122-6-3松弛迭代法
matlab逐次超松弛迭代法
matlab逐次超松弛迭代法
逐次超松弛迭代法（Gauss-Seidel迭代法）是一种用于解线性方程组的迭代方法，通常用于求解大型稀疏线性方程组。
在MATLAB 中，可以使用该方法来解决线性方程组的数值解。
首先，让我们来了解一下逐次超松弛迭代法的基本原理。
该方法是基于迭代的思想，通过不断迭代更新解向量的各个分量，直到满足一定的收敛条件为止。
具体步骤如下：
1. 首先，需要将线性方程组表示为矩阵形式 Ax = b，其中A 是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
2. 然后，将系数矩阵A分解为下三角矩阵L、对角矩阵D和上三角矩阵U，即A = L + D + U。
3. 接下来，可以根据逐次超松弛迭代法的迭代公式来更新解向量x的各个分量，直到满足一定的精度要求或者迭代次数达到指定的值为止。
在MATLAB中，可以通过编写相应的代码来实现逐次超松弛迭代
法。
具体步骤如下：
1. 首先，需要编写一个函数来实现逐次超松弛迭代法的迭代过程，可以使用for循环来进行迭代更新解向量的各个分量。
2. 其次，需要编写主程序来调用该函数，并传入系数矩阵A、常数向量b以及迭代的初始解向量作为输入参数。
3. 最后，可以设置迭代的终止条件，例如迭代次数的最大值或者解的精度要求，以及初始解向量的初值。
需要注意的是，在实际应用中，逐次超松弛迭代法的收敛性和稳定性需要进行分析和验证，以确保得到正确的数值解。
此外，还需要注意选择合适的松弛因子来加速收敛速度。
总的来说，逐次超松弛迭代法是一种常用的求解线性方程组的数值方法，在MATLAB中可以通过编写相应的代码来实现该方法，并得到线性方程组的数值解。
松弛迭代法
令B (D L)1[(1 )D U ], g (D L)1b,则
x(m1) B x(m) g (m 0,1,2,)
三、松弛法算法
输入 方程组的阶数n, A的元素aij，1 i, j n;b的分量bi ,1 i n;
x(0)的分量x0i ,1 i n;允许误差；最大迭次次数N. 输出 近似解x1, x2,, xn或N次迭代后不收敛的信息 . 步骤
S1 对m 1,2,, N作 S11~S13
S11 对i 1,2,, n
置xi
(1 )x0i
bi
i 1
aij x j
n
aij x0 j
aii .
j 1
j i 1
S12 若对i 1,2,, n, xi x0i ,则输出x1, x2,, xn ;停机.
在修正量前乘上一个参数，即
x ( m 1) i
xi( m )
r (m1) i
(i 1,2,, n)
这种求方程组近似解的方法称为松弛法，称为松弛因子. 当 1时，称为低松弛法,当 1时，就是赛德尔迭代法， 当 1时，称为超松弛法，简称为SOR.
在实际计算中，松弛法常采用以下形式：
§4-3 松弛迭代法
一、松弛迭代计算公式
赛德尔迭代法的迭代公式可表示为
x(m1) i
1 aii
(bi
i 1
a x(m1) ij j
j 1
n
aij
x(m) j
)
j i 1
x(m) i
1 aii
数值计算方法 松弛迭代法 - 松弛迭代法
n1
(k 1)
1
n2
(k 1)
2
b x
( k 1)
n,n1 n1
g n
x
(
0
)
( x1(0) ,
,
x(0) n
)T
,
xi
x (k1) i
x(k) i
xi
(bi
i 1
a x (k1) ij j
n
aij
xj(k) )
/
aii
x(k) i
ji
j i 1
i 1
n
(bi
aij
x (k1) j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
(2.13)
代
j1
ji1
法
(2) 再由xi(k ) 与x~i(k1) 加权平均定义xi(k1) ，即
x(k1) i
(1 )xi(k)
x(k1) i
x(k) i
( xi(k1)
xi(k) )
(2.14)
将(2.13)代入(2.14)得到解 Ax b 的SOR迭代公式.
