初三数学培优训练(相似三角形)

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初三相似三角形练习题及答案

初三相似三角形练习题及答案相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它在几何形状比较相似的情况下，能够帮助我们快速推导出一些性质和结果。

为了帮助同学们更好地掌握相似三角形的相关知识，下面给出一些练习题及其详细答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

1. 如图，已知△ABC与△ADE相似，其中∠B=∠D=90°，AB=10cm，BC=15cm，DE=6cm，求AD和AC的长度。

解析：由于∠B=∠D=90°，所以△ABC与△ADE是直角三角形。

根据直角三角形的性质，我们知道在两个直角三角形中，如果一个角相等，那么它们就是相似三角形。

因此，△ABC与△ADE相似。

根据相似三角形的定义，我们知道相似三角形的对应边的比例相等。

所以我们可以列出比例方程：AB/AD = BC/DE代入已知的数值，得到：10/AD = 15/6进一步计算，可以得到：AD = (10 * 6) / 15 = 4cm同理，我们可以使用相似三角形的对应边比例相等的性质，求解出AC的长度。

列出比例方程：AB/AC = BC/AE10/AC = 15/AD代入AD = 4cm，可以得到：10/AC = 15/4进一步计算，得到：AC = (10 * 4) / 15 = 8/3 cm所以，AD的长度为4cm，AC的长度为8/3 cm。

2. 如图，已知△PQR与△XYZ相似，PR = 12cm，YZ = 6cm，PQ = 9cm，求XZ的长度。

解析：根据相似三角形的性质，我们可以列出比例方程：PQ/PX = QR/XZ代入已知数值，得到：9/PX = 12/XZ进一步计算，得到：PX * XZ = 9 * 12PX * XZ = 108根据已知条件，我们可以得到两个三角形的一对边已知，它们分别是PR和YZ，由于两个三角形相似，我们可以列出另一个比例方程：PR/YZ = PQ/XZ12/6 = 9/XZ进一步计算，得到：2 = 9/XZ解方程，可以得到：XZ = 9/2 = 4.5cm所以，XZ的长度为4.5cm。

