高等工程数学--矩阵的广义逆
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第4章 矩阵的广义逆
定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在， 使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ， 即有 AA A A ． （5）
A为列满秩
7
推论 设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证 充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 ALபைடு நூலகம்A En
x N ( A)
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方 便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之， 按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆 矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义 推论 1 逆矩阵A , 则
广义逆矩阵
广义逆矩阵
广义逆矩阵是指一个非奇异的复矩阵的逆矩阵，这种逆矩阵可以使得不同的矩阵进行运算。
广义逆矩阵可以分为两类：一类是经典矩阵，即特定的正交矩阵；另一类是非正交矩阵，即一般矩阵。
经典矩阵的广义逆矩阵可以用某种特殊的正交矩阵表示，这种正交矩阵是矩阵的逆，可以使任意矩阵进行运算。
此外，经典矩阵的广义逆矩阵也满足下列几个性质：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些和经典矩阵相似的特点：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
然而，经典矩阵和非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些不同之处。
例如，非正交矩阵的广义逆矩阵可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，而经典矩阵的广义逆矩阵不能实现这一点。
此外，非正交矩阵的广义逆矩阵还具有长时间计算性质，而经典矩阵的广义逆矩阵则不具备这种性质。
上述介绍了广义逆矩阵的定义和特性。
可以看出，广义逆矩阵是一种可以使任意矩阵进行运算的矩阵，它具有很多性质，特别是可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，并具有长时间计算性质，所以广义逆矩阵在矩阵数学的应用中非常重要。
总的来说，广义逆矩阵是一种重要的矩阵，它可以使任何类型的矩阵进行计算，具有非常重要的应用价值。
如果我们能够更好地理解它的性质，也许我们就能更好地利用它来解决数学问题。
第八章 矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。
矩阵的广义逆及其应用.ppt
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
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第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A
1
1
1
2
(3)(1)3
0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2
0 4 8
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第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A
0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
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第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
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第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A
1
1
1
2
(3)(1)3
0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2
0 4 8
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第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A
0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0
工程矩阵理论矩阵的广义逆讲课文档
R[AH(AH)+] = R[(A+A)H] = R(A+A).
第十七页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(5) [R(A)] = R(IAA+) = K(AA+) = K(AH)
= K(A+) = K(AAH);
证明: 对(3)中的每一项取正交补得 [R(A)] = [R(AA+)] = K(AA+)
0, X K(A);
证明: X R(AH) Y s s.t. X = AHY A+AX = A+AAHY = (A+A)HAHY = (AA+A)HY = AHY = X.
X K(A) AX = 0 A+AX = 0.
第十三页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(3) R(A) = R(AA+) = R(AAH) = K(IAA+);
(2) GAG = G; (3) (AG)H = AG; Penrose方程
(4) (GA)H = GA, 则称G为A的广义逆 (或Moore-Penrose逆, 简称MP-逆).
第三页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
二. 存在性与唯一性
定理
设A sn, 则A有唯一的广义逆.
工程矩阵理论矩阵的广义逆
第一页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
第一节 广义逆及其性质 第二节 A+的求法 第三节 广义逆的一个
应用
第二页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
§6.1 广义逆及其性质
矩阵分析第8章课件
注:此例说明减号逆一般不唯一.
减号逆的充要条件
定理8.1.1: XCnm是ACmn的减号逆,当且仅当 AXA=A (2) 证:必要性 若X=A-,则对任意bR(A)都有 AXb=b. 令 A=(1,…,n),则 Aei=iR(A),ei=Xi, AXi=i,i=1,…,n, 因此 AX(1,…,n)=(1,…,n),得证 AXA=A. 充分性 若X满足(2)和x为Ax=b的解,则 b=Ax=AXAx=AXb, 因此,Ax=b的解可表为:x=Xb,从而得证X是A的一 个减号逆.
我们知道:用行,列初等变换可以把任意矩阵 ACrmn 化为标准形 diag(Er,0).令 PCmmm,QCnnn分别表示其中所用行,列初等变 换的乘积,则 PAQ=diag(Er,0). 求P,Q的方法示意如下: B ① 经行变换 (A | Em) -- 0
B E n
第八章 矩阵的广义逆序言
矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的 逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅 仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚 至适用于行列数不相等的长方阵. 广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的 应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的 有效工具,特别在数值分析中十分有用. 本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆, 自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义 逆.
