6第六节能控性能观测与传递函数的关系
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
3-3 能控性、能观性与传递函数
B PO B
CO
y [1 0
C CPO 1
线性变换后
0 xO 2 xO 2
0 0 x O 1 u 0 x O 1 1
xO 0 ] xO
即：
s n y ( s ) a n 1 s n 1 y ( s ) a1 sy ( s ) a0 y ( s ) β0 u ( s ) y ( n ) a n 1 y ( n 1) a1 y a0 y β0 u
进行拉普拉斯反变换 选择系统的状态变量
（51）
3.9
实现问题
在基于状态空间方法分析和设计控制系统时，要知道系统的状态空间表达式。然 而在有的情况下，只知道系统的传递函数（矩阵），这时就要将给定的传递函数 （矩阵）描述变成与之输入输出特性等价的状态空间表达式描述。这个问题称为 系统实现问题。这里只讨论SISO系统的实现问题。
如果给定一个传递函数 g (s ) ，求得一个系统方程
（37）
y β0
a1
β1
β n 1 x du
3.7
能控性、能观性与传递函数的关系
x Ax B u y Cx
1
考察SISO线性定常系统 （40）
其传递函数为
g ( s ) C [ sI A] b
C adj[ sI A] b det[ sI A]
x Ax B u y Cx
（52） （53）
或者
x Ax bu y Cx du
注：当传递函数分子的阶次小于分母的阶次时，有（52）式形式； 当传递函数分子的阶次等于分母的阶次时，有（53）式形式。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
传函与能控和能观性之间的关系
能控性； 若在c(sI-A)-1和c(sI-A)-1b的计算均有零极点对消发生，即同时发生ห้องสมุดไป่ตู้输出
方程和状态方程中，则影响能观性和能控性； 若零极点对消发生在预解矩阵 (sI-A)-1中， A的最小多项式阶次小于其特
征多项式阶次，表明约当标准型中等特征值对应多个约当块，可以证明，系 统必是不能控、不能观的。
可见把单输入单输出系统两个串联子系统的位置次序互换，在传递函数发生零极点 相消时，其能控性与能观性的结论也将互换。
能控、能观性和传递函数的关系
同一个系统 的不同状态空间模型会带来能控性和能观性的差 异
利用零极点对消判断单-单系统的能控性、能观性
W (s) c(sI A)1 b
若零极点对消发生在 c(sI-A)-1 的计算中，即发生在输出方程中，则影响 能观性； 若零极点对消发生在 c(sI-A)-1b的计算中，即发生在状态方程中，则影响
W (s) c(sI A)1 b
的分子分母无零极点对消。 若W(s)出现零极点对消，辅以传递函数实现的具体结构， 可
以判断不能控或不能观的具体情况。
中的零极点对消
若传递函数存在零极点对消,则 传递函数的部分分式中缺少 相应项.
例4.33 分析α=γ时系统的能控性与能观性。
U(s)
s s
X2(s)
1 s
Y(s) X1(s)
为串联关系
W ( s)
s 1 s s
W (s) 1 s
若α=γ，出现零极点对消。
系统状态结构图为
u
s 1 s s
-
x
2
∫
x2
-
x
自动化--能控性与能观测性
能控性与能观测性现代控制理论的能控性能观测性是建立在状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程，输出方程则描述了由状态的变化引起输出y(t)的变化，能控性能观测性就是分析输入u(t)对状态x(t)的控制能力和输出y(t)对状态的反映能力，一个系统若具有能控性和能观测性，人们就可以对它实施最优控制。
一、引言1960年卡尔曼提出系统的能控性和能观测性问题，它是系统的两个基本特征。
对经典控制理论所讨论的SISO(单输入单输出系统)，它的输入量和输出量之间的动态关系可唯一的由系统的传递函数确定，即唯一输入对应唯一输出，而且输出可观测也可唯一确定输入。
现代控制理论着眼于分析、优化和控制MIMO（多输入多输出）系统内部特性和动态变化状态，其状态变量向量维数一般比输入向量维数高，并且有时还不能测量，所以存在系统内部状态能量控制和能观测问题。
二、能控性能控系统：假设系统初时刻处于状态空间任一点x=x(t0),倘若能够找到容许控制函数(输入)u在有限时间区间j内将系统由初态x转移到状态空间原点x(tj)=0则称为能控系统。
能达系统：假设系统初始时刻位于状态原点x(t)=0,倘若能够找到容许函数(输入)u 在有限时间内将系统由初态转移到状态空间任一点x(t)=x则称系统为能达系统。
对于线性连续系统，能控和能达是等价的，对线性离散系统则不同。
线性定常系统状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵QK=[B AB……An-1B]满秩(代数判据)，如果A为某个特征值有一个或者多个约旦矩阵则系统能控的充要条件是对于A的每个特征值的约旦块的B分块的最后一行都不全为零。
线性定常连续系统的输出的能控性判据为能控矩阵[CB CAB……CAn-1B]满秩（模态判据）。
能控性判据可以通过MATLAB直接得出矩阵的秩。
