律问题数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.模型02平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊---一般----特殊”.这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.模型01数与式、图形的规律问题考|向|预|测数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析.主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．答|题|技|巧第一步：读懂题意，标序号；第二步：根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”；第三步：猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；第四步：验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答1(2023·湖南)观察下列按顺序排列的等式：a 1=1-13，a 2=12-14，a 3=13-15，a 4=14-16，⋯，试猜想第n 个等式(n 为正整数)：a n =．【答案】1n -1n +2．【详解】根据题意可知，a 1=1-11+2，a 2=12-12+2，a 3=13-13+2，a 4=14-14+2，⋯∴a n =1n -1n +2．2(2023·安徽)(规律探究)如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第(2)个图比第(1)个图多一层，第(3)个图比第(2)个图多一层，依次类推.(1)第(9)个图中阴影三角形的个数为；非阴影三角形的个数为．(2)第n 个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求n .(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.【详解】(1)第(1)(2)(3)个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推测第(9)个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100(个)，空白三角形的个数为2×(9+2-1=21);故答案为：100；21；(2)第n 个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：n +1 22n +2 -1=44143，解得，n =20或n =-6443(舍去)经检验，n =20符合要求，所以，n =20；(3)设第(m )个图形可重新拼成一个菱形，第(m )个图形总的三角形个数为m +2 2=m 2+4m +4, 由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为x 2,则有：2x 2=m +2 2解得，m =±2x -2∴m 不是正整数，∴不可能拼成一个菱形．例3．(2023·江西)规律探究与猜想：①方程x 2-3x +2=0的解为x 1=1，x 2=2；②方程x 2-5x +6=0的解为x 1=2，x 2=3；③方程x 2-7x +12=0的解为x 1=3，x 2=4；④方程x 2-9x +20=0的解为x 1=4，x 2=5；⋯⋯(1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题：①方程x2-19x+90=0的解为______．②第个方程为______，其解为______．(2)请用公式法解方程x2-9x+20=0，验证猜想结论的正确性．【详解】(1)解：方程x2-3x+2=x2+(-1-2)x+(-1)×(-2)=(x-1)(x-2)=0，解为x1=1，x2=2；方程x2-5x+6=x2+(-2-3)+(-2)×(-3)=(x-2)(x-3)=0，解为x1=2，x2=3；方程x2-7x+12=x2+(-3-4)+(-3)×(-4)=(x-3)(x-4)=0，解为x1=3，x2=4；⋯①x2-19x+90=x2+(-9-10)+(-9)×(-10)=(x-9)(x-10)=0，解为x1=9,x2=10；②第个方程为x2+-n-(n+1)x+(-n)×-(n+1)=(x-n)x-(n+1)=0∴第个方程为x2-(2n+1)x+n2+n=0，解为x1=n,x2=n+1．(2)解：x2-9x+20=0Δ=(-9)2-4×1×20=1，∴x1=9-12=4,x2=9+12=5．故结论正确．模型02平面直角坐标系中的规律问题考|向|预|测平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等).主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算.答|题|技|巧第一步：观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；第四步：利用有理数的运算解题旋转型1(2023·四川)如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC=2，对角线OA在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐标为()A.2,0B.0,2C.2,2D.-2,-2【答案】B 【详解】解：∵四边形ABOC 是矩形，∴OA =BC =2，∵每秒旋转45°，8次一个循环，2025÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，∴第2025秒时，点A 的对应点A 2025落在y 轴正半轴上，∴点A 2025的坐标为0,2 ．故选：B ．平移型2(2023·杭州)如图，直角坐标平面xOy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(-1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，-2)，⋯⋯，按这样的运动规律，动点P 第2018次运动到点A.(2018，0)B.(2017，0)C.(2018，1)D.