相似正三角形培优专题训练

相似正三角形培优专题训练
目标
本文档旨在提供一份相似正三角形培优专题训练，帮助学生提
高对相似正三角形的理解和解题能力。

专题训练内容
1. 定义和性质
- 了解相似正三角形的定义和性质，包括边长比例和角度相等。

- 掌握相似正三角形的判定方法，包括边长比例和角度相等的
条件。

2. 利用相似正三角形求解问题
- 研究如何用相似正三角形的性质解决实际问题，如计算未知
边长和求解角度等。

3. 解题技巧和策略
- 掌握解决相似正三角形问题的常用技巧和策略，包括利用正三角形的特殊性质和适当的分析方法。

4. 训练题集
- 提供一系列练题，涵盖相似正三角形的不同应用场景和难度级别。

- 鼓励学生在解题过程中灵活运用所学知识，并培养独立思考和解决问题的能力。

使用建议
- 学生可以按照顺序逐步研究和完成相关章节的题训练，确保基本概念的理解和掌握。

- 学生可以在完成每个章节后进行自测，检验自己的研究成果和解题能力。

- 学生应当根据自身情况和训练进度，合理安排时间和研究计划，充分掌握相似正三角形的相关知识和解题技巧。

注意事项
- 本文档所提供的练题仅供参考，学生可以找到其他相关的题进行练和巩固。

- 在解题过程中，学生应该结合实际情境仔细分析，并注意合理使用相似正三角形的性质和解题方法。

- 为了确保研究的效果，建议学生在遇到问题或困惑时寻求老师或同学的帮助。

专题27.22 相似三角形的性质(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识

专题27.22 相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标(0，3)，点B 坐标(4，0)，将点O 沿直线34y x b =-+对折，点O 恰好落在∠OAB 的平分线上的O’处，则b 的值为（）A ．12B ．65C ．98D ．15162．如图，CD 是ABC 的高，2CD AD BD M =⋅,是CD 的中点，BM 交AC 于,E EF AB ⊥于F ．若164,5EF CE ==,则AB 的长为( )A ．485B ．383C ．413D ．4153．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是( )A ．43B ．1C ．56D ．654．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，AB BC =，若2AD =，1CD =，则BD 的值为（）AB ．2CD ．5．如图，点E 从矩形ABCD 的顶点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒1个单位的速度运动，过E 作EF ∠AE 交直线DC 于F 点，如图2 是点E 运动时CF 的长度y 随时间t 变化的图象，其中M 点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M 点作MN ∠y 轴交图象于N 点，则N 点坐标是（）A ．（5，2）B ．（2）C ．（2+2）D ．（2+，2）6．如图，在直角坐标系xOy 中，A （﹣4，0），B （0，2），连结AB 并延长到C ，连结CO ，若∠COB∠∠CAO ，则点C 的坐标为（）A ．（1，52）B ．（43，83）C D7．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，线段AB 与线段B 'C '交于点P ，连接BB '．当五边形A 'B 'BCD 为正五边形时，BPAP即长为（）A．1B C1D8．如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（）A．2B．6-C．D．49．如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（）A．B C．203D．410．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若AP HF⊥，10AP=，则小正方形边长GF的长是（）A ．52B ．C ．3 D二、填空题11．如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，连接EC ，已知BC ＝6，AD ＝2，且S △CDE ＝2710，则点A 到DE 的距离为 _________．12．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、HE 、EC 、GA 、GF ，已知AG ∠GF ，AC ＝AB 的长为___．13．在平面直角坐标系中，如图，3==OB AB ，点(,0),33-<+A a a 点C 在y 轴上且OC OA =，连接BC ．现给出以下结论：∠连接AC ，则AC =； ∠OAB 的周长是一个固定值； ∠BC 的最小值为1；∠当BC 取最小值时，OA其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）14．如图，在平面直角坐标系中，点A (0，1)，点B 为直线y=12x 上的一个动点，∠ABC ＝90°，BC =2AB ，则OC 的最小值为____．15．已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．16．将矩形OABC 如图放置，O 为坐标原点，若点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，则点C 的坐标是_________．17．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D ，如果点B '恰好落在对角线BD 上，连接DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE =___________．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点，连接ED ，延长EA 至F ，使EF ＝ED ．以线段AF 为边作正方形AFGH ，点H 落在AD 边上，连接FH 并延长，交ED 于点M，则DMDE的值为_____．三、解答题19．已知矩形ABCD，点E在AD边上，连接BE、BD，∠BED＝2∠BDC，BE＝25，BC ＝32，则CD的长度为______．20．在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP．（1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED；（2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求DFAG的值．21．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？（2）若∠CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似？22．如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥；()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．23．如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F ．（1）连结CQ ，求证：AP CQ =；（2）若14AP AC=，求:CE BC的值；（3）求证：PF EQ=．24．【操作发现】如图∠，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图∠条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN 上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图∠，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．参考答案1．D【分析】假设直线与∠OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b,且直线与AB平行，利用角平分线性质可得35OC OACB AB==,再由平行线分线段成比例得,OD OC OA AB =即3353b =+，解得98b =,结合图象，1928﹤b ﹤，利用排除法即可得到答案.解：假设直线与∠OAB 的平分线交x 轴点C ，交y 轴于D ，如图：∠A(0，3)，B(4，0)，∠OA=3，OB=4，AB=5，且直线AB 斜率等于34-，由直线34y x b =-+知OD=b ，且直线与AB 平行，∠AC 平分∠OAB, ∠35OC OA CB AB ==, ∠直线与AB 平行, ∠,OD OC OA AB=即3353b =+，解得98b =, 结合图象直线34y x b =-+的位置，b 的范围为1928﹤b ﹤，利用排除法，故选D.