2.4正态分布
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高中数学选修2-3精品课件2：2.4正态分布
P(x1 <x<x2)=( x2)- (x1)
P(1 <x<2)= P(-1.5 <x<-1)= P(-0.5 <x<1.5)=
正态分布0)
(
X0-
)
例题选讲 求正态总体N（1，4）在区间（2，3）内取值的概率？
P(2 <x<3)=( 1)- (0.5)=0.1498
（ - 2 ， + 2）
95.4%
（ - 3 ， +3 ）
99.7%
小概率事件
正态总体在( - 2 ， + 2)以外取值的概率是 4.6% 正态总体在( - 3 ， + 3)以外取值的概率是 0.3%
O
4
x
6
小概率事件在一次实验中几乎不可能发生
控制上界 + 3
中心线
控制下界 -3
练习
1.设零件尺寸服从正态总体N（4，0.25）质检人员从工厂
生产的1000件产品中随机抽查一件，测得其尺寸为5.7,试问
这批产品是否合格？
控制上界
+ 3=4+3×0.5=5.5
控制下界
- 3=4－3×0.5=2.5
5.7(2.5，5.5)
该产品不合格
2.设零件尺寸服从正态总体N( 25，0. 09)为使生产的产品有 95%以上的合格率，求零件尺寸允许值的范围？
1234
x
=-2
=0
=3
N (0 ,4)
N (0, 1) y
-4 -3 -2 -1 O
1
N (0, 1/9)
=1/3
=1
=2
234
x
正态曲线的性质
P(1 <x<2)= P(-1.5 <x<-1)= P(-0.5 <x<1.5)=
正态分布0)
(
X0-
)
例题选讲 求正态总体N（1，4）在区间（2，3）内取值的概率？
P(2 <x<3)=( 1)- (0.5)=0.1498
（ - 2 ， + 2）
95.4%
（ - 3 ， +3 ）
99.7%
小概率事件
正态总体在( - 2 ， + 2)以外取值的概率是 4.6% 正态总体在( - 3 ， + 3)以外取值的概率是 0.3%
O
4
x
6
小概率事件在一次实验中几乎不可能发生
控制上界 + 3
中心线
控制下界 -3
练习
1.设零件尺寸服从正态总体N（4，0.25）质检人员从工厂
生产的1000件产品中随机抽查一件，测得其尺寸为5.7,试问
这批产品是否合格？
控制上界
+ 3=4+3×0.5=5.5
控制下界
- 3=4－3×0.5=2.5
5.7(2.5，5.5)
该产品不合格
2.设零件尺寸服从正态总体N( 25，0. 09)为使生产的产品有 95%以上的合格率，求零件尺寸允许值的范围？
1234
x
=-2
=0
=3
N (0 ,4)
N (0, 1) y
-4 -3 -2 -1 O
1
N (0, 1/9)
=1/3
=1
=2
234
x
正态曲线的性质
2.4正态分布曲线参考解读
答案： 0.002 6
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
4．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数， 1 且该函数的最大值为 . 4 2π (1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式； (2)求正态总体在(－4,4)的概率．
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
解析： (1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个 偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，即 μ＝0， 1 1 由 ＝ ，解得 σ＝4， 4 2π 2πσ 所以该函数的解析式为 1 x2 φμ，σ(x)＝ e－ ，x∈(－∞，＋∞)． 4 2π 32
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
2．正态分布 如果对于任何实数 a<b，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝
bφ (x)dx μ a
，则称 X 的分布为正态分布．
作
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记 N(μ，σ2) ，如果随机变量X服从正态分布，则记为 ．
X～N(μ，σ2)
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
3．正态曲线的性质
2 x － μ 1 正态曲线 φμ，σ(x)＝ e－ ，x∈R 有以下性质： 2σ 2 2πσ
(1)曲线位于 x 轴 上方
，与 x 轴 不相交
；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ (3)曲线在 x＝μ
对称；
1 处达到峰值 ； σ 2π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
[题后感悟]
利用图象求正态密度函数的图象，应抓住
1 图象的实质性两点：一是对称轴 x＝μ，另一个是最值 . 2πσ 这两点确定以后，相应参数 μ，σ 便确定了，代入 φμ，σ(x)中 便可求出相应的解析式．
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
4．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数， 1 且该函数的最大值为 . 4 2π (1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式； (2)求正态总体在(－4,4)的概率．
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
