广东省汕头市潮南区陈店实验学校2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题
2014-2015年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF
+
＝1（a＞b＞0）的
﹣y2＝1 共顶点．P 为椭圆 C
（2）若点 P 的坐标为（0，b） ，求过 P、Q、F2 三点的圆的方程； （3）若 ＝λ ，且 λ∈[ ，2]，求 的最大值．
20． （14 分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ ax2﹣2x（a＜0） （1）若函数 f（x）在定义域内单调递增，求 a 的取值范围； （2）若 a＝﹣ 且关于 x 的方程 f（x）＝﹣ x+b 在[1，4]上恰有两个不相等的 实数根，求实数 b 的取值范围； （3）设各项为正的数列{an}满足：a1＝1，an+1＝lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤ 2n﹣1．
6． （5 分）函数 y＝f（x）在定义域（﹣ ，3）内可导，其图象如图所示，记 y ＝f（x）的导函数为 y′＝f′（x） ，则不等式 f′（x）≤0 的解集为（ ）
A．[﹣ ，1]∪[2，3）
B．[﹣1， ]∪[ ， ]
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C．[﹣ ， ]∪[1，2]
D．[﹣ ，﹣ ]∪[ ， ] ＝（ ，
A．必要而不充分条件 C．充分必要条件
3． （5 分） 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 S3＝9， S5＝20， 则 a7+a8+a9＝ （ A．63 B．45 C．27 D．36
4． （5 分）用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被 9 整除” ， 要利用归纳假设证 n＝k+1 时的情况，只需展开（ A． （k+3）3 C． （k+1）3 5． （5 分）已知椭圆 值为（ A． ） B． C．4 D．10 B． （k+2）3 D． （k+1）3+（k+2）3 与双曲线 有相同的焦点，则 a 的 ）
广东实验中学2014-2015学年下学期高二年级期中考试理科数学试卷Word版含答案
1 A． 8
1 B．4
2 C．5
7．函数 y＝ xcos x＋ sin x 的图象大致为 ( )
1 D．2
8．如图 1所示的三角形数阵叫 “莱布尼兹调和三角形 ”，
它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端
1 的数均为 n≥2 ，每个数是它下一行左右相邻两数
n
的和，如 1
1
11
，
11 1
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改
液 ．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分 基础检测 (共 100 分)
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
16 12
件 | FA | e 。 | AP |
（ 1）求 m 的值
（ 2）设过点 F 的直线 L 与椭圆 C 相交于 M ，N 两点，记 PMF 和 PNF 的面积分别为 S1, S2 ，
求证： S1 S2
| PM | | PN |
甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为
23
与 ，投中得 1 分，投不中得 0 分 .
34
（ 1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率
.
19．（本小题满分 13 分）
已知椭圆
x2
C:
y2
1的右焦点为 F，右顶点为 A ，离心率为 e，点 P( m,0), (m 4) 满足条
3. 若 a, b 是任意实数 ,且 a b ,则下列不等式成立的是 （ ）
2014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二(下)期中数学试卷(理科) Word版含解析
2014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2 B．﹣2 C．D．2．设集合M={x||x﹣1|＜2}，N={x|x（x﹣3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S5=20，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．27 D．364．用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（）A．（k+3）3 B．（k+2）3 C．（k+1）3 D．（k+1）3+（k+2）35．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）A．B．C．4 D．106．函数y=f（x）在定义域（﹣，3）内可导，其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y′=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A．[﹣，1]∪[2，3）B．[﹣1，]∪[，]C．[﹣，]∪[1，2] D．[﹣，﹣]∪[，]7．动点P在函数y=sin2x的图象上移动，动点Q（x，y）满足=（，0），则动点Q的轨迹方程为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）8．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（1，5）D．（，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自图中非阴影部分的概率为．11．如图，在四边形ABCD中，=，E为BC的中点，且=x﹒+y，则3x﹣2y=．12．函数的单调递减区间为．13．由定积分的几何意义可知dx=．14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）（2009秋•揭阳期末）已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．16．（12分）（2014春•化州市期中）已知等差数列{b n}中，，且已知a1=3，a3=9．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n．17．（14分）（2015•兰州二模）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．18．（14分）（2014春•化州市期中）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+b在x=﹣1处的切线与x 轴平行（1）求a的值和函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象与抛物线y=x2﹣15x+3恰有三个不同交点，求b的取值范围．19．（14分）（2015春•潮南区校级期中）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2=1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若=λ，且λ∈[，2]，求的最大值．20．（14分）（2015春•潮南区校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列{a n}满足：a1=1，a n+1=lna n+a n+2，n∈N*，求证：a n≤2n﹣1．2014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2 B．﹣2 C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．