1 2 1/ 2 5 / 2 | 0 1/ 2 0 1 0 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 1 3 0 | 1 0 0 0 1 3 0 | 1 0 0 0 0 0 | 3 2 1 0 0 0 0 | 3 2
注:求矩阵Q较为容易,先适当交换列顺序把B的前 r列变为Er,再把所有别的元全化为0.这样一来,Q 的非对角元恰好是B的对应元反号.
减号逆的充要条件
定理8.1.1: XCnm是ACmn的减号逆,当且仅当 AXA=A (2) 证:必要性 若X=A-,则对任意bR(A)都有 AXb=b. 令 A=(1,…,n),则 Aei=iR(A),ei=Xi, AXi=i,i=1,…,n, 因此 AX(1,…,n)=(1,…,n),得证 AXA=A. 充分性 若X满足(2)和x为Ax=b的解,则 b=Ax=AXAx=AXb, 因此,Ax=b的解可表为:x=Xb,从而得证X是A的一 个减号逆.
我们知道:用行,列初等变换可以把任意矩阵 ACrmn 化为标准形 diag(Er,0).令 PCmmm,QCnnn分别表示其中所用行,列初等变 换的乘积,则 PAQ=diag(Er,0). 求P,Q的方法示意如下: B ① 经行变换 (A | Em) -- 0
B E n
第八章 矩阵的广义逆序言
矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的 逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅 仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚 至适用于行列数不相等的长方阵. 广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的 应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的 有效工具,特别在数值分析中十分有用. 本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆, 自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义 逆.
1 2 1/ 2 5 / 2 | 0 1/ 2 0 1 0 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 1 3 0 | 1 0 0 0 1 3 0 | 1 0 0 0 0 0 | 3 2 1 0 0 0 0 | 3 2
注:求矩阵Q较为容易,先适当交换列顺序把B的前 r列变为Er,再把所有别的元全化为0.这样一来,Q 的非对角元恰好是B的对应元反号.
求矩阵的广义逆例题简单
求矩阵的广义逆例题简单
假设我们有一个2x2的矩阵A：
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]
我们可以计算出这个矩阵的行列式：
\[
\det(A) = |A| = 1(1) - 1(1) = 0
\]
因为行列式为0，所以矩阵A不可逆。
我们称这样的矩阵为奇异矩阵。
那么，矩阵A的广义逆是什么呢？广义逆是一个与方阵的逆相对应的概念，可以应用于任何一个矩阵。
在这个例子中，矩阵A的广义逆可以通过计算伪逆来获得：
\[
A^+ = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
\]
其中，\(\text{adj}(A)\)表示矩阵A的伴随矩阵。
对于我们的例子，\(\text{adj}(A)\)可以计算如下：
\[
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]
然后，我们可以计算广义逆：
\[
A^+ = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{0} \cdot \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} = \text{undefined}
\]
由于行列式为0，我们的广义逆的计算结果是未定义的。
这也是为什么奇异矩阵没有逆矩阵或者广义逆的原因。
工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)
线性方程组求解
矩阵的广义逆可以用于求解线性方程组，特别是当系数矩阵奇异或接近奇异时，广义逆提供了有效的 解决方案。
最小二乘解
在最小二乘问题中，广义逆可以找到使得残差平方和最小的解，这在数据分析和统计中非常有用。
在控制论中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，广义逆可以用于分析 系统的稳定性，通过计算系统的极点 来评估系统的动态行为。
04
矩阵的广义逆的存在性条件
存在性条件
矩阵A的秩为n
矩阵A的秩必须等于其维数n，即 $rank(A) = n$，以保证存在一个广义逆 矩阵。
VS
线性方程组有解
矩阵A所对应的线性方程组必须有解，即 系数矩阵A的行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$。
唯一性条件
要点一
矩阵A为非奇异矩阵
矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$，以保证广义逆矩阵的唯一性。
程实际需求。
工程实例三：最优化问题求解
总结词
最优化问题求解是矩阵广义逆的一个重要应用方向。
详细描述
在工程领域中，经常需要解决各种最优化问题，如线 性规划、二次规划、非线性规划等。这些问题的数学 模型通常可以转化为矩阵形式。通过利用矩阵的广义 逆，可以高效地求解这些最优化问题，为工程实践提 供更好的解决方案。
最小二乘法的优点是简单易行，适用于大规模数据的计算。 但是，它只能找到一个近似解，而不是精确解。
迭代法
迭代法是一种通过不断迭代来逼近解的方法。在矩阵的广 义逆中，迭代法可以用来求解线性方程组的迭代解。通过 不断迭代更新解向量，最终逼近方程组的解。
迭代法的优点是适用于大规模数据的计算，且可以找到精 确解。但是，迭代法的收敛速度较慢，需要多次迭代才能 得到满意的结果。
矩阵的广义逆可以用于求解线性方程组，特别是当系数矩阵奇异或接近奇异时，广义逆提供了有效的 解决方案。
最小二乘解
在最小二乘问题中，广义逆可以找到使得残差平方和最小的解，这在数据分析和统计中非常有用。
在控制论中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，广义逆可以用于分析 系统的稳定性，通过计算系统的极点 来评估系统的动态行为。
04
矩阵的广义逆的存在性条件
存在性条件
矩阵A的秩为n
矩阵A的秩必须等于其维数n，即 $rank(A) = n$，以保证存在一个广义逆 矩阵。
VS
线性方程组有解
矩阵A所对应的线性方程组必须有解，即 系数矩阵A的行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$。