解析： (1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个 偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，即 μ＝0， 1 1 由 ＝ ，解得 σ＝4， 4 2π 2πσ 所以该函数的解析式为 1 x2 φμ，σ(x)＝ e－ ，x∈(－∞，＋∞)． 4 2π 32
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
2．正态分布 如果对于任何实数 a<b，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝
bφ (x)dx μ a
，则称 X 的分布为正态分布．
作
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记 N(μ，σ2) ，如果随机变量X服从正态分布，则记为 ．
X～N(μ，σ2)
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
3．正态曲线的性质
2 x － μ 1 正态曲线 φμ，σ(x)＝ e－ ，x∈R 有以下性质： 2σ 2 2πσ
(1)曲线位于 x 轴 上方
，与 x 轴 不相交
；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ (3)曲线在 x＝μ
对称；
1 处达到峰值 ； σ 2π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
[题后感悟]
利用图象求正态密度函数的图象，应抓住
1 图象的实质性两点：一是对称轴 x＝μ，另一个是最值 . 2πσ 这两点确定以后，相应参数 μ，σ 便确定了，代入 φμ，σ(x)中 便可求出相应的解析式．
人教版高中数学选修2-3第二章2.4正态分布
你能说 说正态曲线 的特点吗？ （1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
1 （3）曲线在x=μ处达到峰值 ； σ 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
观察
(5) 当 一定时，曲线的位置由μ确定， 曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
观察
当μ一定时，曲线的形状由 确定， 越 小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集 中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的 分布越分散.
下图中阴影部分的面积就是X落在区间 （a，b]的概率的近似值. y
0
a
b
x
知识要点
2.正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机 变量X满足
P(a < X b) = φμ,σ (x)dx，
a b
则称随机变量X服从正态分布(normal distribution).正态分布完全由参数μ和 确定，因此 正态分布常记作N(μ，2).如果随机变量X服从正态 分布，则记为X~N(μ，2).
y
0
μ-a μ-b
x
特别有
P(μ- <X≦μ+)=0.6826,
P(μ- 2<X≦μ+2)=0.9544,
P(μ- 3<X≦μ+3)=0.9974. 上述 结果用右 图表示
由图可知，正态分布几乎总取之于区间 （μ- 3，μ+3 ）之间.而在此区间之外取值的 概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验 中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ，2 )的随机变量X只取（μ- 3，μ+3 ）之 间的值，并简称之为3原则.
导入新课
高中数学人教A版选修2-3课件：2.4 正态分布
2.4 正态分布
-1-
1.了解正态分布的意义. 2.借助正态曲线理解正态分布的性质. 3.了解正态曲线的意义和性质. 4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.
题型一
题型二
题型三
题型四
正态曲线的应用 【例1】 如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度曲 线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差.
1
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的 对称性和正态分布的三个常用数据.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设X~N(10,1). (1)求证:P(1<X<2)=P(18<X<19); (2)若P(X≤2)=a,求P(10<X<18). (1)证明:∵X~N(10,1), ∴正态曲线 φμ,σ(x)关于直线 x=10 对称,而区间(1,2)和(18,19)关 于直线 x=10 对称,
1 2 1 1
1
∴P(ξ≥5)= 2 [1 − ������(−3 < ������ ≤5)]
= [1 − ������(1 − 4 < ������ ≤1+4)] = =
1 2 1 [1 − ������(������ − 2������ < ������ ≤ ������ +2σ)] 2 1 (1 − 0.954 4)=0.022 8. 2
2 19
∴
1
������������, ������(������)d������ =
18
������������, ������(������)d������,
-1-
1.了解正态分布的意义. 2.借助正态曲线理解正态分布的性质. 3.了解正态曲线的意义和性质. 4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.