(2017，-2)【答案】B 【详解】解:∵2018÷4=504余2，∴第2014次运动为第505循环组的第2次运动，横坐标为504×4+2-1=2017，纵坐标为0，∴点的坐标为(2017，0)．故选B ．翻滚型3(2023·安徽)如图所示，在平面直角坐标系中，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，⋯都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，⋯其中点A 1的坐标为2,0 ，点A 2的坐标为1,-3 ，点A 3的坐标为0,0 ，点A 4的坐标为2,23 ，⋯，按此规律排下去，则点A 100的坐标为()A.1,503D.2,513C.2,503B.1,513【答案】C【详解】解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，∵100÷4=25，∴点A100在x轴上方，∵A3A4=4，∴A54,0，∵A5A7=6，∴A7-2,0，∵A8A7=8，∴点A8的坐标为2,43，同理可知，点A4n的坐标为2,2n3，∴点A100的坐标为2,503. 故选：C．1(2023·山东)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为a2,1，我们把第4行从左到右数第3个定为a4,3=，由图我们可以知道：a2,1 1,a4,3+a9,6的值为．=3，按照图中数据规律，a8,5【详解】解：如图所示，按照图中数据规律，a8,5=35，a9,6=56，∴a8,5+a9,6=35+56=91，故答案为：912(2023·河南)如图，找出其变化的规律，则第1349个图形中黑色正方形的数量是．【答案】2024个【详解】解：根据题意，可得当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为n+n2个，当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为n+n+12个，∴n=1349时，黑色正方形的个数为1349+1349+12=2024个．故答案为：2024个．3(2023·陕西)如图，第1个图用了6枚棋子摆成；第2个图用了9枚棋子摆成；第3个图用了12枚棋子摆成，⋯⋯；按图中所示规律，第n个图需要棋子枚．【答案】3(n+1)【详解】根据题意有，第1个图形棋子数为：3+3×1，第2个图形棋子数为：3+3×2，第3个图形棋子数为：3+3×3，⋯⋯，第n个图形棋子数为：3+3×n=3(n+1)，∴第n个图需要棋子3(n+1)枚，故答案为：3(n+1)．4(2023·云南)如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n个图形中小五角星的个数为()A.n2+1B.n2-1C.2n-1D.2n+1【答案】A【详解】解：则第1个图形中小五角星的个数为：12+1=2；则第4个图形中小五角星的个数为：1+22=5；则第3个图形中小五角星的个数为：1+32=10；则第4个图形中小五角星的个数为：1+42=17；⋯⋯；则第n个图形中小五角星的个数为：1+n2，故选：A．5(2023·广东)正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2022次后，数轴上2022这个数所对应的点是()A.A点B.B点C.C点D.D点【答案】A【详解】解：当正六边形在转动第一周的过程中，F、E、D、C、B、A分别对应的点为1、2、3、4、5、6，∴翻转6次为一循环，∵2021÷6=337，∴数轴上2022这个数所对应的点是A点．故选：A．6(2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，以AB为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线AB方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B点顺时针旋转120°，使点C落在直线l上，第二次翻滚：将等边三角形绕点C顺时针旋转120°，使点A落在直线l上⋯⋯当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是()A.2023,20233D.2021,20243B.2022,20243C.2021,20223【答案】D【详解】解：∵直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，∴A-1,0，，B0,3∴AB=2，OA=1，OB=3，=3，OA∴∠BAO=60°，如图，等边△ABC经过第1次翻转后，A1-1,23，过点A2作A2M⊥x轴于点M，则AA2=3AB=6，∵∠A2AM=60°，=3，∴AM=AA2cos∠A2AM=6×12A2M=AA2sin∠A2AM=6×3=33，2等边△ABC经过第2次翻转后，A23,33，等边△ABC经过第3次翻转后，点A仍在点A2处，∴每经过3次翻转，点A向右平移3个单位，向上平移33个单位，∵2023÷3=674⋯⋯1，第2次与第3次翻转后点A处在同一个点，∴点A经过2023次翻转后，向右平移了3×674=2022个单位，向上平移了33×674+23=20243个单位，∴等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是2021,20243，故选：D．7(2023·河南)如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为-6,0、0,-8，AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为()A.10,12B.-10,-12C.-12,10D.12,-10【答案】B 【详解】解：如图，过点D 作DT ⊥x 轴于点T ．矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，其坐标分别为-6,0 、0,-8 ，∴OA =6，OB =8，∴AB =OA 2+OB 2=10，∵∠ATD =∠AOB =∠BAD =90°，∴∠DAT +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠DAT =∠ABO ，∴△ATD ∽△BOA ，∴AD AB =AT OB =DT OA，即2010=AT 8=DT 6，∴AT =16，DT =12，∴OT =AT -OA =16-6=10，∴D 10，12 ，∵矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第1次旋转结束时，点D 的坐标为12,-10 ；则第2次旋转结束时，点D 的坐标为-10,-12 ；则第3次旋转结束时，点D 的坐标为-12,10 ；则第4次旋转结束时，点D 的坐标为10,12 ；⋯发现规律：旋转4次一个循环，∴2022÷4=505⋯2，则第2021次旋转结束时，点D 的坐标为-10,-12 ．