向量及向量的基本运算
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是线性代数的重要概念，它具有方向和大小，并且可以进行各种基本运算，包括加法、减法、数量乘法、点乘、叉乘等等。
在本文中，我将详细介绍向量的基本运算公式，并给出详细的解释和推导。
1.向量的加法向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的加法运算可以表示为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数量乘法来表示。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的减法运算可以表示为：A-B=A+(-B)= (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3.向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个标量与向量的每个分量相乘，得到一个新的向量。
设有一个向量A，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)，以及一个标量k。
则向量A的数量乘法可以表示为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)4.向量的点乘向量的点乘是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。
向量的点乘得到的是一个标量。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)。
则向量A和B的点乘运算可以表示为：A ·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5.向量的叉乘向量的叉乘是指将两个三维向量进行运算，得到一个新的向量。
向量的叉乘只适用于三维向量。
设有两个向量A和B，其分量表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。
则向量A和B的叉乘运算可以表示为：A×B=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)6.向量的单位化向量的单位化是指将一个向量除以其模长，得到一个长度为1的向量。
7.1向量的基本概念及其运算
ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全一、向量的定义与基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用一个有序数对或有序三元组表示。
例如，二维平面上的向量（a，b）表示从原点出发，沿着横坐标轴正方向移动a 个单位，再沿着纵坐标轴正方向移动b个单位。
向量可分为有序实数对和有序复数对两种类型。
二、向量的加法与减法运算1.向量加法：两个向量相加，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的和，方向与两个向量的方向相同。
例如，向量A（a1，b1）与向量B （a2，b2）相加，结果为向量C（a1+a2，b1+b2）。
2.向量减法：两个向量相减，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的差，方向与减数的方向相反。
例如，向量A（a1，b1）与向量B（a2，b2）相减，结果为向量C（a1-a2，b1-b2）。
三、向量的数乘运算1.向量与实数的乘积：将一个实数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的k倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与实数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
2.向量与复数的乘积：将一个复数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的|k|倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与复数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
四、向量的标量积与向量积1.标量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的标量积为一个实数，计算公式为：A·B = a*c + b*d。
标量积满足交换律和结合律，可用于表示向量之间的相似程度。
2.向量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的向量积为一个新的向量，计算公式为：AB = (ad - bc，bc - ab)。
向量积满足右手法则，可用于表示两个向量之间的垂直关系。
五、向量的模与单位向量1.向量的模：向量A（a，b）的模为其横纵坐标平方和的平方根，计算公式为：|A| = √(a + b)。
2.单位向量：一个向量的模为1时，该向量称为单位向量。
向量的概念与运算
向量的概念与运算在数学中，向量是一个有方向和大小的量，常用来表示物体的位移、速度、力等。
本文将介绍向量的概念以及向量的基本运算。
一、向量的概念向量可以用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通常用加粗的小写字母表示向量，例如a、b。
一个向量可以由一组有序的实数构成，这组有序的实数称为向量的分量。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, ..., aₙ)，其中 a₁, a₂, ..., aₙ 是向量a的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量a和向量b，它们的和表示为a + b，其分量的运算规则为：(a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ)。
例如，设有向量a=(2, 4)和向量b=(1, 3)，则a + b = (3, 7)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量a和向量b，它们的差表示为a - b，其分量的运算规则为：(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)。
例如，设有向量a=(3, 8)和向量b=(2, 5)，则a - b = (1, 3)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设有向量a和实数k，它们的数乘表示为k * a，其分量的运算规则为：(k * a₁, k * a₂, ..., k *aₙ)。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和实数k=2，则k * a = (2, 4, 6)。
4. 向量的数量积（内积）向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。
设有向量a=(a₁, a₂, ..., aₙ)和向量b=(b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的数量积表示为a · b，计算公式为：a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 3, 4)，则a · b = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20。
