指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
指数对数幂函数知识点汇总
指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固一、知识框图二、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数指数函数名称定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向象的影响看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限 无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：具体函数具体讨论(5)图象特征：幂函数当时，在第一象限，图像与32,x y x y ==的图像大致趋势一样,当10<<α时，在第一象限，图像与21x y =的图像大致趋势一样,当0<α时，在第一象限，图像与1-=xy 的图像大致趋势一样一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或RR 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅ ∅ 的解集)0(02>≤++a c bx ax{}21x x xx ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a b x x 2∅。
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(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的It念3符号表示a备注3如果x n=a，那么x叫做a的〃次方根a n > lfin e AT P 当«为奇数时,正数的«次方根是一个正数,负数的川次方根是一个负数3零的兀次方根是零3当n为偶数时,正数的n次方根有两个，它们互为相反数"土嚅(° >0)3负数没有偶次方根卩(2).两个重要公式*a①> 0)\a\=<[-a{ci < 0)②=a (注意a必须使砺有意义)。
2.有理数指数幕(1)幕的有关概念①正数的正分数指数幕:a"= 奸(d > (),m. n w AT,且〃〉1);豐 1 1②正数的负分数指数幕：a n = —=-=(^7>0,/?K /?G N\JBL H>1)a n③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.注：分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算。
(2)有理数指数幕的性质①a I a'=a H'"(a>0,r、s G Q)；②(a r)s=a re(a>0,r> sEQ)；③(ab)'=a r b s(a>0,b>0,r E Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>l 0<a<l图象~d 1 *定义域 R 值域 (0, +oo) 性质(1)过定点(0, 1)(2)当 x>0 时,y>l; x<0 时,0<y<l(2)当 x>0 时，0<y<l; x<0 时，y>l(3)在(-oo, +oo)上是增函数(3)在 (-00 , 4-00 )上是减函数注：如图所示，是指数函数(1) y=a x , (2) y=b x ' (3) ,y=c x (4) ,y=d x 的图象，如何确 定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图屮作直线x=l,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 ci>』>l>ai>bi,・・・c>d>l>a>b 。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对付数函数、幂函数的图像与本量之阳早格格创做（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的观念（2）．二个要害公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 蓄意思）. 2．有理数指数幂 （1）幂的有闭观念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的背分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的背分数指数幂不意思. 注：分数指数幂与根式不妨互化，常常利用分数指数幂举止根式的运算.（2）有理数指数幂的本量n 为奇数n为奇数①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与本量y=ax a>1 0<a<1 图象定义域R值域（0，+∞）本量（1）过定面（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1(3)正在（-∞，+∞）上是删函数（3）正在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx （4）,y=dx的图象，怎么样决定底数a,b,c,d与1之间的大小闭系？提示：正在图中做曲线x=1，与它们图象接面的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b.即无论正在轴的左侧仍旧左侧，底数按顺时针目标变大.（二）对付数与对付数函数1、对付数的观念（1）对付数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 喊干以a 为底，N 的对付数，记做log N a x =，其中a 喊干对付数的底数，N 喊干真数. （2）几种罕睹对付数2、对付数的本量与运算规则（1）对付数的本量（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②log 1a a =，③logNa a N =，④log Na a N =.（2）对付数的要害公式：①换底公式：log log (,1,0)log N Na b baa b N =>均为大于零且不等于； ②1log log b a ab =. （3）对付数的运算规则：如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②NM NMa a a log log log -=；③)(log log R n M n M a n a ∈=； ④b mnb a n amlog log =. 3、对付数函数的图象与本量象本量（1）定义域：（0,+∞）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定面（1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）正在（0,+∞）上为删函数（5）正在（0,+∞）上为减函数注：决定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小闭系 提示：做背来线y=1，该曲线与四个函数图象接面的横坐标即为它们相映的底数. ∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数指数函数y=ax 与对付数函数y=logax 互为反函数，它们的图象闭于曲线y=x 对付称. （三）幂函数 1、幂函数的定义形如y=xα（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有真量辨别正在于自变量的位子分歧，幂函数的自变量正在底数位子，而指数函数的自变量正在指数位子.2、幂函数的图象注：正在上图第一象限中怎么样决定y=x3，y=x2，y=x ，12y x =，y=x-1要领：可绘出x=x0；当x0>1时，按接面的下矮，从下到矮依次为y=x3，y=x2， y=x ，12y x =， y=x-1；当0<x0<1时，按接面的下矮，从下到矮依次为y=x-1，12y x =，y=x ， y=x2，y=x3. 3、幂函数的本量y=x y=x2y=x312y x =y=x-1定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且奇奇性 奇 奇奇非奇非奇 奇单调性删x ∈[0，+∞）时，删； x ∈(,0]-∞时，减删 删x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减定面 （1，1）三：例题诠释，闻一知十知识面1：指数幂的化简与供值 例1.