【点拨】本题考查了角平分线的性质和平行线分线段成比例，利用假设法和排除法解答是选择题的一种技巧．2．C 【分析】延长BC 交FE 的延长线于点H ，推出4EF EH ==，通过证明ACDCBD ，得出90ECH ∠=︒，继而得出 2.4CH =，再证明AEF HEC ，得出5AE =，再证明HECABC ，从而得出答案．解：延长BC 交FE 的延长线于点H ，∠,EF AB CD AB ⊥⊥∠//CD FH ∠,DM BM CM BM EF BE EH BE == ∠DM CM EF EH= ∠M 是CD 的中点∠DM CM =∠4EF EH ==∠ACD CBD∠A BCD ∠=∠∠90BCD ACD ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ECH ∠=︒∠222CH CE EH +=∠ 2.4CH =∠AEF HEC ∠,AE EF A EHC EH CE=∠=∠ ∠5AE =∠AC AE CE =+∠8.2AC =∠90,ACB HCE EHC A ∠=∠=︒∠=∠∠HEC ABC ∠HE HC AB AC=∠4 2.48.2 AB=∠413 AB=故选：C．【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，作出辅助线后多次利用相似三角形的性质得出CH、AE的值是解此题的关键．3．D【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF FC=，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP AB⊥时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．解：如图所示：当//PE AB．由翻折的性质可知：2PF FC==，90FPE C∠=∠=︒．//PE AB，90PDB∴∠=︒．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又FP为定值，PD∴有最小值．又A A∠=∠，ACB ADF∠=∠，AFD ABC∴∆∆∽．∠AF DF AB BC=，∠CF＝2，AC＝6，BC＝8，∠AF＝4，AB10，∠即4108DF=，∠ 3.2 DF=．3.22 1.2PD DF FP∴=-=-=．故选：D．【点拨】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．4．C【分析】延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，易发现ABE CDE，通过对应边成比例，可求解出DE、CE，再利用ABE DFE即可求出DF、BF.解：延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，AB BC⊥，AD CD⊥，90ABE CDE∴∠=∠=︒，AC AB BC∴===,又,E E ABE CDE∠=∠∴，DE CE CDBE AE AB∴==，设DE=x,CE=y,2yx===+整理可得关于x,y的二元一次方程组，⎧=⎪=，解得3xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，90,,ABE DFE E E∠=∠=︒∠=∠ABE DFE∴,35DF CE DE AB BE AE ∴===33225555DF AB BF BE ∴=====BD ∴=故选C.【点拨】利用三角形相似，找到边与边的比例关系，可以求出未知边长，再利用勾股定理即可求解.5．D【分析】当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，证明ABE ECF ∽△△，当F 在DC 的延长线上时，且2FC =，根据相似三角形的性质求得BE 的长，即可求得点N 的横坐标解：根据函数图象可知，当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，AE EF ⊥∠90AEB FEC ∠+∠=︒四边形ABCD 是矩形90B ∴∠=︒90AEB BAE ∴∠+∠=︒FEC BAE ∴∠=∠90ECF ABE ∠=∠=︒∴ABE ECF ∽△△,M N 的纵坐标相等，则当F 在DC 的延长线上时，2FC =，BE t =，4EC t =-，AB EC BE FC=，即242t t -=解得12t =，22t =-即点N 的坐标为(2，2)故选：D【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键．6．B解：根据相似三角形对应边成比例，由∠COB∠∠CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到13CBAB=，过点C作CD∠y轴于点D，然后求出∠AOB和∠CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=43、BD=23，再求出OD=83，最后写出点C的坐标为（43，83）．故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出13CBAB=是解题的关键，也是本题的难点．7．B【分析】先计算得出∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，得到点C'在对角线BD上，再证明△BDA∠∠BAC'，求得BP= C'A= C'B1，进一步计算即可求解．解：连接BC'，AC'，如图：∠五边形A'B'BCD为正五边形，∠∠CDA '=()521805-⨯︒=108°， ∠菱形ABCD 绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，且∠ADC =72°，∠∠A 'DC '=∠ADC =72°，∠∠CDC '=∠ADA '=108°-72°=36°，∠∠CDC '=∠ADA '=∠ADC '=36°，∠点C '在对角线BD 上，∠ABC '=36°，由旋转的性质知AD =AB = DC '=2，∠∠DC 'A =∠DAC '=72°，∠∠C 'AB =36°，∠C 'A = C 'B ，设C 'A = C 'B =x ，则BD = x +2，∠∠BDA =∠BAC '=36°，∠△BDA ∠∠BAC '，∠DA ：AC '=BD ：BA ，即2：x =( x +2)：2，整理得：x 2+2x -4=0，解得x 1，(负值已舍)∠∠C 'BP =36°，∠BC 'P =72°，∠∠C 'PB =72°，∠BP = C 'A = C 'B 1，∠AP =3∠BP AP == 故选：B ．【点拨】本题考查了正多边的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．A【分析】画出裁切后的矩形，再利用相似求解即可．解：如图所示，四边形ABQN 是裁切后的矩形：∠ABG AHN HEQ ∠=∠=∠，CD QE =，6AB NQ ==∠ABGAHN HEQ ∠,,AH AN AN NH AB AG HQ QE== ∠正方形HFG 的面积是24∠AH AG === ∠4AN =∠NH∠6HQ NQ NH =-=-=解得2CD QE ==故选：A ．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是正确的画出裁切后拼成的矩形．9．C【分析】过点G 作GI ∠AB ，GH ∠ED '，垂足分别为I 、H ，由折叠的性质可得C ′E =5-4=1，在Rt △EFC ′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，再证明△BC′D'∠∠C′GH，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，则HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，从而解决问题．解：由折叠的性质得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，又∠∠DAB=90°，∠四边形ADED'是矩形，∠AD=AD'，∠四边形ADED'是正方形，过点G作GI∠AB，GH∠ED'，垂足分别为I、H，∠AD'ED是正方形，∠AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，∠D'B=EC=8-5=3，在Rt∠C′BD'中，C′D'=4，∠C′E=5-4=1，在Rt∠EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，∠∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，∠∠BC′D'=∠C′GH，又∠∠GHC′=∠BD'C′=90°，∠∠BC′D'∠∠C′GH，∠C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，∠HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，∠C′G=5m=5，∠FG=203；故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．