2021年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.3 5.3.1 课后课时精练(人教B版)
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.2事件之间的关系与运算教学1b高一必修第二册数学
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内容(nèiróng)总结
第五章 统计(tǒngjì)与概率。说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系.。2理解，互斥事件和对立事件的概念 及关系。会用互斥事件与对立事件的概念公式求概率。3.会用自然语言、符号语言表示事件之间的关系与运算，加强数学抽象素养的培
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即时训练3 已知数学考试中，李明名成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90 分的概率为0.5，求： （1）李明成绩不低于60分的概率； （2）李明成绩低于60分的概率。5事件(shìjiàn)的混合运算。
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第五章 统计 与概率 (tǒngjì)
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5.3 概率(gàilǜ)
5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运算
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5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运 算
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【导入新课】 回顾1.集合间的运算(yùn suàn)及关系
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问题探究二：事件的和（并） （1）给定事件A,B。由所有A中的样本点与所有B中的样本点组成的事件， 称为A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B）。 （2）事件A+B发生(fāshēng)，则当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生。
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P（A）≤P(A+B) ， P（B）≤P(A+B) ， P(A+B)≤P（A）+P(B)
新教材高中数学第五章统计与概率53概率535随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】 结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概 型，利用独立性计算概率．性 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事 件B相互独立，简称独立．
(4)2人至多有1人射中目标的概率．
状元随笔 (1)3个独立事件直接利用乘法公式计算． (2)可以分类求1人被选中，2人被选中，3人被选中，再用概率加法 公式求概率；也可以先求三人均未被选中的概率，再利用对立事件概 率公式求解．
方法归纳
求较复杂事件概率的一般步骤如下： (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立 的)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其 对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
(2)同理可判断A、B的关系．
题型2 相互独立事件同时发生的概率[经典例题]
例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为
0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率；
若A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
答案：C
课堂探究·素养提升
课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1 相互独立事件的判断[经典例题] 例1 (1)判断下列事件是否是相互独立事件． 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组 中各选1人参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选 出1名女生”；
2020年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.3 5.3.3(人教B版)
5.3.3古典概型(教师独具内容)课程标准：结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.教学重点：古典概型的定义，古典概型的概率计算公式.教学难点：应用古典概型的概率计算公式解决实际问题.知识点错误!未指定书签。
一古典概型的概念一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是□01有限的(简称为□02有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都□03相等(简称为□04等可能性)，则称这样的随机试验为□05古典概率模型，简称为古典概型．一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——□06有限性与□07等可能性．知识点错误!未指定书签。
二古典概型的概率计算公式在古典概型中，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为□01P(A)＝A包含的样本点个数Ω包含的样本点总数＝m n.1．古典概型的判断(1)判断一个试验是否为古典概型，关键在于看这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．(2)并非所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但不具备等可能性；②样本点个数无限，但具备等可能性；③样本点个数无限，也不具备等可能性．2．从集合的角度理解古典概型的概率计算公式用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A 与样本点的关系，有利于理解公式P (A )＝m n .如图所示．把一次试验中等可能出现的n 个样本点组成一个集合I ，其中每一个样本点就是I 中的一个元素，把含m 个样本点的事件A 看作含有m 个元素的集合，则集合A 是集合I 的一个子集，故有P (A )＝m n .1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个试验的样本空间所包含的样本点个数为有限个，则该试验是古典概型．( )(2)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )(3)若一个古典概型的样本空间所包含的样本点总数为n ，则每一个样本点出现的概率都是1n .( )答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(1)下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验的样本空间所包含的样本点个数只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n ，随机事件A 若包含k 个样本点，则P (A )＝k n .A ．②④B ．①③④C ．①④D ．③④答案 B解析 根据古典概型的特征与其概率计算公式进行判断，①③④正确，②不正确．故选B.(2)掷一个质地均匀的骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是( ) A.12 B.16 C.13 D.14答案 A解析 掷质地均匀的骰子试验的样本空间中共有6个样本点，具有有限性和等可能性，因此是古典概型．因为这个试验的样本点共有6个，即出现1点，出现2点，…，出现6点，所以样本点总数n＝6.{掷得奇数点}＝{出现1点，出现3点，出现5点}，其包含的样本点个数m＝3，所以掷得奇数点的概率P＝1 2.(3)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为()A.12 B.13C.23D．1答案 C解析从甲、乙、丙三人中任选两人的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)}．共包含3个样本点，且这3个样本点发生的可能性是相等的，其中，甲被选中包含的样本点个数为2，故甲被选中的概率为P＝2 3.题型一古典概型的判定例1袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？[解](1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．判断一个试验是否是古典概型的方法判断一个试验是不是古典概型，要把握试验样本空间中样本点的有限性和等可能性这两个特征，试验样本点的有限性比较好判断，在应用古典概型时务必要注意“等可能性”这个条件，这需要根据实际情况去判断．某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的样本空间包含的样本点只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？