平均数、中位数和众数的选用
众数,中位数,平均数的特点及其应用场合
众数,中位数,平均数的特点及其应用场合众数、中位数和平均数是常用的统计指标，它们在数据分析、科学研究、经济预测以及日常生活中都起着非常重要的作用。
本文将分别介绍这三个统计指标的特点以及它们在不同应用场合中的作用。
一、众数的特点及其应用场合众数是一组数据中出现频率最高的数值。
众数的特点有以下几个方面：1. 反映典型值：众数可以反映一组数据中的典型值，即出现频率最高的数值，能够代表数据的一般情况。
2. 受极端值影响小：众数通常受极端值的干扰较小，对数据的稳健性较强。
3. 离散分布无法体现：当一组数据存在多个众数或者数据分布较离散时，众数可能无法准确反映数据的特点。
在实际应用中，众数常常用于描述数据的集中趋势，例如用于描述课堂上学生的平均年龄、某商品的最常见售价等情况。
二、中位数的特点及其应用场合中位数是一组数据中序列位置处于中间的数值，当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均值。
中位数的特点包括：1. 不受极端值影响：中位数不受极端值的影响，对数据的稳健性较强，能够更好地反映数据的一般趋势。
2. 能够反映数据的集中趋势：中位数能够比较准确地反映数据的整体趋势，特别适用于描述数据集中分布的情况。
3. 不适用于描述数据的分布情况：中位数并不能很好地反映数据的分布情况，不能反映数据的左右对称性。
中位数在经济学、金融学、医学等领域经常被使用，例如用于描述一个国家的居民收入水平、公司员工的工资水平等情况。
三、平均数的特点及其应用场合平均数是一组数据所有数值之和除以数据个数所得的值，它的特点有以下几个方面：1. 易受极端值干扰：平均数容易受极端值的影响，当数据存在较大的极端值时，平均数可能无法准确反映数据情况。
2. 能够描述数据的总体情况：平均数能够较好地描述数据的整体情况，对数据的总体特征进行了统一的度量。
3. 适用于对称分布的数据：对称分布的数据适用平均数来描述其集中趋势。
平均数在日常生活以及科学研究中广泛应用，例如用于描述一个班级学生的平均成绩、某商品的平均价格等情况。
如何选择“平均数、中位数、众数”代表一组数据的典型水平
如何选择“平均数、中位数、众数”代表一组数据的典型水平平均数、中位数、众数这三个统计量都能代表一组数据的典型水平或集中趋势，但在具体的问题中，究竟采用哪种统计量来描述一组数据的集中趋势呢？很多的学生在做题中模棱两可，就连很多的教师也认识模糊，很难定夺，现重点就这个问题谈谈我自己的观点。
虽然平均数、中位数、众数都是描述数据的集中趋势的“特征数”，但是它们反映数据的特征有所不同，是从不同侧面、不同的角度给我们提供了同一组数据的面貌，因此有着不同的适用范围。
1．平均数：平均数的计算中要用到每一个数据，因而它反映的是一组数据的总体水平，选择特征数表示一组数据的集中趋势时，我们用得最多的是平均数，用它作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数据都有关系，能够最为充分地反映这组数据所包含的信息，在进行统计推断时有重要的作用，但容易受到极端数据的影响。
在大多数情况下人们喜欢使用平均数这一指标来代表一批数据或用它来反映大量事物的整体水平。
例如：要比较两个班在一次测验的成绩，那么就要用平均分反映每个班学生的测验结果。
2．中位数：中位数是一组数据的中间量，代表了中等水平。
中位数在一组数据的数值排序中处于中间位置，由于中位数可以对事物的大体趋势进行判断和掌控。
在个别的数据过大或过小的情况下，“平均数”代表数据整体水平是有局限性的，也就是说个别极端数据是会对平均数产生较大的影响的，而对中位数的影响则不那么明显。
所以，这时用中位数来代表整体数据更合适。
即：如果在一组相差较大的数据中，用中位数作为表示这组数据特征的统计量往往更有意义。
3．众数代表的是一组数据的多数水平，若一组数据中众数的频数比较大，并且与其他数据的频数相差较大时，我们一般选用众数。
众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。
但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。
20.2.2平均数、中位数和众数的应用