设集合M={x||x﹣1|＜2}，N={x|x（x﹣3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：整理两个集合中包含的不等式，化简为最简形式，观察两个集合之间的关系，看出是M⊇N，根据两个集合之间的包含关系得到结果．解答：解：∵集合M={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}N={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}∴M⊇N，∴a∈M是a∈N必要不充分条件，故选A．点评：本题考查条件问题，本题解题的关键是根据所给的集合判断两个集合之间的关系，利用集合的关系来判断条件问题是最常用的一种解题方法．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S5=20，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．27 D．36考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和已知可得a2和a3，可得公差，进而可得a8，而要求的式子等于3a8，代值计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得S3=3a2=9，S5=5a3=20，解得a2=3，a3=4，∴公差d=4﹣3=1，∴a8=a2+6d=3+6=9，∴a7+a8+a9=3a8=27故选：C点评：本题考查等差数列的性质，求出公差d和a8是解决问题的关键，属中档题．4．用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（）A．（k+3）3 B．（k+2）3 C．（k+1）3 D．（k+1）3+（k+2）3考点：数学归纳法．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题考查的数学归纳法的步骤，根据归纳假设，只需展开（k+3）3．解答：解：n=k+1时，证明“（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3能被9整除”，根据归纳假设，n=k时，证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”，所以只需展开（k+3）3．故选：A．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）A．B．C．4 D．10考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出a的值．解答：解：双曲线方程化为，（1分）由此得a=2，b=，（3分）c=，焦点为（﹣，0），（，0）．（7分）椭圆中，则a2=b2+c2=9+7=16．（11分）则a的值为4．故选C．点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．6．函数y=f（x）在定义域（﹣，3）内可导，其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y′=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A．[﹣，1]∪[2，3）B．[﹣1，]∪[，]C．[﹣，]∪[1，2] D．[﹣，﹣]∪[，]考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：不等式f′（x）≤0的解即为函数y=f（x）的单调递减区间，所以通过图象写出f（x）的单调减区间即可．解答：解：根据导数符号和函数单调性的关系即知：f′（x）≤0的解为函数f（x）的单调减区间；所以根据图象可写出f（x）的减区间，即f′（x）≤0的解为：[]∪[2，3）．故选：A．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，从而明白不等式f′（x）≤0的解即为f（x）的单调递减区间，根据f（x）的图象能够找到其递减区间．7．动点P在函数y=sin2x的图象上移动，动点Q（x，y）满足=（，0），则动点Q的轨迹方程为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）考点：轨迹方程；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：设出P的坐标，利用=（，0），直接求出动点Q的轨迹方程．解答：解：设P（a，b），∵=（，0），动点Q（x，y）∴x﹣a=，y﹣b=0，可得，∵动点P在函数y=sin2x的图象上移动，∴y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），动点Q的轨迹方程为y=sin（2x﹣）．故选：D．点评：本题考查轨迹方程的求法，相关点方法的应用，考查计算能力．8．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（1，5）D．（，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，求出AB=，F1F2=2c，△ABF2是锐角三角形，只要∠AF2B为锐角，即AF1＜F1F2即可，从而可得结论．解答：解：根据题意，易得AB=，F1F2=2c，由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，△ABF2是锐角三角形，只要∠AF2B为锐角，即AF1＜F1F2即可；所以有＜2c，即4a2＞c2﹣a2，解出e∈（1，），故选：B．点评：本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．解答：解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自图中非阴影部分的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：分别计算长方形区域的面积，阴影部分的面积，从而可得图中非阴影部分的面积，以面积为测度，可得结论．解答：解：长方形区域的面积为3×1=3，阴影部分的面积为==1∴图中非阴影部分的面积为3﹣1=2∴点M取自图中非阴影部分的概率为，故答案为：点评：本题考查几何概型，考查面积的计算，正确求阴影部分的面积是关键．11．如图，在四边形ABCD中，=，E为BC的中点，且=x﹒+y，则3x﹣2y=1．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则即可得出．解答：解：∵E为BC的中点，∴，又=，∴=，∴==．而=x﹒+y，∴，．∴3x﹣2y=2﹣1=1．故答案为：1．点评：本题考查了向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则、平面向量基本定理，属于基础题．12．函数的单调递减区间为（0，1]．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．解答：解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域．13．由定积分的几何意义可知dx=2π．考点：定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积即可．解答：解：根据定积分的几何意义，则dx表示圆心在原点，半径为2的圆的上半圆的面积，故dx=×π×22=2π．故答案为：2π．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块考点：归纳推理．专题：探究型．分析：通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．解答：解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴a n=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．点评：由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）（2009秋•揭阳期末）已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用两角和公式和诱导公式整理题设等式求得sin（A+B）=sin2C，进而整理求得cosC的值，进而求得C．