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理
2 Jacobi迭代法 3 高斯-塞德尔迭代法 4 松弛迭代法
5 迭代法的收敛性与稳定 性
松弛法的基本思想 松弛法的矩阵表示 松弛法的程序 迭代法收敛性的其它判定方法
松弛法的基本思想
为Gauss-Seidel 迭代法加速
记：x x1 , x2 , , xn T x(k1) x(k)
松
可以把 x 看作Gauss-Seidel 迭代的修正项，即第k次
松弛迭代法
一、松弛迭代计算公式
松弛迭代法
赛德尔迭代法的迭代公式可表示为 i 1 n 1 xi( m +1) = (bi ∑ aij x (jm +1) ∑ aij x (jm ) ) aii j =1 j =i +1
=x
(m) i i 1 n 1 ( m +1) + (bi ∑ aij x j ∑ aij x (jm ) ) aii j =1 j =i
令Bω = ( D ωL) 1[(1 ω ) D + ωU ], gω = ( D ωL) 1 b, 则
x ( m +1) = Bω x ( m ) + gω
(m = 0,1,2, L)
三、松弛法算法 输入 方程组的阶数n, A的元素aij，≤ i, j ≤ n; b的分量bi ,1 ≤ i ≤ n; 1
在实际计算中，松弛法常采用以下形式：
x
( m +1) i
= (1 ω ) x
( m) i
+ ω (bi ∑ aij x
j =1
i 1
( m +1) j
∑ aij x (jm ) ) / aii (i = 1,2, L , n)
j =i
n
二、松弛法的矩阵形式 x (m +1) = ( D ωL) 1[(1 ω ) D + ωU ]x ( m ) + ω ( D ωL) 1 b (m = 0,1,2, L)
ri( m +1) → 0(i = 1,2, L , n)
在修正量前乘上一个参数，即
xi( m +1) = xi( m ) + ωri( m +1)
超松弛迭代法(SOR方法)
解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方 程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参 数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞 德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
松弛迭代法
松弛迭代法
拉格朗日松弛迭代法(Rayleigh-Ritz Relaxation Method，简称 RRR 法)也称为牛顿松弛迭代法，它结合了牛顿法和松弛迭代法的理论思想，是一种求解常微分方程组的迭代法。
该法引入拉格朗日函数作为迭代的手段，是一种改进的迭代法。
拉格朗日松弛迭代法的基本思想是：针对解决系统方程中的迭代过程，可以将周期性求解出的解表达成一个拉格朗日函数，然后计算最优解以期达到更快的收敛。
具体工作步骤如下：
第一步：初始化变量和精度参数；
第二步：将各变量表示成Fourier级数；
第三步：任意给定初始值，用此为步进量，将目标函数拆分为拉格朗日函数，使得精度参数达到最优值；
第四步：将此值作为步长，依次求解各个变量；
第五步：在迭代过程中，改变步长，即可更新函数值，达到最优解。
拉格朗日松弛迭代法基于牛顿法可以求解出一个准确的解，并以此作为步长，松弛系数以较小的步长，任意的改变步长，不断的拉格朗日函数更新，然后求解最优解，使得整个迭代过程逐渐收敛，同时也充分考虑了步长的变化，可以研究出解析解。
本方法既可以用于求解定常面上的静解又可以用于求解一定频率的动解，甚至于一般情况下的复杂系统，该法有着广泛的应用。
松弛因子与迭代次数的关系
松弛因子与迭代次数的关系介绍：松弛因子是迭代法中的一个重要参数，用来控制每次迭代的步长。
迭代法是解决线性方程组的常见方法之一，在实际应用中，通过调整松弛因子可以使得迭代更快收敛或更稳定。
本文将探讨松弛因子与迭代次数的关系，并分析不同松弛因子对迭代法收敛速度的影响。
一、松弛因子的定义和作用松弛因子（relaxation factor）是在迭代法中用来调整每次迭代的步长的参数，通常用符号ω表示。
对于迭代法求解线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量，松弛因子ω用于计算每次迭代的解向量x：x(k+1) = (1-ω)x(k) + ωD^(-1)(b - Rx(k))其中x(k)是第k次迭代的解向量，D是系数矩阵A的对角矩阵，R是A的严格下三角矩阵或严格上三角矩阵。