解不是古典概型，因为虽然试验的样本空间包含的样本点只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.题型二简单古典概型概率的计算例2从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件A＝{三个数字中不含1或5}；(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．[解]这个试验的样本空间为Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，样本点总数n＝10，且这10个样本点发生的可能性是相等的．(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，所以事件A包含的样本点个数m＝1.所以P(A)＝mn＝110.(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B包含的样本点个数m＝9.所以P(B)＝mn＝910.1.古典概型概率的计算步骤(1)确定等可能样本点总数n；(2)确定所求事件所包含样本点个数m；(3)P(A)＝m n.2．使用古典概型的概率计算公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型；(2)事件A是什么，所包含的样本点有哪些．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；(3)这个游戏公平吗？请说明理由．解这个试验的样本空间如下表所示：由上表可知，该试验的样本空间共包含25个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝5 25＝15.(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，所以P(B)＝16 25.(3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为1325，“和为奇数”的概率是1225，二者不相等，所以游戏不公平.题型三较复杂古典概型概率的计算例3有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：。
2021年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.1 5.1.1 第2课时 课后课时精练(人教B版)
『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是()A．从100个学生家长中一次性随机抽取10人做家访B．从38本教辅参考资料中有放回地随机抽取3本作为教学参考C．从自然数集中一次性抽取20个进行奇偶性分析D．某参会人员从最后一排20个座位中随机选择一个坐下答案 D解析A不是简单随机抽样，因为是“一次性”抽取；B不是简单随机抽样，因为是“有放回”抽取；C不是简单随机抽样，因为是“一次性”抽取，且“总体容量无限”．D是简单随机抽样．2．对简单随机抽样来说，某一个个体被抽取的可能性()A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性要大些B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性大些D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽到的可能性不一样答案 B解析简单随机抽样是等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时每个个体被抽到的可能性相等，而且在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性也相等，从而保证了抽样的公平性．3．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本．若选定从随机数表的第12行第4列的数开始向右读数(随机数表的第12行至第13行如下所示)，一次选取三个数字，则读出的第3个数是()A．584 B．114C．311 D．146答案 C解析从第12行第4列的数开始向右读数可得，238,160,311,463,224，…，所以读出的第3个数是311.故选C.4．为抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在一路口随机抽查，这种抽查是()A．简单随机抽样B．抽签法C．随机数表法D．以上都不对答案 D解析由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．5．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽取一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为()A.mNM B.mMNC.MNm D．N答案 A解析设m个个体中带有标记的个数为n，根据简单随机抽样的特点知N M＝nm，解得n＝mN M.二、填空题6．一次体育运动会，某代表团有6名代表参加，欲从中抽取一人检查是否服用兴奋剂，抽检人员将6名队员名字编号为1～6号，然后抛掷一枚均匀骰子，朝上的一面是几就抽检几号对应的队员，这种抽检方式________(填“是”或“不是”)简单随机抽样．答案是解析抛掷一枚均匀骰子，各面向上的机会是均等的，故每名队员被抽到的机会相等．7．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人参加一项文体活动，某男学生被抽到的可能性是________．答案1 5解析因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为20100＝1 5.8．为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数表法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是________位．答案四解析由于所编号码的位数和读数的位数要一致，因此所编号码的位数最少是四位．从0000到1000，或者是从0001到1001，等等．。
2020年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.3 5.3.2(人教B版)
5.3.2事件之间的关系与运算(教师独具内容)课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.教学重点：事件的关系和运算，互斥事件、对立事件的概念，用概率的性质求事件的概率.教学难点：区别互斥事件和对立事件，事件的混合运算.知识点错误!未指定书签。
一事件的包含(1)一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“□01A包含于□02 B”(或“□03B包含□04A”)，记作□05A⊆B(或□06B⊇A)，这一关系可用下图表示．(2)□07A⊆B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的□08充分条件，B发生是A发生的□09必要条件．(3)如果A⊆B，则P(A)□10≤P(B)．知识点错误!未指定书签。
二事件的相等(1)如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“□01A与B相等”，记作□02A＝B.(2)A＝B⇔□03A⊆B且B⊆A.A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的□04充要条件．(3)当A＝B时，有P(A□05＝P(B)．知识点错误!未指定书签。
三事件的和(并)(1)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为□01 A与B的和(或并)，记作□02A＋B(或□03A∪B)．事件A与B的□04和可以用如图所示的阴影部分表示．(2)由定义可知：①事件A＋B发生时，当且仅当□05事件A与事件B中至少有一个发生；②A□06⊆(A＋B)且B□07⊆(A＋B)．因此，P(A)□08≤P(A＋B)且P(B)□09≤P(A＋B)，P(A＋B)□10≤P(A)＋P(B)．知识点错误!未指定书签。
四事件的积(交)(1)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为□01A与B的积(或□02交)，记作□03AB(或□04A∩B)．事件A与B的□05积可以用如图所示的阴影部分表示．(2)由定义可知：①事件AB发生时，当且仅当□06事件A与事件B都发生．②AB□07⊆A，AB□08⊆B.因此，P(AB)□09≤P(A)，P(AB)□10≤P(B)．知识点错误!未指定书签。
新教材高中数学第5章统计与概率5 3概率5 3 2事件之间的关系与运算学案含解析新人教B版必修第二册
科学的思考方式英语作文Scientific Thinking。