(2007育才A)（1）估计：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aa ab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执疑A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯- 知识面2：指数函数的图象及应用 例2.(2009广附A)已知真数a 、b 谦脚等式b a )31()21(=，下列五个闭系式：①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b.其中不可能创造的闭系式有 （ ） A.1个B.2个C.3个D.4个变式：（2010华附A ）若曲线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x 且)1≠a 的图象有二个公同面，则a 的与值范畴是_______. 知识面3：指数函数的本量例3.（2010省真B ）已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数.（Ⅰ）供b 的值；（Ⅱ）推断函数()f x 的单调性;（Ⅲ）若对付任性的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒创造，供k 的与值范畴．变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=x x aa ee +是R 上的奇函数.（1）供a 的值；（2）供证：f(x)正在（0，+∞）上是删函数.知识面4：对付数式的化简与供值 例4.（2010云浮A ）估计：（1）)32(log 32-+（2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.变式：（2010惠州A ）化简供值. （1）log2487+log212-21log242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log92)·(log43+log83).知识面5：对付数函数的本量例5.（2011深圳A ）对付于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a+<+②1log (1)log (1)a a a a+>+；③111;aaaa++<④111;aaaa++>其中创造的是（）（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④变式：（2011韶闭A ）已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则loga bb b ba1log ,log,1的大小闭系是 （ ）bb b b a 1log log 1<< B.b b b b a a 1log 1log log <<C.bb b ab a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6.（2010广州B ）已知函数f(x)=logax(a ＞0,a≠1)，如果对付于任性x ∈［3，+∞）皆有|f(x)|≥1创造，试供a 的与值范畴.变式：（2010广俗B ）已知函数f （x ）=log2(x2-ax-a)正在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.供真数a 的与值范畴.知识面6：幂函数的图象及应用 例7.(2009佛山B)已知面(22)，正在幂函数()f x 的图象上，面124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，正在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．变式：（2009掀阳B ）已知幂函数f(x)=x 322--m m （m ∈Z ）为奇函数，且正在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）供函数f(x);（2）计划F （x ）=a）（）（x xf bx f -的奇奇性.四：目标预测、胜利正在视1．（A ）函数41lg )(--=x x x f 的定义域为（ ）A ．(1，4)B ．[1，4)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，1]∪(4，＋∞)2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23（B ）设a>1，函数f(x)=logax 正在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之好为,21则a=( )(A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）44.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（ ）（A ）a b c << （B ）b ac << （C ）c b a << （D ）c a b << 5.（B ）设f(x)=1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f(x)>2的解集为（ ）(A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃（10，+∞）(D)（1，2）6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q <<Ｃ．Q R P <<Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．c a b 222>>B ．c b a 222>>C ．a b c 222>>D ．b a c 222>> 8．（B ）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()sin f x x = (B)()1f x x =-+(C)1()()2xx f x a a -=+ (D)2()2xf x ln x-=+9.（A ）函数y =的定义域是：（）A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1] D 23(,1] 10.(A)已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公同面A ，且面A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41- B ．41 C ．21- D ．2111．（B ）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定有（ ）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且12．(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 正在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）A.42B.22C. 41D.21 13.(A)已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有（ ）（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a（C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a14.（A ）已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） （A ）34（B ）8（C ）18（D ）2115．（B ）函数y ＝lg|x| （ ）A ．是奇函数，正在区间(－∞，0)上单调递加B ．是奇函数，正在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，正在区间(0，＋∞)上单调递加D ．是奇函数，正在区间(0，＋∞)上单调递减 16.（A ）函数3)4lg(--=x x y 的定义域是____________________________. 17．（B ）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定面A ，若面A 正在曲线10(0)mx ny mn +-=>上，则11mn+的最小值为 ．