高考数学中的向量与向量运算
高考数学中的向量与向量运算高考数学中涉及的向量是一个很重要的概念。
向量是由大小和方向两个属性所构成的一个有序数对，其中大小用标量表示，方向用与其相应的单位正交基表示。
在向量运算中，向量可以进行加、减、数乘和内积等操作。
一、向量的基本概念及表示方法1.向量的概念向量是一个由大小和方向两个属性所构成的有序数对。
可以用一个有向线段代表。
在空间直角坐标系中，向量a可以用有序的三个实数 (x,y,z) 表示。
向量的长度也叫做模，可以表示为 ||a||。
2.向量的加法向量 a + b 的结果是一个新的向量 c ，c 的起点是 a 的终点，c 的终点是 b 的终点。
3.向量的数乘数乘操作是把一个数乘上一个向量，得到一个新的向量。
数乘的结果是一个方向和原向量相同（或相反），长度等于原向量长度乘以该数的绝对值。
4.向量的内积向量的内积是相对于该向量长度的一个标量。
向量 a 和向量 b 的内积可以用以下公式表示：a·b = ||a|| ||b|| cosθ其中，θ 是向量 a 和向量 b 之间的角度。
二、向量的应用1.解平面几何问题向量可以应用于求平面上的距离，角度和面积等问题。
2.解空间几何问题在空间几何中，向量也被广泛应用于求距离，面积和体积等问题。
3.解力学问题物理学中使用向量来描述力和速度。
三、向量运算的性质1.交换律向量加法和内积运算满足交换律，即 a+b = b+a，a·b=b·a。
2.结合律向量加法和内积运算满足结合律，即 a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3.分配律向量加法和数乘运算满足分配律，即 a(b+c) = ab+ac。
四、向量运动向量可以用来描述物体的运动状态。
运动状态的变化可以用向量实现，例如速度，加速度等等。
总之，在数学领域，向量是一个非常重要的概念。
向量的运算可以解决很多复杂的问题。
同时，向量广泛应用于物理学，工程学，计算机科学等多个领域。
向量的基本运算与性质
向量的基本运算与性质在数学中，向量是一个有方向和大小的量。
向量可以进行各种基本运算，并且具有一些特殊的性质。
本文将介绍向量的基本运算和性质。
一、向量的表示和定义向量可以用多种方式进行表示，最常见的是使用箭头符号→在字母上方表示一个向量。
例如，向量a可以表示为→a。
向量还可以用坐标形式表示，如(a1,a2,a3)。
在三维空间中，向量通常表示为一个由起点和终点确定的有向线段。
向量有大小（模长）和方向，可以通过两点之间的差值来表示。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照相应的对应分量相加得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的和为→a+→b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量按照相应的对应分量相减得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的差为→a-→b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以一个标量得到一个新的向量。
设有一个向量→a=(a1,a2,a3)和一个标量k，那么它们的数量乘积为k→a=(ka1,ka2,ka3)。
三、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
这意味着向量的加法顺序可以交换，不会改变结果。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
这意味着向量的加法可以按照不同的顺序进行，结果不会改变。
3. 零向量零向量是指所有分量都为0的向量，通常表示为→0=(0,0,0)。
对于任意向量→a，有→a+→0=→0+→a=→a。
4. 相反向量对于任意向量→a，存在一个相反向量-→a，使得→a+(-→a)=(-→a)+→a=→0。
其中-→a的每个分量都是→a对应分量的相反数。
5. 数量乘法的性质数量乘法满足结合律和分配律。
向量的定义与基本运算
向量的定义与基本运算向量是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛应用。
本文将介绍向量的定义和基本运算，以帮助读者更好地理解和应用向量的相关知识。
一、向量的定义在数学中，向量是由大小和方向共同确定的量。
通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a 可以写作→a 或a。
向量有两个重要的属性：大小（模）和方向。
大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
二、向量的表示形式向量有多种表示形式，常用的有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在x、y 和 z 轴上的分量。
2. 分量表示向量的分量表示是指将向量在坐标轴上的投影值表示为一个有序数列。
在二维空间中，向量 a 的分量表示为 (a₁, a₂)，其中 a₁表示向量在 x 轴上的分量，a₂表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量a 的分量表示为 (a₁, a₂, a₃)，其中 a₁、a₂和 a₃分别表示向量在 x、y 和 z 轴上的分量。
三、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的和向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，...，cₙ = aₙ + bₙ。
2. 向量的减法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的差向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ - b₁，c₂ = a₂ - b₂，...，cₙ = aₙ - bₙ。
向量基本概念和基本运算
(b)
向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只 需改变它的符号。
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三、向量的减法
向量减法的几何图示法: 已知向量 a 、b 如何做出a b ? OB BA OA BA OA OB
自空间任意点O引向量 OA a O, B b 那么向量 BA a b 即为所作。
O
a
A
二、向量的加法
定理1.2.2：向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）零 元： a + 0 = a.
（4）反向量：
a (a)
0.
二、向量的加法
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广：自任意点O开始， 依次引 OA1 a1, A1A2 a2 , , An1An an , 由此得一折线 OA1 A2 An , 于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和，即：
9
性质： 对于任意两向量 a 、b ，有下列不等式 a b a b a b .