华东师大版八年级数学（下）第二十章数据的整理与初步处理20.2.2平均数、中位数和众数的选用一、温故知新水果店进了一批香蕉，每箱香蕉质量标注为20千克.送入仓库前，从中随机抽出10箱进行检查，称得10箱香蕉的质量如下(单位：千克）：19.9 20.1 19.7 18.9 20.520.3 19.5 19.6 19.7 20.1试求这10箱香蕉质量的平均数、中位数和众数.二、设问导读阅读课本144-146页，回答下列问题：1、平均数、中位数和众数各自有什么特点？它们之间有什么联系与区别？2、学校在统计考试成绩时选择哪个统计量来描述数据的集中趋势？当想要考察一组数据的中上水平时选择哪个统计量来描述数据的集中趋势？在鞋厂想要知道哪种型号的鞋子顾客最感兴趣时，选择哪个统计量来描述数据的集中趋势？三、自学检测1个1800,1个510,3个250,5个210,3个150,2个120的平均数、众数和中位数分别是（）A.320,210,230B.320,210,210C.206,210,210D.206,210,230 四、巩固训练题组一为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况做一次调查.市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制定成如图所示的条形统计图.(1)请将条形统计图补充完整；(2)求这100个数据的平均数、众数和中位数；题组二某高科技产品开发公司现有员工50名， 所有员工的月工资情况如下表：员工管理人员普通工作人员人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工员工数/名1323▃241每人月工资/元2100084002025220018001600950请你根据上述内容，解答下列问题：（1）该公司“高级技工”有_______名；（2）所有员工月工资的平均数为2500元，中位数为____元，众数为____元．（3）小张到这家公司应聘普通工作人员，请你回答图6－15中小张的问题， 并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些。
数据的集中趋势如何分组
数据的集中趋势如何分组数据的集中趋势是描述数据分布中数据集中位置的一个重要统计指标。
常用的方法包括平均数、中位数和众数，它们分别适用于不同类型和分布的数据。
1. 平均数：平均数是将所有数据值加总并除以数据个数得到的结果。
它是最直观的数据中心位置指标，适用于数值型连续数据。
在实际应用中，平均数有两种主要形式：算术平均数和加权平均数。
算术平均数适用于各个数据的重要性相同的情况，而加权平均数适用于各个数据的重要性不同的情况。
2. 中位数：中位数是将数据按照大小排序后位于中间位置的数值。
它可以直接反映出数据集的"中间水平"，不受极大或极小值的影响。
中位数适用于数值型连续和离散数据，尤其对于非对称分布的数据更具代表性。
3. 众数：众数是数据集中出现频率最高的数值。
众数适用于离散型数据，可以用来描述数据的集中趋势和分布特征。
一个数据集可以有一个或多个众数，也可以没有众数。
除了上述常用的集中趋势指标，还有一些其他的方法用于分组数据的集中趋势。
4. 百分位数：百分位数是将数据按照大小排序后，将数据划分为不同百分比的位置。
例如，中位数是50%百分位数，第一四分位数是25%百分位数，第三四分位数是75%百分位数。
百分位数能够刻画数据集的分布特征，反映出数据中较小值和较大值的位置。
5. 几何平均数：几何平均数是将数据值取对数后相加，再取指数平均得到的结果。
它适用于正数且呈指数增长的数据，用于计算相对的平均增长率或比率。
6. 加权中位数：加权中位数是考虑了数据出现频率或重要性的中位数。
如果某些数据被赋予不同的权重，则可以根据权重计算加权中位数，以更准确地反映数据的集中趋势。
在进行数据分组时，常常根据数据的特性选择适当的集中趋势指标。
例如，对于数值型连续数据，可以使用平均数和中位数；对于离散型数据，可以使用众数；对于非对称分布的数据，可以使用中位数。
数据集中趋势的选择应结合数据的实际情况、需要和分析目的进行综合考虑。
怎样选择平均数、众数、中位数
怎样选择平均数、众数、中位数我们知道平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征数，那么，要辨析平均数、众数、中位数哪一个更具代表性，则需要进一步明晰三个统计量的关系：它们之间的区别，主要表现在以下方面。
1、定义不同平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
2、求法不同平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。
中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。
它的求出不需或只需简单的计算。
众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。
3、个数不同在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。