故选：B ．8(2023·江西吉安·期末)规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒()A.8093B.8095C.8092D.8091【答案】A 【详解】观察图形的变化可知：摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5；摆第2个图案要用火柴棒的根数为：9=5+4=5+4×1；摆第3个图案要用火柴棒的根数为：13=5+4+4=5+4×2；⋯则摆第n个图案要用火柴棒的根数为：5+4n-1=4n+1；故第2023个图案要用火柴棒的根数为：4×2023+1=8093故选：A9(23-24·河南新乡·期末)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律则图⑩中共有圆点的个数是()A.63B.75C.88D.102【答案】D【详解】解：由题意知，图①中共有12个圆点，图②中共有12+6=18个圆点，图③中共有12+6+7=25个圆点，图④中共有12+6+7+8=33个圆点，⋯∴图⑩中共有圆点12+6+7+8+9+10+11+12+13+14=102，故选：D．10(23-24·湖北武汉·期末)已知点A0-1,3，记A0关于直线m(直线m上各点的横坐标都为0)的对称点为A1，A1关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为1)的对称点为A2，A2关于直线p(直线p上各点的横坐标都为-2)的对称点为A3，A3关于直线q(直线q上各点的纵坐标都为3)的对称点为A4，A4关于直线m的对称点为A5，A5关于直线n的对称点为A6，⋯⋯依此规律A2023的坐标是()A.2021,-2021D.-2025,2027C.-2021,-2017B.-2025,-2021【答案】B【详解】解：∵直线m上各点的横坐标都为0，即直线m为y轴，∴A11，3，在第一象限，∵直线n上各点的纵坐标都为1，即直线n为直线y=1；∴A21，-1，在第四象限，∵直线p上各点的横坐标都为-2，即直线p为直线x=-2，∴A3-5，-1，在第三象限，∵直线q上各点的纵坐标都为3，即直线q为直线y=3，∴A4-5，7，在第二象限，∴A55，7在第三象限，，在第一象限，A65，-5，在第四象限，A7-9，-5∴每四个点坐标所在象限为一个循环，∵2023=4×505+3，∴A2023与A3在同一象限，∵A3-5，-1，A7-9，-5，∴可知，第三象限的点坐标的特征为A n -n +2 ，-n -2 ，∴A 2023-2025，-2021 ，故选：B ．11(23·山东济宁·期末)如图，OP =1，过点P 作PP 1⊥OP 且PP 1=1，得OP 1=2；再过点P ，作P 1P 2⊥OP 1，且P 1P 2=1，得OP 2=3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=2⋯依此法继续作下去，得OP 2021=()A.2023B.2022C.2021D.2020【答案】B【详解】解：由勾股定理得：OP 1=OP 2+OP 12=12+12=2，OP 2=OP 12+P 1P 22=(2)2+12=3，OP 3=OP 22+P 2P 32=(3)2+12=2，⋯，依此类推可得：OP n =(OP n -1)2+(P n -1P n )2=(n )2+12=n +1，∴OP 2021=2021+1=2022，故选：B ．12(23·广西贵港·期末)请看杨辉三角，并观察下列等式：(a +b )1=a +b(a +b )2=a 2+2ab +b 2(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4根据前面各式的规律，则(a +b )6=.【答案】a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6【详解】解：(a +b )6=a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6故本题答案为：a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6.13(23-24·辽宁沈阳·期中)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是．【答案】75【详解】解：在图①中，圆点个数为y1=12个．在图②中，圆点个数为y2=y1+2+4=18个．在图③中，圆点个数为y3=y2+2+5=25个．在图④中，圆点个数为y4=y3+2+6=33个．..．以次类推，在图⑧中，圆点个数为y8=y7+(2+10)=y6+(2+9)+12=y5+(2+8)+11+12=y4+(2+7)+10+11+12=33+9+10+11+12=75．故答案为：75．14(2023·四川资阳·一模)如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为．【答案】40°．【详解】连续左转后形成的正多边形边数为：45÷5=9，则左转的角度是360°÷9=40°．故答案是：40°．15(22-23·江苏)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表(图①)，即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．【答案】243【详解】观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0，∴前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为9×3=27(个)，同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为27×3=81(个)，前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为81×3=243(个)，故答案为：243．