7
四、向量的数乘
定义1.3.1：实数 与向量 a 的乘积是一个向量，记做 a，它的模是a a ； a 的方向，当 0 时与 a 相同，当 0 时与 a 相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。
8
四、向量的数乘
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5向实)两量数个b，向与使量非得共零线向b定量=理aa共。线 有且只有一个
证三点共 AB BC且有公共点 B
线方法： AB // BC A, B,C三点共线
6)平面 向量的基本定理
如平：a果面内e1的, 1ee任21是一一向个2量e平2a面,内有其的且中两只不个有共不一线共对的线实向向数量e量1,，1e, 2那叫2么做对，表这示一使这
量点a差指的向b 运b的算的作，终图叫点法做的：向向a量量 b的（可减a以法、表b。有示共为同从起a 点的）终
向量减法有“三角形法则”
（必须起点相同 OA OB BA ）
结论：由同一点 A 为起点的两个已知向量
a, b 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD ， 如 果
练习 4：OP OA （AB AC）， [0， ）如何？
课堂小结：
1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量
2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平面向量的基本定理, 基底
作业:<<走向高考>>P65: 例3 跟踪练习3 P38 :16
补 充 1 ： 经 过 OAB 重 心 G 的 直 线 与
OA,OB 分 别 交 于 点 P ， Q ， 设
uuur OP
uuur uuur mOA, OQ
uuur nOB
，m,
n
R
，求
1 n
1 m
的值。
补充2：
若在平面内存在点O, 使得:
OA OB OC ( AB AC )
③单位向量：模为1个单位长度的组向平量行（向共量线都向可量以):方移向到相同同一或直相线反上的。a向//量b。 ⑤向量相经等过向平量移：后长总度可相以等重且合方，向记相为a同的b向量。。相等
做2向）量向的量加加法法。：设求AB两 个a, B向C量 b和 的,则运:算叫 向量加法有“三角形法则”（首尾相接）
题型四:判断动点轨迹
例6： O是平面上一定点，A、B、C是平面上不
共OuuPur线的Ouu三Aur 个（点uu，AuuBuur动ur 点uuAPuuC满uurur足）， [0， ），则
| AB | | AC |
P的轨迹一定通过ABC的（ B ）
A 外心
B 内心
C重心
D垂心
uuur uuur uuur uuur
rr ab
rr ab
矩形
；
r a
r b
菱形
；
rr ab
rr ab 且
r a
r b
正方形
4①)实实数数与λ与向向量量的积a的 积是一个向量,记作λ ，a它
的（（时长ⅠⅡ度））0，与当a，0方时aλ向的a0规方a0，定向,λ；方如与的a向下方的是：向a方任与向意的相的方反。向；相当同时；当
一平面内所有向 量的一组基底。 推论：如果 e1, e2 是一个平面内的两个不共线向量，
1e1 2e2 1e1 2e2 1 1且2 2
题型一:基本概念问题
例1、判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向错 (2)若 a b ,则a b 错
与“平行四边形法则” （起点相同）
说明：（1）a
b
AB
BC
AC
；
2）向量加法满 足交换律与结合律； 0a a0a
3)向量的减法
向量①，相叫反做向a的量相：反与向a 长量度。相记等作、 a方 ,零向向相量反的的
相反向量仍是零向量。 a②与向b量的减差法，：记向作量：aa加上b 的ab相(反b)向。量求叫两做个向
(3)单位向量都相等错 (4) 向量就是有向线段 错
(((567)))两 若 若a相a/等/ bb向，，量bb若//共cc， ，起则 则点,aa则//终cc点错也；对相同对
(8) 四边形ABCD是平行四边形,则AB CD, B错C DA
(9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB 平移后可能
2
sin C sin B
试判断△ABC的形状.
设 OA a,OB b,试用a,b表示OM,ON, MN
例3: 已知G是△ABC的重心，求证： (1)GA GB GC 0
xG
(2)
yG
x1 y1
x2
3 y2
3
x3 y3
(其中: A(x1, y1), B(x2 , y2 ),C(x3, y3 ))
得(10到）a的 向b量的A充B要的条坐件标是为| a（||3b,－| 且3）a
//
b
错 ；错
练习1: 化简(1)AB AC BDCD 0
(2)OA OC BO CO BA
题型二:向量的相互表示 例2、如图平行四边形OADB的对角线OD,AB 相交于点C，线段BC上有一点M满足: BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,
练习3：设 e1, e2 是不共线的向量,已知向量
AB 2e1 ke2 ,CB e1 3e2 ,CD 2e1 e2
若A,B,D三点共线,求k的值
例 5：设 OA、 OB 不共线，如点 P、A、B
三点共线，求证： OP =λ OA +μ OB 且
λ+μ=1，λ、μ∈R.反之亦然。
28.向量及向量的基本运算
1）向量的有关概念
①a向, b,量c ：…既…有来大表小示又，有或方用向有的向量线。段向的量起一点般与用终点
的大写字母表示，如：AB ，或用坐标表示。向量的
大小即向量的模（长度），记作| AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为 0 ，其方向是任
意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别>
练习 若 a
2:已知 G 为 GA b GB
ABC的重心, c GC 0
试判断 ABC的形状
题例若型O4uu、三Aur 设:平2ar面ar, 向brbr量，Ou是u基Bur两本个定3a不r理共与br， 线O三uu的Cu点r 非共零ar线向问3量br题，，
求证：A、B、C三点共线；