一元一次方程的应用之相遇追击问题
六年级数学上册知识讲义-4.3 一元一次方程的应用：追及问题(附练习及答案)-鲁教版(五四学制)
学习目标一、考点突破追及问题是两物体同向行驶，快的（后出发的）追上慢的（先出发的）。
通过本讲的学习，弄清这类问题的数量关系，能够正确找到相等关系并列方程求解，学会熟练地画线段图解决行程问题。
二、重难点提示重点：弄清追及问题的各种类型及其数量关系。
难点：环形跑道和时钟的问题。
考点精讲1. 追及问题的特点：两物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及问题。
这类常常会在考试考到，一般分为两种：一种是双人追及、双人相遇，此类问题比较简单；另一种是多人追及、多人相遇，此类则较困难。
2. 追及问题的数量关系：速度差×追及时间＝路程差，路程差÷速度差＝追及时间（同向追及）等。
这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间＝乙的时间，甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程；同地不同时：甲的时间＝乙的时间－时间差，甲的路程＝乙的路程。
3. 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和＝一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差＝一圈的路程。
示例甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲每分钟跑240米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，几分钟后两人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？思路分析：等量关系：两人同时同地同向出发，甲的路程－乙的路程＝400米两人背向跑：甲的路程＋乙的路程＝400米典例精讲例题1甲、乙两人练习赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米，他俩从同一地点起跑，乙先跑5米后，甲出发追赶乙。
设甲出发x秒后追上乙，则下列四个方程中正确的是（）A. 7x＝6.5x＋5B. 7x＝6.5x－5C. 7x＋5＝6.5xD.（7＋6.5）x＝5思路分析：首先理解题意找出题中存在的等量关系：乙跑的路程＝甲跑的路程，根据此等式列方程即可。
答案：设甲出发x秒钟后追上乙，则甲所跑的路程为7x，而此时乙所跑的路程为6.5x ＋5；根据此时“甲追上乙”那么他们的总路程应该相同，即7x＝6.5x＋5，故选A。
一元一次方程解题方法和技巧应用题
一元一次方程应用题解题方法和技巧一元一次方程应用题解题方法和技巧如下：方法：（1）和差倍分问题：①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长，公率......”来体现。
②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
③基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现在量=原有量+增长量。
（2）行程问题：基本数量关系：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。
路程=速度×时间。
①相遇问题：快行距+慢行距=原距。
②追及问题：快行距-慢行距=原距。
③航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度。
逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度。
技巧：1、注意语言与解析式的互化：如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”等。
2、注意从语言叙述中写出相等关系：如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。
3、注意单位换算：如，“小时”、“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。
一元一次方程：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
一元一次方程只有一个根。
一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。
公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。
16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题。
1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。
一元一次方程应用专题十大题型（包括数轴上动点问题）