Scientific thinking is a way of approaching problems and finding solutions based on evidence and logical reasoning. It involves a systematic approach to understanding the world around us, using observation, experimentation, and critical thinking to arrive at conclusions that are based on facts rather than opinions or beliefs.The first step in scientific thinking is to ask questions. Scientists are always curious about the world around them and are constantly asking questions about how things work, why things happen, and what causes certain phenomena. They use their observations and experiences to formulate hypotheses, or educated guesses, about the answers to these questions.Once a hypothesis has been formulated, scientistsdesign experiments to test it. They carefully control all the variables that could affect the outcome of the experiment, and then collect data to see if their hypothesis is supported or refuted by the evidence. If the results of the experiment support the hypothesis, it can be considered valid and may be used to make predictions about future events.However, if the results do not support the hypothesis, scientists must revise their ideas and come up with a new hypothesis to explain the data. This process of testing and revising hypotheses is an important part of scientific thinking, as it allows scientists to refine their understanding of the world and develop new theories and explanations for the phenomena they observe.In addition to testing hypotheses, scientific thinking also involves critical thinking. Scientists must be able to evaluate evidence objectively, weigh the strengths and weaknesses of different arguments, and consider alternative explanations for the data they collect. They must also be willing to revise their ideas in light of new evidence,even if it contradicts their previous beliefs or assumptions.Finally, scientific thinking requires a willingness to collaborate with others and share information openly. Scientists often work in teams to design experiments, collect data, and analyze results, and they must be able to communicate their findings clearly and accurately to others in their field. This collaboration helps to ensure that scientific knowledge is accurate and reliable, and that new discoveries can be built upon by future generations of scientists.In conclusion, scientific thinking is a powerful tool for understanding the world around us. By asking questions, testing hypotheses, and evaluating evidence objectively, scientists are able to develop new theories and explanations for the phenomena they observe. This process of discovery and refinement is a hallmark of scientific thinking, and it has led to many of the greatest advances in human knowledge and understanding.。
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.2事件之间的关系与运算教学2b高一必修第二册数学
me)A＝A1＋A2＋A3表示(
)
A．全部击中
B．至少击中1发
C．至少击中2发
D．以上均不正确
2.（2019全国Ⅰ理3）把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人
分得1张， 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．两个不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．两个概率不相等的事件
No 所以它们是互斥事件。(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥。A．全部击中 B．至少击中1发
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发生，所以它们不是互斥事件．
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【 】 课堂 小结 (kètáng)
1.事件的关系理解(lǐjiě) 2.事件的运算
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【反馈(fǎnkuì)检测】
1．(2018天津) 1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么(nà
【提出问题】 用图像如何来表达这种关系(guān xì)？ 请同学们自己动手尝试一下
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第五页，共十七页。
• 二.事件(shìjiàn)的和（并 ）
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成(zǔ chénɡ) 的事件称为A与B的和(或并) 记作A＋B(或A∪B)
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球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少(zhìshǎo)有1个红球}，
事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：
(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
2020年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.3 5.3.5(人教B版)
5.3.5随机事件的独立性(教师独具内容)课程标准：结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率.教学重点：两个随机事件相互独立的概念，两个随机事件相互独立的判断.教学难点：运用事件的独立性解决问题.知识点错误!未指定书签。
一独立事件的概念(1)一般地，当P(AB)＝□01P(A)P(B)时，就称A与B相互独立(简称□02独立)．(2)A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生□03不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生□04也不会影响事件A发生的概率．(3)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1，A2，…，A n相互独立”的充要条件是“□05其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们的概率之积．”知识点错误!未指定书签。
