考研数学(数学二)模拟试卷283(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷283 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( )．
A．不可导
B．可导但f’(x)≠0
C．取得极大值
D．取得极小值
正确答案：D
解析：利用等价无穷小的代换求得f(x)． 由于x→0时，1-cos～1/2x2，所以令f(x)=x2，则f(x)符合原题设条件，而f(x)在x=0处可导f’(0)=0，取极小值．则(A)、(B)、(C)均不正确，选(D)．
2． 曲线y=e1/x2arctan的渐近线有( )．
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
正确答案：B
解析：因故y=π/4是曲线的水平渐近线，又故x=0是曲线的垂直渐近线．故应选(B)．
3． 设函数f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )．
A．当f(a).f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0
B．对任何ξ∈(a，b)，有
C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0
D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)
正确答案：B
解析：由于f(x)在(a，b)内可导，ξ∈(a，b)则f(x)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故所以应选(B)．
4． 设f(x)=，则f(x)在点x=1处的( )．
A．左、右导数都存在
B．左导数存在，但右导数不存在
C．左导数不存在，但右导数存在
D．左、右导数都不存在
正确答案：B
解析：由左、右导数的定义知 所以f_’(1)=2，但f+’(1)不存在．故应选(B)．
5． 设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则d∫f(x)dx等于( )．
A．f(x)
B．f(x)dx
C．f(x)+C
D．f’(x)dx
正确答案：B
解析：因，故应选(B)．
6． 设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由题设可得
7． 设n阶方程A=(a1，a2，…，an)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，记向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，an(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．
A．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)都线性相关
B．向量组(Ⅰ)线性相关
C．向量组(Ⅱ)线性相关
D．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关
正确答案：D
解析：因为向量组(Ⅲ)线性相关，所以矩阵AB不可逆，即｜AB｜=｜A｜｜B｜=0．因此｜A｜、B｜中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，亦即向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关，所以选(D)．
8． 设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜=0，则A( )．
A．必有一列元素全为0
B．必有两列元素对应成比例
C．必有一列向量是其余列向量的线性组合
D．任一列向量是其余列向量的线性组合
正确答案：C
解析：本题考查｜A｜=0的充分必要条件，而选项(A)、(B)、(D)都是充分不必要条件．以3阶矩阵为例，若A=，条件(A)、(B)均不成立，但｜A｜=0．若A=，则｜A｜=0，但第3列并不是其余两列的线性组合，可见(D)不正确． 这样，用排除法可知应选(C)．
填空题
9． 设，其中f可导，且f’(0)≠0，则dy/dx｜t=0=__________．
正确答案：3
解析：
10． 函数y=x+2cosx在上的最大值为__________．
正确答案：
解析：先求出[0，π/2]内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最值．因为y’=1-2sinx，令y’=0，得[0，π/2]内的驻点x=π/6．又y(0)=2，
11． 设函数z=z(x，y)由方程F(x-az，y-bz)=0所给出，其中F(u，v)任意可微，则=_________．
正确答案：1
解析：因故
12． =_________．
正确答案：π/12
解析：
13． y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________．
正确答案：
解析：由题设，根据麦克劳林公式，xn的系数为
14． 设，已知Aa与a线性相关，则a=_________．
正确答案：-1
解析：，由于Aa与a线性相关，则存在数k≠0 使Aa=ka，即a=ka，2a+3=k，3a+4=k三式同时成立． 解此关于a，k的方程组可得a=-1，k=1．
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． 求
正确答案：
16． 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．
正确答案：由题设，f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上也必然连续，则在[0，2] 上f(x)必有最大值M和最小值m，因而m≤f(0)≤M，m≤f(2)≤M，从而由连续函数的介值定理，知存在一点η∈[0，2]，使 由已知条件f(0)+f(2)=3，可推知f(η)=1，因此f(η)=f(3)=1，η∈[0，2]． 由罗尔定理，知存在ξ∈(η，3)[0，3)，使f’(ξ)=0．证毕．
17． 设
正确答案：由参数方程求导法知
18． 已知连续函数f(x)满足条件f(x)=
正确答案：方程f(x)=∫03xf(t/3)dt+e2x。两边对x求导得f’(x)=3f(x)+2e2x，即 f’(x)-3f(x)=2e2x，令x=0，由原方程得f(0)=1． 于是，原问题就转化为求微分方程f’(x)-3f(x)=2e2x满足初始条件f(0)=1的特解． 由一阶线性微分方程的通解公式，得代入初始条件f(0)=1，得C=3，从而f(x)=3e3x-2e2x．