唯一性条件
要点一
矩阵A为非奇异矩阵
矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$，以保证广义逆矩阵的唯一性。
程实际需求。
工程实例三：最优化问题求解
总结词
最优化问题求解是矩阵广义逆的一个重要应用方向。
详细描述
在工程领域中，经常需要解决各种最优化问题，如线 性规划、二次规划、非线性规划等。这些问题的数学 模型通常可以转化为矩阵形式。通过利用矩阵的广义 逆，可以高效地求解这些最优化问题，为工程实践提 供更好的解决方案。
最小二乘法的优点是简单易行，适用于大规模数据的计算。 但是，它只能找到一个近似解，而不是精确解。
迭代法
迭代法是一种通过不断迭代来逼近解的方法。在矩阵的广 义逆中，迭代法可以用来求解线性方程组的迭代解。通过 不断迭代更新解向量，最终逼近方程组的解。
迭代法的优点是适用于大规模数据的计算，且可以找到精 确解。但是，迭代法的收敛速度较慢，需要多次迭代才能 得到满意的结果。
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AA A FGG F FG
FGG H (GGH )1 ( F H F )1 F H FG
FG A
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
A AA G F FGG F
GH (GG H )1 ( F H F )1 F H FGG H (GG H )1 ( F H F )1 F H G (GG ) ( F F ) F A
Ir O GA O O
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
二、广义逆的求解
Ir O AG GA O O
所以有 1) AGA A；
2) GAG G；
3) (AG)H AG； 4) (GA)H GA. 即G是A的广义逆
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
m n 设 ，则 A的加号逆 A存在且唯 定理1 A
证明
一 由例 3 知，对任意矩阵 A 都存在广义逆A . 下证唯一性. 假设 F 与 G 都是 A的广义逆，则由广义逆的定义有:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F FAF F(AF)H FFHAH
FFH(AGA)H
H H H H 1 1
AA FGG F
FGG (GG ) ( F F ) F
H H H 1 1 H
F ( F H F )1 F H
所以有
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( AA )H AA
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
A A G F FG
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1 1 0 (F F ) 5 0 5
H 1
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
二、广义逆的求解
1 0 1 2 0 5 0 H GG 2 0 0 0 1 0 1 0 1
则称G为A的Moore-Penrose广义逆，
简称为M-P广义逆，或加号逆， 记为 A.
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
例 1 若A是可逆，则有A A1. 例 2 1) 若 F 是列满秩的，则有
1 F FL (F HF ) 1 F H
图片
高等工程数学
第一篇：矩阵理论 第 18 讲：矩阵的广义逆及其应用 主讲：国防科技大学 杨文强 副教授
第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
内容提纲
1. 广义逆的定义与性质
2. 广义逆的求解
3. 广义逆在最小二乘问题中的应用
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2/66
第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
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15/66
第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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一、广义逆的定义与性质 证明 3) AH AH A A A AAH ；
由广义逆的定义有
AH (A
AA)H AH (A AA)H
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AH (A A)
H
AH A A AH
)H H H H ( A A (A A) A
3) 由此得到 A 的广义逆:
1 1 A+ GR FL G F
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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二、广义逆的求解
1 2 0 例 4 设 A 0 0 1 ，试求A的广义逆. 2 4 0
解
首先求出 A 的Hermite标准形:
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13/66
第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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一、广义逆的定义与性质 定理2(广义逆的性质) 设 A mn ，则有
1) (A) A；
2) (A)H
H) ； ( A 3) AH AH A A A AAH ；
4) (A) A/， 0； 5) A (AH A) AH AH (A AH)
2)若 G rn 是行满秩的，则 G 有右逆:
1 GR G H (GG H ) 1
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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一、广义逆的定义与性质
对一般矩阵 A mn ，有满秩分解: A FG 能否定义 A 的 “逆”为:
1 1 GR FL
所以
F (F H F )1 F H 1 0
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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二、广义逆的求解
1 1 G G (GG ) 2 1
H H 1
由此得到