16(2023九年级上·全国·期末)在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为(1,1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4⋯，依次进行下去，则点A 2023的坐标为．【答案】-1012,10122【详解】解：∵A 点坐标为(1,1)，∴直线OA 为y =x ,A 1(-1,1)，∵A 1A 2∥OA ，∴直线A 1A 2为y =x +2，解y =x +2y =x 2得x =-1y =1 或x =2y =4 ，∴A 2(2,4)，∴A 3(-2,4)，∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y =x +6，解y =x +6y =x2 得x =-2y =4 或x =3y =9 ，∴A 4(3,9)，∴A 5(-3,9)⋯，∴A2023-1012,10122,故答案为：-1012,10122．17(22-23九年级上·全国·期末)(规律探究题)下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察，大胆猜想，科学推断，完成练习.序号方程方程的解1x2-2x-3=0x1=-1，x2=32x2-4x-12=0x1=-2，x2=63x2-6x-27=0x1=-3，x2=9⋯⋯⋯(1)这列方程中第10个方程的两个根分别是x1=，x2=.(2)这列方程中第n个方程为.【答案】(1)-10；30；(2)x2-2nx-3n2=0【详解】(1)由表格中的规律可知，第10个方程的解为x1=-10，x2=30；(2)根据表格中的规律可知，第n个方程的解是x1=-n，x2=3n，∴根据根与系数的关系可知：第n个方程就是x2-2nx-3n2=0．18(22-23·福建莆田·期中)探究规律题按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a,-2a2,3a3,-4a4,,；(2)试写出第2017个和第2018个单项式；(3)试写出第n个单项式；(4)试计算：当a=-1时，a+(-2a2)+3a3+(-4a4)+⋯+99a99+(-100a100)的值.【详解】解：(1)由前几项的规律可得：第五项、第六项依次为：5a5，-6a6；(2)第2007个单项式为：2017a2017，第2018个单项式为：-2018a2018；(3)第n个单项式的系数为：n×(-1)n+1，次数为n，故第n个单项式为：(-1)n+1nan．(4)原式=-1-2-3⋯-100=-5050.19(23-24·河南安阳)探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：(+2)*(+4)=+(22+42)；(-4)*(-7)=+(-4)2+(-7)2；(-2)*(+4)=-(-2)2+(+4)2；；(+5)*(-7)=-(+5)2+(-7)20*(-5)=(-5)*0=(-5)2；(+3)*0=0*(+3)=(+3)2．0*0=02+02=0(1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．(文字语言或符号语言均可)特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，(2)计算：+1*0*-2．(3)是否存在有理数m，n，使得m-1=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．*n+2【详解】(1)解：归纳*运算的法则∶两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．(2)解：+1 *0*-2 ，=+1 *-2 2，=+1 *4，=+12+42 ，=1+16，=17；(3)解：m -1 *n +2 =0，=±m -1 2+n +2 2 =0，∴m -1=0，n +2=0，解得：m =1，n =-2，20(23-24·浙江杭州·期中)探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算．”然后他写出了一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；(-3)※(+4)=-7；(+5)※(-6)=-11；(0)※(+8)=8；(0)※(-8)=8；(-6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※(加乘)运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)观察以上式子，类比计算：①-12 ※-15=，-23 ※+1 =；(2)计算：(-2)※[0※(-1)]；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤)(3)若1-a ※b -3 =0．计算：1a ×b +1a +2 ×b +2 +1a +4 ×b +4 +1a +6 ×b +6+1a +8 ×b +8的值．【详解】(1)解：①-12 ※-15 =-12 +-15 =12+15=710，故答案为：710．②-23 ※+1 =--23 +1 =-23+1 =-53，故答案为：-53．(2)解：(-2)※[0※(-1)]=-2 ※+1=-1+2=-3．(3)∵1-a ※b -3 =0，∴1-a +b -3 =0，。
中考复习专题之规律型探究
第3次需________块豆干,
第4次需________块豆干,
……………
第 n 次需________块豆干．
例3、（配幻灯片动画演示）如图:在网格中,有一个正方形,把正方形的各边三等分,分别以居中那条线段为一边向外作正多边形,并去掉居中的那条线段,请你求得到的图形的边数?
正三角形时,边数为条,
图1图２图３
五、总结归纳
1、你说我说大家说：这节我有哪些收获，还有哪些疑惑。
2、归纳规律型探究的一般步骤：
具体问题——观察特例——猜想规律——表示规律——验证规律
六、链接中考、扬帆远航
1、（2010河难衡阳）如下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中由个基础图形组成．
正方形时,边数为条,
正五边形时,边数为条,
………………………
正n边形时,边数为条.