通过调整松弛因子的取值，可以控制每次迭代解向量的更新幅度，从而影响迭代的收敛性和速度。
二、松弛因子与迭代次数的关系1. 松弛因子小于1的情况当松弛因子ω小于1时，迭代法称为欠松弛法（under-relaxation method）。
此时，每次迭代的解向量更新比较小，迭代过程较为稳定。
在数值计算中，欠松弛法常用于处理病态问题和不可收敛问题，能够提高迭代法的稳定性和收敛性。
然而，欠松弛法由于每次迭代步长较小，收敛速度相对较慢。
因此，在求解较大规模的线性方程组时，需要进行很多次迭代才能达到收敛要求。
2. 松弛因子等于1的情况当松弛因子ω等于1时，迭代法称为正常迭代法（Gauss-Seidel method）。
此时，每次迭代的解向量更新完全由当前迭代的解向量决定，即x(k+1) = x(k)。
正常迭代法是一种简单的迭代方法，容易实现。
然而，在某些情况下，正常迭代法可能会发散或收敛速度较慢，特别是对于病态问题。
3. 松弛因子大于1的情况当松弛因子ω大于1时，迭代法称为超松弛法（over-relaxation method），也称为逐次上松法（successive overrelaxation method，SOR）。
超松弛迭代法
超松弛迭代法
超松弛迭代法是一种回归模型的最优化算法，主要用于减少损失函数。
如果损失函数是凸函数，则可以使用自动对准算法来使目标函数最小，以备测试目标模型。
超松弛迭代法的技术流程如下：
1. 定义初始参数：设置参数的初始值x0。
2. 迭代：通过迭代公式X[i + 1] = (1 –λ) X[i] + λF(X[i])来更新X[i]，得到新的迭代值。
3. 收敛：检查超参数δ和终止准则，查看目标函数值是否趋于收敛。
4. 调整超参数：如果目标函数值没有收敛，则可以尝试调整超参数X0和λ来降低目标函数值。
5. 返回最优化结果：将参数X[i]返回到最终收敛状态，即最优化结果。
matlab超松弛迭代法求方程组
一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。
在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。
本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。
二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。
它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。
超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。
超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。
在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。
三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。
sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。
以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。
松弛加速算法的原理和应用
松弛加速算法的原理和应用1. 引言松弛加速算法（Relaxation Acceleration Algorithm，简称RAA）是一种用于优化问题求解的迭代算法。
它通过不断迭代和逐渐增加松弛因子的方式来加速问题的收敛速度。
本文将介绍松弛加速算法的原理和应用。
2. 原理松弛加速算法的核心思想是通过引入松弛因子来平衡问题的约束条件和目标函数之间的关系，从而加快问题的收敛速度。
在每一次迭代中，通过逐渐增加松弛因子的值，使得问题的约束条件更加灵活，从而使问题更易于求解。
2.1 算法步骤松弛加速算法的主要步骤如下：1.初始化问题的初始解；2.根据初始解求解问题的残差，即目标函数与约束条件的差值；3.设置松弛因子的初值；4.进行迭代计算，直到问题满足收敛条件：–在每一次迭代中，根据当前的松弛因子和残差值，更新问题的解；–根据更新后的解重新计算问题的残差；–调整松弛因子的值；–根据调整后的松弛因子和残差值，判断是否满足收敛条件。