题型一
题型二
题型三
题型四
正态曲线的应用 【例1】 如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度曲 线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差.
1
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的 对称性和正态分布的三个常用数据.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设X~N(10,1). (1)求证:P(1<X<2)=P(18<X<19); (2)若P(X≤2)=a,求P(10<X<18). (1)证明:∵X~N(10,1), ∴正态曲线 φμ,σ(x)关于直线 x=10 对称,而区间(1,2)和(18,19)关 于直线 x=10 对称,
1 2 1 1
1
∴P(ξ≥5)= 2 [1 − ������(−3 < ������ ≤5)]
= [1 − ������(1 − 4 < ������ ≤1+4)] = =
1 2 1 [1 − ������(������ − 2������ < ������ ≤ ������ +2σ)] 2 1 (1 − 0.954 4)=0.022 8. 2
2 19
∴
1
������������, ������(������)d������ =
18
������������, ������(������)d������,
2.4正态分布
B． 0.32 y D， 0.84
o
x
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
【3】（07 全国）在某项测量中，测量结果
服从正态分布 N (1，s 2 )(s 0) ．若 在 (0，1)
内取值的概率为 0.4，则 在 (0，2) 内取值的概率
y
为 0.8．
o
x
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
2.若X～N(1, σ2),且P(X>2)=0.023，则P(0≤X≤2)=___
3.若X～N(2, σ2),且P(X<4)=0.8，则：
(1)P(X≤0)=___ (2)P(0<X<2)=____
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
4. 3σ原则:
若 X N (m,s 2 ) ,则
区间
m s , m s
主页
创设情境
某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了 检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测 得它们的实际尺寸如下:
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39
课件12：§2.4 正态分布
题型一 正态曲线的图象和性质 例 1 如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分 布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均 值和方差．
解：从正态曲线的图象可知，该正态 曲线关于直线 x＝20 对称，最大值为21π， 所以 μ＝20， 21πσ＝21π， 解得 σ＝ 2.
于是概率密度函数的解析式为
3．在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N(1，σ2) (σ>0)．若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4，则 X 在(0,2) 内取值的概率为________． 【解析】∵X 服从正态分布(1，σ2)， ∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为 0.4. ∴X 在(0,2)内取值的概率为 0.4＋0.4＝0.8. 【答案】0.8
题型二 正态分布中的概率计算
例 2 设随机变量 X～N(1,22)，试求： (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)．
解：(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝0.682 6. (2)P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1) ＝12[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
完全确定了正态分布，参数 μ 就是随机变量 X 的均 值，它可以用样本的均值去估计；参数 σ 就是随机 变量 X 的标准差，它可以用样本的标准差去估计．把 μ＝0，σ＝1 的正态分布叫做标准正态分布.
知识点二 正态曲线的特点及 3σ 原则
导入新知
1．正态曲线的特点
正态曲线 φμ，σ(x)＝
1 －( 2πσe
5．设随机变量 X～N(0,1)，求 P(X≤0)，P(－2<X<2)．
正态分布
名师导引:利用正态曲线关于 x=μ对称将所求区间的概率转化 到区间(μ-σ,μ+σ]、(μ-2σ,μ+2σ]及(μ-3σ,μ+3σ] 上求解. 解:∵ξ～N(1,22),∴μ=1,σ=2, (1)P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2) =P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826.
(2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1),
99.74% 95.44%
=2.15%.
2
所以不合格的零件大约有 5000×2.15%≈108(个).