10．B【分析】过点E作EM∠AB于点M，证明∠AED∠∠HMD，可得DH MH DMAD AE DE==，由MH∠DP，可得32AH AMHP DE==，从而可得结论.解：∠∠ADE∠∠DCH∠∠CBG∠∠BAF，∠AE=DH，DE=CH，∠四边形GFEH是正方形，∠EH=EF=HG=GF，∠HF A=45°=∠EHF，∠AP∠HF，∠∠F AH=∠AFH=45°=∠AHE，∠AH=FH，AE=HE，∠AF=2AE，设AE=a，则AF=DE=2a，如图过点H作HM∠AD于M，∠,AD=∠∠DMH=∠AED=90°，∠ADE=∠MDH，∠∠AED∠∠HMD，∠DH MH DM AD AE DE==，∠MH，DM=，∠AM AD DM=-==，∠AD∠CD，∠MH∠DP，∠ 32AH AM HP DE ==， ∠AP =10，∠AH =6，∠EH =GF ，故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．11．【分析】过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，由将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，可得,BD DG BDA EDA =∠=∠，可证AH AG =，由D 为BC 中点，BC =6，可求132BD ED DC BC ====，由S △CDE ＝2710，可求95EF =，在Rt △EDF 中，由勾股定理125DF ，可求FC =35，在Rt △ECF 中，由勾股定理EC ==，可证AHD EFC ∆∆∽，可得AD AH EC EF = ，可求AH =即可解：过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，∠将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，∠,BD DG BDA EDA =∠=∠，∠AD 为∠BDE 的平分线，∠EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，∠AH AG =，∠D 为BC 中点，BC =6，∠132BD ED DC BC ====， ∠S △CDE ＝2710， ∠112732210DCE S DC EF EF ∆=⋅=⨯⨯=， ∠95EF =，在Rt △EDF中，由勾股定理125DF =，∠FC =DC -DF =3-12355=，在Rt △ECF中，由勾股定理EC =∠DE =DC ， ∠DEC DCE ∠=∠，由外角性质，22BDE DEC DCE DCE BDA ∠=∠+∠=∠=∠， ∠DCE BDA ∠=∠，90AHD EFC ∠=∠=︒，∠AHD EFC ∆∆∽，∠AD AHEC EF =95AH=，∠AH =， ∠AG=AH =，．【点拨】本题考查折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用辅助线画出准去图形是解题关键．12．【分析】如图，连接BD ．由∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ，可得AD GC ＝DGCF，推出2=a bb a，可得b a ，在Rt ∠GCF 中，利用勾股定理求出b ，即可解决问题；解：如图，连接BD ．∠四边形ABCD 是矩形，∠∠ADC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ＝∠CG ＝DG ，CF ＝FB ， ∠GF ＝12BD∠AG ∠FG ， ∠∠AGF ＝90°，∠∠DAG +∠AGD ＝90°，∠AGD +∠CGF ＝90°， ∠∠DAG ＝∠CGF ， ∠∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ， ∠AD GC ＝DGCF， ∠2=a b b a， ∠b 2＝2a 2， ∠a ＞0．b ＞0， ∠b，在Rt ∠GCF 中，3a 2＝3， ∠a ＝1，∠AB ＝2b ＝故答案为【点拨】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．∠∠∠【分析】∠利用勾股定理计算出AC的长，进行判断；∠表示出∠OAB的周长即可判断；∠利用图形变形，将BC放在三角形中根据三角形的三边关系进行判断；∠利用三垂直模型及三角形相似求出OA的长即可．解：∠∠A（a，0），OA＝OC，a，∠AC∠C△OAB＝OA+AB+OB＝a∠3﹣a＜∠C△OAB不是一个固定值，故∠错误；∠如图，将∠OBC绕点O顺时针旋转90°，得到∠ODA，则OB＝OD，BC＝AD，∠BOD＝90°，∠BD4，在∠ABD中，AD＞BD﹣AB，当B，A，D三点共线时，AD最短，即BC最短，此时BC＝DA﹣AB＝4﹣3＝1，故∠正确；∠如图，当B，A，D三点共线时，作BE，DF垂直于x轴，垂足为E，F，则∠OEB ＝∠DFO ＝90°，∠1+∠2＝90°，又∠BOD ＝∠2+∠3＝90°， ∠∠1=∠3，又OB ＝OD ，∠∠BOE ∠∠ODF （AAS ），设B （x ，y ），则DF ＝OE ＝x ，OF ＝BE ＝y ，且x 2+y 2＝（）2＝8，由BE ∠x 轴，DF ∠x 轴得BE ∠DF ， ∠∠ADF ∠∠ABE ， ∠=DF ADBE AB，即13x y =，∠y ＝3x ，把y ＝3x 代入x 2+y 2＝（2＝8得， x 2+9x 2＝8，解得x ＝（负值舍去），∠y =由∠ADF ∠∠ABE 得，13AF AD AE AB ==， ∠AE ＝3AF ，即a ﹣x ＝3（y ﹣a ）， a ﹣x ＝3y ﹣3a ，∠a 35544x y +===即OA =故∠正确．故答案为：∠∠∠．【点拨】本题考查勾股定理，相似以及两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．14【分析】分析求OC最小即求AC最小，求AC最小即求AB最小，根据点到直线的距离公式求AB最小，继而代换求出OC最小．解：连接OC，在∠AOC中，OC<OA+AC或OC>AC-OA故求OC最短，即求AC最短由题意知：∠ABC=90 ，BC=2AB且点A(0，1)，设AB=m，BC=2m，AC=根据点到直线的距离可知，m最小= 1255．此时AB∠直线y=12x，点C在直线上作BD∠OA与点D，在∠ABD和∠BOD中(DOB AOBDBO OAB公共角）∠∠DOB∠∠OBA∠12 OD OB BD AB又．【点拨】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形相似的性质，正确掌握点到直线的距离公式及三角形相似的性质是解题的关键．15【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，ABF BHE ∠=∠，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形，又EDC ∆是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，EHD DBC ∠=∠，9045ABF FBD DBC DBC ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 45BHE EHD ∠=︒-∠ABF BHE ∴∠=∠ //AB HE ∴AFB HFE ∠=∠， ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AFEH EF AE AF， 2AE =∴35=AF ∴=，【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．16．(3，32)【分析】过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，通过证明△ADO ∠△CEB ，△ADO ∠△OGC 即可．解：过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，∠四边形BFGE 是矩形，∠ADO =∠CBE =90°， ∠BF =EG ，∠四边形OABC 是矩形， ∠OA =CB ，∠BCO =90°，∠∠AOD =90°-∠COG =∠GCO =90°-∠BCE =∠CBE ， ∠∠ADO ∠∠CEB ，∠ADO ∠∠OGC ， ∠AD =CE ，AD DOOG CG=， ∠点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，∠AD =CE =2，BF =EG =72，CG =EG -CE =72-2=32，∠2132OG =，解得OG =3，故点C 的坐标为(3，32)，故答案为：(3，32)．