概率与统计大题练习(含参考答案)

概率与统计大题练习一、解答题1.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召,某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高,根据以往的经验,随着温度的升高,其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数:经计算:1266i i x x ===∑1,336i i y y ===∑, 1()()557i i i x x y y =--=∑, 21()84i i x x =-=∑ ,621()3930ii yy =-=∑,621()23.6ˆ64i i y y=-=∑ ,8.0605e 3167≈其中,i i x y 分别为试验数据中的温度和死亡株数, 1,2,3,4,5,6i =1.若用线性回归模型,求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+ (结果精确到0.1);2.若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为0.23030.06ˆx ye =,且相关指数为20.9522R =. (i)试与1中的回归模型相比,用2R 说明哪种模型的拟合效果更好;(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数(结果取整数). 附:对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v c,其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:121()(),()ˆˆˆnii i nii uu v v av u uu ββ==--==--∑∑;相关指数为: 22121(ˆ()1)niii niii v vR v v ==-=--∑∑2.交通安全法有规定:机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过马路,应当避让:我们将符合这条规定的称为"礼让斑马线",不符合这条规定的称为"不礼让斑马线".下表是大庆市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员"不礼让斑马线"行为的统计数据:, (2)求"不礼让斑马线"的驾驶员人数y 关于月份x 之间的线性回归方程(3)若从4,5月份"不礼让斑马线"的驾驶员中分别选取4人和2人,再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查,求抽取的2人分别来自两个月份的概率;参考公式:线性回归方程:ˆˆˆybx a =+,其中()()()1122211ˆˆˆ,nnii i ii i nni ii i xx y y x ynxy b ay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑, 相关系数()()nii xx y y r --=∑.3.经观测,某昆虫的产卵数y 与温度x 有关,现将收集到的温度i x 和产卵数()1,2,,10i y i =⋯的10表中11ln ,10i i i z y z z ===∑,1.根据散点图判断, y a bx =+,y a =+21c x y c e = 哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型?(给出判断即可,不必说明理由) 2.根据1的判断结果及表中数据. ①试求y 关于x 回归方程;②已知用人工培养该昆虫的成本()h x 与温度x 和产卵数y 的关系为 2.4170h x x lny =-+（）（）,当温度x (x 取整数)为何值时,培养成本的预报值最小?附:对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v ⋯,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121,nii i nii uu v vv uuuβαβ==--==--∑∑4.某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为3.2.根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;3.若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人;把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.参考公式与临界值表:22()n ad bcK-=.5. 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75~微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标,某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)1.从这15天的2.5PM 日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率; 2.从这15天的数据中任取三天数据,记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标天数,求ξ的分布列;3.以这15天的 2.5PM 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级6.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100]后得到如下频率分布直方图.1.根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）2.用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则[70,80),分数段抽取的人数是多少？7.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位: cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ.(1)假设生产正态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件数,求()1P X ≥及X 的数学期望.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性; ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:0.212=,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸, 1,2,,16i =⋯.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除()3,ˆˆˆ3ˆμσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ (精确到0.01). 附:若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ,则()16330.9974,0.99740.09p Z μσμσ-<<+=≈≈8、甲、乙二人用 张扑克牌(分别是红桃 、红桃 、红桃 、方片 )玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.1.设 表示甲、乙抽到的牌的数字组成的数组,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况;2.若甲抽到红桃 ,则乙抽到的牌的数字比 大的概率是多少?3.甲、乙约定:若甲抽到的牌的数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平,说明你的理由.9.在6(13)x -的展开式中，（1）求展开式中各项的二项式系数和；（2）求第4项的二项式系数和第4项的系数．