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静力学第3章_力矩_平面力偶系
§3-4 平面力偶系的合成与平衡§3-1 力对点之矩§3-2 力偶与力偶矩§3-3 力偶的等效【本章重点内容】力矩和力偶的概念;力偶的性质;平面力偶系的合成与平衡.§3-1 力对点之矩§3-1 力对点之矩一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O 称为矩心，O 到力的作用线的垂直距离h 称为力臂.两个要素1.大小：力F 与力臂的乘积2.方向：转动方向力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负. 常用单位N ·m 或kN ·m .()()OO M F h M =±⋅=×r r r r F F rF（3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零.§3-1 力对点之矩r F（2）力对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变；r F （1）力对O 点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；r F r F解：根据力对点之矩的定义()3sin 20010N 0.4m 0.86669.2 N m O M F h Fl α=⋅==×××=⋅r F 正号表示扳手绕O 点作逆时针方向转动. 应该注意，力臂是OD ，而不是OA .例3-1 扳手所受力如图，已知F =200kN ，l =0.4m ，α=120°，试求力对O 点之矩.r F例3-2 齿轮啮合传动，已知大齿轮节圆半径r 2、直径D 2，小齿轮作用在大齿轮上的压力为，压力角为α0. 试求压力对大齿轮传动中心O 2点之矩.r F r F 解：根据力对点之矩定义()2O M F h=−⋅r F()2O M F h=−⋅r F 从图中的几何关系得2200cos cos 2D h r αα==()220cos 2O D M F α=−⋅r F 故负号表示力使大齿轮绕O 2点作顺时针方向转动.r F第三章力矩平面力偶系§3-2 力偶与力偶矩一、力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作(),′r r FF两个要素1.大小：力与力偶臂乘积2.方向：转动方向力偶矩ABC S d F d F M ∆±=⋅⋅⋅±=⋅±=2212力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂二、力偶矩三、力偶与力偶矩的性质（1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零；（2）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡；（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.()()()()11111,O O O M M M F d x F x Fd′′=+=⋅+−⋅=r r r r F F F F ()()222,O M F d x F x F d Fd′′=⋅+−⋅′==r r F F 力矩的符号力偶矩的符号M()O M rF M F d=⋅第三章力矩平面力偶系§3-3 力偶的等效一、平面力偶的等效定理在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效. 这就是平面力偶的等效定理.(P , P ′）可以沿着其作用线移动到l 1, l 2上任何一点.C 二、平面力偶等效定理证明在力偶( F , F ′)作用面上，任取两点A 和B ，分别过A 、B 两点作平行线l 1, l 2与F , F ′，二力作用线分别交于C 点和D 点；则(P , P ′）作用结果等效于( F , F ′)所以力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关.联结C 、D 两点，在CD 连线方向上加平衡力Q ,Q ′，则P= F+Q ，P ′= F ′+Q ′,F ′Q=力偶的等效自由矢量，与作用点无关===三、力偶的两个推论1.力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应；2.在保持力偶矩大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力偶臂的大小、力的大小而不影响它对物体的作用.第三章力矩平面力偶系§3-4 平面力偶系的合成与平衡已知;,,21n M M M L 任选一段距离d 11F dM=d F M 11=22F d M=dF M n n −=n n F d M=d F M 22==一、平面力偶系的合成=R 12n F F F F =++−L R12n F F F F ′′′′=++−L 合成后，得到合力偶M===R M F d =12n F d F d F d =++−L 12n M M M =++L 1ni ii M M M ===∑∑平面力偶系平衡的充要条件M = 0i M =∑平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.二、平面力偶系的平衡平衡方程合力偶M 的表达式1234iM M M M M M ==−−−−∑知道总切削力偶矩后，可以考虑夹紧措施，.顺时针方向转动04415N m 60N mM =−=−×⋅=−⋅例3-3 气缸盖上钻四个相同的孔，每个孔的切削力偶矩M 1=M 2=M 3=M 4=M 0=15N ·m ，转向如图，当同时钻这四个孔时，工件受到的总切削力偶矩是多大？解：四个力偶在同一平面内，因此这四个力偶的合力偶矩为例3-4 电动机联轴器，四个螺栓孔心均匀地分布在同一圆周上，孔的直径AC =BD =150mm ，电动机轴传给联轴器的力偶矩M 0=2.5kN ·m ，试求每个螺栓所受的力为多少？解：（1）以联轴器为研究对象假设四个螺栓受力均匀，每个螺栓反力四个反力组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡.1234F F F F ===（2）列平面力偶系平衡方程M =∑00M F AC F BD −×−×=而AC BD=故0 2.5kN m 8.33kN 220.15mM F AC ⋅===×例3-5 在框架的杆CD 上作用有一力偶，其力偶矩M 0为40N ·m . A 为固定铰链，C 、D 和E 均为中间铰链，B 为光滑面. 