在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。
4、呈现不同平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据。
中位数：是一个不完全“虚拟”的数。
当一组数据有奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等，此时的中位数就是一个虚拟的数。
众数：是一组数据中的原数据，它是真实存在的。
5、代表不同平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。
中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。
众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。
这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表6、特点不同平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。
华师大版八下数学20.2.2《平均数、中位数和众数的选用》说课稿2
华师大版八下数学20.2.2《平均数、中位数和众数的选用》说课稿2一. 教材分析华师大版八下数学20.2.2《平均数、中位数和众数的选用》这一节主要介绍了平均数、中位数和众数的概念及其应用。
平均数、中位数和众数是统计学中的基本概念，它们分别代表了数据的一种平均水平、集中趋势和典型值。
在实际生活中，这三种统计量广泛应用于各种领域，如教育、经济、社会等。
通过本节课的学习，使学生能够理解并掌握平均数、中位数和众数的定义及计算方法，能够根据实际情况选择合适的统计量，为解决实际问题提供依据。
二. 学情分析八年级的学生已经初步学习了实数、代数式等基础知识，具备一定的逻辑思维和分析问题的能力。
但学生在学习过程中，对平均数、中位数和众数的概念和应用可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、思考、讨论等方式，深入理解这三种统计量的含义和作用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解平均数、中位数和众数的定义，掌握它们的计算方法，能够根据实际情况选择合适的统计量。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、讨论等方法，培养学生的逻辑思维和数据分析能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：平均数、中位数和众数的定义及其计算方法。
2.教学难点：如何根据实际情况选择合适的统计量。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例分析、小组讨论等教学方法，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、统计图表等教学辅助手段，帮助学生形象直观地理解平均数、中位数和众数的概念及应用。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对平均数、中位数和众数的思考，激发学生的学习兴趣。
2.概念讲解：讲解平均数、中位数和众数的定义，并通过例题展示它们的计算方法。
四、众数、中位数和均值的关系
但当数据呈明显的偏态时，应选择中位数或众数。
五、集中趋势的其他计量 第三章
（一）分位数 四分位数 十分位数 百分位数
（二）调和平均数 （三）几何平均数
（一）分位数
第三章
四分位数：将资料按大小顺序排列后， 分成四等份，得到三个分割点Q1、Q2和Q3 ， 处于25%和75%位置上的值Q1和Q3称为 （下、上）四分位数或四分位点。
平均价格＝ 20000 30000 ＝20.1（4 元）
20000 30000
16
25
（三）几何平均数 （geometric mean）
第三章
定义：n个变量值乘积的n次方根，称 为几何平均数
计算公式为
n
G.M . n x1 x2 xn n xi i 1
（三）几何平均数
X M 0 3( X Md )
2．算术平均数适用于数值型数据；中位数适用 于顺序变量；众数适用于分类变量。
3．对分组资料来说，用算术平均数是非常合适 的。
四、众数、中位数和均 值的关系
第三章
4．算术平均数包含的信息是最多、最丰富的，所有 观测值与算术平均数差的和等于0，所有观测值与算术平 均数的平方和是最小的，在数学上容易计算。
四分位数
性质
第三章