（2）利用sinA，sinC，sinB成等差数列求得三者的关系式，利用正弦定理转化成边的关系式，利用求得ab的值，进而分别代入余弦定理求得c．解答：解：（1）由cos（﹣A）•cosB+sinB•sin（+A）=sin（π﹣2C）得sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C∴sin（A+B）=sin2C，∵A+B=π﹣C，∴sin（A+B）sinC∴sinC=sin2C=2sinCcosC，∵0＜C＜π∴sinC＞0∴cosC=∴C=（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b∵，即abcosC=18，ab=36由余弦弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，∴c2=4c2﹣3×36，c2=36，∴c=6点评：本题主要考查了解三角形问题，三角函数恒等变换及化简求值．考查了考生分析问题的能力和基本的运算能力．16．（12分）（2014春•化州市期中）已知等差数列{b n}中，，且已知a1=3，a3=9．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意易得数列{b n}的首项和公差，进而可得通项；（2）由（1）的结论可得数列{a n}的通项公式为，由等差和等比数列的求和公式可得答案．解答：解：（1）设等差数列{b n}的公差为d．由a1=3，a3=9，得b1=log z（a1﹣1）=log22=1，b3=log2（a3﹣1）=log28=3，∴b3﹣b1=2=2d，∴d=1，…3 分，∴b n=1+（n﹣1）×1=n．…6 分，（2）由（1）知b n=n，∴log2（a n﹣1）=n，∴，∴．…9 分，∴=…11 分，=2n+1+n﹣2…12 分．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．17．（14分）（2015•兰州二模）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论；（2）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小解答：（1）证明：∵F，G分别为PB，BE的中点，∴FG∥PE，∵FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，∴FG∥平面PED；（2）解：∵EA⊥平面ABCD，EA∥PD，∴PD⊥平面ABCD，∵AD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1∵AD=PD=2EA，∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），∴=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2）．∵F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，∴F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1），∴=（﹣1，0，0.5），=（﹣2，0，0.5）设=（x，y，z）为平面FGH的一个法向量，则，得=（0，1，0）同理可得平面PBC的一个法向量为=（0，1，1），∴cos＜，＞=||=，∴平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45°．点评：本题考查了线面平行的判定，考查了面面角，训练了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题．18．（14分）（2014春•化州市期中）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+b在x=﹣1处的切线与x 轴平行（1）求a的值和函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象与抛物线y=x2﹣15x+3恰有三个不同交点，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据已知得f′（﹣1）=0，得到a，利用导数研究函数的单调性的步骤求单调区间；（2）把给定方程做适当的等价变换，得到g（x）的图象与x轴有3个交点；求出单调区间，求出函数的极值，依题意极大值大于0，极小值小于0，进而解出b的取值范围．解答：解：（1）由已知得f′（x）=3x2﹣6x+a，∵在x=﹣1处的切线与x轴平行∴f′（﹣1）=0，解得a=﹣9．这时f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜﹣1；由f′（x）＜0，解﹣1＜x＜3．∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调减区间为（﹣1，3）．（2）令g（x）=f（x）﹣（x2﹣15x+3）=x3﹣x2+6x+b﹣3，则原题意等价于g（x）图象与x轴有三个交点∵g′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2）∴由g′（x）＞0，解得x＞2或x＜1；由g′（x）＜0，解得1＜x＜2．∴g（x）在x=1时取得极大值g（1）=b﹣；g（x）在x=2时取得极小值g（2）=b﹣1．故，∴＜b＜1．点评：本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，应熟练掌握利用可导函数研究函数的单调性的步骤．19．（14分）（2015春•潮南区校级期中）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2=1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若=λ，且λ∈[，2]，求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意得c=1，a2=2，可得椭圆C的方程；（2）先求出点Q的坐标，再利用待定系数法，即可求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）利用，结合向量的数量积公式，结合基本不等式，即可求的最大值．解答：解：（1）由题意得c=1，a2=2…（2分）故椭圆的方程为．…（3分）（2）因为P（0，1），F1（﹣1，0），所以PF1的方程为x﹣y+1=0由，解得点Q的坐标为．…（5分）设过P，Q，F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0…（6分）则解得所以圆的方程为…（8分）（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即所以，解得…（10分）所以=…（12分）因为，所以，当且仅当，即λ=1时，取等号．最大值为．…（14分）点评：本题考查椭圆的方程，考查圆的方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）（2015春•潮南区校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列{a n}满足：a1=1，a n+1=lna n+a n+2，n∈N*，求证：a n≤2n﹣1．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；数列的求和．专题：导数的综合应用．分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．（3）设h（x）=lnx﹣x+1然后求导，可判断函数h（x）的单调性，再由数学归纳法得证．解答：解：（1）f′（x）=﹣，（x＞0）依题意f'（x）≥0在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤=（﹣1）2﹣1在x＞0恒成立，即a≤（（﹣1）2﹣1）min（x＞0）当x=1时，（﹣1）2﹣1取最小值﹣1，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b，∴x2﹣x+lnx﹣b=0设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b（x＞0）则g'（x）=，列表：∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，又g（4）=2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，得：ln2﹣2＜b≤﹣．（3）设h（x）=lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则h'（x）=﹣1≤0∴h（x）在[1，+∞）为减函数，且h（x）max=h（1）=0，故当x≥1时有lnx≤x﹣1．∵a1=1，假设a k≥1（k∈N*），则a k+1=lna k+a k+2＞1，故a n≥1（n∈N*）从而a n+1=lna n+a n+2≤2a n+1，∴1+a n+1≤2（1+a n）≤…≤2n（1+a1）即1+a n≤2n，∴a n≤2n﹣1．点评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。