不计各杆质量，试求平衡时，A 、B 、C 、D 和E 处的约束反力.解：（1）先选取整个系统为研究对象，画受力图根据力偶由力偶平衡，必定与构成一力偶，故与平行且反向.B r F A r F A r F B r F平衡方程M =∑得0cos30A B M F F AB ==o 40N m 0.32m 0.866144N ⋅=×=0cos300A M F AB −+⋅=o F RA F RB（2）以杆CD 为研究对象，画受力图DE 为二力直杆沿ED 方向R D r F R C r F R D r F 必与平行且反向F RA F RB得R 5540N m 156N 40.32m 40.32mCM F ×⋅===××故R R 156ND C F F ==注意：本例题是由平衡力偶系平衡条件确定铰链反力方位.()()0R 220.2400.180.24C M F CD −+××=+0M =∑列平衡方程R D DE F F =O练3-1 已知M 1=2kN ·m ,OA=r =0.5m ,θ=30°，求平衡时M 2及铰链O 、B 处的约束力.解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图=∑M 0sin 1=⋅−θr F M A 解得8kN O A F F ==Ar O2M A F取杆BC ，画受=∑M A F ′⋅解得28kN mM =⋅8kNB A F F ==OA F Ar O2M θA r 2M一、平面内的力对点O 之矩是代数量一般以逆时针转向为正，反之为负.二、力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系. 力偶没有合力，也不能用一个力来平衡.平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关.()OM F h=±⋅rF四、平面力偶系的合成与平衡合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即∑=iM M 平面力偶系的平衡条件为=∑iM三、同平面内力偶的等效定理在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等彼此等效. 力偶矩是平面力偶作用的唯一度量.第三章力矩平面力偶系本章结束。
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§3-1、力对点之矩矢
（3）力对点之矩矢的基本性质 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应， 可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别 对该点之矩矢的矢量和。
即 MO =MO (F1 )+MO (F2 )
推广：力系（F1，F2，- - -，Fn）对刚体产生的绕一点的
（2）力F与z轴相交
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理论力学
Theoretical Mechanics
§3-2、力对轴之矩
5.力对任意l 轴（方向l°）之矩
Ml (F) MA(F)l
A为l 轴上任意一点
z
F
M A(F)
r l轴
y
对任意l 轴之矩的几何意义
A
l x
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力
§3-1、力对点之矩矢
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
一.平面力系中力对点之矩（代数量）
简称力矩
1.现象
2.定义 M0 F F d
F
o 力矩中心
d 力臂
力矩作用面
两个要素：
大小：力F与力臂的乘积 方向：转动方向
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同理：
Mx（F）= Fz y Fy z
My（F ) = Fx z Fz x
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§3-2、力对轴之矩 空间力对点的矩与空间力对轴的矩的关系（力矩关系定理）:
Mo (F )x yFz zFy M x (F )
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
力矩平面力偶
30◦
B RB
∑ mi = 0
R A ⋅ L sin 30o = M 2M 方向如图所示 R A = RB = L
15
16
NB =
60 = 300N 0.2
N A = N B = 300 N
14
平衡时, 处和 处的反力 处和B处的反力? [例2] 已知M 和 L，图示梁AB平衡时,A处和 处的反力? 解: BC 杆为二力杆
C M A L M RA
RB 沿BC 杆方向
由力偶只能与力偶平衡的性质， 由力偶只能与力偶平衡的性质， 与力R 组成一力偶。 力RA与力 B组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: 根据平面力偶系平衡方程有:
1
第三章 平面汇交力系 §3–1 力对点之矩 §3–2 力偶与力偶矩 §3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
2
§3-1 力对点之矩
一、平面上力对点之矩 力对物体可以 产生运动效应 移动效应——取决于力的大小、方向 取决于力的大小、 移动效应 取决于力的大小
转动效应——取决于力矩的大小、转向 取决于力矩的大小、 转动效应 取决于力矩的大小 r 点的矩， 力F 对O 点的矩，简称力矩 M O F = ± F ⋅ d + O 点称为力矩中心（简称矩心） 点称为力矩中心（简称矩心）
(
)
现沿力偶臂AB方向 现沿力偶臂 方向 r r 加一对平衡力 Q， Q′ r r r r r r 将Q， F合成R， 将Q′， F ′合成R′， r r 得到新力偶 R， R′ r r r r r r 将R和R′移到 A′, B′点， 则 R , R′ 取代了原力偶 F , F ′ ，
(
)
(
( )
( )
工程力学—第三章力矩与平面力偶系.
力臂是OD，而不是OA.