达标检测——反馈矫正 及时总结
1.如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3 时的三种正态曲线, 那么σ1、σ2、σ3 的大小关系是( D ) (A)σ1>1>σ2>σ3>0 (B)0<σ1<σ2<1<σ3 (C)σ1>σ2>1>σ3>0 (D)0<σ1<σ2=1<σ3
【例 1】如图所示是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态分
布密度函数的解析式,求出总体随机变量的数学期望和方差. 解:从给出的正态曲线可知,
该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值是 1 , 2π
所以 1 = 1 , 2π 2 π
解得σ= 2 .于是函数的解析式是
f(x)=
1
( x20)2
e4
,x∈(-∞,+∞).
(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=
;
0.9544
P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= ; P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= .
0.9974
(2)在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取
(2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1),
99.74% 95.44%
=2.15%.
2
所以不合格的零件大约有 5000×2.15%≈108(个).
达标检测——反馈矫正 及时总结
1.如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3 时的三种正态曲线, 那么σ1、σ2、σ3 的大小关系是( D ) (A)σ1>1>σ2>σ3>0 (B)0<σ1<σ2<1<σ3 (C)σ1>σ2>1>σ3>0 (D)0<σ1<σ2=1<σ3
【例 1】如图所示是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态分
布密度函数的解析式,求出总体随机变量的数学期望和方差. 解:从给出的正态曲线可知,
该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值是 1 , 2π
所以 1 = 1 , 2π 2 π
解得σ= 2 .于是函数的解析式是
f(x)=
1
( x20)2
e4
,x∈(-∞,+∞).
(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=
;
0.9544
P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= ; P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= .
0.9974
(2)在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取
原创2 ：2.4正态分布
的.
(5)最值性:当 x=μ时, , ()
σ越大，
1
取得最大值
2
1
就越小,于是曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;反
2
之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中．
y
(6)几何性:参数μ和σ的统计意义:E(x)=μ,曲线
的位置由μ决定;D(x)=σ2,曲线的形状由σ决定.
o
∼ (176,16) ,则身高在180cm以上的男生人数大约是（ B ）
A.683
B.159
C.46
D.317
2.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，
2
−80
−
1
其密度函数() =
e 200 , ∈ (−∞, +∞),则下列命题不正确的是
2⋅10
(B )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
例2.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100).(1)求考试
成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?(2)若此次考试共有2000名考生,试
估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?
解:依题意,X～N(90,100), ∴ = 90, = 10.
∴ (70 < ≤ 110) = ( − 2 < ≤ + 2) = 0.9544.
1
= × 0.9544 = 0.4772,
2
1
2
1
2
(5 < < 6) = × (4 < < 6) = × 0.6826 = 0.3413,
∴ (6 < < 7) = (5 < < 7) − (5 < < 6) = 0.4772 − 0.3413 = 0.1359.
(5)最值性:当 x=μ时, , ()
σ越大，
1
取得最大值
2
1
就越小,于是曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;反
2
之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中．
y
(6)几何性:参数μ和σ的统计意义:E(x)=μ,曲线
的位置由μ决定;D(x)=σ2,曲线的形状由σ决定.
o
∼ (176,16) ,则身高在180cm以上的男生人数大约是（ B ）
A.683
B.159
C.46
D.317
2.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，
2
−80
−
1
其密度函数() =
e 200 , ∈ (−∞, +∞),则下列命题不正确的是
2⋅10
(B )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
例2.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100).(1)求考试
成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?(2)若此次考试共有2000名考生,试
估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?
解:依题意,X～N(90,100), ∴ = 90, = 10.
∴ (70 < ≤ 110) = ( − 2 < ≤ + 2) = 0.9544.
1
= × 0.9544 = 0.4772,
2
1
2
1
2
(5 < < 6) = × (4 < < 6) = × 0.6826 = 0.3413,
∴ (6 < < 7) = (5 < < 7) − (5 < < 6) = 0.4772 − 0.3413 = 0.1359.
2.4 正态分布
=0.023
所以P(X≥64)=0.977， 1 又因为P(X≤72)= (1-0.683)=0.159，所以P(X>72) 2 =1-0.159=0.841.
