利用极坐标计算二重积分(解答)
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利用极坐标系计算二重积分
π 2 π 2 a cos θ 0
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
用极坐标计算二重积分
D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x
D1
(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2
( x 2 y 2 4)dxdy
3
0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2
2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2
作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv
2
例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1
a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.
利用极坐标系计算二重积分%
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r 1 ( )
r 2 ( )
,
D
1 ( ) r 2 ( ).
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
区域特征如图
r ( )
,
0 r ( ).
o
D
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
0 2,
区域特征如图
r 1 ( )
D
,
r 2 ( )
1 ( ) r 2 ( ).
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（２）
故
e
D
y x y x
1 dxdy e dudv 2 D
u v
u v
1 2 1 dv e du (e e 1 )vdv e e 1 . v 2 0 2 0
2 v
例2
计算
D
x2 y2 1 2 2 dxdy , 其中 D 为 a b
-二重积分在极坐标下的计算法及应用
rk rk
k
1 2
rk2
k
rk rk k
又rkkxy
k
r cos rksinrk
所以面积元素为 d r dr d
f (x, y) d f (r cos, r sin ) r drd
D
D
6
二、极坐标系下二重积分的计算公式
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
y
半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 用极坐标计算,
e x2 y2dxdy er2 rdrd
Hale Waihona Puke raoax
D
D
2
d
a er2 r dr
2
d
a er2 rdr
0
0
0
0
2 [ 1 2
a er2 d(
0
r2 )]
2
(
4
44
4
由夹逼准则,
即
I ex2 dx .
0
2
15
sin( x2 y2 )
例2 计算二重积分
D
dxdy , x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
y
3.2.2极坐标系下二重积分的计算
D
D
＝ 2 d
2a cos
4a2 2 d
0
0
＝8 a3
2 (1 sin3 )d
＝ 8 a（3 － 2）
30
3 23
4a2 x2 y2dxdy， D : x2 y2 2ax,( y 0)
D
•几何意义
4a2 x2 y2dxdy 是球面 z 4a2 x2 y2，
1,
1x
1
sin cos
D :1 x y 1 x2 , 0 x 1，
于是
D:
1
1, 0
sin cos
2
y
1
1
sin cos
f ( x, y)d
D
1
2 d 0
1
f cos , sin d
D
圆柱面 y 2ax x2 , xOz面及xOy面所围成
z
的立体的体积.
顶：z 4a2 x2 y2 O
y
2a
D
x
小结
一、利用极坐标将二重积分化为二次积分
若积分区域
D :1( ) 2( ), D
面积元素 d dd
1( )
须划分为四个子域注意到圆考虑在极坐标下求二重积分极坐标下面积元素用极坐标曲线网常数同心圆族常数射线族来划分积分域
3.2.2 极坐标下的二重积分计算
有些二重积分在直角坐标系下计算比较 复杂或无法计算，就需要尝试在其他坐标系 下来处理.
问题：
计算 f (x, y)d 其中D :1 x2 y2 4. D 在直角坐标系下，若把积分区域看作X型，
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
9-22-利用极坐标计算二重积分
［Y－型区域］: c y d , 1( y) x 2( y).
d
d
x 1( y) c
D
x 2( y)
x 1( y) D
c
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
例 6
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
- 1- x2 y 1- x2 ,
o
y
-1 x 1 x
1
1 x2
1
I dx
dy f ( x, y, z)dz
1 1 x2
x2 y2
例4
计算
(1
dxdydz x y
z)3
其中 为平面 x0 y0
z
1
z0 xyz1 所围成的四面体
解 积分区域可表示为:
o
y
1
1
x
{(x y z)| 0z1xy 0y1x 0x1}
D
a2 x2 y2 b2,0 a b.
解 D：a r b，0 2 .
x2 y2d
D
2
0
d
abr
rdr
2
1 3
(b3
a3
)
2
3
(b3
a3
)
例4.