18．（A ）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________19．（B ）若函数f(x) = 1222--+a ax x 的定义域为R ，则a 的与值范畴为___________.20．(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a=．21.(B)已知函数xx xx f -+-=11log 1)(2，供函数)(x f 的定义域，并计划它的奇奇性战单调性. 参照问案：三：例题诠释，闻一知十 例1. 解：（1）92，（2）2a变式：解：（1）1, （2）.4514545)(45)·232321233136123abab ab b a b a b a b -=⋅-=⋅-=÷-=------ (3)110 例2. 解：B变式：解：)21,0(；例3. 解：（Ⅰ）1=b （Ⅱ）减函数. （Ⅲ）31-<k变式：解：（1）a=1.（2）略 例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）21.变式：解：(1).232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）2.（3）45例5. 解：选D.变式：解： C例6. 解：(1，3］∪［31，1） 变式：解：{a|2-23≤a ＜2}例7. 解：（1）当1x >或者1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．变式：解：（1）f(x)=x-4.（2）F （x ）=32bx x a-， ∴F （-x ）=2x a+bx3.①当a≠0，且b≠0时，F （x ）为非奇非奇函数；②当a=0,b≠0时，F （x ）为奇函数；③当a≠0,b=0时，F （x ）为奇函数；④当a=0,b=0时，F （x ）既是奇函数，又是奇函数. 四：目标预测、胜利正在视1—5 ADDDC ； 6—10 AADDA ； 11—15 CADDB.16. (-, 3)(3,4) 17. 4 18.21 19.[-1,0] 20.22 21．[解]x 须谦脚,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由 所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.果为函数)(x f 的定义域闭于本面对付称，且对付定义域内的任性x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xx x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数.钻研)(x f 正在（0，1）内的单调性，任与x1、x2∈（0，1），且设x1<x2 ，则 得)()(21x f x f >0，即)(x f 正在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 正在（－1，0）内单调递减.。
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指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质指数函数、对数函数和幂函数的图像和性质(1)指数函数和指数函数1。
公式(1)的根的根的根的根的概念符号表示备注。
如果被叫的次根是奇数，正数的次根是正数，负数的次根是负数。
如果负数的次根是零并且是偶数，则正数有两个次根。
他们彼此相对。
负数不是偶数。
N是奇数，N是偶数(2)。
两个重要的公式①；(2)(注意必须有意义)。
2.与有理数的指数幂有关的概念(1) ①正数的正分数指数幂:(2)正数的负分数指数幂: (3)正分数指数幂0等于负分数指数幂0。
注意: 分数指数幂和根公式可以互换，根公式通常用分数指数幂运算。
(2)有理数的指数幂的性质①aras=ar s(a0，r，s∈Q)。
②(ar)s=ar(A0，r，s∈Q).③(ab)r=ARB(A0，b0，r∈Q).3.指数函数y=axa101的图像和性质。
X0小时，01。
X1(3)在(-2)中(请注意，它必须有意义)。
2.与有理数的指数幂有关的概念(1) ①正数的正分数指数幂:(2)正数的负分数指数幂: (3)正分数指数幂0等于负分数指数幂0。
注意: 分数指数幂和根公式可以互换，根公式通常用分数指数幂计算。
(2)有理数的指数幂的性质①aras=ar s(a0，r，s∈Q)。
②(ar)s=ar(A0，r，s∈Q).③(ab)r=ARB(A0，b0，r∈Q).3.指数函数y=axa101的图像和性质。
X0小时，01。
X1(3)在(:如图所示，它是指数函数的图像(1) y=ax，(2)y=bx，(3)，y=CX (4)，y=dx。
如何确定碱基a，b，c，d和1之间的大小关系？提示:在图中画一条x=1的直线，交点与图像的纵坐标是它们各自基点的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab.也就是说，无论是在轴的左侧还是右侧，基数都是逆时针增加的。
(2)对数和对数函数1.对数的概念(1)对数的定义如果数字被称为底，对数被记录为，其中对数的底被称为真数。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log Na x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②l og 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。
本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。
二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。
性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。
图像：见附录图1。
三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。
性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。
当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。
图像：见附录图2。
四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。
性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。
当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。
图像：见附录图3。
五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。
性质：对数函数是指数函数的逆函数。
当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。
图像：见附录图4。
六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。
性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。
指对幂函数知识点总结
指对幂函数知识点总结一、指数函数指数函数的表达式为＼（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ≠1\））。
（一）图像特征1、当＼（a ＞ 1\）时，函数图像单调递增，且过点＼（（0, 1)＼）。
2、当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数图像单调递减，同样过点＼（（0, 1)＼）。
（二）性质1、定义域为＼（R\），值域为＼（（0, ＋＼infty)＼）。
2、当＼（x ＞ 0\）时，若＼（a ＞ 1\），则＼（a^x ＞ 1\）；若＼（0 ＜ a ＜ 1\），则＼（0 ＜ a^x ＜ 1\）。
当＼（x ＜ 0\）时，若＼（a ＞ 1\），则＼（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若＼（0 ＜ a ＜ 1\），则＼（a^x ＞ 1\）。