广东实验中学2014-2015学年下学期期中考试高二数学(文)试题及答案
广东实验中学2014—2015学年高二下期中考试文科数学命题：高二文科数学备课组本试卷分选择题、非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
要求的) 1．集合[0,4]A =，2{|40}B x x x =+≤，则A B = （ ）A ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅2．已知复数321i z i =+，则z 的虚部是 （ ）（A ）15 （B ）15- （C ）15i - （D ） 25- 3. 已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥，则x =（ ） A ．3-B.1-C.1D. 34. 等比数列}{n a 中,已知4,242==a a ,则=6a （ ）A. 6B. 8C. 10D. 165. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 （ ）A. 3y x = B. cos y x = C. x y tan = D . ln y x =6. 利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有 个 ( ) （1）4424=⋅≥+=x x x x y （2）33sin 2sin 23(0)sin sin 2y x x x x x π⎛⎫=+≥⋅=∈ ⎪⎝⎭，（3）410log 4lg 210log 4lg =⋅≥+=x x x x y （4）43432343=⋅≥+=x xx x y A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个7．{}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件8．设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。
下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 上面命题中真命题共有哪些？（ ）A. ①B.①②C.①②③D. ①②④9.已知实数x 、y 满足约束条件1,1,2 2.x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b +的最小值为( ) A.3 B.4C. 7D.1210.已知()f x 为R 上的奇函数，且满足(4)=()f x f x +，当()0,2x ∈时，2()=2f x x ，则(2015)=f ( ) A.2 B.-2 C.8 D.-8二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分) 11.函数2()lg xf x x-=的定义域是 12.若(1)f x x +=，则函数()f x 的解析式为()f x =13. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：2630(0)3900y υυυυ=>++．问：在该时段内，当汽车的平均速度υ等于 时，车流量最大？14.|2|||5x x x a a -++<若关于的不等式有解，则的取值范围是15.定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩,则方程()12f x =的所有解之和为 ．三.解答题(本大题共6小题，满分75分；写出必要的解答过程) 16（本小题满分10分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意 合计 教师 1 女生4男生2⑴请完成此统计表；⑵试估计高二年级学生“同意”的人数；⑶从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．17.(本小题满分12分)在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，c =2，3C π=.（1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；（2）若3cos 3A =，求b .18. (本题满分14分)一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是直角边长为a 的等腰三角形）如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点. （Ⅰ）求证：;AC GN ⊥（Ⅱ）当FG=GD 时，证明AG //平面FMC ； （Ⅲ）.求三棱锥F MCE -的体积19. (本题满分13分)已知数列{}n a 的各项均大于1，前n 项和n S 满足221n n S a n =+-。
2014-2015学年广东省汕头二中高二(下)期中数学试卷(文科)
广东省汕头
中高
期中数学试卷 文科
一、选择题 共 10 小题， 小题 5 ，共 50 1． 5 2015•昌 区 模 在复 面内，复数 z=i 1﹣i i 是虚数单位 对 于 A． 第一象限 B． 第 象限 C． 第 象限 D． 第四象限
的点位
考点 复数的 数表示法及其几何意 ． 题 数系的扩充和复数． 析 直接利用复数的除法运算把给出的复数化简 a+bi a，b∈R 的形式，则答案可求． 解答 解 复数 z=i 1﹣i =1+i， 所 复数 Z 对 的点 1，1 ，位于第一象限． 故选 A． 点评 题考查了复数 数形式的乘除运算，考查了复数的 数表示法 几何意 ，是基 础题． 2． 5 2010•昌 区 模 设集合 A={x|x ﹣2x﹣8 0}， B={x|2x+1 5}， 则 A∩B= A． {x|﹣2 x 4} B． {x|x 2} C． {x|2 x 4} D． {x|x 4} 考点 交集及其运算 一元 次 等式的解法．
过抛物线焦点 F
2
得 x ﹣2x﹣4=0， 设两个交点坐标 A x1，y1 ，B x2，y2 x1+x2=2， y1+y2=3 根据抛物线的定 可知|AB|=y1+ +y2+ =y1+y2+p=3+2=5 故选 C． 点评 题 要考查了直线 圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质，关键是 将直线的方 程 入抛物线的方程， 消去 y 得到关于 x 的一元 次方程， 再结合根系数的关系利用弦长公 式求得|AB|值．
及函数的图象等基础知识，考查了
在点 1，1
处的 线方程
A． x﹣y﹣2=0 B． x+y﹣2=0 C． x+4y﹣5=0 D． x﹣4y+3=0 考点 利用导数研究曲线 某点 线方程． 题 计算题． 析 欲求 线方程， 须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再 结合导数的几何意 即可求出 线的斜率．从而 题解决． 解答 解 依题意得 y′= ，
广东省汕头市潮南区陈店实验学校2014_2015学年高二历史下学期期中试题(含解析)
广东省汕头市潮南区陈店实验学校2014-2015学年高二下学期期中考试文综历史试题12.文艺复兴并非是对古典文化的简单模仿，在很大程度上是一种创新。
