分式方程及应用题复习课件
探究一
分式方程的解法
命题角度： 1．去分母法； 2．换元法．
x 2 1 例2 解方程： 2 ＋ ＝ . x －4 x＋2 x－2
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，
得x＋2(x－2)＝x＋2，
解这个方程，得x＝3.
检验:当x＝3时(x＋2)(x－2) ≠0，
所以x＝3是原方程的解．
归 类 探 究
第二章 分式与分式方程
-------复习课考Biblioteka 点 聚 焦考点1 分式方程
未知数 的方程叫做分式 1．分式方程：分母里含有________ 方 程． 2．增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方 零 程的根，使分式方程中的分母为________ ，因此解分式方 程要验根，其方法是把根代入最简公分母中看分母是不是 为________ ． 零
考点2 分式方程的解法 1．基本思想：把分式方程转化为整式方程，即分
去分母 整式方程． 式方程去分母换元 ― ― → 换元
2．直接去分母法：方程两边同乘各分式的 最简公分母 ________，约去分母，化为整式方程，再求根验根． 考点3 分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟其他解应用题有点不一样 的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的 根，又要检验是否符合题意．
m 3 1的解为正 x 1 1 x
例3：关于x的分式方程
数,则m的取值范围是__________
变式：关于x的方程的
m 1 解是负数, x2
m<2且m≠0 则m的取值范围是________
探究四：
分式方程的等积变形
2 2
1 (1)已知 x 5 x 1 0, 求x 2 的值 x
1 变式： 已知 x 4 ，求 x
x2 的值. 4 2 x x 1
方法点析 解分式方程常见的误区： (1)忘记验根；(2)去分母时漏乘不含分母的项；(3)去 分母时，没有注意符号的变化． 探究三 分式方程的应用
命题角度： 1．利用分式方程解决生活实际问题； 2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
探究二 分式方程的概念
命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根：分式方程的分母等于零的根．
x－ 1 m 例1 若关于 x 的方程 x－ 5＝ 10 － 2x无解，
－8 则 m ＝ ________ ．
解 析 分式方程去分母，得2(x－1)＝－m，
将x＝5代入，得m＝－8.
探究三：
分式方程的解
例．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上 涨．下面是小明与爸爸的对话： 小明：“爸爸，听说今年 5 月份的汽油价格上涨了不少啊！” 爸爸：“是啊，今年 5 月份每升汽油的价格是去年 5 月份的 1.6 倍，用 150 元给汽车加的油量比去年少 18.75 升．” 小明：“今年 5 月份每升汽油的价格是多少呢？” 聪明的你， 根据上面的对话帮小明计算一下今年 5 月份每升汽 油的价格． 解： 设去年5月份汽油的价格为x元/升，则今年5月份的价 格为1.6x元/升， 150 150 依题意得 x －1.6x＝18.75， 解方程得 x＝3， 经检验x＝3是原方程的解也符合题意， 所以1.6x＝4.8，故今年5月份汽油的价格是4.8元/升．
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第06课时 分式方程及其应用PPT课件
根据题意得:26a+35(200-a)=6280,
(2)若两种芯片共购买了 200 条,且购买的总费用为 6280 元,求购
解得:a=80.
买了多少条 A 型芯片?
答:购买了 80 条 A 型芯片.
+3
例 1 [2017·宁夏] 解方程:
-
4
-3 +3
=1.
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误:
(1)漏乘没有分母的项;
(2)没有验根;
(3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9,
移项、合并同类项,得 2x=-30,
系数化为 1,得 x=-15,
)
B.4
=1 的解为 x=2,则 m
C.3
D.2
-1
=1 的解
为 x=2,∴x=2 满足关于 x 的分式方程
-3
-1
-3
=1,∴
2-1
=1,解得 m=4.故选 B.
高频考向探究
探究三 分式方程的应用
例 3 [2018·岳阳] 为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我
市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然
完成的绿化面积的 2 倍,并且甲工程队完成 300 平方米的绿化
面积比乙工程队完成 300 平方米的绿化面积少用 3 小时.乙工
程队每小时能完成多少平方米的绿化面积?
解:设乙工程队每小时能完成 x 平方米的
300 300
绿化面积.根据题意,得
-
2
=3.