一元一次方程应用专题十大题型（包括数轴上动点问题）一元一次方程应用题十大类型一：配套问题配套问题1. 某车间有52名工人生产甲、乙两种零件，每人每小时平均能生产15个甲种零件或18个乙种零件，1个甲种零件配4个乙种零件，则分配多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，恰好使每小时生产的甲、乙两种零件零件配套？2. 加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人生产大小齿轮，才能每天加工的大小齿轮刚好配套？二.利润问题1.某商场购进一批服装，每件服装的进价为200元，由于换季，商城决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的标价是多少？2.某商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则该商场总的盈亏情况（）A.亏损20元B.盈利30元C. 亏损50元D.不赢不亏三. 比赛积分问题1.小明参加竞赛活动，试卷由50道选择题组成，评分标准规定：选对一题得3分，不选得0分，选错一题倒扣1分.已知小明有5题没选，得103分，则他选错了_______道题.趣味应用题 '五羊杯'竞赛题2. 50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，即不会讲英语也不会讲日语的有8人，即会讲英语又会讲日语的有_______人.四工程问题1. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲乙合作，需要几小时完成？2. 某工厂原计划用26小时生产一批零件，后因每小时多生产5个，用24小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60个，问原计划生产多少个零件.五．行程问题1. 相遇问题例：A,B两地相距450km，甲乙两车分别从A,B两地同时出发，相向而行.已知甲车得速度为120km/h,乙车得速度为80km/h,经过t h两车相距50km，则t的值是____________.2．追及问题例：甲、乙两人练习跑步，甲每秒跑7m,乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m.设 x s 后甲追上乙，则可列方程_________.3.小李骑自行车从甲地到乙地，出发40分钟后，小王骑自行车从甲地出发，两人同时到达乙地，已知小李骑自行车的速度是15千米/时，小王骑电动车的速度时小李骑自行车的速度的3倍.求甲乙两地的距离.4.小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8点同时出发，到上午10点两人相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A,B两地间的路程.5.甲乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始移动，甲点依次顺时针方向环形，乙点依次逆时针环形，若乙的速度是甲的速度的4倍，则他们第2000次相遇在边（）。
数学教案-一元一次方程的应用之追及问题
数学教案－一元一次方程的应用之追及问题一、教学目标1.理解追及问题的基本概念，掌握追及问题的解题方法。
2.能够运用一元一次方程解决追及问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生分析问题、解决问题的思维能力和团队协作精神。
二、教学内容1.追及问题的基本概念和类型2.一元一次方程在追及问题中的应用3.追及问题的解题方法和步骤三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾一元一次方程的应用，如年龄问题、行程问题等。
（2）提出追及问题，让学生思考如何解决。
2.知识讲解（1）介绍追及问题的基本概念：追及问题是指两个物体在相对运动过程中，一个物体从后面追赶另一个物体，直到追上为止的问题。
（2）讲解追及问题的类型：直线追及和圆周追及。
（3）分析追及问题的解题思路：找出等量关系，列出方程。
3.案例分析（1）案例一：甲车从A地出发，以每小时60公里的速度行驶，乙车从A地出发1小时后以每小时80公里的速度追赶甲车，求乙车追上甲车需要多少时间？（2）引导学生分析案例，找出等量关系：甲车行驶的距离+1小时行驶的距离=乙车行驶的距离。
（3）列出方程：60x+60=80(x-1)。
（4）解方程：60x+60=80x-80，20x=140，x=7。
（5）得出结论：乙车追上甲车需要7小时。
4.练习巩固1.甲、乙两辆火车从相距600公里的两个车站同时出发，相向而行，甲车速度为每小时80公里，乙车速度为每小时100公里。
求两车相遇需要多少时间？2.一辆汽车从甲地出发，以每小时60公里的速度行驶，一辆自行车从甲地出发1小时后以每小时20公里的速度追赶汽车。
求自行车追上汽车需要多少时间？（2）学生展示解题过程，教师点评并给出正确答案。
（2）强调找等量关系、列方程的重要性。
（3）鼓励学生多练习，提高解决问题的能力。
四、课后作业1.完成课后练习题，巩固追及问题的解题方法。
2.收集生活中的追及问题，尝试用一元一次方程解决。
五、教学反思本节课通过讲解追及问题的基本概念、类型和解题方法，让学生掌握了运用一元一次方程解决追及问题的能力。
一元一次方程应用题归类汇集(含答案) (5)
一元一次方程应用题归类汇集一、一般行程问题（相遇与追击问题）1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间2.行程问题基本类型（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为。
2、某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？3、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？4、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。
