选修2第3讲：椭圆的标准方程与性质(学生版)

椭圆的标准方程与性质1．椭圆的定义在平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数： (1)若a ＞c ，则集合P 为 ； (2)若a ＝c ，则集合P 为 ； (3)若a ＜c ，则集合P 为 ． 2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0) 图形性质 范围对称性 顶点轴焦距离心率a ，b ，c 的关系类型一 椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．练习2：已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3类型二 求椭圆的标准方程例2：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．练习1：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．类型三 椭圆的几何性质例3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．练习1：已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________．类型四 直线与椭圆的位置关系例4：(2014·四川卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．练习1：(2014·陕西卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．类型五 圆锥曲线上点的对称问题例5：椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12，其中∠F 1AF 2的平分线所在的直线l 的方程为y ＝2x －1.(1)求椭圆E 的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由练习1：(2014·湖南)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________.1.（2015年高考福建卷）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．2.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．3.椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．4．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为__________5.(2014·包头测试与评估)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则AP →·FP →的取值范围是________．2222:1(0)x y E a b a b+=>>F M :340l x y -=E ,A B 4AF BF +=M l 45E 3(0,]23(0,]43[,1)23[,1)46.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C 2相切．(1)求椭圆C 1的离心率；(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C 1的方程．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于( )A.B.C.－D.－12.设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P 与这两个焦点张成90度的角，且∠PF 1F 2>PF 2F 1，若椭圆离心率为，则∠PF 1F 2：∠PF 2F 1为( ) A ．1：5B ．1：3C ．1：2D ．1：l3.设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．54.已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对5.与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________。

367.已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 212＝1有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于________．8.已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．能力提升9.（2014·福建卷）设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B.46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 210.（2015年高考湖南卷）已知抛物线的焦点F 也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点F 的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.求的方程；21:4C x y =22222:1y x C a b +=(0)a b >>1C 2C 26l 1C ,A B 2C ,C D AC BD2C。