所以P(64<x≤72)=P(x>64)-P(x>72)=0.136
正态分布与 正态曲线的概念 正态曲线的性质 正态分布
①非负性 ②定值性
【即时训练】
已知正态分布密度函数为 f x 1 e , x∈(-∞,+∞),
2
x2 4
则该正态分布的均值为________,标准差为________.
1 e 2 (x )2 22
【解析】对照正态分布密度函数φμ,σ(x)=
,
x∈(-≦,+≦)可得μ=0,σ= 2 . 答案:0 2
问题四：正态分布的3σ原则 P( －σ＜X≤ ＋σ)＝0.682 7， P( －2σ＜X≤ ＋2σ)＝0.954 5， P( －3σ＜X≤ ＋3σ)＝0.997 3， 如何理解这几个数据的实际意义？
68.27%
95.45%
99.73%
| 6σ | 4 σ| |2σ| 正态分布在各σ邻域内取值的概率.
的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
问题四：如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽，并 沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的
宽度，用X表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触
时的坐标，则X是一个什么类型的随机变量？ X是连续型随机变量.
问题五：从正态曲线分析，随机变量X在区间(a，b] 内取值的概率有什么几何意义？在理论上如何计算？
概率大小．（重点）
3.会用正态分布去解决实际问题.（难点）
探究点1 正态分布的相关概念 问题一：通过高尔顿板试验，你有什么发现？能 解释一下产生这种现象的理由吗？
高中数学选修2-2课件：2.4 正态分布
0.682 7
[由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2，
所以P(3<X≤7)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7.]
课 时 分 层 作 业
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[合 作 探 究· 攻 重 难]
自 主 预 习 • 探 新 知
正态曲线及其性质
某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直 方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如 图241曲线可得下列说法中正确的一项是( )
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
设在一次数学考试中，某班学生的分数 X～N(110,202)，且知试 卷满分 150 分，这个班的学生共 54 人，求这个班在这次数学考试中及格(即 90 分以上)的人数和 130 分以上的人数.
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
图241
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自 主 预 习 • 探 新 知
A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
集中 ；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______ 分散 ． 总体的分布越______
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自 主 预 习 • 探 新 知
4．3σ 原则
μ＋a (1)若 X～N(μ， σ2)， 则对于任何实数 a>0， P(μ－a<X≤μ＋a)＝ φ μ， σ(x)dx.
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以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平
x= μ
x3
x4
x1
平均数
x2
产品 尺寸 (mm)
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度
对称.
（－∞，μ] 时f ( x)为增函数. （4）当 x∈ （μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 当 x∈
标准正态曲线
例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
A.
1 f ( x) e 2
2 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, , ( 0)都是实数
( x )dx
, a
x=μ
特别地有
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
+a
-a
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1
1 σ 2π
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1 μ= 1
σ=0.5
若 固定, 随值 的变化而 沿x轴平 移, 故 称为位置 参数；
a
b
则称X 的分布为正态分布.
正态分布由
参数μ 、σ 唯一确定.正态分布记作N（ μ ，σ 2）. 其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为 概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为 概率密度曲线的总体的方差大2。
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
动画
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例2、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是 （ D） A.曲线b仍然是正态曲线；
上述数据的分布有怎样的特点？
频率分布 直方图
第一步：分组
确定组数，组距？
第二步：列出频率分布表
区间 号 1 2 3 4 5 6 7 8 区间 153.5~157.5 157.5~161.5 161.5~165.5 165.5~169.5 169.5~173.5 173.5~1775 177.5~181.5 181.5~185.5 频数 5 8 10 15 18 18 8 5 频率 0.0595 0.0952 0.1190 0.1786 0.2143 0.1786 0.0952 0.0595 累积频率 频率/组距 0.0595 0.1547 0.2738 0.4534 0.6667 0.8452 0.9405 1 0.015 0.024 0.030 0.045 0.054 0.045 0.024 0.015
B.
x2 2
C.