三、能观测性为了抑制干扰，降低参数灵敏度以构成最优系统，控制系统大多采用反馈形式，而反馈信息一般由系统的状态变量组合而成，但并非所有的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否通过输出的测量获得全部变量信息的问题，既可观测性。
自动控制原理习题及答案
1. 采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。
答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。
去掉采样开关后的连续系统输出表达式为对闭环系统的输出信号加脉冲采样得再对上式进行变量替换得2. 已知采样系统的结构如图所示，，采样周期=0.1s。
试求系统稳定时K的取值范围。
答案:首先求出系统的闭环传递函数。
由求得，已知T=0.1s，e-1=0.368，故系统闭环传递函数为，特征方程为D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0将双线性变换代入上式得+1 4 +( 7 -0.632K)=0要使二阶系统稳定，则有K＞0，2.736-0.632K＞0故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。
3. 求下列函数的z变换。
(1). e(t)=te-at答案:e(t)=te-at该函数采样后所得的脉冲序列为e(nT)=nTe-anT n=0，1，2，…代入z变换的定义式可得E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(n )z-n+…= + e-aT z-1+2Te-2aT z-2+…+n e-naT z-n+…= (e-aT z-1+2e -2aT z-2+…+ne-naT z-n+…)两边同时乘以e-aT z-1，得e-aT z-1E(z)=T(e-2aT z-2+2e-3aT z-3+…+ne-a(n+1)T z-(n+1)+…)两式相减，若|e-aT z-1|＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得最后该z变换的闭合形式为(2). e( )=答案 e( )=对e( )= 取拉普拉斯变换．得展开为部分分式，即可以得到化简后得(3).答案:将上式展开为部分分式，得查表可得(4).答案:对上式两边进行z变换可得得4. 求下列函数的z反变换(1).答案:由于所以得所以可得(z)的z反变换为e(nT)=10(2n-1)(2).答案:由于所以得所以E(z)的z反变换为e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1(3).答案:由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…所以其反变换为e*( )= δ( -T)- δ( - )+1 δ( -5T)-14δ( -7 )+18δ( -9 )+…(4).答案:解法1：由反演积分法，得解法2：由于所以得最后可得z 反变换为5. 分析下列两种推导过程：(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有答案:(2). 对于和(1)中相同的(k)，有x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。
(整理)控制系统的能控性和能观测性
第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。
二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。
判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。
对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。
现代控制理论能控性和能观测性
I A1
B
I A
B f
(3-21)
式中B 为元素埏是I A的伴随矩阵。方程(3-21)两端右 乘 I A得：
BI A f I
(3-22)
由于 B 的元素 I A代数余子式，均为 n 1 次多项式，
故据矩阵加法运算规则，可将其分解为n个矩阵之和：
B
B n1 n1
B n2 n2
Bn1 I
Bn2 Bn1A an1I
Bn3 Bn2A an2I
M
B0 B1A a1I
B0A a0I
Bn1An An
Bn2An1 Bn1An an1An1
Bn3An2 Bn2An1 an2An2 M
0 1 M 1 －2 M 2 3
S2 G2 G2 L 2G2 0 0 M 0 1 0 M 0
0 M 0 0 1 M 1 －2
显见出现全零行，rankS2 2 3 ，故不能控。
多输入系统能控阵 S2，其行数小于列数，在计算列写能控阵时， 若有显时见可通过矩计S阵2算的秩为Sn的2，秩S便T2 是不否必为把n来判矩断S阵2多的输所入有系列统都的写能出控。性。 这只是需因计为算，一当次n阶非行奇列S异式2 时即，可确定能必S控非2 性奇ST2，异但，在而计算 为S方2 S阵T2 ，
系统矩阵 的阶数，或系统特征方程的阶次数。
以上研究假定了终态 x 0 0。若令终态为任意给定状态xn
则方程(3-2)变为：
n 1
nx 0 x n n1igu i
i0
