上海市浦东新区2015年高三三模综合练习数学(文科)试卷

上海市浦东新区2015年高三三模综合练习数学(文科）试卷注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚； 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若集合{}13A x x =≤≤，集合{}2B x x =<，则AB = [)1,2 ．2．函数2(),(2)f x x x =<-的反函数是4)y x => ．3．过点(1,0)且与直线02=+y x 垂直的直线的方程 210x y --= ．4．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且3245+=S a ，3256+=S a ，则此数列的公比q 3 ．5．如果复数z 满足2=-++i z i z （是虚数单位），则||z 的最大值为 1 ． 6．函数x y 2cos =的单调增区间为 ],2[πππk k -（Z k ∈） ．7．行列式42354112k---中第2行第列元素的代数余子式的值为10-，则实数k = 14- ．8．设21,F F 是双曲线12422=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且2143PF PF =，则21F PF ∆的周长 24 ．9．设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一个平面内，1====DA CD BC AB ，球心到该平面的距离是球半径的2310．从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组．若这4人中必须男女生都有的概率为35． 11．数列{}n a 中，111nn na a a ++=-且12a =，则数列{}n a 前2015项的积等于 3 ． 12．若,,a b c 均为平面单位向量,且333(,)2a b c +-=，则c = 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（用坐标表示）13．已知(,)P x y 满足约束条件301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，O 为坐标原点，(3,4)A ，则cos OP AOP∠的最大值是 5. 14．记符号{}12min ,,,n c c c 表示集合{}12,,,n c c c 中最小的数．已知无穷项的正整数数列{}n a 满足()1N i i a a i *+≤∈，令{}()min |,kn bn a k k *=≥∈N ，若21k b k =-，则数列{}n a 前100项的和为 2550 ．二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．二元一次方程组111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的必要非充分条件是 （ D ）A ．系数行列式0D ≠B ．比例式1122a ba b ≠C ．向量1122,a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不平行 D ． 直线111222,a x b y c a x b y c +=+=不平行16．用符号(]x 表示不小于x 的最小整数，如(]4π=，(]1.21-=-．则方程(]12x x -=在)4,1(上实数解的个数为 （ D ）A ．0B ．1C ．2D ．317．已知P 为椭圆2214x y +=的左顶点．如果存在过点()()00,0,0M x x >的直线交椭圆于A B 、两点，使得2AOB AOP S S =△△，则0x 的取值范围为 （C ）A ．(B ．)C ．()1,2D ．()1,+∞18．在圆锥PO 中，已知高PO =2，底面圆的半径为；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，其中点M 为所在母线的中点，O 为底面圆的圆心，对于下面四个命题，正确的个数有 （ C ）①圆的面积为4π；； ③双曲线两渐近线的夹角为4arcsin5；． A ．1 个 B ．2 个 C ． 3个 D ．4个三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分. 如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，CE 为圆O 的直径，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，且1=AE ．（1）求异面直线CB 与DE 所成角的大小；（2）将ACD ∆（及其内部）绕AE 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体体积． 解：（1）因为DA CB //，AE 垂直于圆O 所在平面，所以DE AE ⊥，所以，ADE ∠为异面直线CB 与DE 所成的角 ……………………………………………2分 在AED Rt ∆中，1=AE ，2=DA ，所以21sin =∠ADE ，得6π=∠ADE ， 即异面直线CB 与DE 所成的角为6π．……………………………………………………5分（2）由题意知，将ACD ∆（及其内部）绕AE 所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线CB 与DE 所成的角为6π，且DA CB //，所以6π=∠ADE ，…………7分又因为1=AE ，所以，在AED Rt ∆中，3=DE ，2=DA ………………………9分因为CE 为圆O 的直径，所以2π=∠CDE ，在CDE Rt ∆中，2==DA CD ，3=DE ，所以7=CE …………………………………………10分所以该几何体的体积πππ34313122=⋅⋅-⋅⋅=AE DE AE CE V ……………………12分 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图在半径为5cm 的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL ,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（O 为圆心）（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE CD =）（图）,此时边长为多少？（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图2），此时DOE ∠为多少？（用反三角函数表示）图（1） 图（2）解：（1）当“十字形”的边长相等时，过O 作DE OM ⊥交DE 于E ，作CN ⊥OM 交OM于N ．设该“十字形”的边长为2x ，则DM x =，3OM x =． 在OMD Rt ∆中，由勾股定理得，()2525322=⇒=+x x x …………………………5分 所以，边长cm x 52=………………………………………………………………………6分（2）过O 作DE OM ⊥交DE 于E ，作CN ⊥OM 交OM 于N ．设∠DOM θ=，则5cos ,5sin OM DM θθ==．5sin ON CN θ∴==，5cos 5sin NM θθ=-．…………………………………………8分所以，“十字形”的面积为2222(2)4()100cos 100(cos sin )S OM NM θθθ=-=-- 1))2θϕ=+-（ 其中cos ϕ=21tan =ϕ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πθ …………………………………10分所以，当22πϕθ=+时，()2max 1550cm S -= ………………………………………12分此时，552arccos22-==∠πθDOE 或21arctan 2-π ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 设函数)(x f 对任意R x ∈，都有)()2(x f a x f ⋅=，其中a 为常数．当)2,1[∈x 时，)2sin()(x x f π=．（1）设0>a ，)(x f 在)8,4[∈x 时的解析式及其值域； （2）设01<≤-a ，求)(x f 在),1[∞+∈x 时的值域． 解：（1）当)8,4[∈x 时，于是)2,1[4∈x，又)()2(x af x f = 所以)4()2()(2x f a x af x f ==即)8sin()(2x a x f π=……………………………………3分∈x )8,4[πππ<≤⇒82x2)(0a x f ≤<⇒即)(x f 在)8,4[∈x 时的值域为],0(2a …6分（2）由于 )2,2[)2,2[)2,2[)2,1[),1[1322+=∞+n n只研究函数)(x f 在)()2,2[1N n n n∈+值域即可……………………………………7分对于∈x )()2,2[1N n n n∈+得)2,1[2∈nx于是)2()2()2()(22n n x f a x f a x af x f ==== 所以)2sin()(1+=n n xa x f π ∈x )()2,2[1N n n n ∈+………………………………………9分πππ<≤+122n x⇒1)2sin(01≤<+n xπ因为01<≤-a所以当n 为偶数时，)(x f 在)()2,2[1N n n n ∈+上单调减，值域为],0(na ；且 ⊇⊇⊇⊇⊇],0(],0(],0(]1,0(242ka a a ………………………………………10分当n 为奇数时，)(x f 在)()2,2[1N n n n ∈+上单调增，值域为)0,[n a且 ⊇⊇⊇⊇⊇-)0,[)0,[)0,[)0,[1253k a a a a ………………………………………12分 所以)(x f 的值域为]1,0()0,[ a …………………………………………………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知在数列}{n a 中，11=a ．（1）设121+=+n n a a （*∈N n ），求数列}{n a 的通项公式；（2）若⎩⎨⎧+=+奇数时当为偶数时当n a n a a nn n 211，求数列}{n a 的前m 2项和m S 2；（3）当111+=+n n a a 时，是否存在一个常数p ，使122+<<n n a p a 对任意正整数n 都成立？如果存在，请求出p 的值，并证明；如果不存在，请说明理由． 解：（1）由题意121+=+n n a a ，令()x a x a n n +=++21，比较得到1=x ，故有()1211+=++n n a a ，所以数列{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，……2分因此n n n a 22211=⋅=+-，所以12-=n n a ，*∈N n 。