19． 假设曲线ι1：y=1-x2(0≤x≤1)与x轴，y轴所围成区域被曲线ι2：y=ax2分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值．
正确答案：如图，由，得曲线ι1与曲线ι2的交点为，所求平面图形面积为
20． 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且(Ⅰ)验证f’’(u)+f’(u)/u=0；(Ⅱ)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．
正确答案：(Ⅰ)用复合函数求导法验证，令[*]，则[*](Ⅱ)因为f’’(u)+[*]=0(已证)，所以uf’’(u)+f’(u)=0，即[uf’(u)]’=0， 积分得uf(u)=C1，由f’(1)=1[*]C1=1，于是f’(u)=1/u，再积分得f(u)=lnu+C2 由f(1)=0[*]C2=0，所以f(u)=lnu．
21． 设二元函数f(x，y)= D={(x，y)｜x｜+｜y｜≤2}．
正确答案：设区域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜1＜｜x｜+｜y｜≤2}则
22． 设矩阵A与B相似，其中(Ⅰ)求x与y的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP=
B．
正确答案：(I)因为A～B，故其特征多项式相同，即｜λE-A｜=｜λE-B｜，(λ+2)[λ2-(x+1)λ+(x-2)]=(λ+1)(λ-2)(λ-y)，令λ=0，得2(x-2)=2y，即y=x-2，令λ=1，得y=-2，从而x=0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知对应于A和B的共同的特征值-1、2、-2的特征向量分别为 ξ1=(0，2，-1)T，ξ2=(0，1，1)T，ξ3=(1，0，-1)T，则可逆矩阵，满足P-1AP=
B．
23． 设矩阵(Ⅰ)已知A的一个特征值为3，试求y；(Ⅱ)求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．
正确答案：(Ⅰ)因为｜λE-A｜==(λ2-1)[λ2-(y+2)λ+2y-1=0．当λ=3时，代入上式解得y=2．于是A=(II)由AT=A，得(AP)T(AP)=pTA2P，而矩阵A2=考虑二次型xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x34=x12+x22+令y1=x1，y2=x2，y3=x3+(4/5)x4，y4=x4，得取P=，则有(AP)T(AP)=
考研数学二(填空题)模拟试卷83(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷83 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =_______.
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． =_______
正确答案：e
解析： 知识模块：高等数学部分
3． 设3阶矩阵已知Aα与α线性相关，则a=__________．
正确答案：一1．
解析：本题考查向量组线性相关的概念与判定．两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例．由于线性相关的充要条件是对应坐标成比例，即故应填一1． 知识模块：向量
4． 曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为______。
正确答案：y=x一1
解析：由题干可知，所求切线的斜率为1。由y’=(1nx)’==1，得x=1，则切点为(1，0)，故所求的切线方程为y—0=1·(x一1)，即y=x一1。 知识模块：一元函数微分学
5． ＝_______．
正确答案：1
解析： 知识模块：函数、极限、连续
6． ＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
7． 在点M0处的法线方程为________．
正确答案：
解析：将方程对x求导在M0处y’=，法线方程为 知识模块：一元函数的导
数与微分概念及其计算
8． 设x为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E一xxT的秩为__________.
正确答案：2
解析：由题设知，矩阵xxT的特征值为0，0，1，故E—xxT的特征值为1，1，0．又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E一xxT)=2． 知识模块：向量
9． 求分别满足下列关系式的f(χ)． 1)f(χ)＝∫0χ(t)dt，其中f(χ)为连续函数； 2)f′(χ)＋χf′(－χ)＝χ
正确答案：1)f(χ)＝0 2)χ－arctanχ＋ln(1＋χ2)＋C 涉及知识点：常微分方程
10． 设则f’(x)=________．
考研数学二(解答题)模拟试卷238(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷238 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设a1，a2，…，an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。
正确答案：必要性：a1，a2，…，an是线性无关的一组n维向量，因此(a1，a2，…，an)=n。对任一n维向量b，因为a1，a2，…，an，b的维数n小于向量的个数n+1，故a1，a2，…，an，b线性相关。综上所述r(a1，a2，…，an，b)=n。又因为a1，a2，…，an线性无关，所以n维向量b可由a1，a2，…，an线性表示。充分性：已知任一n维向量b都可由a1，a2，…，an线性表示，则单位向量组：ξ1，ξ2，…，ξn可由a1，a2，…，an线性表示，即r(ξ1，ξ2，…，ξn)=n≤r(a1，a2，…，an)，又a1，a2，…，an是一组凡维向量，有r(a1，a2，…，an)≤n。综上，r(a1，a2，…，an)=n。所以a1，a2，…，an线性无关。 涉及知识点：向量
2． 已知随机变量X的概率分布为 (1)求(X，Y)的概率分布；(2)X与Y是否相互独立?