解得 x=50.
经检验,x=50 是分式方程的解且符合题意.
中考数学复习课件第2章第6讲 分式方程及其应用 (共16张PPT)
得分要领►解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方 程”．注意解分式方程一定要验根．
命题点2
分式方程的实际应用
3．[2013·安徽，20,10分]某校为了进一步开展“阳光体 育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知一副羽毛 球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒 乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍． (1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表 示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用； (2)若购买的两种球拍数一样，求x. 解：(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，则购买羽毛球拍花 费为(2000＋25x)元，则购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总 费用为2000＋2000＋25x＝(4000＋25x)元． (2)由(1)，得羽毛球拍数为
(2)设甲、乙两个工程队修路天数分别为a天，b天．依题意， 得
由①，得b＝15－1.5a， 代入②，得0.5a＋0.4(15－1.5a)≤5.2， 解得a≥8. 答：甲工程队至少要修路8天．
第一部分 系统复习 成绩基石
第二章
第 6讲
方程(组)与不等式(组)
分式方程及其应用
沪科版：七年级下册第9章分式9.3 人教版：八年级上册第15章分式15.3 北师版：八年级下册第5章分式5.4
考点梳理过关
考点1 分式方程的概念
分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程． 提示►“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区 别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．
解得x1＝40，x2＝－40. 经检验，x1＝40，x2＝－40都是原方程的解，但x>0， ∴x＝40. ∴x为40.
猜押预测►1.[2017·乌鲁木齐中考]2017年，在创建文明城 市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结 果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是 ( )
分式方程的复习课件
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步骤
1. 整理方程；2. 确定分母；3. 使用公式求解
换元法
简化复杂分式方程的有效手段
输入 标题
详细描述
换元法是通过引入新的变量来替换原方程中的复杂部 分，从而将复杂方程转化为简单方程。这种方法在解 复杂分式方程时非常有效。
总结词
适用范围
1. 确定需要替换的部分；2. 引入新变量；3. 替换并整 理方程；4. 解出新变量的值；5. 还原为原变量得到解
$x = frac{5}{4}$。
综合练习题
题目
解方程 $frac{x + 1}{2} - frac{4x - 3}{5} = frac{2x + 1}{3} + frac{1}{15}$
解析
首先将方程两边都乘以15（最小公倍数）来消去分母，得到 $15(x + 1) - (4x - 3) = (2x + 1) times 3 + 1$，然后去括号、移项、合并同类项，最后解得 $x = frac{49}{17}$。
对于有实际意义的分式方程，解必须符合实际情况，例如在 物理问题中，解需要符合物理定律和常识。
解的取值范围
确定解的取值范围
在解分式方程时，需要考虑解的取值范围，以确保解是有效的。
验证解的连续性和可导性
对于一些需要求导数或者需要验证连续性的问题，需要确保解在指定区间内是连续和可导的。
避免常见错误
避免解的扩大化
。
步骤
复杂或难以直接解出的分式方程
消去法
总结词
通过消除分式方程中的分母来 求解
详细描述
消去法是通过对方程两边同时 乘以公共分母，消除分母，将 分式方程转化为整式方程，然 后求解。
中考数学复习---分式方程的应用考点归纳与典型例题讲解PPT课件
根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【解析】设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆，
600 600 由题意得： x − 15x =140，
解得：x＝4， 经检验：x＝4 是原分式方程的解，且符合题意， 15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是 每秒60兆．
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望 小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有 4 个样品，每种样品都打五折，商场仍获 利 1370 元．请直接写出赠送的书包和样品中，B 种书包各有几个？ 【分析】 （1）设每个 A 种书包的进价为 x 元，则每个 B 种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝ 总价÷单价结合用 700 元购进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍，即可 得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
3
求购买 A 种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）A 种花弃每盆 1 元，B 种花卉每盆 1.5 元；（2）购买 A 种花卉 1500 盆时 购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250 元
【分析】 （1）设 A 种花弃每盆 x 元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方 程并检验；
4.（2020•广东）某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面 积比每个 B 类摊位的占地面积多 2 平方米．建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类 摊位每平方米的费用为 30 元．用 60 平方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊
3
中考数学第8讲分式方程及其应用复习课件
5．(2016·台州)解方程：x－x 7－7－1 x＝2.