二事件独立的性质(1)如果A与B相互独立，则□01A－与B，□02A与B－，□03A－与B－也相互独立．(2)多个事件独立具有与□04两个事件独立类似的性质．例如，如果A1，A2，A3相互独立，则A－1，A2，A3也相互独立等．1．事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之，若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B两事件也相互独立．2．互斥事件与独立事件的区别“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示不可能同时发生的两个事件，后者是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．相互独立的事件可以同时发生，且同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，而互斥的两个事件A，B满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．两事件A，B相互独立是指事件A 发生的概率与事件B 是否发生没有关系，并不是说A ，B 间没有关系．相反若A ，B 独立，则常有AB ≠∅，即A 与B 不互斥；A ，B 互斥是指A 的出现必导致B 的不出现，并没有说A 出现的概率与B 是否出现有关系．事实上，当P (A )>0，P (B )>0时，若A ，B 互斥，则AB ＝∅，从而P (AB )＝0，但P (A )P (B )>0，因而等式P (AB )＝P (A )P (B )不成立，即互斥未必独立．若A ，B 独立，则P (AB )＝P (A )P (B )>0，从而A ，B 不互斥(否则，P (AB )＝0，导致矛盾)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)甲、乙两水文站同时进行水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．(2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则该产品的正品率为________．(3)已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B －)＝________；P (A －B －)＝________.答案 (1)0.56 (2)(1－a)(1－b) (3)16 16题型一 事件独立性的判断例1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．[解] (1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为18.这时A 包含6个样本点，B 包含4个样本点，AB 包含3个样本点． 于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的．(1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算的方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？解 (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件A ，“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件B ，则P (A )＝58，P (B )＝58×47＋38×57＝58，P (AB )＝58×47＝514.因为P (AB )≠P (A )P (B )，所以二者不是相互独立事件．(2)因为把取出的球放回容器，所以对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件.题型二相互独立事件概率的计算例2甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．[解]记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝12，P(B)＝25，P(A－)＝12，P(B－)＝35.(1)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次”的概率为P，则P＝P(A B－)＋P(A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝12×35＋12×25＝510＝12.∴甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为1 2.(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P1，则P1＝P(A－A－B－B－)＝P(A－)P(A－)P(B－)P(B－)＝12×12×35×35＝9100.∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为1－P1＝91100.(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们可以同时发生．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)记事件“恰好有两列正点到达”的概率为P 1，由题意得A ，B ，C 之间互相独立，则P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.所以三列火车恰好有两列正点到达的概率为0.398.(2)记事件“三列火车没有一列正点到达”的概率为P 2，由题意得A ，B ，C 之间相互独立，则P 2＝P (A －B － C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝0.2×0.3×0.1＝0.006.所以三列火车至少有一列正点到达的概率为1－P 2＝0.994.题型三 相互独立事件的综合应用例3 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．[解] (1)记事件A 表示“甲击中目标”，事件B 表示“乙击中目标”．依题意知，事件A 和事件B 相互独立，因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝23×34＝12. (2)记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C ，则C ＝A 1A 2A 3A －4＋A －1A 2A 3A 4，且A 1A 2A 3A －4与A －1A 2A 3A 4是互斥事件． 由于A 1，A 2，A 3，A 4之间相互独立，所以A i 与A －j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立．。
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『高中数学』
教学课件‖课时训练‖讲义测试‖
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下面现象中：①掷一枚硬币，出现反面；②实数的绝对值不小于零；③若a>b，则b<a.其中是必然现象的是()
A．②B．①
C．③D．②③
答案 D
解析①掷一枚硬币，可能出现反面，也可能出现正面，故①是随机现象；
②是必然现象，任意一个实数的绝对值皆大于等于零；③也是必然现象．故选D.
2．下列事件中，随机事件的个数为()
①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④三角形中任意两边的和大于第三边．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为()
A．3件都是正品B．至少有1件次品
C．3件都是次品D．至少有1件正品
答案 C
解析25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．
4．“连续掷两个质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有()
A．6个B．12个
C．24个D．36个
答案 D
解析该试验的样本点分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．故选D.
5．掷一个骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下
列事件一定发生的是()
A．“出现奇数点”B．“出现偶数点”
C．“点数大于3”D．“点数是3的倍数”
答案 B
解析“出现2点”这个事件发生，由2为偶数，故“出现偶数点”这一事件一定发生．
二、填空题
6．给出下列事件：
①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；
②下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；
③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；
④射击1次，命中靶心；
⑤当x为实数时，x2＋4x＋4<0.
其中，必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．答案③⑤①②④
解析根据事件发生的前提条件及生活常识知：①是随机事件，②是随机事件，③是必然事件，④是随机事件，⑤是不可能事件．
7．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为________．
答案{0,1,2,3,4}
解析取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品．得Ω＝{0,1,2,3,4}．
8．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点数为________．
答案 4
解析从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数，故所求事件包含的样本点数为4.
三、解答题
9．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，下列事件：
(1)在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
(2)在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
(3)在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
(4)在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100.。