【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握矩形的性质，三角形的全等与系数是解题的关键．17．2120【分析】过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，利用勾股定理求出BD =5，在根据是矩形ABD 的面积求出AF ，进而可求出 1.8BF B F '==，进而求出BD '，再证明AB F B ED ''△∽△，即有AF B FB D DE''=，DE 可求．解：过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，如图，∠矩形中AB =3，BC =AD =4，∠BAC =90°，∠5BD =， ∠1122ABDAB AD B SD AF ⨯⨯=⨯⨯=， ∠342.45AB AD AF BD ⨯⨯===，∠ 1.8BF =，根据旋转可知：AB AB '=，90ABC AB C '∠=∠=，AD AD ='， ∠AF BD ⊥，∠ 1.8BF B F '==，即 3.6BB BF B F ''=+=， ∠5 3.6 1.4B D BD BB ''=-=-=，根据旋转可知：AB AB '=，AD AD ='，BAB DAD ''∠=∠，∠根据两个等腰三角形中顶角相等，则其底角也相等，即ABD ADD '∠=∠， ∠90ABD ADB ∠+∠=︒，∠90ADB ADD BDD ∠+∠==∠''，∠90AB F DB E ''∠+∠=，90B ED DB E ''∠+∠=， ∠AB F DEB ''∠=∠， ∠90AFB B DE ''∠=∠=， ∠AB F B ED ''△∽△， ∠AF B F B D DE ''=， ∠2.4 1.81.4DE=， ∠2120DE =，故答案为：2120．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出BD '是解答本题的关键．18【分析】过点M 作MN ∠AD 于点N ，根据勾股定理可得DE ＝EF AFGH 是正方形，可得AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1，根据//MN AE ，可得∠DMN ∠∠DEA ，所以MN DN DMAE DA DE==，即12MN DN ==MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ，再根据DN +NH ＝AD ﹣AH ，列式)3213x =-=求出x 的值，进而可以解决问题．解：如图，过点M 作MN ∠AD 于点N ，∠正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点， ∠AD ＝AB ＝2，AE ＝1，∠EAD ＝90°，∠DE EF = ∠四边形AFGH 是正方形，∠AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1， ∠∠AHF ＝∠NHM ＝45°， ∠MN ＝NH ， ∠//MN AE ， ∠∠DMN ∠∠DEA ， ∠MN DN DMAE DA DE ==， ∠12MN DN == 设MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ， ∠DN +NH ＝AD ﹣AH ，∠)3213x =-=∠DM =，∠DM x DE ==【点拨】此题考察了正方形的性质和三角形相似的知识，解决本题的关键是找到相似三角形得出线段之间的关系．19．24【分析】过E 作EF ∠BD 于F ，根据矩形的性质得到∠C =∠ADC =90°，于是得到∠ADB +∠BDC =90°，根据已知条件推出180°-∠AEB =2（90°-∠ADB ），得到∠AEB =2∠EDB ，根据等腰三角形的性质得到BF =12BD ，由平行线的性质得到∠ADB =∠DBC ，等量代换得到∠EBF =∠DBC ，推出∠EBF ∠∠DBC ，根据相似三角形的性质，求得BD =40，由勾股定理即可得到结论．解：过E 作EF BD ⊥于F ，∠四边形ABCD 是矩形，∠90C ADC ∠=∠=︒，∠2BED BDC ∠=∠，∠()180290AEB ADB ︒-∠=︒-∠，∠2AEB EDB ∠=∠，∠,AEB ADB EBD ∠=∠+∠，∠EDB EBD ∠=∠，∠BE DE =， ∠12BF BD =， ∠AD BC ∥，∠ADB DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∽△△，BD BC∠2222253240BD BC BE =⋅=⨯⨯=，∠40BD =，∠24CD ．故答案为：24．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，外角的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．20．（1）证明见解析（2【分析】（1）连接CE ，通过全等三角形的判定，得到Rt △CFE∠Rt △CDE ，进而得出结论；（2）连接BG 、BF 、BD ，作CH∠DF ，垂足为H ．依据△CFG∠∠CBG ，可得GF=GB ，进而得出△GBF 是等腰直角三角形，故BF BG ．再判定△BGA∠∠FBD ，即可得到DF BF AG BG＝解：（1）如图1，连接CE ，∠四边形ABCD 是正方形，∠BC=CD ，∠B=∠D=90°．∠∠PBC 和△FPC 关于PC 对称，∠BC=CF ，∠B=∠PFC=90°．∠∠EFC=90°．∠∠EFC=∠D=90°，CF=CD ．∠CE=CE，∠Rt△EFC∠Rt△DFC（HL）．∠EF=ED．（2）如图2，连接BG、BF、BD，作CH∠DF，垂足为H．∠四边形ABCD是正方形，∠BC=CD．∠CH∠DF，∠∠HCF=12DCF ∠，∠∠PBC和△FPC关于PC对称，∠BC=CF，∠FCG=∠BCG．∠EB∠CG．又∠CG=CG，∠∠CFG∠∠CBG．∠GF=GB．∠∠HCF=12DCF∠，∠FCG=∠BCG=12BCF∠，∠∠HCK=12BCD∠=45°．∠∠PFH=135°．∠∠GFB=45°．∠∠GBF=45°．∠∠GBF是等腰直角三角形．∠BF=．∠∠ABD=45°，∠∠GBA=∠FBD．∠BG BF AB BD=， ∠∠BGA∠∠FBD ．∠DF BF AG BG== 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，全等三角形以及相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例得出结论．21．（1）10cm ；（2）2204=-S t t ；（3）t ＝3或t ＝4011 【分析】（1）在Rt∠CPQ 中，当t=3秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出；（2）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知AC ，BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式CPQ S =12CP×CQ 求解；（3）应分两种情况：当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，根据CP CQ CA CB=，可将时间t 求出；当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，根据CP CQ CB CA =，可求出时间t ．解：由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm ，CQ=2t=6cm ，由勾股定理得10cm =；（2）由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，因此Rt∠CPQ 的面积为S=()21204t 22042t t t -⨯=-；（3）分两种情况：∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，CP CQ CA CB =，即204t 2t 2015-=，解得：t=3秒；∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，CP CQ CB CA=，即204t 2t 1520-=，解得：t=4011秒．因此t=3秒或t=4011秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似【点拨】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．22．