这种创新包括（）①重视现世生活，追求现世幸福②批判神权统治，重视个性解放③体现了人文主义精神④描绘了资本主义社会的政治蓝图A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④【答案】A【解析】考点：文艺复兴。
文艺复兴只是在思想文化领域里的反对神学对人的精神控制的斗争，并未上升到反对封建制度、建构资本主义理想蓝图的高度，这是到了启蒙运动阶段，因此④项错误，排除该项，该项A。
13.近代西方有一位思想家主张：“要寻找出一种结合的形式，使它能以全部共同的力量来卫护和保障每个结合者的人身和财富，并且由于这一结合而使每一个与全体相联合的个人又只不过是在服从自己本人，并且仍然像以往一样地自由。
”这一主张的理论依据是( )A.社会契约论B.人民主权说C.三权分立说D.天赋人权说【答案】A【解析】考点：启蒙运动思想。
关键信息：结合的形式、防御和保障每个结合者的人身和财富、每一个与全体相联合的个人又只不过是在服从自己本人均反映了社会契约的思想。
本题容易错选B。
注意区分人民主权与社会契约。
人民主权学说认为国家是由人民根据自由意志缔结契约的产物，国家的最高权力应属于人民，而不属于君主。
无论是国王还是政府，其权力都是人民授予的，如果不按人民的授权办事，则人民有权将其打到。
人民主权原则相对于君主专制时代的“主权在君”、“君权神授”来说是一大进步。
14. 马克思在评论欧洲的某一事实时说：“它破除了对权威的信仰，却又恢复了信仰的权威，它把僧侣变成俗人,却又把俗人变成僧侣。
”相关的史实应是（）A.古代希腊智者学派强调人的价值和地位B.资产阶级强调宗教改革运动C.文艺复兴突出人性，反对宗教对人的束缚D.欧洲启蒙运动推崇理性主义，构建理性王国的蓝图【答案】B【解析】考点：宗教改革。
本题主要考查学生准确解读材料信息的能力，材料中“破除了对权威的信仰……恢复了信仰的权威……僧侣……俗人”等关键词语凸显了宗教改革的内容，所以答案选B，A C D三项不正确。
【语文】广东省汕头市潮南区陈店实验学校2014-2015学年高二下学期期中考试试题
陈店实验学校2014—2015学年度下学期期中考试试题高二年级语文学科考试说明：本卷总分150分，考试时间为150分钟，请在答题卡（试卷或答题卡）上认真作答！其中选择题，全部用2B铅笔按对应序号．．．．涂入答题卡，主观题（含多选题）全部用黑色水笔写入答题卷。
第一部分基础知识（8小题，24分）一、本大题8小题。
每小题3分，共24分。
1．下列词语中加点的字，注音全都正确的一组是（）A．虐．待（nüè）恐吓．（hè）给．（ɡěi）予凝眸．（móu）B．田塍．（chénɡ）溯．（sù）源脚镣．（liào）粳．（ɡěnɡ）稻C．东菑．（zī）罟．（ɡǔ）师商贾．（jiǎ）红萼．（è）D．烟渚．（zhǔ）霁．（jì）色膏腴．（yú）畋．（tián）渔2．下列句子中加点的词语，能被括号里的词语替换且符合句意的一项是（）A．近一周来，罕见特大暴雨频袭广州。
暴雨过后，路面很滑。
今天早上我在学校门口就差．点儿没．．．摔倒。
（差点儿）B．武警青海总队医院抗震救灾医护人员4月中旬赴玉树地震灾区，医护人员视灾区儿女为自己的亲人，对前来就诊的藏族儿童给予无微不至．．．．的细心呵护。
（无所不为）C．2010年5月18日，希腊政府收到来自欧洲联盟的第一批援助贷款，近百亿欧元偿债这一燃眉之急．．．．得以解除。
（迫在眉睫）D．2010年3月12日晚上，一男子潜入工地盗窃建筑材料。
警察赶到时，窃贼还在为满载而归“进行不懈努力”，殊不知自己已经成为“瓮中之鳖．．．．”。
（瓮中捉鳖）3．下列句子中语意明确、没有语病的一项是（）A．19日上午，军方派遣了数百辆坦克、装甲车和军用车辆进入示威者大本营，向示威者发射催泪瓦斯及开枪，还出动至少2架直升机协助驱散行动。
B．出厂价15.5元的芦笋片，医院以213元售给患者，利润接近1300%左右。
广东省汕头市潮南区陈店实验学校高一数学下学期第一次月考试题 文
陈店实验学校2014—2015学年度下学期第一次月考试题高一文科数学考试说明：本卷总分150分，考试时间为120分钟，请在答题卡上认真作答！第I 部分选择题部分（满分50分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1、已知集合{}1,0,1A =-，则如下关系式正确的是 A 、A A Î B 、0A C 、{0}A Î D 、ÆA2、下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ） A 、y ＝－2x －1 B 、y ＝x C 、y ＝x 2－4x ＋5 D 、y ＝x2 3、若向量a =（3，2），b =（0，－1），c =（－1，2），则向量2b －a 的坐标是 A 、（3，-4） B 、（-3，4） C 、（3，4） D 、（-3，-4） 4、若4sin ,(0,)52pa a =?，则cos2α等于 A 、257 B 、－257 C 、1 D 、575、数列 ,1,,51,41,31n中第10项是 A 、121 B 、.81 C 、111 D 、1016、下列各组数能组成等比数列的是A 、111,,369B 、lg3,lg9,lg 27C 、6,8,10D 、3,- 7、等差数列{}n a 中，10120S = ，那么29a a +的值是 A 、12 B 、24 C 、16 D 、488、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为 A 、130 B 、170 C 、210 D 、2609、设{a n }是公比q ≠1的等比数列，且a 2 = 9，a 3 + a 4 = 18，则q 等于 （ ） （A ）2（B ）– 2（C ）21（D ）12-10、已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（ ）（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2第II 部分选择题部分（满分110分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11、已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n n a a a +=+-，则4a = .12、等比数列中，首项为198a =，末项为13n a =，公比为23q =，则项数n 等于 . 13、若{}n a 是等差数列，公差0d ¹，236,,a a a 成等比数列，则公比为 .14、已知数列的21n S n n =++，则89101112a a a a a ++++=_____________。
广东省汕头市普通高中2014-2015学年高二数学下学期教学质量监测试题 理
汕头市2014-2015学年度高中二年级质量检测试题理科数学注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若全集{}5,U x x x N*=≤∈，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，则()UCA B 为（ ）A ．{2,4,5}B ． {1,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,4,5} 2. 已知i 为虚数单位，则 =+20151ii（ ）A ．0B ． 2C ．i 2D ．i 2- 3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．y x =- B ．1y x=C ．3x y =D ． x x e e y --= 4．已知()()3,1,2,a b λ==，若//a b ，则实数λ的值为（ ）A ．23-B ．32-C ． 23D ．325．若双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是y =，则双曲线的离心率等于（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．33 6．若2tan =α，则=+-ααααcos sin 2cos sin （ ）A ．31B ． 51C ． 3D ．2-7. 设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且1a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前5项和5S =（ ）A.10B.15C. 30D. 408．