如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。
⑴行人的速度为每秒多少米？⑵这列火车的车长是多少米？5、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。
汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。
出发地到目的地的距离是60千米。
问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）6、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。
7、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。
一元一次方程的应用之追及问题
一元一次方程的应用之追及问题问题描述追及问题是数学中一个常见的应用问题，也是一元一次方程的经典应用之一。
考虑如下情境：A 、B 两人从同一地点出发，A 的速度为 v1 m/s ，B 的速度为 v2m/s 。
如果 A 比 B 先出发 t 秒，那么 B 多久能追上 A ？构建方程为了解决这个追及问题，我们需要先构建一个一元一次方程来代表 A 和 B 的位置关系。
首先，我们根据题意可以得到 A 和 B 的距离和时间之间的关系：•A 的距离 = (A 的速度) * (时间 + t)，即 d1 = v1 * (t + t)•B 的距离 = B 的速度 * 时间，即 d2 = v2 * t其中，d1 和 d2 分别表示 A 和 B 的距离，t 表示 A 比 B 先出发的时间差。
根据题意，当 A、B 两人相遇时，他们的距离相等。
因此，我们可以得到以下方程：v1 * (t + t) = v2 * t将上述方程变换一下，得到一元一次方程的标准形式：v1 * t + v1 * t = v2 * t再进一步整理得到：(v1 - v2) * t = 0根据一元一次方程的定义，我们可以推断出 t = 0 或 v1 - v2 = 0。
由于 t 表示 A比 B 先出发的时间差，而实际问题中 A 必然比 B 先出发，所以 t 不能等于 0。
因此，我们只需考虑 v1 - v2 = 0 的情况。
当 v1 - v2 = 0 时，即 A 和 B 的速度相等，这时无论谁先出发，B 都无法追上 A。
因此，追及问题存在的条件是v1 ≠ v2。
判断追及问题是否有解在解追及问题之前，我们需要先判断问题是否有解。
根据一元一次方程的定义，我们知道如果方程的系数一致，方程有解。
因此，当v1 ≠ v2 时，追及问题有解；当 v1 = v2 时，追及问题无解。
解追及问题当追及问题有解时，我们可以利用一元一次方程的求解方法来计算出相遇的时间 t。
将 v1 和 v2 带入 t 的方程中，求解得到 t 的值。
一元一次方程的应用之追及问题
一元一次方程的应用之追及问题追及问题是一种经典的一元一次方程应用问题，常常出现在物理学、运动学以及交通领域中。
它描述的是两个物体相互追赶、追及的情况，通过建立一元一次方程来求解物体的速度、距离和时间等相关问题。
例如，假设有两个人A和B，他们在同一条直线上同时从不同的位置出发，A的速度是5米/秒，B的速度是4米/秒。
问题1：如果A和B同时出发后，多久之后他们能够相遇？问题2：相遇时，A和B分别走了多少米？首先，可以设定A和B同时出发的时间为t，那么A和B在t时间内分别走过的距离可以用速度乘以时间来表示。
根据题目中给出的数据，A 和B的速度分别是5米/秒和4米/秒，那么他们走过的距离可以表示为：A的距离=5tB的距离=4t问题1：他们相遇的时间是多久？由于他们在相遇时走过的距离是相等的，所以我们可以将A的距离和B的距离相等，即5t=4t。
解这个方程可以得到t=0，表示他们在出发后立即相遇。
但根据题意可知，他们是同时出发的，所以这个解是不符合实际情况的。
因此，我们可以设定他们相遇的时间为t，即5t=4t。
解这个方程可以得到t=0。
这个解同样不符合实际情况，所以可以排除。
问题2：相遇时，A和B分别走了多少米？我们可以将相遇时的距离设为d，即A和B相遇时的距离是d，那么根据上面的分析，A和B分别走过的距离分别是5d和4d。
根据题意，A 和B相遇时的距离是相等的，所以可以写出5d=4d，从而解得d=0。
同样不符合实际情况。
通过上面的分析可以看出，在这个问题中，A和B根本无法相遇。
这是因为在他们的出发速度中，A的速度5米/秒大于B的速度4米/秒，A 始终能够保持在B的前方，无论经过多久都不可能相遇。
通过这个例子，我们可以看到追及问题中一元一次方程的应用。
尽管上述问题中我们没有得到实际的解，但这并不妨碍追及问题在实际情况中的应用。
例如，在交通运输领域中，追及问题可以用于计算不同车辆之间的距离，以及不同车辆的相对速度和时间。
一元一次方程应用题公式大全
一元一次方程应用题公式大全一、行程问题。
1. 基本公式。
- 路程 = 速度×时间（s = vt）。
- 速度=s÷ t，时间=s÷ v。
2. 相遇问题。
- 公式：s_总=v_1t + v_2t=(v_1+v_2)t（s_总表示总路程，v_1、v_2分别表示两者的速度，t表示相遇时间）。
- 例题：甲、乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲的速度是3千米/小时，乙的速度是2千米/小时，几小时后两人相遇？- 解析：设t小时后两人相遇。
根据相遇问题公式s_总=(v_1+v_2)t，这里s_总 = 20千米，v_1=3千米/小时，v_2=2千米/小时。