1 f ( x) e 2 2
( x 1)2 4
D.
1 f ( x) e 2
x2 2
3、正态曲线的性质
( x )
y
μ= -1 σ=0.5
1 2
e
( x )2 2 2
, x ( , )
y
μ=1
y
μ=0
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.3 ％。
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ）， ( 3 , 3 ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 .在实 通常称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
第三步：作出频率分布直方图
y
频率/组距
中间高，两头低， 左右大致对称
x
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
3、正态曲线的性质
( x )
y μ= -1 σ=0.5
1
2 y
e
( x )2 2 2
, x ( , )
y μ=1
μ=0 σ=1
σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
引入 离散型随机变量的概率分布规律用分布列描 述，而连续型随机变量的概率分布规律用密 度函数（曲线）描述。
复习：
从某中学男生中随机抽取出84名，测量身高， 数据如下（单位：cm) :
164 181 170 168 159 185 169 164 179 156 175 155 169 169 180 164 182 168 161 182 170 178 174 159 154 172 167 173 160 182 163 164 164 174 173 163 165 166 175 168 161 176 167 170 167 172 172 169 161 174 181 171 171 168 171 161 169 177 177 181 176 174 170 185 178 175 173 175 167 172 172 174 157 162 161 165 168 178 174 171 172 174 172 155
高尔顿板试验
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 1 所示的就是一块高尔顿 板示意 图.在一块木板上钉上若干 排相 互平行但相互错开的圆柱 形小 木块,小木块之间留有适当的空 隙作为通道, 前面挡有一块玻璃. 图2.4 1 让一个小球从高尔顿板 上方的 通道口落下,小球在下落过 程中 . 与层层小木块碰撞, 最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内
例3.若X～N(5,1),求P(6<X<7） 解:因为X～N(5,1), 5, 1. 又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称, P(5 x 7) 1 P(3 x 7) 1 P (5 2 1 x 5 2 1) 2 2
1 0.9544 0.4772, 2 P(5 x 6) 1 P(4 x 6) 2 1 0.6826 0.3413, 2
11
Y
总体密度曲 线
0
X
导入
产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象：
1 、正态曲线的定义： 函数
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
x (,)
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为 正态曲线
Y
a
b
c
d 平均数
X
若用X表示落下的小球第i次与高尔顿板底部接触时 的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为: b
P(a X b) , ( x)dx
a
2.正态分布的定义: 如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P(a X b) , ( x)dx
样本容量增大时 频率分布直方图
频率 组距
总体密度曲 线
产品 尺寸 (mm)
总体密度曲线: 样本容量越大，所分组数越 多，各组的频率就越接近于总体在相应各组 取值的概率．设想样本容量无限增大，分组 的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会 无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体 密度曲线． 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根 据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取 值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b 及x轴所围图形的面积．
高二数学 选修2-3
2.4 正态分布
引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。 我们知道，离散型随机变量最多取可列个不 同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0， 人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即 感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能 取某个区间上的任何值，它等于任何一个实 数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在 某个区间的概率。
1 2
平均数
产品 尺寸 (mm)
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平
x= μ
x3
x4
x1
平均数
x2
产品 尺寸 (mm)
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度
对称.
（－∞，μ] 时f ( x)为增函数. （4）当 x∈ （μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 当 x∈
标准正态曲线
例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
A.
1 f ( x) e 2
2 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, , ( 0)都是实数
( x )dx
, a
x=μ
特别地有
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
+a
-a
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1
1 σ 2π
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1 μ= 1
σ=0.5
若 固定, 随值 的变化而 沿x轴平 移, 故 称为位置 参数；
a
b
则称X 的分布为正态分布.