正确答案：(1)X可能取的值为0，1，2，Y可能取的值为0，1，而P{X=0，Y=0}=P{X+Y=0}=，P{X=2，Y=1}=P{X+Y=3}=，故可得如下表格形式(2)因为pij=pi．p.j(i=1，2，3；j=1，2．)，所以X与Y是相互独立的．
解析：考查离散型随机变量的分布与其函数的分布的计算与转化能力．关键是找到与(X，Y)取各值的事件相等的事件． 知识模块：概率论与数理统计
3． 已知线性方程组讨论参数p，t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．
正确答案： 涉及知识点：线性方程组
4． 求函数y=的导数．
正确答案： 涉及知识点：一元函数微分学
考研数学二(线性代数)模拟试卷28(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）模拟试卷28 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知其中a＜b＜c＜d，则下列说法错误的是 ( )
A．ATX=0只有零解
B．存在B≠O，使AB=O
C．｜ATA｜=0
D．｜AAT｜=0
正确答案：D
解析：A=，a＜b＜c＜d，知r(A)=3．r(AAT)=r(A)=3，｜AAT｜≠0，故｜AAT｜=0是错误的，其余(A)，(B)，(C)正确，自证． 知识模块：线性代数
2． 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则 ( )
A．当m＞n时，必有｜AB｜≠0
B．当m＞n时，必有｜AB｜=0
C．当n＞m时，必有l AB I≠0
D．当n＞m时，必有｜AB｜=0
正确答案：B
解析：Am×nBn×m是m阶方阵，当m＞n时， r(AB)≤r(A)≤n＜m，故｜AB｜=0．(B)成立．显然(A)错误． 知识模块：线性代数
3． 设A是m×n矩阵，C是n阶可逆阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则 ( )
A．r＞r1
B．r＜r1
C．r=r1
D．r和r1的关系依C而定
正确答案：C
解析：r(A)=r(B)，因C是可逆矩阵，是若干个初等矩阵的积，A右乘C，相当于对A作若干次初等列变换，不改变矩阵的秩． 知识模块：线性代数
4． 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为 ( )
A．向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出
B．向量组β1，β2，…，βm可由向量α1，α2，…，αm线性表出
C．向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价
D．矩阵A=[α1，α2，…，αm]与矩阵B=[β1，β2，…，βm]等价
考研数学(数学二)模拟试卷288(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷288 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’’(x)≤0，且(1)=f’(1)=1，则( )．
A．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x
B．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x
C．在(1-δ，1)内f(x)＜x，在(1，1+6)内f(x)＞x
D．在(1-δ，1)内f(x)＞x，在(1，1+δ)内f(x)＜x
正确答案：A
解析：设φ(x)=f(x)-x，则φ’(x)=f’(x)-1，φ’’(x)=f’’(x)， 由f’’(x)＜0得φ’’(x)＜0，故φ’(x)单调减少， 则当x＜1时，φ’(x)＞φ’(1)=f’(1)-1=0，当x＞1时，φ’(x)＜φ’(1)=0， 则φ(x)在x=1处取得极大值， 当x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)时φ(x)＜φ(1)=f(1)-1=0，即f(x)＜x．选(A)．
2． 设f(x)=ex+sinx-1，则当x→0时( )．
A．f(x)是x等价无穷小
B．f(x)与x是同阶但非等价无穷小
C．f(x)比x更高阶的无穷小
D．f(x)是比x较低阶的无穷小
正确答案：B
解析：因为，所以应选(B)．
3． 设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且，则f(x)在x=0处( )．
A．可导，且f’(0)=0
B．可导，且f’(0)=-1
C．可导，且f’(0)=2
D．不可导
正确答案：B
解析：
4． 已知函数△y=y(x)在任意点x处的增量，其中a是比△x(△x→0)高阶的无穷小，且y(0)=π，则y(1)=( )．
A．πeπ/2
B．2π
C．π
D．eπ/2
正确答案：A
解析：由题设，，且a是比△x(△x→0)高阶的无穷小．从而此为可分离变量的微分方程，则，两边积分得ln｜y｜=arcsinx+
考研数学二(线性方程组)模拟试卷28(题后含答案及解析)
考研数学二（线性方程组）模拟试卷28 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若=r(A)，则线性方程组( )
A．Ax=α必有无穷多解。
B．Ax=α必有唯一解。
C．仅有零解。
D．必有非零解。
正确答案：D
解析：齐次线性方程组必有解(零解)，则选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除A、B。又齐次线性方程组有n+1个变量，而由题设条件知，=r(A)≤n＜n+1，所以方程组必有非零解。故选D。 知识模块：线性方程组
2． 设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )
A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解。
B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解。
C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解。
D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解。
正确答案：D