求
1
dx
0
x x2
(
x2
y
2
)
1 2
dy
解 积分区域D如图所示
D {( , ) | 0 , 0 sec tan }
n
n
和 i 1
f
(
i
d
d
x 1( y) c
D
x 2( y)
x 1( y) D
c
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
例 6
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
- 1- x2 y 1- x2 ,
o
y
-1 x 1 x
1
1 x2
1
I dx
dy f ( x, y, z)dz
1 1 x2
x2 y2
例4
计算
(1
dxdydz x y
z)3
其中 为平面 x0 y0
z
1
z0 xyz1 所围成的四面体
解 积分区域可表示为:
o
y
1
1
x
{(x y z)| 0z1xy 0y1x 0x1}
D
a2 x2 y2 b2,0 a b.
解 D：a r b，0 2 .
x2 y2d
D
2
0
d
abr
rdr
2
1 3
(b3
a3
)
2
3
(b3
a3
)
例4.
求
1
dx
0
x x2
(
x2
y
2
)
1 2
dy
解 积分区域D如图所示
D {( , ) | 0 , 0 sec tan }
n
n
和 i 1
f
(
i
3_二重积分的计算(极坐标)
第二节 二重积分的计算
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
机动
目录
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结束
二 极坐标下二重积分的计算
(一)极坐标知识回顾
1定义:在平面取一点O称为原点, 从原点出发作一条射线
称为极轴. 平面上任意点P 与原点距离为 r , 向量O P与极轴为夹角为 , 则点P由数组 , r 唯一确定, 称数组 , r 是点P的极坐标.
例2续计算
其中D 为 1 x 2 y 2 4
y
0 2 解: 在极坐标系下 D : 1 r 2
D3 D1
0
D2
D
x
故
I r rdrd
2 D
D4
d
0
2
2
1
r dr
3
1 4 2 15 2 r |1 2 4
I
D1 D2 D3 D4
. .
D: =1和 =2
围成
: 0 2
0
1
D
2 x
此题用直角系算 麻烦，需使用极 坐标系！
I
D
f ( x , y )dxdy
2π
0
dθ f ( r cosθ , r sin θ )rdr
2 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 如图 直线
2 法一 r sin
y2
2
y
r
P , r
l
0
x
法二: 由直线直角坐标方程为 y 2 得 r sin 2 2 故直线极坐标方程为 r 0 sin
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
机动
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二 极坐标下二重积分的计算
(一)极坐标知识回顾
1定义:在平面取一点O称为原点, 从原点出发作一条射线
称为极轴. 平面上任意点P 与原点距离为 r , 向量O P与极轴为夹角为 , 则点P由数组 , r 唯一确定, 称数组 , r 是点P的极坐标.
例2续计算
其中D 为 1 x 2 y 2 4
y
0 2 解: 在极坐标系下 D : 1 r 2
D3 D1
0
D2
D
x
故
I r rdrd
2 D
D4
d
0
2
2
1
r dr
3
1 4 2 15 2 r |1 2 4
I
D1 D2 D3 D4
. .
D: =1和 =2
围成
: 0 2
0
1
D
2 x
此题用直角系算 麻烦，需使用极 坐标系！
I
D
f ( x , y )dxdy
2π
0
dθ f ( r cosθ , r sin θ )rdr
2 1
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例 如图 直线
2 法一 r sin
y2
2
y
r
P , r
l
0
x
法二: 由直线直角坐标方程为 y 2 得 r sin 2 2 故直线极坐标方程为 r 0 sin
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122
高等数学习题参考答案·第九章 多元函数的积分学及其应用
59
利用极坐标计算二重积分
一、填空题(把你认为正确的答案填在题中的横线上) 1．二重积分 I = 2．二重积分 I =
x 2 + y 2 ≤1
∫∫
1 − x 2 − y 2 dσ = 2π 3 ．
2
x2 + y 2 ≤4 x
∫∫ ( x
+ y 2 )dσ = 24π ．
0
f (r )rdr .