1 1 0 1 1 A G F 1 0 2 1 0 2 1
1 2 0 1 2 0 (3) (2)2 A 0 0 1 0 0 1 2 4 0 0 0 0
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
二、广义逆的求解
所以 A 的满秩分解是
1 2 0 1 0 1 2 0 A 0 0 1 0 1 FG 0 0 1 2 4 0 2 0 1 0 1 0 2 5 0 H F F 0 1 0 1 0 0 1 2 0
AAAH
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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二、广义逆的求解 广义逆求解方法之一:满秩分解法
1) 先求出 A 的满秩分解: A FG； 2) 再计算 F 的左逆及 G 的右逆:
F F (F F ) F
H
1 L
1
H
1 G GR GH (GGH )1
二、广义逆的求解
所以 A 的广义逆是
A G F
1 0 1 1 1 0 2 2 0 5 0 5 0 5 0 5
1 0 2 1 2 0 4 25 0 25 0
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
H
1
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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一、广义逆的定义与性质
例 3 对任意矩阵 A 则有
A G F G H (GG H )1 ( F H F )1 F H
m n
，设A的满秩分解为: A FG，
证明 即需验证 A 满足定义中的4个条件
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
二、广义逆的求解 广义逆求解方法之二:奇异值分解法
设A 的奇异值分解:
Σ O H A U V O O
1 (Σ ) r
其中 1，2，…，n 是 A 的正奇异值. 则由广义逆的性质有
FL1FFL1 ( F H F )1 F H FFL1 FL1
因为 ( F F ) 是Hermite矩阵，所以有
( FFL1 )H [F ( F H F )1 F H ]H F ( F H F )1 F H
( FL1F )H I FL1F
1 + 1 F F F 所以有 ，即 L 是 F 的加号逆. L
一、广义逆的定义与性质
一个方阵不一定可逆，长方矩阵更没有逆.
能否推广矩阵逆的概念，使得任何矩阵在某种意义
下都可逆?
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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一、广义逆的定义与性质
回 顾: 1)若 F
mr
是列满秩的，则 F 有左逆:
1 FL ( F HF )1F H
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；
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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一、广义逆的定义与性质
6) 若F 列满秩，G行满秩，则有 (FG) GF ； 7) 若U 和 V 是酉矩阵，则有(UAV) VHAUH ； 8) rank A rank A rank AA rank AA ； 9) mrank(Im AA) nrank(In AA) rank A
下证G就是A的广义逆
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二、广义逆的求解
因为
1 1 11 1 r r1 AG 0 0 0 0 0 0
1 Σ O H A V U O O
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二、广义逆的求解
1 1 1 0 ， B，(AB) . 例 6 设A ， ，试求 A B 0 0 0 0
解
因为
1 1 1 A 1 1 FG 0 0 0
2) 若 G 是行满秩的，则有
1 G + GR GH (GG H ) 1
证明 1) 即需验证 F 满足定义中的4个条件
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1 L
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一、广义逆的定义与性质
FF F F ( F F ) F F F
FGG H (GGH )1 ( F H F )1 F H FG
FG A
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一、广义逆的定义与性质
A AA G F FGG F
GH (GG H )1 ( F H F )1 F H FGG H (GG H )1 ( F H F )1 F H G (GG ) ( F F ) F A
Ir O GA O O
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二、广义逆的求解
Ir O AG GA O O
所以有 1) AGA A；
2) GAG G；
3) (AG)H AG； 4) (GA)H GA. 即G是A的广义逆
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一、广义逆的定义与性质
m n 设 ，则 A的加号逆 A存在且唯 定理1 A
证明
一 由例 3 知，对任意矩阵 A 都存在广义逆A . 下证唯一性. 假设 F 与 G 都是 A的广义逆，则由广义逆的定义有:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F FAF F(AF)H FFHAH
FFH(AGA)H
H H H H 1 1
AA FGG F
FGG (GG ) ( F F ) F
H H H 1 1 H
F ( F H F )1 F H
所以有
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( AA )H AA
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一、广义逆的定义与性质
A A G F FG
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1 1 0 (F F ) 5 0 5
H 1
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二、广义逆的求解
1 0 1 2 0 5 0 H GG 2 0 0 0 1 0 1 0 1
则称G为A的Moore-Penrose广义逆，
简称为M-P广义逆，或加号逆， 记为 A.