（1）见解析；（2；（3）见解析【分析】（1）由矩形的形及已知证得∠EAF∠∠DAB ，则有∠E=∠ADB ，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x ，利用矩形性质知AF∠BC ，则有EA AF EB BC=，进而得到x 的方程，解之即可；（3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明∠EHA∠∠DGA ，得到∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，则证得∠HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，∠∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC ，AD∠BC ，在∠EAF 和∠DAB ， AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAF∠∠DAB(SAS)，∠∠E=∠BDA ，∠∠BDA+∠ABD=90º，∠∠E+∠ABD=90º，∠∠EGB=90º，∠BG∠EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ，∠AF∠BC ，∠E=∠E ，∠∠EAF∠∠EBC ， ∠EA AF EB BC =，又AF=AB=1， ∠11x x x=+即210x x --=，解得：x =x =（舍去）即；（3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ，在∠EAH 和∠DAG ，AE AD HEA GDA EH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAH∠∠DAG(SAS)，∠∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，∠∠EAH+∠DAH=90º，∠∠DAG+∠DAH=90º，∠∠HAG=90º，∠∠GAH 是等腰直角三角形，∠222AH AG GH +=即222AG GH =，，∠GH=EG -EH=EG -DG ，∠EG DG -=．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．23．(1)见解析；(2)38；(3)见解析【分析】(1)由旋转知∠PBQ 为等腰直角三角形，得到PB=QB ，∠PBQ=90°，进而证明∠APB∠∠CQB 即可；(2)设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，又∠ABC 为等腰直角三角形，所以BC=2AC ，，再证明∠BQE∠∠BCQ ，由此求出BE ，进而求出CE:BC 的值；(3)在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，证明∠PFA∠∠QGC ，进而得到PF=QG ，然后再证明∠QGE=∠QEG 即可得到QG=EQ ，进而求解．解：∠四边形ABCD 为正方形，∠AB=BC ，∠ABC=90°，∠BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，∠BP=BQ ，∠PBQ=90°，∠∠ABC -∠PBC=∠PBQ -∠PBC,∠∠ABP=∠CBQ ，在∠APB 和∠CQB 中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB BC ABP CBQ BP QB ，∠∠APB∠∠CQB(SAS)，∠AP=CQ ．(2) 设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，∠ABC 为等腰直角三角形，AC ，在Rt∠PCQ中，由勾股定理有：=PQ ，且∠PBQ 为等腰直角三角形，∠==BQ ，又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∠∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ ，∠∠BQE∠∠BCQ ， ∠=BQ BE BC BQ，x ，∠CE=BC -，∠3:8=CE BC ，故答案为：38．(3) 在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，如图所示：∠∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ ，且截取CG=FA ，故有∠PFA∠∠QGC(SAS)，∠PF=QG ，∠PFA=∠CGQ ，又∠∠DFP=180°-∠PFA ，∠QGE=180°-∠CGQ ，∠∠DFP=∠QGE ，∠DA //BC ，∠∠DFP=∠CEQ ，∠∠QGE=∠CEQ ，∠∠QGE 为等腰三角形，∠GQ=QE ，故PF=QE ．【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE 上截取CG ，并使CG=FA 这条辅助线．24．（1）6；（2）222EF BE FD =+，见解析；（3）2【分析】(1)根据旋转的性质证明∠ABE∠∠ADM 得到BE=DM ，又由∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，证出∠EAM=90°，得出∠MAN=∠EAN ，再证明∠AMN∠∠EAN （SAS ），得出MN=EN 最后证出MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，由勾股定理计算即可得到正方形的边长；(2 )先根据旋转的性质证明∠AEG ∠∠AEF （SAS ），再证明∠GBE=90°，再根据勾股定理即可得到；(3)在AB 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，得到ABQP 为正方形，再根据操作发现以及勾股定理即可得到答案；（1）解：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB=CD=AD ，∠BAD=∠C=∠D=90°，由旋转得：∠ABE∠∠ADM ，∠BE=DM ，∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，∠∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，即∠EAM=90°，∠∠MAN=45°，∠∠EAN=90°-45°=45°，∠∠MAN=∠EAN ，在∠AMN 和∠EAN 中，AM AE MAN EAN AN AN ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝∠∠AMN∠∠EAN （SAS ），∠MN=EN ．∠EN=BE+BN=DM+BN ，∠MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，5MN = ，则BN+DM=5，设正方形ABCD 的边长为x ，则BN=BC -CN=x -3，DM=CD -CM=x -4，∠x -3+x -4=5，解得：x=6，即正方形ABCD 的边长是6；故答案为：6；（2）数量关系为：222EF BE FD =+，证明如下：将∠AFD 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到∠ABG ，连结EG ．由旋转的性质得到：AF=AG ，DAF BAG ∠=∠又∠∠EAF ＝45°，∴904545GAE ∠=︒-︒=︒,且AE=AE ，∠∠AEG ∠∠AEF （SAS ），从而得EG ＝EF ．（全等三角形对应边相等），又∠BN ＝DM ，BN∠DM ，∠四边形DMBN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∠DN∠BM ，∠AND ABM ∠=∠ （两直线平行，同位角相等），∠90AND ADN ∠+∠=︒,∠90ABG ABM ∠+∠=︒（等量替换），即：∠GBE=90°，则222EG BE GB =+，∠222EF BE FD =+；（3）在AD 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，易证ABQP 为正方形，由操作与发现知：PR +BN ＝RN ．设PR ＝x ，则RQ ＝3﹣x ，RN =1+x ，QN =3-1=2在Rt∠QRN 中，由勾股定理得：222RN NQ RQ =+，即222(1)2(3)x x +=+-解得：x ＝32， ∠PR =32∠PQ ∠DC ，∠∠APR ∠∠ADM ， ∠PR AP DM AD= （相似三角形对应边成比例） ∠3234DM = ∠DM ＝2；【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．。