正态分布由
参数μ 、σ 唯一确定.正态分布记作N（ μ ，σ 2）. 其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为 概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为 概率密度曲线的总体的方差大2。
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
动画
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例2、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是 （ D） A.曲线b仍然是正态曲线；
上述数据的分布有怎样的特点？
频率分布 直方图
第一步：分组
确定组数，组距？
第二步：列出频率分布表
区间 号 1 2 3 4 5 6 7 8 区间 153.5~157.5 157.5~161.5 161.5~165.5 165.5~169.5 169.5~173.5 173.5~1775 177.5~181.5 181.5~185.5 频数 5 8 10 15 18 18 8 5 频率 0.0595 0.0952 0.1190 0.1786 0.2143 0.1786 0.0952 0.0595 累积频率 频率/组距 0.0595 0.1547 0.2738 0.4534 0.6667 0.8452 0.9405 1 0.015 0.024 0.030 0.045 0.054 0.045 0.024 0.015
B.
x2 2
C.
1 f ( x) e 2 2
( x 1)2 4
D.
1 f ( x) e 2
x2 2
3、正态曲线的性质
( x )
y
μ= -1 σ=0.5
1 2
e
( x )2 2 2
, x ( , )
y
μ=1
y
μ=0
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.3 ％。
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ）， ( 3 , 3 ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 .在实 通常称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
第三步：作出频率分布直方图
y
频率/组距
中间高，两头低， 左右大致对称
x
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
3、正态曲线的性质
( x )
y μ= -1 σ=0.5
1
2 y
e
( x )2 2 2
, x ( , )
y μ=1
μ=0 σ=1
σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
引入 离散型随机变量的概率分布规律用分布列描 述，而连续型随机变量的概率分布规律用密 度函数（曲线）描述。
复习：
从某中学男生中随机抽取出84名，测量身高， 数据如下（单位：cm) :
164 181 170 168 159 185 169 164 179 156 175 155 169 169 180 164 182 168 161 182 170 178 174 159 154 172 167 173 160 182 163 164 164 174 173 163 165 166 175 168 161 176 167 170 167 172 172 169 161 174 181 171 171 168 171 161 169 177 177 181 176 174 170 185 178 175 173 175 167 172 172 174 157 162 161 165 168 178 174 171 172 174 172 155
高尔顿板试验
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 1 所示的就是一块高尔顿 板示意 图.在一块木板上钉上若干 排相 互平行但相互错开的圆柱 形小 木块,小木块之间留有适当的空 隙作为通道, 前面挡有一块玻璃. 图2.4 1 让一个小球从高尔顿板 上方的 通道口落下,小球在下落过 程中 . 与层层小木块碰撞, 最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内
例3.若X～N(5,1),求P(6<X<7） 解:因为X～N(5,1), 5, 1. 又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称, P(5 x 7) 1 P(3 x 7) 1 P (5 2 1 x 5 2 1) 2 2
1 0.9544 0.4772, 2 P(5 x 6) 1 P(4 x 6) 2 1 0.6826 0.3413, 2
11
Y
总体密度曲 线
0
X
导入
产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象：
1 、正态曲线的定义： 函数
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
x (,)
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为 正态曲线
Y
a
b
c
d 平均数
X
若用X表示落下的小球第i次与高尔顿板底部接触时 的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为: b
P(a X b) , ( x)dx
a
2.正态分布的定义: 如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P(a X b) , ( x)dx
样本容量增大时 频率分布直方图
频率 组距
总体密度曲 线
产品 尺寸 (mm)
总体密度曲线: 样本容量越大，所分组数越 多，各组的频率就越接近于总体在相应各组 取值的概率．设想样本容量无限增大，分组 的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会 无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体 密度曲线． 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根 据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取 值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b 及x轴所围图形的面积．
高二数学 选修2-3
2.4 正态分布
引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。 我们知道，离散型随机变量最多取可列个不 同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0， 人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即 感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能 取某个区间上的任何值，它等于任何一个实 数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在 某个区间的概率。
1 2
平均数
产品 尺寸 (mm)