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一、广义逆的定义与性质
例 1 若A是可逆，则有A A1. 例 2 1) 若 F 是列满秩的，则有
1 F FL (F HF ) 1 F H
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第一篇：矩阵理论 第 18 讲：矩阵的广义逆及其应用 主讲：国防科技大学 杨文强 副教授
第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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内容提纲
1. 广义逆的定义与性质
2. 广义逆的求解
3. 广义逆在最小二乘问题中的应用
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一、广义逆的定义与性质 证明 3) AH AH A A A AAH ；
由广义逆的定义有
AH (A
AA)H AH (A AA)H
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AH (A A)
H
AH A A AH
)H H H H ( A A (A A) A
3) 由此得到 A 的广义逆:
1 1 A+ GR FL G F
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二、广义逆的求解
1 2 0 例 4 设 A 0 0 1 ，试求A的广义逆. 2 4 0
解
首先求出 A 的Hermite标准形:
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一、广义逆的定义与性质 定理2(广义逆的性质) 设 A mn ，则有
1) (A) A；
2) (A)H
H) ； ( A 3) AH AH A A A AAH ；
4) (A) A/， 0； 5) A (AH A) AH AH (A AH)
2)若 G rn 是行满秩的，则 G 有右逆:
1 GR G H (GG H ) 1
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一、广义逆的定义与性质
对一般矩阵 A mn ，有满秩分解: A FG 能否定义 A 的 “逆”为:
1 1 GR FL
所以
F (F H F )1 F H 1 0
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二、广义逆的求解
1 1 G G (GG ) 2 1
H H 1
由此得到
1 1 0 1 1 A G F 1 0 2 1 0 2 1
1 2 0 1 2 0 (3) (2)2 A 0 0 1 0 0 1 2 4 0 0 0 0
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二、广义逆的求解
所以 A 的满秩分解是
1 2 0 1 0 1 2 0 A 0 0 1 0 1 FG 0 0 1 2 4 0 2 0 1 0 1 0 2 5 0 H F F 0 1 0 1 0 0 1 2 0
AAAH
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二、广义逆的求解 广义逆求解方法之一:满秩分解法
1) 先求出 A 的满秩分解: A FG； 2) 再计算 F 的左逆及 G 的右逆:
F F (F F ) F
H
1 L
1
H
1 G GR GH (GGH )1
二、广义逆的求解
所以 A 的广义逆是
A G F
1 0 1 1 1 0 2 2 0 5 0 5 0 5 0 5
1 0 2 1 2 0 4 25 0 25 0
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H
1
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一、广义逆的定义与性质
例 3 对任意矩阵 A 则有
A G F G H (GG H )1 ( F H F )1 F H
m n
，设A的满秩分解为: A FG，
证明 即需验证 A 满足定义中的4个条件
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二、广义逆的求解 广义逆求解方法之二:奇异值分解法
设A 的奇异值分解:
Σ O H A U V O O
1 (Σ ) r
其中 1，2，…，n 是 A 的正奇异值. 则由广义逆的性质有
FL1FFL1 ( F H F )1 F H FFL1 FL1
因为 ( F F ) 是Hermite矩阵，所以有
( FFL1 )H [F ( F H F )1 F H ]H F ( F H F )1 F H
( FL1F )H I FL1F
1 + 1 F F F 所以有 ，即 L 是 F 的加号逆. L
一、广义逆的定义与性质
一个方阵不一定可逆，长方矩阵更没有逆.
能否推广矩阵逆的概念，使得任何矩阵在某种意义
下都可逆?
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一、广义逆的定义与性质
回 顾: 1)若 F
mr
是列满秩的，则 F 有左逆:
1 FL ( F HF )1F H
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；
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一、广义逆的定义与性质
6) 若F 列满秩，G行满秩，则有 (FG) GF ； 7) 若U 和 V 是酉矩阵，则有(UAV) VHAUH ； 8) rank A rank A rank AA rank AA ； 9) mrank(Im AA) nrank(In AA) rank A
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二、广义逆的求解
因为
1 1 11 1 r r1 AG 0 0 0 0 0 0
1 Σ O H A V U O O
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二、广义逆的求解
1 1 1 0 ， B，(AB) . 例 6 设A ， ，试求 A B 0 0 0 0
解
因为
1 1 1 A 1 1 FG 0 0 0
2) 若 G 是行满秩的，则有
1 G + GR GH (GG H ) 1
证明 1) 即需验证 F 满足定义中的4个条件
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一、广义逆的定义与性质
FF F F ( F F ) F F F