解：去分母，得x＋1＝2x－14， 解得x＝15， 经检验x＝15是分式方程的解.
【例 1】 (1)(2016·湖州)方程2xx－－31＝1 的根是 x＝_－__2_； (2)(2016·绍兴)解分式方程：x－x 1＋1－2 x＝4.
解：方程两边同乘(x－1)，得 x－2＝4(x－1)， 整理得－3x＝－2，解得 x＝23， 经检验 x＝23是原方程的解， 故原方程的解为 x＝23
3．分式方程的应用 (1)用分式方程解实际问题的一般步骤
注意：双检验是——①检验是否是分式方程的解；②检验是否符合实际问题． (2)用分式方程解实际问题的一般类型主要涉及工程问题、行程问题等．
1．解分式方程的基本思想是转化思想，将分式方程去分母，转化为整式方程， 利用整式方程的解法求解．
2．在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为0，因 此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看最简公分母是不是为0.
浙江专用
第8讲 分式方程及其应用
1．分式方程 _分__母_中含有未知数的方程叫做分式方程. 2．分式方程的解法 (1)解分式方程的步骤： ①方程两边都乘以各个分式的 最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解这个整式方程； ③检验：把求得的x的值代入最简公分母中，看是否等于0，使最简公分母为0的 根为原方程的增根，必须舍去． (2)增根：使分式方程分母 等于0 的根．
【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再 检验是否符合题意．
[对应训练] 3．(2016·广东)某工程队修建一条长 1 200 m 的道路，采用新的施工方式， 工效提升了 50%，结果提前 4 天完成任务． (1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？ (2)在这项工程中，如果要求工程队提前 2 天完成任务，那么实际平均每 天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
中考数学复习专题7：分式方程及其应用1(共25张PPT)
考点3 分式方程的应用（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：列分式方程解决应用问题。
5．（2013山东泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生 产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若 乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务， 问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子 元件x个，根据题意可得方程为（ B ）
B
【解题思路】方程两边都乘以x－1，将分式方程转化为整式方 程来解即可．
【思维模式】解分式方程的基本思路是通过去分母，将分式 方程转化为整式方程来解．另外，解分式方程时，检验是必不
可少解的重：要方步程骤两之边一都，因乘为以在x－方程1，两得边2都x乘＝以x－最1简＋公1分，母时， 容易产生增移根项（是、整合式并方，程得的x根＝，0但，不是分式方程的根，也可 以说是使最经简检公分验母，为x＝0的0根是）原．方程的解．
5．列分式方程解应用题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设未知数； ③找：找出_等__量__关__系___； ④列：列出_分__式__方__程___； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：既要验证根是否为_原__分_式__方__程__的_根__，又要检 验根_是__否__符_合__题__意___； ⑦答：写出答案.
（2）根据“甲车12趟所需费用＋乙车12趟所需费用＝4800”求出 甲车、乙车每趟所需费用，再计算单独租用一种车完成所需费用进 行比较.
【思维模式】1.在列方程解决实际问题时， 一是要注意审题，找到题目中的相等关系； 二是设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的 量，注意根据问题情况灵活选择设法.如直接设、间接 设，设多元等； 三是求分式方程的解． 2.验根应从两个方面出发：一方面是方程的本身，另 一方面是实际问题，根既要使方程的本身有意义，又 要符合实际意义.四是合算的问题就是方案选择问题， 也就是比较谁少的问题，一定要把方案选择转化为求 那几个量，再进行计算比较.
