1多元函数的基本概念

3
3
k x kx lim 6 , 2 2 6 x 0 x k x 1 k 3
3 3 y kx
故极限不存在． 其值随k的不同而变化，
确定极限不存在的方法：
(1) 令点 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) , 若 极限值与 k 有关, 则 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在; (2) 找出两种不同趋近方式, 使 lim f ( x , y )
由常数, 不同自变量的一元基本初等函 数经过有限次四则运算及复合运算得到的, 能用一个式子表示的多元函数都是多元初 等函数. 结论: 一切多元初等函数在定义区域 内连续. ② 闭区域上连续函数一定可以取到最大值 和最小值.
例. 求函数 f ( x, y ) 的连续域.
2 2
arcsin(3 x y ) x y
第一节
多元函数的基本概念
一、二元函数的定义
二、二元函数的极限
三、二元函数的连续
一、二元函数的定义
定义10-1 设D是平面上一个非空点集, f 是 一个对应的法则, 如果对每个点(x, y)∈D, 都可由对应法则f 得到唯一的实数z与之对 应, 则称z是变量x, y的二元函数, 记为
z f ( x, y)
定义域为 ( x, y ) R 2 图形为
x
y
例10-3 求函数 z arcsin(x y) 的定义域并画出图形． 解: 要使函数有意义, 应有 x y 1, 即
1 x y 1,
定义域为无界闭区域:
D {( x, y) | 1 x y 1}
二、二元函数的极限
由夹逼准则得
f (0,0)
故函数在全平面连续.
3. 求
1 2 2 2 2 2 2 , x y ( x y ) 令r x y , 解: 因 4 2 4 (1 cos r ) 则 6 r
2 2
4(1 cos r ) 2r 而 lim lim 6 6 r 0 r 0 r r 2 r 2 2
P0ห้องสมุดไป่ตู้
x
sin( x y ) 例10-5 求极限 lim 2 2 x0 x y y0
2 2 sin( x 2 y ) sin( x y ) x y 2 , 解: lim 2 2 lim 2 2 x0 x y x 0 x y x y y0
2
sin u sin( x y ) u x y lim 其中 lim =1, 2 u 0 u x0 x y y0
邻域: 设(x0, y0)是xOy面上的一点, 以(x0, y0) 为圆心, 以δ为半径的开圆域: { (x, y)| (x-x0)2+(y-y0)2<δ2,δ>0 } 称为点(x0, y0)的δ邻域.
定义10-2 若函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义(点 P0 可以除外), 如果 当点 P( x, y ) 沿任意路径趋于点 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 f ( x, y ) 总无限趋近于一个常数 A, 则称A为函数 z f ( x, y ) 当 ( x, y ) ( x0 , y 0 ) 时的极限, 记为
2. 二元函数 z = f (x, y), (x, y)D的图形在空 间是一个曲面; 2 2 的定义域为 例如, 二元函数 z 1 x y 圆域 ( x, y ) x y 1
2 2
z
函数图形为中心在原点的 上半球面.
o
x
z
1 y
又如, z sin( x y ) ,
z ( x0 , y 0 )
2
例. 设 z f ( x, y ) ln e x sin( y x), 求 f (0, ), f ( y, x)
1 1 2 解: f (0, ) ln e 0 sin( 0) 1 2 2 2 2
2
f ( y, x) ln e y sin(x y )
2
2
y0
x2 y 1 x 0 0, 而 2 2 x x y 2
sin( x y ) lim 2 0. 2 x0 x y y0
2
x y 例10-6 证明 lim 6 2 不存在． x0 x y y0
证: 令 y kx , 3 x y lim 6 2 x0 x y y0
2
2
2
解:
3 x y 1
y
x y 0
2
o
2 2
2
2 2
x
2 x y 4
x y
练习题: 1. 求
( x , y ) (0,0)
lim
x y 1 1 . xy
解:原式

( x , y )(0,0)
lim
1 1 xy 1 1 2
2. 证明 在全平面上连续. 证: 故连续. xy 又0 2 2 x y 为初等函数,
其中x, y 称为自变量, z 称为因变量. D称为 对应的函数值的集合 函数f(x, y)的定义域． Z={ z| z=f(x, y), (x, y)∈D } 称为函数f(x, y)的值域．
二元函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处的函数值记 为
f ( x0 , y0 ), z
x x0 , y y0
第十章 多元函数微分学
引例1 圆柱体的体积V和它的底半径r, 高h 之间的关系为 V r 2 h , 其中V, r, h是三个 变量, 当变量r, h 在一定范围内(r>0, h>0) 取 定一对数值 r0 , h0 时, 根据给定的关系, V就有 2 就有一个确定的值 V0 r0 h0 与之对应. 引例2 电路中电流强度I, 电压V和电阻R之 间满足关系 I=V/R, 其中I, V, R是三个变量, 当变量V, R在一定范围内(V>0, R>0) 取定一 一对数值 V0 , R0 时, 根据给定的关系, I就有一 个确定的值I0=V0/R0与之对应．
例10-8 函数
在圆周
x y 1 上间断.
x y 例10-9 求 lim x 2 xy y 3
2
2
x y 解: 因函数 f ( x, y) 是初等函数, 且点 xy (2,3)在该函数的定义域内, 故
x y 5 lim f (2,3) x2 xy 6 y 3
二元函数连续的性质: ① 多元初等函数的连续性
0 y y0
则称函数 f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处连续. 若函数 z f ( x, y)在区域D内每一点都 连续, 则称 f ( x, y ) 在D内连续. 若函数 z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 ) 不连续, 则称点 P0 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 的间断点.
故
2
4
r4 cos r 1 2 sin ( ) ~ 1 2 2
4. 设
解: 令
求
y u ,v x
y f ( , x y) x
2
2
xy
y 2 2y x
2
练习一 (p249)
全部做于书上, 不交作业.
2
说明: 1. 二元函数的定义域是一个平面区域; 围成平面区域的边界曲线称为区域的边界; 包含边界的区域称为闭区域; 不包含 边界的区域称为开区域; 包含部分边界的 区域称为半开区域; 如果一个区域总可以被包含在一个以 原点为圆心的圆域内部, 则称此区域为有 y 界区域; 否则为无界区域. 2 2 如:{( x , y ) | 1 x y 4}. x o 开区域
x x0 y y0
存在, 但两者不相等, 则此时 f ( x , y )在点 P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在．
三、二元函数的连续
定义10-3 设函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的
f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 某一邻域内有定义. 若 xlim x
x x0 y y0
P P0
lim f ( x, y) A
或 lim f ( P ) A
说明： (1) 定义中 PP0 的方式可能是多种多样的, 方向可能任意多, 路径可以千姿百态, 极限 存在是指当动点从四面八方以所有可能的 方式和路径趋于定点时 , 函数都趋于同一常数 . (2) 二元函数的极限运 y 算法则与一元函数类似 如局部有界性, 局部保 号性, 夹逼准则, 无穷小, o 等价无穷小代换等.