5.输出最终求解结果。
2.2 松弛因子的选择选择合适的松弛因子对于松弛加速算法的性能起到至关重要的作用。
一般来说，当松弛因子较小时，问题的收敛速度较慢，但可能会增加迭代过程中的稳定性；而当松弛因子较大时，问题的收敛速度较快，但可能会导致迭代过程的不稳定。
在实际应用中，选择适当的松弛因子需要根据具体的问题进行调整。
一种常见的方法是通过试验和观察，不断调整松弛因子的值，直到达到较好的收敛性能。
3. 应用案例松弛加速算法在各领域都有广泛的应用。
下面将介绍几个具体的应用案例。
3.1 线性规划问题线性规划问题是求解一个线性目标函数在线性约束条件下的最优解的问题。
松弛加速算法可以用于加速线性规划问题的求解过程。
通过引入松弛因子，可以使得线性规划问题更易于求解，并且能够提高求解的效率和性能。
3.2 图像处理图像处理是计算机视觉和图像处理领域中的一个重要研究方向。
松弛加速算法可以用于图像处理中的一些问题，如图像去噪、图像增强等。
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(k 1)
n
n1
(k 1)
1
n2
(k1) L
2
n,n1
( k 1) n1
g n
x
(
0
)
( x1(0) ,L
,
x(0) n
)T
,
xi
x (k1) i
x(k) i
xi
(bi
i 1
a x (k1) ij j
n
aij
xj(k) )
/
aii
x(k) i
ji
j i 1
i 1
n
(bi
aij
代 法
R=Max[Abs[Eigenvalues[N[SOR]]]]-1 f=w*DDLN.b; x[0]={1,1,1};
x[n_]:=SOR.x[n-1]+f;
Table[x[n],{n,0,16}];
MatrixForm[%]//N
LinearSolve[A,b]
程序设计
松弛法的程序
1.
1.
x(0) 初始向量
x
(
k
1)
SOR x(k )
f
k 0,1,L
其中 f (D L)1b.
SOR 方 法
x(k)
( x1(k ) ,
x
( i
k
)
,
x
(k n
)
)T
,
SOR方法的计算公式
x( xi(
0)
k 1)
( x1(0) ,
x(k) i
x
(0 n
)
)T
xi ,
松
(i 1,2, , n; k 0,1, ),
例2
用SOR方法解方程组
1
4
1
1
x2
1 ,
验证：松弛因子
1 1 4 1 x3 1
1
1
1
4
x4
1
与迭代次数的关系，它的精确解为 x* 1, 1, 1, 1T .
取 x(0) 0 ，迭代公式为
x1k
x
k
2
1 1
x1k x2k
1 1
4 x1k x2k x3k x4k 4 ; x1k1 4 x2k x3k x4k 4 ;
将(2.13)代入(2.14)得到解 Ax b 的SOR迭代公式.
典型例题
例1
松 弛 迭 代 法
取 1.4, x( 0 ) (1,1,1 )T
用超松弛法解方程组
2x1 x2 x1 2x2
x3
1 0
x2 2x3 1.8
x(k1) i
(1 )xik
aii
(bi
i 1 j 1
1.
1.
1.
1.56
1.
1.392 1.532
松
1.2744
1.3528 1.602
弛
1.1372
1.40376 1.59164
迭
1.22775 1.39396 1.60108
代 法
1.18467 1.40106 1.59889
1.20687 1.39917 1.60024
1.19667 1.40021 1.59984
当 1 时称为超松弛法。
松弛法的矩阵表示
选取分裂矩阵M为带参数下三角阵
M 1 (D L)
松 其中 0 为可选择的松弛因子。
弛 迭
构造以 SOR I (D L)1 A 为迭代矩阵的迭代公式
代 法
x(k1) I (D L)1 A x(k) f
解 Ax b 的SOR方法为
程序设计
1.20148 1.19932 1.2003 1.19987 1.20006 1.19998 1.20001
1.2
1.39988 1.60004
1.40004 1.59998
1.39998 1.60001
1.40001 1.6
1.4
1.6
1.4
1.6
1.4
1.6
1.4 1.6
典型例题
4 1 1 1 x1 1
将 x(0) (1,1,1)T 带入上式开始迭代 x(9) (1.200, 1.3996, 1.6001)T
精确解： x (1.2, 1.4, 1.6)T .