则(3 + 2)t=20，5t = 20，解得t = 4小时。
3. 追及问题。
- 公式：s_追及=v_1t - v_2t=(v_1-v_2)t（s_追及表示追及路程，v_1表示快者速度，v_2表示慢者速度，t表示追及时间）。
- 例题：甲、乙两人相距5千米，甲以6千米/小时的速度追赶乙，乙以4千米/小时的速度逃跑，甲几小时能追上乙？- 解析：设甲t小时能追上乙。
根据追及问题公式s_追及=(v_1-v_2)t，这里s_追及=5千米，v_1=6千米/小时，v_2=4千米/小时。
则(6 - 4)t=5，2t = 5，解得t = 2.5小时。
二、工程问题。
- 工作总量 = 工作效率×工作时间（W = p× t）。
- 工作效率=W÷ t，工作时间=W÷ p。
通常把工作总量看成单位“1”。
2. 合作问题。
- 公式：1=(p_1+p_2)t（p_1、p_2分别表示两者的工作效率，t表示合作时间）。
- 例题：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作需要几天完成？- 解析：设两人合作需要t天完成。
甲的工作效率p_1=(1)/(10)，乙的工作效率p_2=(1)/(15)。
根据合作问题公式1 = ((1)/(10)+(1)/(15))t，(1)/(10)+(1)/(15)=(3 +2)/(30)=(1)/(6)，则(1)/(6)t = 1，解得t = 6天。
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解得 x=3
答：设B车行了3小时后与A车相遇。
（2）若两车同时相向而行，请问B车行了多
长时间后两车相距80千米？ A
甲
线段图分析：
50 x
80千米
30 x B
乙
第一种情况：
A车路程＋B车路程＋相距80千米=相距路程
线段图分析：
A
80千米
B
乙
甲
第二种情况：
A车路程＋B车路程-相距80千米=相距路程
甲
50 x
30 x
B
乙
A车路程＋B车路程=相距路程
若设B车行了x小时后与A车相遇，显然A车相遇时也行了x
小时。则A车路程为 50 x 千米；B车路程为 根据相等关系可列出方程。
30 x 千米。
相等关系：总量=各分量之和
A车路程＋B车路程=相距路程 A
甲
50 x
30 x
B
乙
解：设B车行了x小时后与A车相遇，根 据题意列方程得 50x+30x=240
80x米 追 及 地
180x米
相等关系： 小明先行路程 ＋ 小明后行路程 =爸爸的路程
分析
家
学 校
400米
80x米 追 及 地
180x米
（1）解：设爸爸要 x分钟才追上小明，依 题意得： 180x = 80x + 5×80 解得 x=4 答：爸爸追上小明用了4分钟。
变式练习
分析
叔叔 小王
3、小王、叔叔在 400米长的环形跑道上练 （1）反向 习跑步，小王每秒跑5米， 叔叔每秒跑7.5米。
（1）若两人同时同地反 向出发，多长时间两人
首次相遇？
（2）若两人同时同地同 向出发，多长时间两人 首次相遇？
相等关系： 小王路程 + 叔叔路程 = 400
变式
练习
分
析
叔叔 小王
3、小王、叔叔在 400米长的环形跑道上练 （2）同向 习跑步，小王每秒跑4米， 叔叔每秒跑7.5米。
（1）若两人同时同地反 向出发，多长时间两人
首次相遇？
（2）若两人同时同地同 向出发，多长时间两人 首次相遇？
相等关系：
小王路程 + 400 = 叔叔路程
归纳： 在列一元一次方程解行程问题时,我们 常画出线段图来分析数量关系。用线段图 来分析数量关系能够帮助我们更好的理解 题意，找到适合题意的等量关系式，设出 适合的未知数,列出方程。正确地作出线段 图分析数量关系，能使我们分析问题和解 问题的能力得到提高。
A车速度〉乙车速度 4、如果A车能追上B车，你能画出线段图吗？
A（B）
甲
乙
相等关系： B车先行路程 ＋ B车后行路程 =A车路程
精讲例题
例1、 A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲
车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。
（1）若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后与A车相遇？
A 线段图分析：
追击问题
例2、小明每天早上要在7:50之前赶到距离家 1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度 出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，
于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且
在途中追上他。
（1）爸爸追上小明用了多少时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
分析
家
学 校
400米
用一元一次方程分析和解决实际问题的 基本过程如下:
实际问题
列方程
数学问题 (一元一次方程) 解 方 程
实际问题的 答案
检验
数学问题的解 (x=a)
相Байду номын сангаас问题
想一想回答下面的问题： 1、A、B两车分别从相距S千米的甲、乙两地同时出 发，相向而行，两车会相遇吗？ A
甲
B
乙
2、如果两车相遇，则相遇时两车所走的路程与A、 B两地的距离有什么关系？
相等关系：总量 =各分量之和 相等关系： A车路程 ＋ B车路程 =相距路程
想一想回答下面的问题：
3、如果两车同向而行，B车先出发a小时，在什么 情况下两车能相遇？为什么？