极坐标

1.极坐标系的概念：在平面上取一个定点O叫做极 点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度 单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时 针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面上的任一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极 轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫 做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为 点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)M 点的直角坐标为(2,0)． N 点的直角坐标为0，233. 所以 P 点的直角坐标为1， 33， 则 P 点的极坐标为233，π6， 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝π6(ρ∈R)．
(1)极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴分别与原 点、x 轴正半轴重合时，可用 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 将极坐标 方程化为直角坐标方程；反之，利用 ρ2＝x2＋y2，tanθ＝xy(x≠0) 可以将直角坐标方程化为极坐标方程．
考点串串讲
1．极坐标系 (1)一般地，在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX， 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为 正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点 O 称为极点，射 线 OX 称为极轴． 设 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 OX 为始边，射线 OM 为终边所成的角，那么，有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置． 其中，ρ 称为点 M 的极径，θ 称为点 M 的极角． 由极径的意义可知 ρ≥0.当极角 θ 的取值范围是[0,2π)时，平面 上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我 们规定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可以取任意角．
【分析】 依条件利用公式x＝ρcosθ，y ＝ρsinθ化为直角坐标方程后求解．
【解】 (1)由 ρcosθ－π3＝1 得 ρ12cosθ＋ 23sinθ＝1.
从而 C 的直角坐标方程为12x＋ 23y＝1， 即 x＋ 3y＝2. 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． 当 θ＝π2时，ρ＝233， 所以 N233，π2.
解析：将 ρ(cosθ＋sinθ)＝1 与 ρ(sinθ－cosθ)＝1 分别化 为直角坐标方程得 x＋y＝1，y－x＝1，解得交点坐标为(0,1)， 故其极坐标为1，π2.
答案：1，π2
在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ： x′＝3x， 2y′＝y，
(1)求点 A13，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标； (2)求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得的直线 l′的方程； (3)求双曲线 C：x2－6y42＝1 经过 φ 变换后所得到的曲线
C′的焦点坐标．
【解】 (1)设 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：
x′＝3x 2y′＝y
x′＝3x 得到y′＝12y
，由于 A(x，y)为13，－2，
∴x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1， ∴A′的坐标为(1，－1)．
(2)设直线 l′上任意一点 P′(x′，y′)，则 x＝13x′ ，将x＝13x′ 代入 y＝6x 得 y＝2y′ y＝2y′ 2y′＝6×13x′，即 y′＝x′ ∴直线 l′的方程为 y＝x.
当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与 x 轴
的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，平面内任意一
点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则有互化公式
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
和ρta2n＝θx＝2＋yxyx2≠，0.
(4)在极坐标与直角坐标相互转化的两组公式中，把极坐标化为 直角坐标得到的点的坐标是唯一的，但在把直角坐标化为极坐标时， 所得的极坐标就不唯一，为了避免这一麻烦，通常在没有特别说明 时，可取 ρ≥0，θ∈[0,2π)(最小非负角)，有时也可取 θ∈(－π，π](绝 对值最小角)．
【考点分析】 (1)考查极坐标系与极坐标． (2)考查点的极坐标与直角坐标的互化． (3)考查特殊圆与直线的极坐标方程． 【复习指导】 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直 角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的 曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思 想的应用．
解法二：将极坐标化为直角坐标，点 A1，π2的直角坐标为 A(0,1)，直线 l 的直角坐标方程为 x＋y＝0，
若线段 AB 最短，则 AB⊥l，且 B 为垂足．
过 A 与 l 垂直的直线方程为 y－1＝x，
联立方程xx＋－yy＝＋01＝0
，得 B 点坐标为－12，12，
答案：2，34π
4．在极坐标系中，若点 A，B 的坐标分别为3，π3， 4，－π6，则|AB|＝________，S△AOB＝________(其中 O 是 极点)．
答案：5 , 6
5．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1 与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．
(3)设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，则
x＝13x′ y＝2y′
，将x＝13x′ y＝2y′
，代入 x2－6y42＝1
得x′9 2－4y6′4 2＝1，化简得x′9 2－y1′62＝1，∴曲线 C′
的方程为x92－1y62＝1.可见曲线 C′仍为双曲线，且焦点坐标
为 F1(－5,0)、F2(5,0)．
再化为极坐标为 22，34π.
在极坐标系中，圆心在( 2，π)且过极点 的圆的方程为________．
解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB＝2 2＝sinθ－ρ 90°，化简得 ρ＝－2 2cosθ.
答案：ρ＝－2 2cosθ
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ， ρ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
【分析】 利用极坐标与直角坐标的互化公式求 解．
【解】 (1)ρ＝4cosθ，两边同乘以ρ， 得ρ2＝4ρcosθ；ρ＝－4sinθ，两边同乘以ρ， 得ρ2＝－4ρsinθ. 由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为 x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.
|3×1＋324＋×402＋a|＝1，解得 a＝－8 或 a＝2. 故 a 的值为－8 或 2.
在极坐标系中定点 A1，π2，点 B 在直线 l：ρcosθ ＋ρsinθ＝0 上运动，当线段 AB 最短时，求点 B 的极坐标．
【分析】 利用极坐标或直角坐标求 解．
【解】 解法一：ρcosθ＋ρsinθ＝0， ∴cosθ＝－sinθ，tanθ＝－1. ∴直线的极坐标方程化为 θ＝34π(直线如图)． 过 A 作直线垂直于 l，垂足为 B. ∴|OB|＝ 22. ∴B 点的极坐标为 22，34π.
2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作 为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设 M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标 分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcosθ y＝ρsinθ
，
ρ2＝x2＋y2 tanθ＝xyx≠0
.
3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且 极轴到此直线的角为α，则它的方程为：
在同一坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换 x′＝x， y′＝12．
x′＝x， 解：将y′＝12y 代入 y′＝lg(x′＋5) 得12y＝lg(x＋5)， 即 y＝2lg(x＋5)为所求曲线 C 的方程.
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系．曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1， M、N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点． (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
(2)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程 ρ＝ρ(θ)的图 形的对称性：
若 ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称； 若 ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线 θ＝π2所在的直线对称； 若 ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点 O 对称．
●两种互化 (1)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式 ρ＝ x2＋y2，tanθ＝xy(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 tanθ＝xy(x≠0) 求 θ 时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果 允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ＋2kπ(k∈Z) 即可． (2)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等， 还经常会用到同乘(或除以)ρ 等技巧．
1.在极坐标系中，若点 A，B 的坐标分别是3，π3，
4，－π6，则△AOB 为(
)
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
解析：由题意知∠AOB＝π3－－π6＝π2，故选 B.
答案：B
2．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
(3)直线过 Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.
4．圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0，θ0)，半径 为r的圆方程为：
(2)极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度
单位及它的方向．
注意 如果(ρ，θ)是点 M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ
＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点 M 的极坐标．但这样建立的极坐标