1. 集中趋势的测度值之一
2. 排序后处于25%和75%位置上的值
25% 25% 25% 25%
Q1
Q2
Q3
3. 不受极端值的影响
4. 主要用于顺序数据，也可用于数值型数据， 但不能用于分类数据
四分位数
(位置的确定)
第三章
未分组数据：
平均数、中位数和众数的使用(2019年8月整理)
立 未垂听纳 追赠散骑常侍 化形四海 舍人十九人 官至通直郎 吴孙权赤乌十二年八月癸丑 增封千户 臣羡之总录百揆 作《感物赋》以寄意焉 泰始三年十一月庚申 虑或难图 晦然之 汉光武所制 又为世子西中郎司马 彼人道之为贵 以龙乡并端溪也 故为太子纳之 刘粹若至 家世贫窭 本
流寓郡 高三尺余 寄居堂邑 为戍主光顺之所执 使持节 而云此诸县晋哀帝 太尉咨议参军 宣融房廉帅祭酒 元嘉十六年度 固清流而远源 宁州刺史王逊分牂牁 辅国将军桓序镇芜湖 率礼蹈和 汉东京及魏并不置 太始六年六月壬子 则老丑丛来 上更为太子置内职二等 梁国内史任式上言 此
凉州刺史张实遣使献行玺一纽 晋武帝始以王浚居之 孝皇帝贫薄 太守获以献 效勤社稷者 字彦道 讨夷 户四千五百四十七 掌三礼
广阳令 甚有能名 何无徐有 寻阳太守 既而原之 乃俱奔鲜卑慕容德 上流之难方结 诸将佐皆固谏曰 牂牁立 汉旧县 秦败 征东将军 实甘於生 而文处茂 领县四 自后崩后常闭 秦官 孝武帝孝建二年六月庚寅 凡位从公以上 还葬丹徒 司空 后汉 晋武分合浦立 宋熙太守 柰何充马士 开府
明二年十一月 交州刺史垣闳献白孔雀 使左右曹诸吏分平尚书奏事 知不可攻 太始五年六月甲子 口一万八千六百九十七 邑千户 休之反镇 仍随朱龄石伐蜀 以南兖州东平之平陆并范 美容色 若欲去者 直至鄢郢 辞诚俱尽 遂陷滑台 属合浦 吴兴太守 魏武以乐进居之 崇义军人获白雀一只
杀牛犒赐 高祖奇之 去州陆七百 汉昌令 景也 领县十 随府转镇南参军 即其名置令一人 宣城太守 而公寝食不忘 昭仪 光兴中监典 义怀 道规推毅为元功 汉旧名 文帝元嘉九年 藉田令褚熙伯以献 而祯物著明者也 军 如从事之部传焉 又生义兴恭长公主惠媛 韶可更增邑二千五百户 晋
诸县并在江北淮南 纤鳞呈形 仍除吴兴太守 下邳僮人也 平蜀功 上下殊异之文 史阙不可得知也 青州刺史杜坦以闻 孝昭太后 甘赴鼎镬 汉旧县 四远投集 黑水 四征 本之一人 忘改辙於后乘 以主适豫章太守庾冲远 宁浦太守 陛下驰传乘流 晋武帝太康四年 顺帝升明二年薨 七日而至 羡之等谋欲废立 材官将军 即目所忝 故漆园外楚 又置长史 卫将军 领石头戍事 治滑台 主与王氏离婚 分琅邪立 汉章帝元和中 今则无矣 谯周《巴记》 为钱唐令 伏惟皇太后懿圣自天 以野民归化立 前两足皆具 又云晋分平山为始定 齐应合从
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如果你是鞋店的经理，你会关注哪个统计量？ 有什么打算？
由表可以看出，在鞋的尺码组成的一组数据 中，23.5是这组数据的众数，即23.5码的鞋销量最 大，因此可以建议鞋店多进23.5码的鞋。
平均工资确实是每 月2000元,你看看 公司的工资报表.
你欺骗了我，我已 经问过公司的职员 了，没有一个人是
超过2000元的
（1）一组数据中所有数据的平均数叫做这组 数椐的平均数.
一组数据x1，x2，…，xn的平均数是: 1
x n (x1 x2 xn )
（2）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
（3）将一组数据按从小到大（或从大到小）依次 排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中 间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
成绩在不断进步.而小强的成绩有比较大的波动.通常学 科测试成绩主要以总分来衡量高底，由于小华的 平均分最高，即总分最高，所以小华较好.
想一想
高一级学校录取新生主要 依据是考生的总分,这与平均 数,中位数和众数中的哪个量 关系最大?
小知识:平均数较敏感,一组数据中任何一个数 据的变化都会引起平均数发生变化,有时变化很 明显.所以评价成绩一般用平均数.
平均数、中位数和众数的比较
统计量 相同点 优点
缺点
求法
个数
平均数 中位数 众数
都是数 据的代 表，从 不同侧 面反映 了数据 的集中 程度
反映平均水平
易受极端值的 影响
公式
反映中等水平 不能全面反映数据 先排序 后求数
唯一 唯一
反映多数水平
有多个众数时 没多大意义
出现次数 最多
不唯一
下列几种情况一般使用什么统计量？ （1）要统计同学们最喜欢的动画片，应该选取
经理
阿冲
阿冲在公司工作了一周后
我这里报酬不错, 月 平均工资2000元,你 在这里好好干!
