中考数学专题复习 二次函数与方程、不等式的关系课件
二次函数与方程不等式的关系ppt课件
x2-2x+2=0
△＜0 无实数根
y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
1个
（1，0） 0个
与x轴交点 个数 交点坐标
2个
（0，0） （-2，0）
无
归 纳 总 结
1、函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数 与方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数一致。 △＞0 △＝0 △＜0 有两个交点 有一个交点 没有交点
-1 0
3
x
归 纳 总 结
不等式ax2+bx+c＞0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分 所对应的x的取值范围； 不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的部分 所对应的x的取值范围；
拓 展 延 伸
如图: 二次函数y1=ax2+bx+c 与一次函数y2=kx+b的图象相 交于点A (-1,3) 和 B (5,2),
不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数y=ax2+bx+c的图 象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 4. 数学方法：类比、转化；数学思想：数形结 合的思想.
作
业
活页练习18.19.20.21.
谢谢合作
2、你能做出它的大致图象吗？
Байду номын сангаас
问 题 探 究 一
议一议
y
你能说出方程x2-2x-3=0 的根吗？ 你能猜出函数y=x2-2x-3 的图像与x轴的交点个数 及交点的坐标吗？你是怎 样思考的？
第21章二次函数与反比例函数期末复习二次函数与方程、不等式的关系PPT课件(沪科版)
没有实数根时,求k的取值范围. 2
问题可以转化为求函数
1
y=ax²＋bx＋c(a≠0)图象与直线 O y=k 没有交点时k的取值范围.
1 2 3x
(4)视察图象知，当抛物线y=ax²＋bx＋c与直线 y=k 没有交点时，k＞2. ∴当关于x的方程ax²＋bx＋c=k没有实数根时， k的取值范围是k＞2.
根是 x1=－1，x2=5 .
19.如果抛物线y=－3x2＋2x＋k和x轴只有 一个交点，则k的值是－___13_.
∵抛物线和x轴只有一个交点，
∴b2－4ac=0
∵b2－4ac=22 －4 ×(－ 3) ·k =4 ＋12k
∴4 ＋12k=0
∴k=
－
1 3
20.二次函数y=x2＋bx＋c的图象如图所示，
y
bx＋a＞0
bx＞－a
x＜－
a b
a＜0 b＜0
Ox
16.抛物线y=2x2－4x＋m如图所示，则关于
x的一元二次方程2x2－4x＋m=0的根
是 x1=－1， x2=3 .
y
－2 －1 O 1
x
17.抛物线y=x2－2x－3在x轴上截得的线段
长是 4 .
18.若抛物线y=x2＋bx的对称轴经过(2，0) 则关于x的一元二次方程x2＋bx=5的两个
4
=1
A . 1个 B. 2个 x1
x1=－1
O
C. 3个 D. 4个
4x
11.已知m＞0，关于x的一元二次方程 (x＋1)(x－2)
－m=0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是
( A ).
A. x1＜－1＜2＜x2
C. －1＜x1＜x2＜2 (x＋1)(x－2)－m=0
第9讲二次函数与一元二次方程不等式原版
第9讲 二次函数与一元二次方程、不等式1. 一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式称为一元二次不等式. 其一般形式为20ax bx c ++>或20ax bx c ++<，其中,,a b c 均为常数，且0a ≠.2. 一元二次函数的零点一般地，对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数的()20y ax bx c a =++≠的零点.例如：二次函数223y x x =--的两个零点是121,3x x =-=.3. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数4. 解一元二次不等式的步骤：①求对应一元二次方程的根；②根据二次函数图像与x 轴的相对位置确定一元二次不等式的解集.示意图如下：5.分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，然后再求解！例1.解下列二次不等式（1）2650x x-++≥-+->；（3）210 -+>；（2）2230x xx x例2. x例3. 若0a >，解关于x 的不等式()21220ax a x -++≤.例4.解下列分式不等式（1）2103x x ->+； （2）2312x x -+≥-； （3）2221501x x x x --<++ 例5.已知二次函数()28y ax b x a ab =+---，令0y >，解得32x -<<.（1）求二次函数的解析式；（2）当关于x 的不等式20ax bx c ++≤恒成立时，求实数c 的范围. 例6.(1) 方程2330kx kx k ++-=有一个正根和一个负根，求实数k 的取值范围； (2) 方程2210x kx ++=有一个根大于1，一个根小于1，求实数k 的取值范围；(3) k 取何实数值时，关于x 的方程()2250x k x k +-+-=的两个不相等的实根都大于2？(4) 若关于x 的方程()22210x k x k +-+-=有两实根12,x x ，且101x <<，212x <<，求实数k 的取值范围.例7.(1) 若关于x 的不等式2220ax x ++>对任意的实数x 恒成立,求实数a 的取值范围； (2) 若不等式22233x x a a -++≤-对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 当12x <<时，不等式240x mx ++<恒成立，求实数m 的取值范围； (4) 已知函数222y x kx =-+，当1x ≥-时恒有y k ≥，求实数k 的取值范围；(5) 已知函数26y mx mx m =--+，若对于13,0m y ≤≤<恒成立，求实数x 的取值范围．跟踪训练1. 解下列不等式：（1）2430x x +-≤； （2）241290x x ++≤；（3）22350x x --≥ ； （4）()22210x m x m m -+++<；（5）102x x -≥+； （6）1221x x -+>-；（7）()()2244430x x x x -+-+≥； （8）2221023x x x x --<+-2. 