初三数学-相似三角形培优练习题(含答案)

(3题图）EDC B ADBCA NM O相似三角形练习题1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3、如图3，等腰ABC ∆中，底边BC=a ,A ∠=036,ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设512k =，则DE=( ) A 、2K a B 、3K a C 、2akD 、3a k4、如图4，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ) A ．33()22 B ．33(22, C ．13(22, D ．31()226、如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（）y xP (a ，0) N (a +2，0)A (1，-3)（1题图） B (4，-1)O图 4 图 5FED CBA E FADCB7、如图7，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ．2231 C. 2.5 D. 2.3(7题图)8、如图8，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________.9、如图9，已知ABC ∆，延长BC 到D ，使CD=BC 取AB 的中点F,连接FD 交AC 于点E 。

中考数学相似三角形题型训练(含答案)

2020中考数学相似三角形题型训练（含答案）一、选择题1.如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（） A ．先向下平移3格，再向右平移1格 B ．先向下平移2格，再向右平移1格 C ．先向下平移2格，再向右平移2格 D ．先向下平移3格，再向右平移2格2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形4.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（）A ．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm5.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米，AA ′=0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的55DBCA NM O长度BB ′为（）A ．3米B ．0.3米C ．0.03米D ．0.2米6.如图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（）A ．12mB ．10mC ．8mD ．7m7.在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（）A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．４，6 二、填空题1.在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点O 为位似中心，画的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为．2.如图，中，直线交于点交于点交于点若则．3.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三ABC △DEF △22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，ABC △DEF △ABC △A (23)，ABC △A B C '''△ABC △A B C '''△12A 'Rt ABC △90ACB ∠=°，EF BD ∥，AB E ，AC G ，AD F ，13AEG EBCG S S =△四边形，CFAD=AE F D G C B第2题角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是．4.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是．5.如图，两处被池塘隔开，为了测量两处的距离，在外选一适当的点，连接，并分别取线段的中点，测得=20m ，则=__________m ．三、解答题1.如图，在ABC 中，已知DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3，（1）求的值，（2）求BC 的长2.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．AB 、A B 、ABC AC BC 、AC BC 、E F 、EF ABD ADABC第5题图E（第4题图）A B ′FBA BDE3.如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值．4.如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝AF ＝3，求FG 的长．Rt ABC △90BAC ∠=°AD BC ⊥D O AC BO AD F OE OB ⊥BC E ABF COE △∽△O AC 2AC AB =OFOE O AC AC n AB =OFOEBBAA COE D DEO F图1图2F ABMFGDEC第4题图5.如图，⊙中，弦相交于的中点，连接并延长至点，使，连接BC 、．（1）求证：；（2）当时，求的值6.如图，梯形ABCD 中，，点在上，连与的延长线交于点G ．（1）求证：；（2）当点F 是BC的中点时，过F 作交于点，若，求的长．O AB CD 、AB E AD F DF AD =BF CBE AFB △∽△58BE FB =CBADAB CD ∥F BC DF AB CDF BGF △∽△EF CD ∥AD E 6cm 4cm AB EF ==，CD 第5题图FB DC F E ABG6题【参考答案】选择题 1. D 2. B 3. C 4. A5. B6. A7. A 填空题 1. （4，6） 2.3. 1444.或2; 5. 40 解答题1. 解：（1）∵∴ ∴（2）∵，所以∴∵∴1271248AD DB ==，4812AB AD DB =+=+=41123AD AB ==DE BC ∥ADE ABC △∽△DE ADBC AB=3DE =313BC =∴2. △ABE 与△ADC 相似．理由如下：在△ABE 与△ADC 中∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE =90o ， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的高， ∴∠ADC =90o ， ∴∠ABE =∠ADC ．又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA =∠DCA ． ∴△ABE ～△ADC ．3. 解：（1），．．，，．；（2）解法一：作，交的延长线于．，是边的中点，．由（1）有，，．，，又，．，．，，，，． 9BC =AD BC ⊥90DAC C ∴∠+∠=°90BAC BAF C ∠=∴∠=∠ °，90OE OB BOA COE ∴∠+∠= ⊥，°90BOA ABF ∠+∠= °ABF COE ∴∠=∠ABF COE ∴△∽△OG AC ⊥AD G 2AC AB = O AC AB OC OA ∴==ABF COE △∽△ABF COE ∴△≌△BF OE ∴=90BAD DAC ∠+∠= °90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，90BAC AOG ∠=∠=°AB OA =ABC OAG ∴△≌△2OG AC AB ∴==OG OA ⊥AB OG ∴∥ABF GOF ∴△∽△OF OG BF AB ∴=2OF OF OGOE BF AB===BADE OF G解法二：于，．．设，则，．，．由（1）知，设，，．在中，．．（3）． 4. （1）证：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可）以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ∴△AMF ∽△BGM ．（2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝又∵AMF ∽△BGM ，∴902BAC AC AB AD BC ∠== °，，⊥D Rt Rt BAD BCA ∴△∽△2AD ACBD AB ∴==1AB =2AC BC BO ===，12AD BD AD ∴===90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴ °，△∽△BD BO DF OE∴=BF OE =OE BF x ===x ∴=DFB △2211510x x =+x ∴=OF OB BF ∴=-==2OF OE ∴==OFn OE=AF BMAM BG=BADE OF∴ 又，∴， ∴5. （1）证明：是的中位线，又（2）解：由（1）知，又． 6. （1）证明：∵梯形，， ∴， ∴．（2）由（1），又是的中点， ∴， ∴ 又∵，，∴，得．83AM BM BG AF === 454AC BC ===84433CG =-=431CF =-=53FG ===,,AE EB AD DF == ED ∴ABF △ED ∴,BF ∥,CEB ABF ∴∠=∠,C A ∠=∠,CBE AFB ∴△∽△CBE AFB △∽△,5.8CB BE AF FB ∴==2,AF AD =54CB AD ∴=ABCD AB CD ∥CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，CDF BGF △∽△CDF BGF △∽△F BC BF FC =CDF BGF △≌△DF FG CD BG ==，EF CD ∥AB CD ∥EF AG ∥2EF BG AB BG ==+D C F E ABG6题图∴， ∴．22462BG EF AB =-=⨯-=2cm CD BG ==。

九年级数学相似三角形(压轴必刷30题专项训练)(解析版)

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为　12n +1　．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是　2或23　．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是　34　．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。