2．巩固提高
某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第一次铺2块，如图1；第2次把第1次铺的完全围起来，如图2；第3次把第2次铺的完全围起来，如图3；…依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使
用的木块数为____________.
二、思路索引：“怎么探”——仔细观察、反复比较、认真分析、大胆猜想、充分验证．
三、数的特征规律探究
1．典例分析
例1（自编题）
①假如老师把豆干依次送给:4号、7号、10号、13号、16号……，按此规律猜想,老师将把第n袋豆干发给学号为_____的同学．
②假如老师把豆干依次送给: 2号、6号、12号、20号……，你能用正整数n的式子表示出老师这种送法的规律吗？
解后提示：完成例1的第二小题如果学生的解答过程是用n×(n+1)后强调是否有其它解法,从而呈现变式，通过对变式的探讨研究回过头再来思考出这题的通式通法，利用这两题来引出类似于＂二次函数＂规律型题型的一般思路，从而第一次突破本节课的重点和难点．
中考专题复习
观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了_________块石子
二、归纳小结：
规律探索型问题即根据题目的条件（包括有规律算式、图表、图形等信息）手，进行归纳，并大胆猜想探索，得出结论，再通过具体验证而获得规律。
三角形个数 1 2 3 4 5
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
）第四、第五个“上”字分别需用____和____枚棋子
）第n个“上”字需用________枚棋子
、右边是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式(n为正整数)表示数表中第n行第
7、如图，是用火柴棍摆成的边长分别是
出的正方形所用的火柴棍的根数为
8、下面是按照一定规律画出的一列“树型
经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出
图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出个
、观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有
A1
A。
九年级数学中考规律探究题(附答案)
专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。
解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。
一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+数列的变化规律③ 1、3、7、15……2n -1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 数列的和⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×12=1-12n=12×23=2-23n=23×34=3-34n=34×45=4-45n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n ×1n n +=n-1n n +例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么 32009的个位数字是 。
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第5题第6题中考数学专题复习——规律探索型问题规律探索型问题是根据已知条件或问题中所提供的若干特例，通过观察，实验，归纳，类比等活动来发现或揭示所给信息中蕴含的本质规律特征的一类探究性问题，常见的规律探索型问题有数字类探究型问题，几何图形探究型问题，点的坐标变化探究型问题等。
类型一、数式递变规律：1.（2019安徽）观察以下等式：2.（2019云南）按一定规律排列的单项式：3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，…，第n 个单项式为（ ）A. 121)1(---n n xB. 12)1(--n n xC. 121)1(+--n n xD. 12)1(+-n n x3.（2018天水）按一定规律排列的一组数：21，61，121，201，…，a 1，901，b1，（其中a ，b 为整数），则a+b 的值为--------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A.182B.172C.242D.2004.（2019达州）a 是不为1的有理数，我们把a -11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1211-=-，1-的差倒数为21)1(11=--，已知51=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，以此类推，则2019a 的值为--------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A.5B. 41- C. 34 D. 54 5.（2018淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行第4列的数是12，则位于第45行第8列的数是 。
类型二、图形递变规律：按照上述规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： ；（用含n 的代数式表示），并证明。
第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 第13题第14题 中有120朵玫瑰花，则n 的值为-------------------------------------------------------------------------------------（ ）A.28B.29C.30D.317.（2018重庆）把三角形按如图规律拼图，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，以此类推，则第⑦个图案中的三角形的个数为---------------------（ ）A.12B.14C.16D.188.观察下列图形，其中第①个图案由6个○组成，第②个图案由14个○组成，第③个图案由24个○组成，…，照此规律，则第⑥个图案中○的个数为-------------------------------------------------------------------------（ ）A.64B.65C.66D.679.下列图形都是由同样大小的小三角形按一定规律组成的，其中第①个图案中有7个小三角形，第②个图案中有10个小三角形，第③个图案中有13个小三角形，…，则第⑨个图案中小三角形的个数为-----（ ）A.27B.29C.31D.3310.（2018绥化）将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆，…，以此类推，则第50行有 个圆。
