夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究

姓名：程佳丽 学号：200807034129 专业：物理学（师范）——夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究（Research Of Fraunhofer Single Slot Diffraction Of LightIntensity Distribution）姓名：程佳丽专业：物理学（师范）班级：08级物教班摘要：我们在光学中学习了有关夫琅禾费单缝衍射和圆孔衍射的内容，本文主要是对夫琅禾费单缝衍射光强的计算公式进行数学推导以及拓展，并且根据推导的数学公式对夫琅禾费单缝衍射光强分布情况进行讨论，对夫琅禾费单缝衍射的特点进行分析介绍。

关键词：夫琅禾费单缝衍射（Fraunhofer single slot diffraction）、光强（Light intensity）、光强分布（Light intensity distribution）、最大值（Maximum）引言：光的衍射是光的波动性的重要现象之一。

衍射现象即波在传播过程中不沿直线传播，而是向各方向绕射的现象。

而光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，称为光的衍射。

在衍射现象中，把平行光束的衍射现象，称为夫琅禾费衍射。

夫琅禾费衍射在光学研究中有着重要意义，它主要包括单缝衍射、圆孔衍射。

这里我重点介绍夫琅禾费单缝衍射的光强分布特点。

一、夫琅禾费单缝衍射实验装置与衍射图样的特点。

所谓夫琅禾费衍射是指光源、衍射屏和观察屏三者之间都是相距无限远的衍射情况。

即相当于入射光和衍射光都是平行的情况。

在这种情况下计算衍射花样中光强的分布时，数学运算就比较简单。

所谓光源在无限远，实际上就是把光源置于第一个透镜的焦平面上，使之成为平行光束；所谓观察角在无限远，实际上是在第二个透镜的焦平面上观察衍射花样。

由于透镜的会聚，衍射花样的光强将比菲涅耳衍射花样的光强大大增加。

夫琅禾费单缝衍射包含着衍射现象的许多主要特征。

夫琅禾费单缝衍射光路图如下图所示：夫琅禾费单缝衍射图样的主要特点如下：（1）中央有一条特别明亮的亮条纹，其宽度是其他亮条纹的两倍；其他亮条纹的宽度相等，亮度逐渐下降。

（2）单缝越小，条纹越宽（即衍射越厉害）。

（3）波长λ越大，条纹越宽。

二、夫琅禾费单缝衍射强度的数学推导。

现在用惠更斯—菲涅尔原理来解释上述现象。

图二为上图装置的右半部。

平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝平面重合（垂直于图面）。

将缝分为一组平行于缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波的振幅正比于窄带的宽度dx 。

设光波的初相位为0，单缝的宽度AB=b ，0A 为整个狭缝所发出的次波在θ=0的方向上的合振幅。

则狭缝各处窄带所发次波的振动可表示为：d 0E =0dxbA cos ωt ……………… ⑴在图二中，MN 为衍射角等于θ的任一条光线。

令AM=x ，则MN=x sin θ，这就分别从M 和A 两点发出的次波沿与MN 平行的方向到达平面AC 时的光程差。

于是由惠更斯—菲涅尔衍射积分式： d cos rsK E E C θω==⎰⎰（）A （Q ）（kr-t ）dS …… ⑵ 得沿着MN 方向传播的次波，在到达N 点时，光振动应表示为：0cos sin A dx dE t b θω=-（kx ） （其中k=2πλ是波数） …… ⑶ 或 2sin 0i t A dx dE e b πθωλ-=（x ） ………… ⑷其复振幅为 2sin 0i x A dx dE e bπθλ= ………… ⑸ 如果从N 到P 的光程为∆，那么P 点的振动可表示为：0sin AdE bθω=+∆（dx ）cos[k （x ）-t] …… ⑹用复数表达则为： sin 0ikx ik i t A dE e e e bθω∆-=dx ………… ⑺ 从狭缝平面所有各点出发的次波到达P 点并叠加，由⑵式得合振动即取决于⑺从x=0到x=b 的积分 s i n 00b i k iti k xA E d E ee e d x bωθ∆-==⎰⎰ …… ⑻因从AC 平面上各点到达P 点的光程∆都相等且与x 无关，又因i t e ω-也是常量，故⑻式中ik e ∆和i t e ω-可提到积分号前面。