若如图所示的程序框图输出的S 是30，则在判断框中M 表示的“条件”应该是( ) . A. 6n ≥ B. 5n ≥ C. 4n ≥ D. 3n ≥9.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A.若//m n ，m β⊥，则n β⊥ B.若//m n ，//m β，则//n β C.若//m α，//m β，则//αβD.若n α⊥，n β⊥，则αβ⊥10. 函数()()sin f x A x ωθ=+（0A >，0ω>，2πθ<）的部分图象如图所示，则()f x =（ ）26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭43x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭46x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭11．某外商计划在4个侯选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（ ）A ．16种B ．36种C ．42种D ．60种12.定义两个平面向量a ，b的一种运算θb a =⊗，θ为向量a ，b 的夹角，对于这种运算，给定以下结论：①a b b a ⊗=⊗；②⊗=⊗)()(λλ；③)()()(c b c a c b a ⊗+⊗=⊗+；④若),(11y x a =，),(22y x b =，则1221y x y x -=⊗，你认为恒成立的有( )A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.()42x +展开式中含2x 项的系数等于_________.14.若变量x 、y 满足约束条件31031102x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为_________.15．不等式04234>-∙-xx的解集为_________. 16．如图，在ABC ∆中，3π=∠B ，点D 在BC 上，71cos =∠ADC , 则BAD ∠cos = .三、 解答题（ 共6个小题 ，共70分）解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。
2014-2015年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2B．﹣2C．D．2．（5分）设集合M＝{x||x﹣1|＜2}，N＝{x|x（x﹣3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝20，则a7+a8+a9＝（）A．63B．45C．27D．364．（5分）用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k+1时的情况，只需展开（）A．（k+3）3B．（k+2）3C．（k+1）3D．（k+1）3+（k+2）35．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）A．B．C．4D．106．（5分）函数y＝f（x）在定义域（﹣，3）内可导，其图象如图所示，记y ＝f（x）的导函数为y′＝f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A．[﹣，1]∪[2，3）B．[﹣1，]∪[，]C．[﹣，]∪[1，2]D．[﹣，﹣]∪[，]7．（5分）动点P在函数y＝sin2x的图象上移动，动点Q（x，y）满足＝（，0），则动点Q的轨迹方程为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x﹣）C．y＝sin（2x+）D．y＝sin（2x﹣）8．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（1，5）D．（，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．10．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自图中非阴影部分的概率为．11．（5分）如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x﹒+y，则3x﹣2y＝．12．（5分）函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为．13．（5分）由定积分的几何意义可知dx＝．14．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且，求c边的长．16．（12分）已知等差数列{b n}中，，且已知a1＝3，a3＝9．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n．17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD＝PD＝2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+b在x＝﹣1处的切线与x轴平行（1）求a的值和函数f（x）的单调区间；（2）若函数y＝f（x）的图象与抛物线y＝x2﹣15x+3恰有三个不同交点，求b 的取值范围．19．（14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2＝1共顶点．P为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值．20．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a＝﹣且关于x的方程f（x）＝﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝lna n+a n+2，n∈N*，求证：a n≤2n﹣1．2014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：复数＝＝，它是纯虚数，所以a＝2，故选：A．2．（5分）设集合M＝{x||x﹣1|＜2}，N＝{x|x（x﹣3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵集合M＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}N＝{x|x（x﹣3）＜0}＝{x|0＜x＜3}∴M⊇N，∴a∈M是a∈N必要不充分条件，故选：A．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝20，则a7+a8+a9＝（）A．63B．45C．27D．36【解答】解：由等差数列的性质可得S3＝3a2＝9，S5＝5a3＝20，解得a2＝3，a3＝4，∴公差d＝4﹣3＝1，∴a8＝a2+6d＝3+6＝9，∴a7+a8+a9＝3a8＝27故选：C．4．（5分）用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k+1时的情况，只需展开（）A．（k+3）3B．（k+2）3C．（k+1）3D．（k+1）3+（k+2）3【解答】解：n＝k+1时，证明“（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3能被9整除”，根据归纳假设，n＝k时，证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”，所以只需展开（k+3）3．故选：A．5．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）A．B．C．4D．10【解答】解：双曲线方程化为，（1分）由此得a＝2，b＝，（3分）c＝，焦点为（﹣，0），（，0）．（7分）椭圆中，则a2＝b2+c2＝9+7＝16．（11分）则a的值为4．故选：C．6．（5分）函数y＝f（x）在定义域（﹣，3）内可导，其图象如图所示，记y ＝f（x）的导函数为y′＝f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A．[﹣，1]∪[2，3）B．[﹣1，]∪[，]C．[﹣，]∪[1，2]D．