《分式方程复习》课件
详细描述
在金融和经济领域，分式方程可以用来描述和预测市场行为、投资回报和成本效益分析等。在交通领 域，分式方程可以用来解决交通流量和路线规划问题。在工程领域，分式方程可以用来描述机械运动 、热传导和电路等问题。
04 分式方程的解题 技巧
转化思想
总结词
转化思想是将复杂问题转化为简单问 题，将未知问题转化为已知问题的一 种解题策略。
详细描述
分式方程与整式方程的主要区别在于分母中是否含有未知数。分式方程的分母中 含有未知数，而整式方程的分母中不含有未知数。此外，分式方程的解法通常需 要更多的技巧和注意事项，例如需要处理分母为零的情法
01
02
03
04
直接求解法
通过对方程进行化简，直接求 出方程的解。
详细描述
在解分式方程时，通过对方程进行适 当的变形和转化，可以将分式方程转 化为整式方程或更容易解决的形式， 从而简化解题过程。
整体思想
总结词
整体思想是从整体角度出发，将 问题看作一个整体，从而简化问 题的一种解题策略。
详细描述
在解分式方程时，可以将方程中 的某些项看作一个整体，通过对 方程进行整体变形和运算，从而 简化解题过程。
代数方法
总结词
代数方法是利用代数性质和定理，对方 程进行变形和求解的一种解题策略。
VS
详细描述
在解分式方程时，可以利用代数性质和定 理，如乘法分配律、合并同类项等，对方 程进行变形和简化，从而找到方程的解。
05 分式方程的易错 点分析
概念理解不清
总结词
概念理解不清晰
详细描述
分式方程的基本概念和定义是解题的基础，如果对分式方程的概念理解不清晰，会导致 解题思路出现偏差，甚至无法正确列出方程。
在金融和经济领域，分式方程可以用来描述和预测市场行为、投资回报和成本效益分析等。在交通领 域，分式方程可以用来解决交通流量和路线规划问题。在工程领域，分式方程可以用来描述机械运动 、热传导和电路等问题。
04 分式方程的解题 技巧
转化思想
总结词
转化思想是将复杂问题转化为简单问 题，将未知问题转化为已知问题的一 种解题策略。
详细描述
分式方程与整式方程的主要区别在于分母中是否含有未知数。分式方程的分母中 含有未知数，而整式方程的分母中不含有未知数。此外，分式方程的解法通常需 要更多的技巧和注意事项，例如需要处理分母为零的情法
01
02
03
04
直接求解法
通过对方程进行化简，直接求 出方程的解。
详细描述
在解分式方程时，通过对方程进行适 当的变形和转化，可以将分式方程转 化为整式方程或更容易解决的形式， 从而简化解题过程。
整体思想
总结词
整体思想是从整体角度出发，将 问题看作一个整体，从而简化问 题的一种解题策略。
详细描述
在解分式方程时，可以将方程中 的某些项看作一个整体，通过对 方程进行整体变形和运算，从而 简化解题过程。
代数方法
总结词
代数方法是利用代数性质和定理，对方 程进行变形和求解的一种解题策略。
VS
详细描述
在解分式方程时，可以利用代数性质和定 理，如乘法分配律、合并同类项等，对方 程进行变形和简化，从而找到方程的解。
05 分式方程的易错 点分析
概念理解不清
总结词
概念理解不清晰
详细描述
分式方程的基本概念和定义是解题的基础，如果对分式方程的概念理解不清晰，会导致 解题思路出现偏差，甚至无法正确列出方程。
分式方程应用题复习PPT课件
分式方程应用题复习PPT课件
contents
目录
• 引言 • 分式方程基本概念 • 典型应用题解析 • 解题思路与方法 • 常见错误与避免方法 • 练习题与答案解析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
帮助学生回顾和巩固 分式方程的应用题解 法
为学生提供足够的练 习和案例，以便更好 地掌握分式方程的应 用
2. 现进货价降低了6.4%，则现进 货价为a(1 - 6.4%)，现售价为a(1 - 6.4%)(1 + (x + 8)%)。
03
3. 利用售价不变的条件，列出方 程求解x的值。
04
07
总结与展望
复习内容总结
分式方程的基本概念
01
包括分式方程的定义、分式方程的解、增根等概念。
分式方程的解法
02
04
解题思路与方法
审题与建模
仔细阅读题目，理解题意，明 确已知条件和未知条件。
分析题目中的数量关系，确定 问题类型，建立数学模型。
根据问题类型，选择合适的解 题方法，如直接法、间接法等 。
设定未知数
根据题意设定未知数，注意未知数的 设定要合理、简洁。
在设定未知数时，要考虑问题的实际 情况和限制条件。
题目3
某商店经销一种商品，由于进货 价降低了6.4%，使得利润率提高 了8%，那么原来经销此种商品的 利润率是多少？
答案解析
题目1解析 1. 根据题意列出方程：mx + ny = 6000
2. 利用A、B两种产品的数量之比为2:3，得到x/y = 2/3
答案解析
3. 联立以上两个方程解得m、n的值。
题目2解析
1. 设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x + 0.5)千 米/时。
contents
目录
• 引言 • 分式方程基本概念 • 典型应用题解析 • 解题思路与方法 • 常见错误与避免方法 • 练习题与答案解析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
帮助学生回顾和巩固 分式方程的应用题解 法
为学生提供足够的练 习和案例，以便更好 地掌握分式方程的应 用