一般来说，光程∆是衍射角θ的函数，但因缝很窄，可以近似认为无论沿哪个方向传播的次波，到达P 点都有相同的振幅，即∆与θ近似无关。

这样sin sin 000sin bikx ikb A b A e dx e ik θθθ=⎰（-1）=sin 20sin 2b i A e b iπθλπθλ（-1）=sin sin sin 0sin 2b b b iiie ee A b iπθπθπθλλλπθλ--⋅⑼应用欧拉公式 s i n 2i u i ue e u i --= 其中sin b u πθλ=最后得合振动（未乘ik e ∆因子）为：sin 0sin sin b ii t b E A e eπθωλπθλπθλ-=⋅⋅（） =sin sin sin sin b i t b A e b πθωπθλπθλ-⋅⋅（）（） ⑽ 复数因子sin b it eπθωλ-（）表示合振动的相位。

它虽然随θ而变，但与光强的分布无关，衍射图样只取决于合振幅。

最后可得衍射角为θ的所有次波在观察点P 叠加起来的合振幅：000sin sin sin sin sin p b u A A A A c u b u πθλπθλ===（）…… ⑾令(sin )/u b πθλ=，故P 点的光强为22002sin sin p uI I I c u u== ………… ⑿ 此式即为夫琅禾费单缝衍射光强分布公式。

三、夫琅禾费单缝衍射图样的光强分布。

当光屏放置在透镜2L 的焦平面上时，屏上出现衍射图样，光屏的分布可由⑿式决定。

首先来决定衍射图样中光强最大值和最小值的位置。

即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：223sin 2sin cos sin 0d u u u u du u u -=（u ）（）=由此得 s i n 0u =，tan u u = …………………… ⒀ 分别解以上两式，可得出所有的极值点。

1、单缝衍射中央最大值的位置由sin 0u =，解得满足00sin u πθλ=（b ）的那个方向，即0sin 0θ=（中央最大值的位置） …… ⒁也就是在焦点0P 处，020P I A =，光强为最大。

2、单缝衍射最小值的位置由sin 0u =，解得满足sin k k u b k πθλπ==的一些衍射方向，即sin k kbλθ= （12k =±±±，，3，…）（最小值位置） …… ⒂时，P A 为零，屏上这些点是暗的。

3、单缝衍射次最大的位置在每两个相邻最小值之间有一最大值，这些最大值的位置可有超越方程u=tanu 解得。

我们可以用图解法求得u 的值。

如下图，作直线y=u 和正切曲线y=tanu ，两者交点就是这个超越方程的解：0u =，1 1.43u π=±，2 2.46u π=±，3 3.47u π=±，4 4.48u π=±，…由此可得分列于中央主最大两边的其他最大值（称为次最大）的位置为：1020300003sin 1.4325sin 2.4627sin 3.4721sin k 2k 12k b b b b b b b λλθλλθλλθλθ⎫=±≈±⎪⎪⎪=±≈±⎪⎪⎪=±≈±⎬⎪⎪⎪⎪≈±⎪⎪=⎭…………（+）（，，…） …………………… ⒃把这些θ值代入⑿式，便可得各级次最大值的相对光强。

四、夫琅禾费单缝衍射图样的光强分布特点。

1、各级最大值的光强不相等，随着级数k 的增大而很快地减小。

中央最大值的光强最大，次最大值都远小于中央最大值，即1000.05I I <。

2、规定亮条纹到透镜中心所长的角称为角宽度。

在近轴条件下，θ很小，sin θθ≈，由暗纹的角位置公式sin k k b λθ=，中央亮条纹在bλθ=±之间，其半角宽度可近似地写为： b λθ∆= ………………… ⒄若透镜2L 的焦距为'2f ，则光屏上所得中央亮条纹的线宽度为：''222l f f bλθ∆=∆（2）= ……………… ⒅ 而次最大亮纹的角宽度为： k b b bλλλθ∆=-=（k+1） ……………… ⒆ 由此可见，中央亮条纹的角宽度是其他亮条纹的2倍。

3、最小值处形成的每一侧的暗纹是等间距的，而次最大值彼此则是不等间距的。

4、若用白光做光源，中心部分是白色的，其余各级为彩色条纹。