O
2
x
……………………………………………………………………………………………………………………
121
高等数学习题参考答案·第九章 多元函数的积分学及其应用 2．
∫
1 0
dx ∫
1− x 2 1− x
y f ( x 2 + y 2 , arctan )dy ． x 1 ≤ r ≤ 1, D : sin θ + cosθ 0 ≤ θ ≤ π 2,
dx ∫
3x x
f ( x 2 + y 2 )dy ． 0 ≤ r ≤ 2 sec θ , D: π 4 ≤ θ ≤ π 3 ,
y
2 3
【解】
在极坐标下，积分区域为
y=
2
3x
y= x
从而有
∫
2 0
dx ∫
3x x
f ( x 2 + y 2 )dy = ∫
π /3
π /4
dθ ∫
2 sec θ
0
dθ ∫ r ln(1 + r 2 )dr
0
1
π 1 π r ln(1 + r 2 )dr = (2 ln 2 − 1). ∫ 0 2 4
y
…………………………………………………………………………………………………………………… 2． 【解】
∫
2 0
dx ∫
2 x− x2 0
( x 2 + y 2 ) 2 dy ． 0 ≤ r ≤ 2 cosθ , D: 0 ≤ θ ≤ π 2,
x2 + y 2 ≤R2
∫∫
f ( x 2 + y 2 , xy )dσ =
（B） （D）
（A） （C） 【 D
∫ ∫ ∫ ∫
2π 0 2π 0
dθ ∫ dθ ∫
R 0 R 0
f ( ρ 2 , ρ 2 cos θ sin θ )dρ ． f ( ρ 2 , ρ 2 cosθ sin θ )ρdρ ．
3. 曲面 z = x 2 + 2 y 2 与 z = 6 − 2 x 2 − y 2 所围成立体的体积为 6π ． …………………………………………………………………………………………………………………… 二、选择填空题（在每题的四个备选答案中选择一个正确的填在题前的括弧中） 【 C 】1. 设 f ( x , y ) 为连续函数，则
【解】
在极坐标下，积分区域为
y 1
所以有
∫
=∫
1 0
dx ∫
1− x 2 1− x 1
y f ( x 2 + y 2 , arctan )dy x f (r 2 , θ )rdr
π /2
0
dθ ∫
1 /(cos θ + sin θ )
O
1
x
…………………………………………………………………………………………………………………… 四、利用极坐标计算下列二重积分： 1．
∫∫
y arctan dσ = x
（B）
（A）
3 2 π ． 16
3 2 π ． 32
（C）
3 2 π ． 64
（D）
3 2 π ． 128
…………………………………………………………………………………………………………………… 三、画出积分区域，并把下列二次积分化成极坐标形式的二次积分： 1．
∫
2 0
∫
0
2π 0
dθ ∫ dθ ∫
0
R 0
f ( R 2 , R 2 cos θ sin θ )dρ ． f ( R 2 , R 2 cosθ sin θ )ρdρ ．
∫
2π
R
】2.二次积分
1 0 1 0
∫
π 2 0
dθ ∫
cos θ 0
f ( ρ cosθ , ρ sin θ )ρdρ =
（B） （D）
（A） （C） 【 C
dy ∫ dx ∫
y− y2 0 1 0
f ( x , y )dx ．
∫
1 0 1 0
dy ∫
1− y 2 0 x− x2 0
f ( x , y )dx ． f ( x , y )dy ．
f ( x , y )dy ．
∫
dx ∫
】3.二重积分
1≤ x 2 + y 2 ≤ 4 0≤ y ≤ x
在极坐标下，积分区域为
于是
O
1
2
x
∫
2 0
dx ∫
2 x− x2 0
ห้องสมุดไป่ตู้
( x 2 + y 2 ) 2 dy = ∫ =
π /2
0
dθ ∫
2 cos θ
0
r 4 ⋅ rdr
32 π / 2 32 5 3 1 π 5 cos 6 θdθ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π . ∫ 3 0 3 6 4 2 2 3
……………………………………………………………………………………………………………………
∫∫ ln(1 + x
D
2
+ y 2 )dσ ，其中 D 为 x 2 + y 2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 ． 0 ≤ r ≤ 1, D: 0 ≤ θ ≤ π 2 ,
y 1
【解】
在极坐标下，积分区域为
所以，
O
∫∫ ln(1 + x
D
2
+ y 2 )dσ = ∫ =
π /2
1 x