[﹣，﹣]∪[，]【解答】解：根据导数符号和函数单调性的关系即知：f′（x）≤0的解为函数f（x）的单调减区间；所以根据图象可写出f（x）的减区间，即f′（x）≤0的解为：[]∪[2，3）．故选：A．7．（5分）动点P在函数y＝sin2x的图象上移动，动点Q（x，y）满足＝（，0），则动点Q的轨迹方程为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x﹣）C．y＝sin（2x+）D．y＝sin（2x﹣）【解答】解：设P（a，b），∵＝（，0），动点Q（x，y）∴x﹣a＝，y﹣b＝0，可得，∵动点P在函数y＝sin2x的图象上移动，∴y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣），动点Q的轨迹方程为y＝sin（2x﹣）．故选：D．8．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（1，5）D．（，+∞）【解答】解：根据题意，易得AB＝，F1F2＝2c，由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，△ABF2是锐角三角形，只要∠AF2B为锐角，即AF1＜F1F2即可；所以有＜2c，即4a2＞c2﹣a2，解出e∈（1，），故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．【解答】解：∵，∴x+2y＝（x+2y）＝4++≥4+2＝8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．10．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自图中非阴影部分的概率为．【解答】解：长方形区域的面积为3×1＝3，阴影部分的面积为＝＝1∴图中非阴影部分的面积为3﹣1＝2∴点M取自图中非阴影部分的概率为，故答案为：11．（5分）如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x﹒+y，则3x﹣2y＝1．【解答】解：∵E为BC的中点，∴，又＝，∴＝，∴＝＝．而＝x﹒+y，∴，．∴3x﹣2y＝2﹣1＝1．故答案为：1．12．（5分）函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′＝x﹣＝，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]13．（5分）由定积分的几何意义可知dx＝2π．【解答】解：根据定积分的几何意义，则dx表示圆心在原点，半径为2的圆的上半圆的面积，故dx＝×π×22＝2π．故答案为：2π．14．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1＝6，a2＝10，a3＝14，可知a2﹣a1＝a3﹣a2＝4，…可知数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝6+4（n﹣1）＝4n+2．故答案为4n+2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且，求c边的长．【解答】解：（1）由cos（﹣A）•cos B+sin B•sin（+A）＝sin（π﹣2C）得sin A •cos B+sin B•cos A＝sin2C∴sin（A+B）＝sin2C，∵A+B＝π﹣C，∴sin（A+B）sin C∴sin C＝sin2C＝2sin C cos C，∵0＜C＜π∴sin C＞0∴cos C＝∴C＝（2）由sin A，sin C，sin B成等差数列，得2sin C＝sin A+sin B，由正弦定理得2c＝a+b∵，即ab cos C＝18，ab＝36由余弦弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab，∴c2＝4c2﹣3×36，c2＝36，∴c＝616．（12分）已知等差数列{b n}中，，且已知a1＝3，a3＝9．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{b n}的公差为d．由a1＝3，a3＝9，得b1＝log z（a1﹣1）＝log22＝1，b3＝log2（a3﹣1）＝log28＝3，∴b3﹣b1＝2＝2d，∴d＝1，…3 分，∴b n＝1+（n﹣1）×1＝n．…6 分，（2）由（1）知b n＝n，∴log2（a n﹣1）＝n，∴，∴．…9 分，∴＝…11 分，＝2n+1+n﹣2…12 分．17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD＝PD＝2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：∵F，G分别为PB，BE的中点，∴FG∥PE，∵FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，∴FG∥平面PED；（2）解：∵EA⊥平面ABCD，EA∥PD，∴PD⊥平面ABCD，∵AD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA＝1∵AD＝PD＝2EA，∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E （2，0，1），∴＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2）．∵F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，∴F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1），∴＝（﹣1，0，0.5），＝（﹣2，0，0.5）设＝（x，y，z）为平面FGH的一个法向量，则，得＝（0，1，0）同理可得平面PBC的一个法向量为＝（0，1，1），∴cos＜，＞＝||＝，∴平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45°．18．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+b在x＝﹣1处的切线与x轴平行（1）求a的值和函数f（x）的单调区间；（2）若函数y＝f（x）的图象与抛物线y＝x2﹣15x+3恰有三个不同交点，求b 的取值范围．【解答】解：（1）由已知得f′（x）＝3x2﹣6x+a，∵在x＝﹣1处的切线与x轴平行∴f′（﹣1）＝0，解得a＝﹣9．这时f′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x+1）（x﹣3）由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜﹣1；由f′（x）＜0，解﹣1＜x＜3．∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调减区间为（﹣1，3）．（2）令g（x）＝f（x）﹣（x2﹣15x+3）＝x3﹣x2+6x+b﹣3，则原题意等价于g（x）图象与x轴有三个交点∵g′（x）＝3x2﹣9x+6＝3（x﹣1）（x﹣2）∴由g′（x）＞0，解得x＞2或x＜1；由g′（x）＜0，解得1＜x＜2．∴g（x）在x＝1时取得极大值g（1）＝b﹣；g（x）在x＝2时取得极小值g （2）＝b﹣1．故，∴＜b＜1．19．（14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2＝1共顶点．P为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值．【解答】解：（1）由题意得c＝1，a2＝2…（2分）故椭圆的方程为．…（3分）（2）因为P（0，1），F1（﹣1，0），所以PF1的方程为x﹣y+1＝0由，解得点Q的坐标为．…（5分）设过P，Q，F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F＝0…（6分）则解得所以圆的方程为…（8分）（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即所以，解得…（10分）所以＝…（12分）因为，所以，当且仅当，即λ＝1时，取等号．最大值为．…（14分）20．