绝对值几何意义和绝对值方程
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的几何意义公式(二)
绝对值的几何意义公式(二)绝对值的几何意义公式绝对值在数学中是一个重要的概念，它表示一个数与零之间的距离。
在几何意义上，绝对值可以表示为一条有向线段的长度。
本文将列举一些与绝对值相关的公式，并给出解释和示例。
绝对值的定义绝对值是一个数的非负值，表示该数离零的距离。
绝对值的定义如下：|x| = x，如果x ≥ 0 |x| = -x，如果x < 0绝对值的几何意义公式1. 绝对值的定义表示根据绝对值的定义，可以将绝对值表示为一条线段的长度。
公式： |x| = AB，其中A是原点，B是点x的坐标位置示例：考虑点A(0, 0)和点B(3, 0)，则|3| = AB = 3。
2. 绝对值的线段平移绝对值函数|x - a|表示点x距离a的距离。
公式： |x - a| = PA，其中P是点a的坐标位置示例：考虑点P(2, 0)，点Q(5, 0)，则|Q - 2| = PQ = 3。
3. 绝对值的线段缩放绝对值函数|kx|表示点x与原点的距离缩放到原来的k倍。
公式： |kx| = k * |x|示例：对于点A(2, 0)，如果k = 3，则|3x| = 6.4. 绝对值的线段合并绝对值函数|x - a| + |x - b|表示点x到a，b两点的距离之和。
公式： |x - a| + |x - b| = PA + PB示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|5x - 16| + |3x - 8| = PA + PB。
5. 绝对值的线段交换绝对值函数|a - x| = |b - x|表示点x与a，b两点的距离相等。
公式： |a - x| = |b - x|示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|2 - x| = |6 - x|。
总结绝对值的几何意义公式在解决各种几何问题中起到了重要的作用。
通过几何意义公式，我们可以更好地理解绝对值的概念，并将其运用于实际问题中。
这些公式包括绝对值的定义表示、线段平移、线段缩放、线段合并和线段交换。
绝对值与方程及几何意义解题
绝对值与一元一次方程一、形如| x +a | = b 方法：去绝对值符号例1：| 2x – 1 | = 3 例2：4+2|x| = 3 |x|+2二、绝对值的嵌套方法：由外向内逐层去绝对值符号例1：| 3x – 4|+1| = 2 例2：x– 2|-1| =3三、形如：| ax + b | = cx+d绝对值方程方法：变形为ax + b =±（cx+d）且 cx+d≧0才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。
例1: | 5x + 6 | = 6x+5 例2: | x - 5 |+2x =-5利用“零点分段“法化简方法：求零点，分区间，定正负，去符号例1：化简：| x + 5 |+| 2x - 3 | 例2：|| x -1 |-2|+ |x +1| 练习化简：1、| x + 5 |+| x - 7 | +| x+ 10 | 2、四、“零点分段法”解方程“零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。
例1：| x + 1 |+| x - 5 | =4 例2：| 2x - 1 |+| x - 2 | =2| x +1 |练习：解方程1、3| 2x – 1 | = |-6|2、││3x-5│+4│=83、│4x-3│-2=3x+44、│2x-1│+│x-2│=│x+1│提高题：1、若关于X的方程││x-2│-1│=a有三个解，求a的值和方程的解2、设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b 的值. (“华杯赛”邀请赛试题)3、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.绝对值的几何意义解题一、求代数式的最小值1、求│x-1│+│x+2│的最小值2、求│x-3│+│x-4│+│x-5│的最小值3、求│x-1│+│x-2│+│x-3│+……+│x-1997│的最小值4、求│x-2│+│x-4│+│x-6│+……+│x-2000│的最小值二、解绝对值方程1、│x+1│+│x-3│=22、│x+1│+│x-2│-3=02、是否存在有理数x，使│x+1│+│x-3│=x？。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值不等式性质及几何意义
绝对值不等式性质及几何意义绝对值不等式性质及几何意义绝对值不等式简介在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。
它们都是通过非负数来度量的.。
公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|性质|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
两个重要性质：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|2.|a|＜|b| 可逆 a＜b另外|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成立，ab≤0时右边等号成立。
几何意义1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。
2.当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)绝对值重要不等式我们知道|a|={a，(a＞0)， a，（a=0)，﹣a，（a＜0)，}因此，有﹣|a|≤a≤|a|﹣|b|≤b≤|b|同样地①，②相加得﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即|a+b|≤|a|+|b|显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。
由③可得|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|，即 |a|-|b|≤|a+b|综合③，④我们得到有关绝对值（absolute value)的重要不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|【绝对值不等式性质及几何意义】。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义绝对值是数学中一个重要的概念，它具有代数意义和几何意义。
在代数中，绝对值表示一个数与零之间的距离，而在几何中，绝对值表示一个点在数轴上的位置。
代数意义：在代数中，绝对值常用符号“，x，”表示，其中x表示任意实数。
绝对值的定义是：x，=x,当x>=0x，=-x，当x<0绝对值的代数意义是表示一个数与零之间的距离。
无论一个数是正数还是负数，它与零的距离都是一个非负数。
例如，对于数-5来说，它与零的距离为5，即，-5，=5、对于数8来说，它与零的距离也是8，即，8，=8、因此，绝对值可以将负数转化为正数，而保持正数不变。
绝对值在代数中有多种应用。
首先，绝对值可以用来定义两个实数的大小关系。
例如，对于实数a和b来说，如果，a，<，b，则a的绝对值小于b的绝对值，即a的绝对值离零更近。
其次，绝对值还可以用来确定一个数的符号。
如果一个数的绝对值是正数，则该数为正数；如果一个数的绝对值是负数，则该数为负数。
几何意义：在几何中，绝对值被用来表示一个点在数轴上的位置。
数轴是一个直线，可以将实数一一对应地映射到数轴上的点。
绝对值表示一个点到原点的距离，且方向无关。
通过绘制一个数轴，我们可以将绝对值的几何意义更加直观地理解。
假设有一个点A在数轴上，它与原点O之间的距离为，x，点A在数轴上的位置取决于该点到原点的距离。
如果x>=0，则点A在原点的右侧距离为x；如果x<0，则点A在原点的左侧距离为-x。
无论点A在哪一侧，它的距离始终是非负数。
除了数轴，绝对值的几何意义还可以应用到平面几何中。
在平面几何中，绝对值可以表示一个点到原点的距离，在二维坐标系中常用来计算两个点之间的距离。