解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A，b)，所以选项A、B均不正确。而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A，b)＜n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解。故选D。 知识模块：线性方程组
3． 设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2一4α3，可以作为导出组Ax=0的解向量有( )个。
A．4。
B．3。
C．2。
D．l。
正确答案：A
解析：由于Aα1=Aα2=Aα3=b，可知A(α1—α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1一2α2+α3)=Aα1一2Aα2+Aα3=b一2b+b=0，A[(α1一α3)]=(Aα1一Aα3)=(b一b)=0，A(α1+3α2—4α3)=Aα1+3Aα2一4Aα3=b+3b一4b=0。
考研数学一(高等数学)模拟试卷283(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷283 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设函数f(x)与g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：①若f(x)＞g(x)，则f’(x)＞g’(x)；②若f’(x)＞g’(x)，则f(x)＞g(x)．则 ( )
A．①，②都正确
B．①，②都不正确
C．①正确，但②不正确
D．②正确，但①不正确
正确答案：B
解析：考虑f(x)=e－x与g(x)=－e－x，显然f(x)＞g(x)，但f’(x)=－e－x，g’(x)=e－x，f’(x)＜g’(x)，①不正确．将f(x)与g(x)交换可说明②不正确． 知识模块：一元函数微分学
2． 已知a≠0，b≠0，c≠0，且a，b，c互相垂直，则向量r=xa+yb+zc的模为 ( )
A．｜r｜=x｜av+y ｜b｜+z｜c｜
B．｜r｜=｜xa｜+｜yb｜+｜zc｜
C．｜r｜=(x2+y2+z2)1／2
D．｜r｜=(x2｜a｜2+y2｜b ｜2+z2｜c｜2)1／2
正确答案：D
解析：｜r｜2=r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc) =x2｜a｜2+y2｜ b ｜2+z2｜c｜2，所以应选
D． 知识模块：向量代数与空间解析几何
3． 设有直线L1：则L1与L2的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：L1的方向向量s1=(1，－2，1)，L2的方向向量S2==－i－j+2k，所以L1与L2之间夹角θ的余弦 知识模块：向量代数与空间解析几何
4． 设曲线L是区域D的正向边界，那么D的面积为 ( )
A．∮Lxdy－ydx
B．∮Lxdy+ydx
C．∮Lxdy－ydx
D．∮Lxdy+ydx
正确答案：A
解析：本题考查用第二型曲线积分求平面面积，是一种比较新颖的提法，但是内容是经典的，主要看考生能否抓住数学知识之间的联系．①令P=－y，Q=x，则由格林公式得②令p=－y，Q=0，则由格林公式得③令P=0，Q=x，则由格林公式得由上述三个面积的表达式知，答案选A． 知识模块：多元函数积分学
考研数学二(矩阵)模拟试卷28(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷28 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A，B均为n阶矩阵，则必有( )
A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
B．AB=BA。
C．｜AB｜=｜BA｜。
D．(A+B)—1=A—1+B—1。
正确答案：C
解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜B｜=｜BA｜，所以C项正确。取B=一A，则｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A项错误。由矩阵乘法不满足交换律知，B项不正确。因(A+B)(A—1+B—1)≠E，故D项也不正确。故选C。 知识模块：矩阵
2． 设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )
A．(A+B)(A—B)=A2一B2。
B．(A+B)—1=A—1+B—1。
C．｜A+B｜=｜A｜+｜B2。
D．(AB)*=B*A*。
正确答案：D
解析：根据伴随矩阵的定义可知(AB)*=｜AB｜(AB)—1=｜A｜｜B｜B—1A—1=B*A*。故选D。 知识模块：矩阵
3． 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=D，则( )
A．E一A不可逆，E+A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E一A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C
解析：已知(E一A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E，故E—A，E+A均可逆。故选C。 知识模块：矩阵
4． 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆； ②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A一E恒可逆。上述命题中，正确的个数为( )
A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：D
解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。若A可逆，则｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩阵B可逆，从而①正确。同①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故②正确。因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即③正确。对于④，用分组因式分解，即AB一A一B+E=E，则有(A—E)(B一E)=E，所以得A—E恒可逆，④正确。故选D。 知识模块：矩阵