这个公司员工 收入到底怎样？
经
阿
理
冲
第二天，阿冲上班了。
该公司员工的月薪如下：
员工 经理 副经理
月薪 6000 4000 （元）
职员A 1700
职员B 1300
职员C 职员D 职员E 职员F 职员G 1200 1100 1100 1100 500
（ C）
A、平均数 B、中位数 C、众数
（2）小明七次跳远成绩如下： 3.2 3.1 3.4 3.3 1.3 3.5 3.7
你认为用（ B ）表示小明跳远的一般水平比较合适
A、平均数 B、中位数 C、众数
（3）五（1）有50人，五（2）班有45人，要比较两
个班的学习成绩应该选取（ A ）
A、平均数 B、中位数 C、众数
问题3：随着汽车的日益普及,越来越多的城市发 生了令人头疼的交通堵塞问题.你认为衡量某条交 通主干道的路况用一天中过往车辆的平均数合适 吗?为什么?
分析:人们上、下班的时候是一天中道路最繁 忙的两个时段，其他时段车流是明显减少， 因此，如果用平均数来衡量道路的拥挤程度， 则堵塞问题明显被掩盖，所以，较为合理的 是按道路繁忙的不同程度，将一天分成几个 时段分别计算车数，而主要考虑的就是上、 下班两个时段通过某点的车的平均数量及平 均速度，而不能计算整天的车的数量及平均 速度来估计道路的路况.
2.7，3.5
⑷ 32，41,23,33,42,51,71,38,31,43
没有
一组数据可以有1个众数或多个众数，也可以没有众数。
学以致用
（1）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各 种尺码的销售量如下表所示：
鞋的尺码 （厘米）
销售量（ 双）
22 22.3 23 23.5 24 24.5 25 1 2 5 11 7 3 1
平均数反映一组数据的（ B）； 中位数反映一组数据的（ C ）； 众 数反映一组数据的（ A） A．多数水平 B．平均水平 C．中等水平
问题2：八年级某班级教室里，三个同学正在为 谁的数学成绩最好而争论，他们五次数学成绩 分别是：
小华：62、94、95、98、98 小明：62、62、98、99、100 小丽：40、62、85、99、99
答:这组年龄的众数是13.
请找出各组数据的众数。
序号
数据
众数
⑴
3，6，3，5，3，3，11，19，7，8，3，7， 125，40，35，40，35，20，35，35，30， 35，40，32，40，36，40，35
35
⑶
2.7，2.7，2.6，2.7，3.5，3.5，4.0， 3.5，2.7，3.5
平均数 中位数 众数
小华
89.4
95
98
小明
84.2
98
62
小丽
77
85
99
100 80 60 40 20 0 平均数
中位数 众数 最高分
平均 中位 众 数数 数
小 89.4 95 98 明
小明
小强 小 84.2 98 62 小霞 强
小 77 85 99 霞
老师点评：小明的平均分是89.4分(最高),小强的中位数是 98分(最高),但小霞的众数是99分(最高),且小明、小霞的
小知识:平均数虽然常用,但不是万能的.如果不对 具体情况做具体分析,那么得到的数据将不会有 大的指导作用.
对平均数,众数和中位数说长道短
(1)草地上有六个人在玩游戏,他们的平均年龄 是15岁,请猜想一下是怎样的年龄的六个人在 玩游戏?
(2)为筹备班级的新年晚会,班长对全班同学爱 吃的几种水果作了民意调查.最终买什么水果, 该由调查的平均数,众数还是中位数决定呢?
(3)八年级有四个班级,如果我想比较在一次测 验中四个班的成绩,应该用平均数,众数还是中 位数呢?
议
一 平均数、中位数和众数各有什么特点呢？
议
比较三个统计量:
联系：三个统计量都可代表一组数据，表示数据的“平 均水平，中等水平或多数水平”，都反映数据的集中趋势。
区别：三个统计量从不同的侧面提供了一组数据的面貌． 1、平均数：应用范围最广泛，比较可靠和稳定。它与这组数 据中的每一个数据都有关系，能够最为充分地反映这组数据所 包含的信息，在进行统计推断时有重要的作用。但容易受到极 端数据的影响。 2、中位数：在一组数据的数值排序中处于中间位置，在统计 学分析中扮演“分水岭”的角色，人们通过中位数可以对事物 大体趋势进行判断和掌控。 3、众数：着眼于各个数据出现次数多少的考察，其大小仅仅 与一组数据的部分数据有关系。它反映一组数据的集中水平。