（三）指数运算1、＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）2、＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）3、＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）4、＼（a^0 ＝ 1\）（＼（a ≠ 0\））二、对数函数对数函数的表达式为＼（y ＝＼log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ≠ 1\））。
（一）图像特征1、当＼（a ＞ 1\）时，函数在＼（（0, ＋＼infty)＼）上单调递增。
2、当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数在＼（（0, ＋＼infty)＼）上单调递减。
（二）性质1、定义域为＼（（0, ＋＼infty)＼），值域为＼（R\）。
2、当＼（a ＞ 1\）时，＼（＼log_a x ＞ 0\）等价于＼（x ＞1\）；＼（＼log_a x ＜ 0\）等价于＼（0 ＜ x ＜ 1\）。
当＼（0 ＜ a ＜ 1\）时，＼（＼log_a x ＞ 0\）等价于＼（0 ＜ x ＜ 1\）；＼（＼log_a x ＜ 0\）等价于＼（x ＞ 1\）。
（三）对数运算1、＼（＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N\）2、＼（＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N\）3、＼（＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M\）4、＼（＼log_{a^b} M ＝＼frac{1}｛b} ＼log_a M\）（四）对数与指数的关系若＼（y ＝＼log_a x\），则＼（x ＝ a^y\），它们互为反函数，图像关于直线＼（y ＝ x\）对称。
指对幂函数知识点总结
指对幂函数知识点总结在数学的学习中，指对幂函数是非常重要的一部分内容。
理解和掌握它们的性质、图像以及运算规律，对于解决数学问题、提高数学素养有着至关重要的作用。
接下来，让我们一起深入地了解一下指对幂函数的相关知识。
一、指数函数指数函数的一般形式为＄y ＝ a^x$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$）。
（一）性质1、定义域：＄R$ ，即实数集。
2、值域：＄（0, ＋＼infty)＄，函数值恒大于零。
3、单调性：当＄a ＞ 1$ 时，函数在＄R$ 上单调递增；当＄0 ＜a ＜ 1$ 时，函数在＄R$ 上单调递减。
（二）图像特点1、当＄a ＞ 1$ 时，图像经过点＄（0, 1)＄，且在＄R$ 上呈上升趋势，从左至右逐渐上升。
2、当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，图像同样经过点＄（0, 1)＄，但在＄R$ 上呈下降趋势，从左至右逐渐下降。
（三）指数运算规则1、＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$ （＄a ≠ 0$）二、对数函数对数函数的一般形式为＄y ＝＼log_a x$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$）。
（一）性质1、定义域：＄（0, ＋＼infty)＄，真数必须大于零。
2、值域：＄R$ ，即实数集。
3、单调性：当＄a ＞ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
（二）图像特点1、当＄a ＞ 1$ 时，图像经过点＄（1, 0)＄，且在＄（0, ＋＼infty)＄上呈上升趋势。
2、当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，图像经过点＄（1, 0)＄，在＄（0, ＋＼infty)＄上呈下降趋势。
（三）对数运算规则1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$（四）指对数的互化当＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$ 时，＄a^y ＝ x$ 等价于＄y ＝＼log_a x$ 。
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（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
（2）．两个重要公式
①⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a
a n
n ；
②a a n
n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:(0,,1)m
n m n
a
a a m n N n *=>∈>、且;
②正数的负分数指数幂: 11
(0,,1)m n
m n
m
n
a
a m n N n a a
-
*=
=
>∈>、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s
=a r+s
(a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s
=a rs
(a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r
=a r b s
(a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质
（1）过定点（0，1）
n 为奇数 n 为偶数
注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x
的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？
提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1
>d 1
>1>a 1
>b 1
,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义
如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。
（2
2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（）：①，②，③，④。
（2）对数的重要公式：
①换底公式：； ②。
（3）对数的运算法则：
如果，那么
①N M MN a a a log log )(log
+=； ②N M N
M
a a a
log log log -=； ③)(log log R n M n M a n
a ∈=；
④b m
n
b a n
a m log log =。
象
性
质
（1）定义域：（0,+）
（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）
（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，
（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数
注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0<c<d<1<a<b.
4、反函数
指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
（三）幂函数
1、幂函数的定义
形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象
注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，，y=x-1方法：可画出x=x0；
当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x，， y=x-1；
当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，，y=x， y=x2，y=x3。
3、幂函数的性质
y=x y=x2y=x3y=x-1
定义域R R R[0，）
值域R[0，）R[0，）
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增x∈[0，）时，增；
x∈时，减增增x∈(0,+)时，减；
x∈(-,0)时，减
定点（1，1）。