（3）设6234560123456(13)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，求123456a a a a a a +++++的值．10.已知()*22n n N x ⎫∈⎪⎭的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含32x 的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．11.有3名男生.4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. ①选其中5人排成一排；②排成前后两排，前排3人，后排4人； ③全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； ④全体排成一排，女生必须站在一起； ⑤全体排成一排，男生互不相邻；⑥全体排成一排，甲.乙两人中间恰好有3人； ⑦全体排成一排，甲必须排在乙前面；⑧全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端.12.用()*3,N n n n ≥∈种不同的颜色给如图所示的,,,A B C D 四个区域涂色,要求相邻区域不能用同一种颜色.1.当6n =时,图①、图②各有多少种不同的涂色方案?2.若图③有180种不同的涂色方案,求n 的值.参考答案1.答案：1.解:由题意得, ()()()1215576.638ˆ4niii n i i x x yy bx x ==--==≈-∑∑ ∴33 6.63263.ˆ194a=-⨯=- ∴y 关于x 的线性回归方程为: 6.6394ˆ1.yx =- 2.(i)线性回归方程 6.6386ˆ1.yx =-对应的相关系数为: ()()6221621236.641110.06020.93983930ii i iii y y R yy ==-=-=-≈-=-∑∑, 因为0.93980.9522<比线性回归方程 6.6386ˆ1.yx =-拟合效果更好. (ii)由(i)知,当温度35x =︒时, 0.2303358.06050.06e 0.06e 0.0631769ˆ10y ⨯==≈⨯≈,即当温度为35C 时该批紫甘薯死亡株数为1902.答案：(1)依题意513,100,1420i i i x y x y ====∑,()()5521155,80ii i i i x x x y y ===--=-∑∑,()()5522117500i i i i x x y y ==--=∑∑,计算()()0.921nii xx y y r --==≈-∑具有很强的线性相关关系.(2)1221142053100ˆ85559ni ii nii x ynxybxnx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑,ˆ100(8)3124a y bx=-=--⨯=, 所以y 关于月份x 之间的线性回归方程为8124y x =-+.(3) 从4月份选取的4人分别记为1234,,,a a a a 从5月份选取的2人分别记为12,B B 从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有{}{}{}{}{}{}121314111223,,,,,,,,,,,a a a a a a a B a B a a ,{}{}{}{}{}{}{}{}{}242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a B a B a a a B a B a B a B B B共15个, 其中"抽取的2人分别来自两个月份"包含的基本事件为{}{}{}{}{}{}111221223132,,,,,,,,,,,a B a B a B a B a B a B ,{}{}4142,,,a B a B 共8个,设抽取的2人分别来自两个月份为事件A ,则8()15P A =.3.答案：1.根据散点图判断,看出样本点分布在一条指数函数的周围,所以21c xy c e=适宜作为y 与x 之间的回归方程模型2.①令ln z y =,则21ln z c x c =+, ()()()101210213011505iii ii x x zzc x x ==--===-∑∑, 12ln 3.33c z c x =-=-,13.3375z x ∴=-13.335x zy e e-∴==②()()211ln 2.4170 3.33 2.4170 5.7317055h x x y x x x x ⎛⎫=-+=--+=-+⎪⎝⎭5.7314125x ∴=≈⨯时,培养成本的预报值最小2.根据列联表中的数据,得到22110(10302050)7.48710.82860503080K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. 因此按99.9%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”.3.设“抽到9或10号”为事件A ,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(),,x y所有的基本事件有()()()():1,1,1,2,1,3,,6,6,⋯共36个.事件A 包含的基本事件有()()()()()()():3,6,4,5,5,4,6,3,5,5,4,6,6,4,共7个.∴7()36P A =,即抽到9号或10号的概率为736. 5.答案：1.记“从15天的 2.5PM 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A ,1251031545()91C C P A C ⋅==. 2.依据条件, ξ服从超几何分布:其中15,5,3N M n ===,ξ的可能值为0,1,2,3,其分布列为:()()351030,1,2,3k kC C P k k C ξ-===3. 依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为102153P ==, 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η,则2(360,)3nB23602403E η∴=⨯=,一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级 6.答案：1.由图可知众数为75，当分数70.3x <时对应的频率为0.5，所以中位数为70.3，平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2.67.答案：(1)抽取的一个零件的尺寸在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974, 从而零件的尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率为0.0026, 故()16,0.0026X B ~,因此()()1611010.99740.0408P X P X ≥=-==-≈,X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件的概韦只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检査,可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由9.97,0.212x s =≈,得μ的估计值为ˆ9.97μ=,σ的估计值为0.212σ∧=,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在()3,ˆˆˆ3ˆμσμσ-+之外,因此需对当天的生产过程进行检査. 剔除()3,ˆˆˆ3ˆμσμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的平均数为()1169.979.2210.0215⨯-= 因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑剔除162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑之外的数据9.22.剩下数据的样本方差为()221159.1349.221510.020.00815--⨯≈. 因此σ0.09≈. 8. 答案：（1）共12种不同的情况。