2. 现进货价降低了6.4%，则现进 货价为a(1 - 6.4%)，现售价为a(1 - 6.4%)(1 + (x + 8)%)。
03
3. 利用售价不变的条件，列出方 程求解x的值。
04
07
总结与展望
复习内容总结
分式方程的基本概念
01
包括分式方程的定义、分式方程的解、增根等概念。
分式方程的解法
02
04
解题思路与方法
审题与建模
仔细阅读题目，理解题意，明 确已知条件和未知条件。
分析题目中的数量关系，确定 问题类型，建立数学模型。
根据问题类型，选择合适的解 题方法，如直接法、间接法等 。
设定未知数
根据题意设定未知数，注意未知数的 设定要合理、简洁。
在设定未知数时，要考虑问题的实际 情况和限制条件。
题目3
某商店经销一种商品，由于进货 价降低了6.4%，使得利润率提高 了8%，那么原来经销此种商品的 利润率是多少？
答案解析
题目1解析 1. 根据题意列出方程：mx + ny = 6000
2. 利用A、B两种产品的数量之比为2:3，得到x/y = 2/3
答案解析
3. 联立以上两个方程解得m、n的值。
题目2解析
1. 设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x + 0.5)千 米/时。
15.3分式方程应用题PPT课件
工多少零件?
解：设他第一次每小时加工x个，第二次每小时加 工2.5x个，则
1500150018 x 2.5x
.
14
【例2】从2004年5月起某列车平均提速v千米/
小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，
提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的
平均速度为多少？
解：设提速前的速度为x,提速后为x+v,则
他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相
等，求他步行40千米用多少小时?
解：设步行每小时行x千米，骑车每小时行（x+8)千米，则
12 36 x x8
解得x=4
经检验x=4是方程的解。
40÷4=10(小时）
答：他步行40千米用10个小时。
.
17
3、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，
.
18
4、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船
在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千
米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少
千米?
解：设水流的速度为x,则
72 48 20x 20x
.
19
想一想1：
某次测试，初二（5）班55位同学中，80分的 有25位，90分的有30位，班级平均分怎么算？
s s 50 x xv
解得 x sv 50
检验：x sv 时，x(x+v) ≠0, 50
x sv 是方程的解。 50
sv
答：提速前列车的平均速度为 千米/小时。
.
50
15
1、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学
校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从
第9讲分式方程及应用ppt课件
考
点 知 识
(1)(2010·咸宁)分式方程x－x 3＝xx＋ －11的解为(
)
精
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
讲
中 考
【点拨】(1)题方程两边同时乘以(x－3)(x－1)，约去分母得 x(x－1)＝(x－3)(x＋1)，
典 解得 x＝－3.
例 经检验：x＝－3 是原方程的根．
精 ∴分式方程的解为 x＝－3.
考 点 训 练
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在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
考
点
知
识
【解答】(1)设乙单独做 x 天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)
精
讲 天完成此项工程，由题意，得 20(x1＋x＋130)＝1.
例
(2)体积变化问题．
精 析
(3)打折销售问题． ①利润＝售价－成本；
利润
举
②利润率＝成本×100%.
一 反 三
(4)行程问题． (5)教育储蓄问题．
①利息＝本金×利率×期数；
②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利润×期数)；
考
③利息税＝利息×利息税率；
点 训
④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．
练
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识 货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程
精 正确的是( )
讲 中
A.2x5＝x－3520 B.x－2520＝3x5
考 典
C.2x5＝x＋3520 D.x＋2520＝3x5