11.（2018徐州）如图，每个图案均有边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n 个图案中白色正方形比黑色正方形多 个（用含n 的代数式表示）.12.（2016咸宁）如图，用m 根火柴棒恰好可以拼成如图1所示的a 个正三角形或图2所示的b 个正六边形，则ab = 。
13.（2015武汉）观察下列图形中点的个数，其中第1个图案中有4个点，第2个图案中有10个点，第3个图案中有19个点，…，按此规律，第100个图案中点的个数为------------------------------------------（ ）A.15000B.15001C.15151D.1515214.（2019烟台一模）观察下列图形，若第①个图案中阴影部分的面积为1，第②个图案中阴影部分的面积为43，第③个图案中阴影部分的面积为169，第④个图案中阴影部分的面积为6427，…，则第2019个图案中阴影部分的面积为 。
第15题第16题第17题第18题第19题第20题边作第三个正方形A EGH，如此下去，第n个正方形的边长为．16.（2017徐州）如图，已知1OB=，以OB为直角边作等腰直角三角形1A BO.再以1OA为直角边作等腰直角三角形21A AO，如此下去，则线段nOA的长度为．17.如图，已知直线l：y=2x，分别过x轴上的点A1（1，0），A2（2，0），…，A n（n，0）作垂直于x轴的直线交l于点B1，B2，…，B n，将△OA1B1，四边形A1A2B2B1，…，四边形A n-1A n B n B n-1的面积依次记为S1，S2，…，S n，则S n=------------------------------------------------------------------------------------------------（）A.n²B.2n+1C.2nD.2n-118.如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1，称为第1次操作，将折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018到BC的距离记为h2019，若h1=1，则h2020为-------------------------------------------（）A.201921B.2019212- C.2020211- D.20202119.（2019汕头模拟）如图，顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接其四边中点得到四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn，若矩形A1B1C1D1的面积为8，那么四边形AnBnCnDn的面积为。
20.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，…，若∠A=70°，则∠B n-1B nBn+1的度数为。
类型三、循环规律：21.（2018张家界）观察下列算式：221=，422=，823=，1624=，3225=，6426=，12827=，25628=，…，则2018322222+⋯+++的末尾数字是--------------------------------------------------------（）A.8B.6C.4D.022.将正整数1，2，3，4，…按以下方式排放：则根据排放规律，从2018到2020的箭头依次为--（）A．↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓第25题 第26题 第27题第28题 第29题第30题 23.如图，是蜘蛛结网过程示意图，已知蜘蛛先从O 为起点结六条线段OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF 后，再从线OA 上某点开始按逆时针依次在OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE …上结网，若将各线上的结点依次记为1，2，3，…，那么第200个结点在射线 。
（不含O 点）24.（2017咸宁）如图，边长为4的正六边形ABCDEF 的中心与原点O 重合，AF ∥x 轴，将正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转n 次，每次旋转60°，当n=2017时，顶点A 的坐标为 。
类型四、坐标变化规律：25.（2018淮安）如图，直线l 为正比例函数y=x 的图象，点A 1的坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点D 1，以A 1D 1为边作正方形A 1B 1C 1D 1，过点C 1作直线l 的垂线，垂足为A 2，交x 轴于点B 2，以A 2B 2为边作正方形A 2B 2C 2D 2，过点C 2作x 轴的垂线，垂足为A 3，交直线l 于点D 3，以A 3D 3为边作正方形A 3B 3C 3D 3，…，按此规律，所得到的正方形AnBnCnDn 的面积为 。
26.（2019镇江模拟）如图，对角线为1的正方形OABC ，点A 在x 轴正半轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB 1为边作第三个正方形OB 1B 2C 2，按此规律点B 2019的坐标为（ ）A.)2,2(10091009-B. )2,2(10081008-C. )0,22(1009-D. )22,0(1008-27.如图，点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2019次碰到矩形的边时点P 的坐标为-----------------------------------------------------------------（ ）A.（1，4）B.（5，0）C.（8，3）D.（6，4）28.（2018安顺）正方形A 1B 1C 1O ，正方形A 2B 2C 2C 1，正方形A 3B 3C 3C 2，…按如图方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y=x+1和x 轴上，则点B n 的坐标为 。
29.（2018仙桃）如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1（3，3），P 2，P 3，…均在直线431+-=x y 上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形反映的规律，S 2018= 。
30.如图，直线l 经过原点，且与y 轴正半轴夹角为60°，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1，以A 1B ，BA 为邻边作平行四边形ABA 1C 1，过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2，以A 2B 1，B 1A 1为邻边作平行四边形A 1B 1A 2C 2，…，以此类推，则点C n 的坐标为 。