例如，对于点P(x1,y1)和Q(x2,y2)来说，它们之间的距离可以表示为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，sqrt表示平方根运算。
由于平方根运算的结果始终是非负数，因此绝对值用于确保距离始终是非负数。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值表达式的几何意义
从实际问题入手：
一个生产流水线上依次排着三个工作台A,B,C,三
个工人分别在工作台上工作，问只有一个检修工
具箱放在何处，才能使工作台上操纵机器的三个
工人每人取一次工具所走的路程之和最短？
A
B
∣
∣
C
∣
放在点B的位置上，他们所走的路程之和最短。
如果有五工作台呢？ 点c的位置;
A
B
∣
∣
有七个工作台呢？
C
D
E
∣
∣
∣
点D的位置;
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
A
B
C
D
E
F
G
探究二
当x=
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣有最小值，
最小值是多少？
思维点拨：
1、∣x－1∣表示的意义是什么？
2、∣x－2∣表示的意义是什么？
3、∣x－1∣ + ∣x－2∣表示的意义又是什么？
问题解决
解:设A：1，B：2，M：x
则AM=∣x－1∣，BM= ∣x－2∣
C. a c
D. a c
2.已知 a 在数轴上的位置如下图所示，化简
式子 a 1 的值为 －１ . a 1
a
-1 0
3.已知 a b a b 2b ，在数轴上给出
关于 a、b的四种情况如图所示，则成立的是
①、③ （写出所有正确的序号）
a0 b
①
b0
a
②
0a b
③
0b a
④
1.数轴上一动点A向左移动两个单位长度到达
－2012∣有最小值，最小值是多少？
当1006≤x≤1007时，原式有最小值. 它的最小值
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绝对值几何意义和绝对值方程
Ⅰ重点突破
重点针对复习
【重点知识点1】绝对值的几何意义
[针对训练1]
（南雅-15）1.阅读材料，回答下列问题：
数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5；
在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3；……
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
（1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之间的距离|AB|＝2，则x等于；
（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x．
①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝；若|x+2|+|x﹣4|═10，则x＝；
②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于．
2.先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．
3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．
（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．
4.已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的
数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝；
（2）当x＝时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．
若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．
【重点知识点2】绝对值得符号意义
[针对训练2]
1.（长培16-19）阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数
（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；
（2）当abc≠0时，求的值；
（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．
2.分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当
a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：
（1）当a＝5时，求的值．
（2）当a＝﹣2时，求的值．
（3）若有理数a不等于零，求的值．
（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．
3.有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，
（1）在图中标出﹣a，﹣b所对应的点，并用“＜”连接a，b，﹣a，﹣b，0；
（2）化简：|a|+|a+b|﹣2|b﹣a|．
4.已知a 是最大的负整数，b 是﹣5的相反数，c ＝﹣|﹣2|，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．
（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．
（2）若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动，动点Q 同时从点B 出发也沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P 可以追上点Q ？
（3）在数轴上找一点M ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于12，请求出所有点M 对应的数．
【重点知识点3】绝对值的方程
[针对训练3]
（广益17-8）1.己知|x |=2，y 2=9，且x ·y <0，则x +y =（ ）
A 、5
B 、－1
C 、－5或－1
D 、±1 （怡雅18-9）2.已知021=++-y x ，则=+y x ；
（长培18-17）3.
4. 解方程： |x ＋1|=5 |5-x|=5
5.已知(|x ＋1|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋1|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.
6.下列判断正确的是（ ）
A. 若b a =，则b a =
B. 若b a =，则b a -=
C. 若b a =，则b a =
D. 若b a -=，则b a -=
Ⅱ课时训练
1已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：01=a ，112+-=a a ，223+-=a a ，334+-=a a ，…，依次类推，则2018a 的值为（ ）
A. 1006-
B. 1007-
C. 1009-
D. 2018-
2. 若a a -=，则a 是（ ）
A. 0
B. 正数
C. 负数
D. 负数或0
3. 数a 、b 在数轴上的位置如图，下列不等式中，成立的是（ ）
A. b a =
B. 0>ab
C. 0>+b a
D. 0<+b a
4.（博才18-17）大家知道055-=，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子36-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离. 即点A 、B 在数轴上分别表示数a 、b ，则A 、B 两点的距离可表示为：b a AB -=，根据以上信息，回答下列问题：
（1）点A 、B 在数轴上分别表示实数x 和1-，若2=AB ，求x 的值；
（2）直接写出42-+-x x 的最小值及相应的x 的取值范围；
（3）已知1≤x ，1≤y ，且421--++++=x y y y x k ，求k 的最大值和最小值.
5. 设0a ，且||a x a ≤，试化简|1||2|x x +--.。