例 3-2 如图所示，F1 50 kN ， AB 6 m 。 F2 100kN， 试分别求F1 、F2 对 A 点的矩。
F1
B
30
解：力F1使杆 AB 绕 A 点逆时针转动
M A (F1 ) F1 AB
F2
C
50 6kN m 300 kN m
第 3 章 力矩与平面力偶系
§3-1 力对点的矩 §3-2 力偶与力偶矩 §3-3 平面力偶系的合成与平衡
§3-4 力的平移原理
力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。 力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的 转动效应，需引入力矩的概念。 主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。
1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 力偶对刚体只产生转动效应，而不产生移动效应; 力偶的两个力在其作用面内任一坐标轴上投影的代数 和均为零；则力偶没有合力，力偶不可能不能与一个 力等效，也不可能与一个力平衡。力与力偶是静力学 的二基本要素。 2、力偶中的两个力对其作用面内任一点的力矩的代数 为一个常数，并恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。 F M O F M O F
两力偶作用在板上，尺寸如图，已 知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上 的合力偶矩。 解：由式
F1 180mm F
例 题 3- 5
2
F4
F3
80mm
则 M = – F1 ·0.18 – F3 ·0.08 = -350 N·m
M = M1 + M2
图3-14
两个重要推论：
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F
F/
a bc d
F
ab
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21
性质2
力偶对其所在平面内任一点
的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的
位置无关，因此力偶对刚体的效
应用力偶 矩度量。
F
B Ad
x
O
F'
m O (F ) m O (F ') F (x d ) F 'xFd
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22
性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相
dA
A
dC
F
F=100N, 30 求 F对A、B、C三点之矩。
C D 解：由定义
B
m A (F ) F A d F As D i 3n 0 25 N 2 m
m C (F ) F C d F CsD i 3n 0 7 5 N m
由合力矩定理 m B (F ) F xA F B yA D F c3 o 0 A s F B s3 i n 0 A D 4.4 8 N 8 m
解：
图（a）： 图（b）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
MA = - 4×2×1 = -8 kN · m 完整编M辑Bppt= 4×2×1 = 8 kN ·m 8
[例3] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q )
解：①用力对点的矩法
在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和abb端水平反力端水平反力
§2–3 平面力偶系
《工程力学》教学课件第二章平面力系和平面力偶系
X=Fx=F cos=F sin Y=Fy=F cos = F sin F X 2 Y 2 Fx2 Fy2
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
合力投影定理：
合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数
和。
FRx X1 X2 X4 X
M O (F ) Fx h Fy h ctg F sin h F cos h ctg F h sin
例2-1 如图所示机构，已知：力P=15kN, 杆件BC=AC=1m，AC 与BC相互垂直且铰接于C。求：在力P的作用下杆件AC与BC所 受力的大小。
解法一：几何法
(1)选铰C为研究对象，进行分析。
（2）画出力多边形 ，通过测 量得：
FAC FBC 10.61kN
解法二：平衡方程法
（1）选铰C为研究对象； （2）取分离体画受力图，如图所示； （3）列平衡方程为
M O (F) Fh
方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示 为正），作顺时针转动为负，将O点到力O的作用线的垂 直距离h称为力臂。
说明：
① M0（F）是代数量； ②随着力F和垂直距离h的增大，物体转动效应明显； ③ M0（F）是影响转动的独立因素，当F=0或h=0时， M0
例2-2 已知：某物体铰接于点O ，物体上 点作用有力 F和Q ，力 F的作用线垂直于AO，AO与力Q的作用线夹角为α，O点到力Q作 用线的垂直距离为h ，如图所示。求：M0（F）和M0（Q） 。
解（1）由力对点之矩定义，得
h
M O (F) F sin
M O (Q) Q h
（2）应用合力矩定理，得
理论力学课件-力矩力偶与平面力偶系
（３）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。 3、力矩的两个要素 （1）大小：力与力臂的乘积
（2）方向：转动方向
注意：说明力矩时，要指明是哪个力对哪个点的 力矩
4
例 3-1 如图所示，F ， 2 1 ， A B 6m。 0 0k N 1 50kN F 试分别求F1 、F2 对 A 点的矩。
F1
M 0 ,F l M 0
i A
M1 0 0 F F k N2 0 k N B A l 5
12
FA 、FB 为正值，说明图中的假设方向是正确的。
例 3-4 如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力 偶的矩分别为 M 、 M 2 0 Nm ；固定 M 1 0 N m 3 1 2 螺柱 A 和 B 的距离 l 。若不计摩擦，试求两个 2 0 0 m m 固定螺柱所受到的力。 A 解：（1）选工件为研究对象
17
（2）画受力图
15
（3）列平衡方程
曲柄 OA ：
M0 ,
M F O A s i n 3 0 0 1 A
摆杆O1B ：
M0 ,
MF O A 0 2 A 1
OA 注意到， 、 FA FA sin 30 ， O1 A
解得:
M2 4M 1
16
推论 (2) 只要保持力偶矩大小和转向不变， 可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
M
9
力偶与力矩的区别和联系 1、力偶是自由量,可以在作用面内任意移动和转 动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于 矩心，与矩心的位置有关。
2、力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。
M M F F O O Fx ( d ) F x F d M