苏科版九年级数学下册6-5相似三角形的性质专题培优训练【含答案】

6.5 相似三角形的性质一、选择题1.若△ABC∽△DEF,它们的相似比为4∶1,则△ABC与△DEF的周长比为()A.2∶1B.4∶1C.8∶1D.16∶12.若矩形ABCD∽矩形EFGH,相似比为2∶3,已知AB=3 cm,BC=5 cm,则矩形EFGH的周长是()A.16 cmB.12 cmC.24 cmD.36 cm3.已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为()A.3B.2C.4D.54.若两个相似三角形的周长比为1∶3,则它们的面积比为()A.1∶9B.1∶6C.1∶3D.6∶15.若两个相似六边形一组对应边的长分别为3 cm,4 cm,且它们面积的差为28 cm2,则较大的六边形的面积为()A.44.8 cm2B.45 cm2C.64 cm2D.54 cm26 若△ABC∽△DEF,且对应高线的比为4∶9,则△ABC与△DEF的相似比为()A.2∶3B.3∶2C.4∶9D.16∶817 已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.若AD=10,A'D'=6,则△ABC 与△A'B'C'的周长比是()A.3∶5B.9∶25C.5∶3D.25∶98.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,DE∥BC,四边形DECB与△ABC的面积的比为1∶4,则AD的值等于()ABA.1∶2B.1∶4C.√3∶2D.3∶49 如图,在△ABC中,E,G分别是AB,AC上的点,∠AEG=∠C,∠BAC的平分线AD交BC于点D,交EG于点F.若AFDF =32,则()A.=AEBE 35B.=EFFG23C.=EFCD35D.=EGBC2310.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影三角形的面积为9.若AA'=1,则A'D的长为()A.2B.3C.4D.32二、填空题11 如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为.12 如图,已知点F是△ABC的重心,连接BF并延长,交AC于点E,过点F作FG∥BC,交AC于点G.设△EFG,四边形FBCG的面积分别为S1,S2,则S1∶S2=.三、解答题13.如图,D,E分别在AB,AC上,∠AED=∠B,AB=6,BC=5,AE=4.(1)求DE的长;(2)若四边形BCED的面积为6,求△ABC的面积.14 如图,△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.求证:AD∶A'D'=AB∶A'B'.15.如图,已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的点P 处.已知折痕与边BC交于点O.(1)求证:△OCP∽△PDA;(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4,求边AB的长.16.已知锐角三角形ABC中,边BC的长为12,高AD的长为8.(1)如图6-5-9,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E,F分别在AB,AC边上,EF交AD于点K.的值;①求EFAK②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求S的最大值.(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点M,N在△ABC的一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.答案1.B2.C3.A4.A5.C6.C6.C7.C8.C9.C 10.B 11.3a 12. 1∶8 .13.解:(1)∵∠AED=∠B ,∠A=∠A , ∴△AED ∽△ABC ,∴AE AB =DEBC,∴46=DE 5,∴DE=103. (2)∵△AED ∽△ABC ,∴S △AEDS △ABC=S △ABC -S 四边形BCEDS △ABC=AE AB2, 即S △ABC -6S △ABC=462,解得S △ABC =545,即△ABC 的面积为545.14.证明:∵AD ,A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线, ∴BD=12BC ,B'D'=12B'C'. ∵△ABC ∽△A'B'C',∴∠B=∠B',ABA 'B '=BCB 'C '=2BD2B 'D '=BDB 'D ', ∴△ABD ∽△A'B'D', ∴AD ∶A'D'=AB ∶A'B'.15.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠B=∠C=∠D=90°, ∴∠CPO+∠COP=90°.由折叠的性质可得∠APO=∠B=90°, ∴∠CPO+∠DP A=90°,∴∠COP=∠DP A , ∴△OCP ∽△PDA.(2)∵△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4,△OCP ∽△PDA , ∴OP PA =PCAD=√14=12,∴P A=2OP ,AD=2PC. ∵AD=8,∴PC=4.由折叠的性质可得OP=OB ,P A=AB. 设OP=x ,则OB=x ,CO=8-x. 在△PCO 中,∵∠C=90°,PC=4,OP=x ,CO=8-x , ∴OP 2=CO 2+PC 2,即x 2=(8-x )2+42, 解得x=5,则OP=5, ∴AB=P A=2OP=10.16.解:(1)①∵四边形EFGH 为矩形,∴EF ∥BC ,∴△AEF ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ,EF ∥BC ,∴AK ⊥EF , ∴AK AD =EFBC,∴EFAK =BCAD=128=32.②∵EH=x ,∴KD=x , ∴AK=AD -KD=8-x. 由(1)知EF=32AK=32(8-x ),∴S=EH ·EF=-32x 2+12x=-32(x -4)2+24(0<x<8),∴当x=4时,S 最大值=24.(2)①当正方形PQMN 的两个顶点M ,N 在BC 边上,点P 在AB 边上,点Q 在AC 边上时,设PQ 交AD 于点K ,如图①. 设正方形PQMN 的边长为m , 则KD=PN=m ,AK=AD -KD=8-m. ∵PQ ∥BC ,∴△APQ ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ,PQ ∥BC ,∴AK ⊥PQ , ∴AK AD =PQBC ,即8-m 8=m 12,解得m=245.②当正方形PQMN 的两个顶点M ,N 在AB 边上,点P 在AC 边上,点Q 在BC 边上时,过点C 作AB 边上的高CI 交PQ 于点E ,如图②. ∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=12BC=6.由勾股定理,得AB=√BD 2+AD 2=√62+82=10. ∵S △ABC =12AD ·BC=12CI ·AB , ∴CI=AD ·BC AB =9.6.设正方形PQMN 的边长为n , 则EI=PN=n ,CE=CI -EI=9.6-n. ∵PQ ∥AB ,∴△PQC ∽△ABC. ∵CI ⊥AB ,PQ ∥AB ,∴CE ⊥PQ , ∴CE CI =PQAB ,即9.6-n 9.6=n 10,解得n=24049.综上所述,正方形PQMN 的边长为245或24049.。

相似三角形专题练习(培优)附答案

相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

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初三数学提高训练（第15周）
一、选择题:
1、△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为2︰3；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为5︰4则△ABC ∽△A 2B 2C 2相似比为（） A ．
B ．
C ．
D ．
2、如图所示，点E 是ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有（） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对
3、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）
A ．1个
B ．2个
C ．2个以上
D ．有无数个
4、如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
5、将一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点的连线对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形
的长和宽的比应为（）
A ．2：1
B ．1:3
C ．1:2
D ．1：1
6、如图所示，给出下列条件：①B A C D ∠=∠；②A D C A C B ∠=∠；③
A C A
B
C D
B C
=；
④2AC AD AB = ．其中单独能够判定A B C A C D △∽△的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7、如图，在R t ABC △中，90AC B ∠=°，3BC =，4A C =，AB 的垂直平分线D E 交B C 的延
长线于点E ，则C E 的长为（） A ．32 B ．76 C ．25
6
D ．2
8、如图，AB 是O ⊙的直径，A D 是O ⊙的切线，点C 在O ⊙上，BC O D ∥，23AB OD ==，,则B C 的长为（） A ．
23
B ．
32
C ．
32
D ．
22
二、填空题：
1、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，添加条件，可判定△ADB 与△ABC 相似。

2、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形是。

3、如图，DE ∥BC ，AD ∶DB= 2 ∶3 ，则DE ∶ BC= 。

4、如图，在□ABCD 中，点E 在DC 上，若EC ︰AB =2︰3，4
=EF ，则BF = .
5、如图，A B C △与A E F △中，A B A E B C E F B E A ==
∠
=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论：①
A F C C ∠=∠；②D F C F =；③A D E F D
B △∽△
；④B F D C A F ∠=∠．
其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．
A
C
D B
E
6、如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD= _________ ．
7、如图，E 是□ABCD 的边CD 上一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，
且AD ＝4， CE AB ＝ 1 3
，则CF 的长为．
8、在△ABC 中，AB=6，AC=4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A 、
P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 9、如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ＝7，AD ＝2，BC=3，若在 AB 上取一点P ，使以P 、A 、 D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，这样的P 点有个。

三、解答题：
1、如图，在ABC 中,AD=DB,∠1=∠2,试说明△ABC ∽△EAD 。

2、如图，∠ACB ＝∠ADC ＝900，AC ＝6，AD ＝2。

问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？
3、如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，求证：AB ·DF=AC ·EF 。

4、如图在△ABC 中，∠
C=90°
，
BC=8cm
，
AC=6cm ，点Q 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动，点P 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动．若Q 、P 分别同时从B 、C 出发，试探究经过多少秒后，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△CBA 相似？
D
C B
A。