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a＝﹣且关于x的方程f（x）＝﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝lna n+a n+2，n∈N*，求证：a n≤2n﹣1．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣，（x＞0）依题意f'（x）≥0在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤＝（﹣1）2﹣1在x＞0恒成立，即a≤（（﹣1）2﹣1）min（x＞0）当x＝1时，（﹣1）2﹣1取最小值﹣1，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（2）a＝﹣，f（x）＝﹣x+b，∴x2﹣x+lnx﹣b＝0设g（x）＝x2﹣x+lnx﹣b（x＞0）则g'（x）＝，列表：∴g（x）极小值＝g（2）＝ln2﹣b﹣2，g（x）极大值＝g（1）＝﹣b﹣，又g（4）＝2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，得：ln2﹣2＜b≤﹣．（3）设h（x）＝lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则h'（x）＝﹣1≤0∴h（x）在[1，+∞）为减函数，且h（x）max＝h（1）＝0，故当x≥1时有lnx ≤x﹣1．∵a1＝1，假设a k≥1（k∈N*），则a k+1＝lna k+a k+2＞1，故a n≥1（n∈N*）从而a n+1＝lna n+a n+2≤2a n+1，∴1+a n+1≤2（1+a n）≤…≤2n（1+a1）即1+a n≤2n，∴a n≤2n﹣1．。
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陈店实验学校2014—2015学年度下学期期中考试
高二年级数学（理）试卷
考试说明：本卷总分150分，考试时间为120分钟，请在答题卡上认真作答！ .
第一部分 选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设i 是虚数单位，复数i
ai
-+21为纯虚数，则实数a 为
A.2
B. -2
C.21-
D.21
2．{}(){}
=12,30,x x N x x x -<=-<设集合M 那么“""a M a N ∈∈是“的 A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3．设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝20，则a 7＋a 8＋a 9＝
A ．63
B ．45
C ．27
D ．36
4. 用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3 (n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证
n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )
A ．(k ＋3)3
B ．(k ＋2)3
C ．(k ＋1)3
D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3
5．已知椭圆2221(0)9x y a a
+=>与双曲线22
143x y -=有相同的焦点，则a 的值为 A
B
C ．4
D ．10
6.函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，3内可导，其图象如下图所示，记y ＝f (x )的导函数为
y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为
A. ⎣⎡⎦
⎤－32，1
2∪ 学校 姓名 ________ 班级 __ 考场 考号
密 封 线 内 不 要 答 题
.A ()2,1 .B ()5,1 .C ()5,1 .D
()+∞,5
第二部分 非选择题部分
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9. 已知210,0,1x y x
y
>>+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是
________.
10. 从如图所示的长方形区域内任取一个点),(y x M 则点M 取自阴影部分的概率为
（边界曲线方程为23)(x x f =）
11. 如右图，在四边形ABCD 中，
13
D C A B
=
， E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =⋅+⋅
，
则32x y -= . 12. 函数y=
12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为 13. 由定积分的几何意义可知⎰
--22
24x =___________．
14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n 个图案中有白色地面砖____________块.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15. (本小题满分12分) 已知：△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
且cos()cos sin sin()sin(2)22
A B B A C ππ
π-⋅+⋅+=-.
C
H P
G
F E D C
B
(1)求角C 的大小；
(2)若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且18CA CB ⋅=
，求c 边的长.
16. (本小题满分12分) 已知等差数列}b {n 中，,N n ),1(log b 2n *∈-=n a 且已知
.9,331==a a
(1) 求数列}b {n 的通项公式；
(2) 求数列}{n a 的通项公式和前n 项和n S .
17. (本小题满分14分) 如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，PD EA //，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．
（1）求证：FG //平面PED ；
（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.
18．(本小题满分14分) 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋b 在x ＝－1处的切线与x 轴平行．
(1)求a 的值和函数f (x )的单调区间；
(2)若函数y ＝f (x )的图象与抛物线y ＝3
2x 2－15x ＋3恰有三个不同交点，求b 的
取值范围．
19．(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆
C ∶)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别1F 、2F 焦距为2，
且与双曲线1222
=-y x 共顶点．P 为椭圆C 上一点，直线1PF 交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若点P 的坐标为()b ,0，求过P 、Q 、2F 三点的圆的方程；
（3）若11QF P F λ=，且⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,21λ，求OQ OP ⋅的最大值．
20．（本小题满分14分）已知函数21
()ln 2(0).2
f x x ax x a =--<
（1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；
（2）若12a =-且关于x 的方程1
()2
f x x b =-+在[]1,4上恰有两个不相等的实数根，
求实数b 的取值范围；
（3）设各项为正的数列{}n a 满足：*111,ln 2,.n n n a a a a n N +==++∈求证：12-≤n n a。