松弛法的程序
A={{2,-1,0},{-1,2,-1},{0,-1,2}};
MatrixForm[%];
b={1,0,1.8};
w=1.4;
其中 x(k1) Gauss-Seidel 迭代公式得到，于是有
松
弛 迭 代 法
x (k1)
1
b x b x b x g (k)
(k) L
(k)
12 2
13 3
1n n
1
x b x
(k 1)
2
21
( k 1) 1
b x b x g
(k) L
(k)
23 3
2n n
2
LL
x b x b x b x
(i 1,2,L , n)
松
可以把 x 看作Gauss-Seidel 迭代的修正项，即第k次
弛
近似解 x( k ) 以此项修正后得到新的近似解
迭
代
x( k1 ) x( k ) x
法
松弛法是将 x 乘上一个参数因子 作为修正项而得到新的近似解
具体公式为
x( k1 ) x( k ) x
松弛法的基本思想
迭代法收敛性的其它判定方法
0 松弛法收敛的必要条件是： 2
前面的判定定理虽然给出了判别迭代收敛的充要条件，但要求逆矩
松 弛
阵和特征值。而 0 2 也只是松弛法收敛的必要条件，应用不方便。
迭
代
法
即
x ( k 1) i
x(k) i
xi
(1 )xi(k)
aii
(bi
i 1
a x(k1) ij j
j 1
n
aij x(jk ) )
j i 1
按上式计算 Ax b 的近似解序列的方法称为松弛法。
松 弛
称为松弛因子
迭 代
当 1 时称为低松弛；
法
当 1 时称为Gauss-Seidel迭代；
对 取其他值，迭代次数如下表，从此例看到，松弛因子选择得好，会使 SOR迭代法的收敛大大加速，本例中 1.3是最佳松弛因子。
松弛因子
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
满足误差 xk x* 105
2
22
17
12
11
14
的迭代次数
松弛因子
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
满足误差
17 23 33 53 109
a x(k1) ij j
n
aij x(jk ) )
ji1
x ( k 1) 1
0.4 x1(k )
0.7(1
x(k) 2
x ( k 1) 2
0.4 x2(k )
0.7( x1(k1)
) x(k)
3
)
x ( k 1) 3
0.4 x3(k )
0.7(1.8
x2(k1) )
(k 0,1, 2,L )
aii
j1
ji
(i 1,2, , n; k 0,1),
SOR 方 法
SOR迭代法是Gauss—Seidel 迭代法的一种修正，可由下述思想得到.
设已知x(k) 及已计算x(k1) 的分量x(jk1) ( j 1, 2,L , i 1)
松
(1) 首先用Gauss—Seidel 迭代法定义辅助量x~i(k1) ,
弛 迭
i 1
n
x%i(k1) (bi
a x(k1) ij j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
(2.13)
代
j1
ji1
法
(2) 再由xi(k ) 与x~i(k1) 加权平均定义xi(k1) ，即
x(k1) i
(1 )xi(k)
x%i( k 1)
x(k) i
( x%i(k1)
xi(k) )
(2.14)
x
k
3
1
x3k
1
x1k 1
x2k 1
4 x3k
x4k
4;
x4k
1
x4k
1
x1k 1
x2k 1Hale Waihona Puke x3k 14 x4k
4;
典型例题
取 1.3第11次迭代结果为
x11 0.9999646, 1.0000310, 0.9999953, 0.9999912T ,
11 0.64 105. 2
x (k1) j
aij x j(k ) ) / aii
ji
ji
(i 1,L , n;k 0,1,L ).
松弛法的基本思想
xi
i 1
b x(k1) ij j
j1
n
bij
x
(k j
)
ji1
gi
x(k) i
1 aii
(bi
i 1
a x(k1) ij j
j1
n
aij
x
(k j
)
)
ji1
x(k) i
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理
2 Jacobi迭代法 3 高斯-塞德尔迭代法 4 松弛迭代法
5 迭代法的收敛性与稳定 性
松弛法的基本思想 松弛法的矩阵表示 松弛法的程序 迭代法收敛性的其它判定方法