考研数学二(解答题)高频考点模拟试卷28(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷28 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。
正确答案：因为βi(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解。从α1，α2，…，αs是Ax=0的基础解系知s=n一r(A)。以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件：设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks－1+t1ks)αs=0，由于α1，α2，…，αs线性无关，所以又因系数矩阵的行列式=t1s+(一1)s＋1t2s，当t1s+(一1)s＋1t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此当s为偶数且t1≠±t2，或当s为奇数且t1≠一t2时，β1，β2，…，βs线性无关，即为Ax=O的一个基础解系。 涉及知识点：线性方程组
2． 设A为n阶矩阵，α1为AX=0的一个非零解，向量组α1，α2，…，αs满足Ai－1αi(i=2，3，…，s)．证明α1，α2，…，αs线性无关．
正确答案：用定义法 设c1α1+c2α2+…+csαs=0(1)，要推出系数ci都为0．条件说明Aiαi=Aα1=0(i=1，2，3，…，s)．用As－1乘(1)的两边，得csα1=0，则cs=0．再用As－2乘(1)的两边，得cs－1α1=0，则cs－1=0．这样可逐个得到每个系数都为0． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩
3． 设a＞0，讨论方程aex=x2根的个数．
考研数学二(选择题)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 以下三个命题， ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A 正确的个数为 ( )
A．0
B．1
C．2
D．3
正确答案：D
解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un一A｜＜ε．则当ni＞N时，恒有 ｜一A｜＜ε．因此数列{}也收敛于A，可知命题正确． 对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即 x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有 ｜—A｜＜ε． 由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有 ，从而 ｜xn一A｜＜ε．可知数列{xn}收敛于A因此命题正确． 对于命题③，因=A，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2： 当2n＞N1时，恒有｜x2n一A｜＜ε； 当2n+1＞N2时，恒有｜ x2n+1一A｜＜ε． 取N=max{N1，N2)，则当n＞N时，总有｜xn一A｜＜ε．因此=A．可知命题正确．故答案选择(D)． 知识模块：函数、极限、连续
2． 设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是( )
A．若{x1}收敛，则{f(xn)}收敛
B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛
C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛
D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛
正确答案：B
解析：因为f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，且结合选项B，{xn}单调，所以{f(xn)}单调且有界。故{f(xn)}一定存在极限，即{f(xn)}一定收敛。故选B。 知识模块：函数、极限、连续
2024年考研数学二模拟试卷
2024年考研数学二模拟试卷
一、选择题（每题1分，共5分）
1.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则下列积分中正确的是（）
A.∫(0to1)f(x)dx=0
B.∫(0to1)f(x)dx=f(0)+f(1)
C.∫(0to1)f(x)dx=f(1)f(0)
D.无法确定
2.设矩阵A为对称矩阵，则下列结论正确的是（）
A.A的逆矩阵也是对称矩阵
B.A的特征值都是实数
C.A的行列式值为0
D.A的对角线元素相等
3.设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f(0)=0，f(1)=1，则下列结论正确的是（）
A.∃c∈(0,1)，使得f(c)=0
B.∃c∈(0,1)，使得f'(c)=0
C.∃c∈(0,1)，使得f(c)=c
D.无法确定
4.设数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（）
A.若{an}为等差数列，则Sn为等差数列
B.若{an}为等比数列，则Sn为等比数列
C.若Sn为等差数列，则{an}为等差数列 D.无法确定
5.设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f'(x)>0，则下列结论正确的是（）
A.f(x)在[0,1]上单调递增
B.f(x)在[0,1]上单调递减
C.f(x)在[0,1]上存在极值点
D.无法确定
二、判断题（每题1分，共5分）
1.若函数f(x)在区间[0,1]上可导，则f(x)在[0,1]上连续。（）
2.若矩阵A为对称矩阵，则A的特征值都是实数。（）
3.若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f'(x)>0。（）
4.若数列{an}为等差数列，则其前n项和Sn为等差数列。（）
5.若函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f'(x)>0，则f(x)在[0,1]上单调递增。（）
三、填空题（每题1分，共5分）
1.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则∫(0to1)f(x)dx表示的是________。
2.设矩阵A为对称矩阵，则A的特征值________。