(3-9)
方程两端左乘 n ，有
x 0－nx n 1g 2g L
u0
ng
u 1
M
u n 1
(3-10)
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3
试判断可控及可 观测性。
x
1
2
1
x
2
u
0
4
0
y 0 1 1 0 x
[解]：可控性矩阵：Pc B A B A 41 B
1 3 9 27
2
2
2
2
0 0 0 0
0
0
0
0
ranPkc 24,所以系统状态不控 完。 全可
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6
可观测性矩阵：Po CT AT CT (AT )2CT (AT )3CT
1 A 0
05,eAt Pe0t
e0 5tP1
状则态随方着程t 的 解，为x1(：t)x或 xe 2A (tt)x( 0) ，0 t即eA 在(t系)B 统u(中)间d存。e在At 中、有隐藏e t 项着，不
稳定的因素。
4/6/2020
4
从上面的讨论可以看出：传递函数中有零极点对消时，与 内部描述是不等价的。有零极点对消会丢掉很重要的信息。那 末，传递函数在什么样的条件下才能完整地描述系统呢？
1
s3
1
G(s)C(sIA)1B0 1 1 0
s1 1
1 2 2 0 s1
s2 1 0
s4
其特征根为-1，对应的状态变量是x 2 ，构成了可控可观测子
空间。所以说，当且仅当系统的状态完全可控可观测时，系统
的外部描述等价于内部描述。
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10
应当指出：①当传递函数有零极点相消时，由于选择状态变量 的不同，它们可以分解为可控可观测子空间和不可控可观测子 空间；也可分解为可控可观测子空间和可控不可观测子空间。
[卡尔曼-吉伯特定理]：一个给定系统的传递函数，仅表示了系 统既可控又可观测的那部分系统，而不反映不可控可观测，可 控不可观测，不可控不可观测子空间部分。
一般，系统的状态空间可分解为四个子空间：可控可观测， 不可控可观测，可控不可观测，不可控不可观测子空间。
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5
[例7-6-1]设有系统：
②当传递函数无零极点相消时，线性满秩变换不影响系统的可 控可观测性。
[例7-6-2]系统为：G(s)
sa ，当a1,2,3时，写成
(s1)s(2)s(3)
的动态方程一定是可控可观测的；当 a1,2,3 时，有零极点相
消，动态方程可以写成可控不可观测或不可控可观测两种形式。
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11
-
s 4 + y(s) +
1 s1
其传递函数为：G(s)y(s) (s1)2 s1 u(s) (s1)s(5) s5
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2
过程中，分子分母消去了(s-1)，有零、极点相消，其结果是 稳定的。若不相消，则闭环极点为1，-5，显然是不稳定的。这 种相消是否可以呢？
下面我们用内部描述来分析。选择状态变量如下图：
0 0 0 0 1 1 1 1
1 2 4 8 0 0 0 0
ranPko 24,所以系统状态不观 完测 全。 可
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7
使用可控、可观测判据二，可得： （请自行推导） x 1,x2 可x 控 3,x4 不 ， ； 可 x 1,x4 不 控可 x2,观 x3 可测 观， 测
则系统的状态空间可以分解为：
第六节 能控性、能观测性与 传递函数的关系
4/6/2020
1
用数学模型描述系统，通常有两种描述方法：外部描述
（使用传递函数阵）和内部描述（动态方程，状态空间描述）。
这两种描述是否等价呢？应该说，内部描述比外部描述更深刻。
Kalman指出：两种描述的等价是有条件的，不是绝对等价的。 举下例说明：
5
u(s) 设系统如图：
①可控可观测子空间：x 2 ②可控不可观测子空间：x 1 ③不可控可观测子空间：x 3 ④不可控不可观测子空间：x 4
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8
用结构图表示如下：
1
u
2
x1
-
s 1
3
x2
-
s 1
1
x3
-
s 1
2
x4
-
s 1
4
x1
x2
+y
x3 +
x4
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9
根据卡尔曼-吉伯特定理，若用传递函数阵G ( s ) 表示系统时， 只能反映能控能观测部分，来看看是否如此。
u (t )
5
x1
-
s 1
x1
+ y(t)
-
4
+
x 2 s 1 x2
1
状态方程为： x x 1 2 y5 (ux 2 x2x)1 4 ux 1x2x2x1u
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3
写成矩阵形式： x1 x2
4
1
5 x1 0x2
15u
y 1
1
x1 x2
u
其特征值为1，-5，所以 A 阵可以转化为对角阵。