二次方程20ax bx c ++=的两根为2,3-，若0a <，则不等式20ax bx c ++>的解为 .3. 已知210a +<，则关于x 的不等式22450x ax a -->的解是( )A.5x a <或x a >-B.x a <-或5x a >C.5a x a -<<D.5a x a <<-4. 若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解中，恰有3个整数，则实数a 应满足( )A.45a <<B.32a -<<-或45a <<C.45a <≤D.32a -≤<-或45a <≤5. 在R 上定义运算⊗：2a b ab a b ⊗=++，则满足()20x x ⊗-<的实数x 的取值范围是( )A.02x <<B.21x -<<C.2x <-或1x >D.12x -<<6. 若不等式24223x mx x +<-+恒成立，则实数m 的取值范围是 .7. 若不等式222424mx mx x x +-<+恒成立，则实数m 的取值范围是 .8. 若不等式2430y mx mx =-+≠对任意的实数x 均成立，则实数m 的取值范围是 .9. 当11x -≤≤时，方程223230x x m -+-=有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围.。
中考数学总复习冲刺——二次函数与方程不等式(共36张PPT)
03
函数与不等式
1. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B(m+2,0)与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m,c)，则点 A的坐标是________．
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A．a＞0， C．a＜0， ＞0 ＞0 B．a＞0， D．a＜0， ＜0 ＜0
4. m为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1与x轴没有交点?
5.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为
.
6.已知一元二次方程7x2-(k+13)x-k+2=0的两个实数根x1、x2满足0＜x1＜1,1＜x2＜2，求k的取值范围
7. 对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．
标，反之也成立.因此可以利用这一特性解决方程与函数的问题.
y (k 2) x2 7 x (k 5)
6. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( A．没有实根
)
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负 D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
二次函数与方程不等式
01
函数与方程
2 1.对于二次函数 y ax2 bx c a 0 ，当x=0时y=c，所以二次函数 y ax bx c a 0 与y轴交点坐标为（0，c）；
2.当二次函数与x轴相交时，y=0，此时函数可以看做是一元二次方程，方程的根就是函数与x轴的交点横坐
02
函数与判别式
二次函数图像与系数a、b、c关系 系数的符号 a的符号
中考专题《二次函数与方程、不等式的关系》复习课件
温故知新
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为
（一元－一2次，方0 程）x＋2＝0的根为__－__2____
（2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为
（一元一2 次，方0程）－3x＋6＝0的根为___2_____
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与 一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
⊿>0
y
⊿＝0
y
⊿＜ y0
X0
1
X2 x
O X1= X2 x O
x x
x1 ＝ x2
x1 =x2
没有实数根
＝－b/2a
ax2+bx+c>0 （a>0）解集
x<x1或x>x2
x≠ x1的一切 实数
所有实数
ax2+bx+c<0 （a>0）解集
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: y
<1>①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
-1
0
2
X
y= -x2+x+2
y
<2>①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0. <3>①-x2+x-2=0;
y
O2
x
②-x2+x-2&g2<0.
拓展提升：
2025年中考数学总复习 第十四讲 函数与方程、不等式的关系++++课件
则不等式-kx-5> 的解集是
( B )
A.x<0
C.x≠0
B.x>0
D.x<1
23
考点3
二次函数与方程、不等式
【例3】(2024·遂宁中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的对称轴
为直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,-2),(0,-3)之间(不含
解得b=-1.
(2)∵当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x-1的值,也大
于函数y=-x+3的值,
∴m≥1.∴m的取值范围是m≥1.
16
【方法技巧】
一次函数与方程、不等式的两类综合问题
1.一次函数与方程:
(1)已知一次函数的函数值的问题,对应方程kx+b=0或kx+b=m;
12
知识要点
5.二次函数与含a、b、c不等式的关系
(1)不等式ax2+bx+c>0的解集⇔抛物线位于_________上方对应的点的横坐标的
x轴
取值范围.
(2)不等式ax2+bx+c<0的解集⇔抛物线位于_________下方对应的点的横坐标的
x轴
取值范围.
(3)二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+m相交
第十四讲
函数与方程、
不等式的关系
必备知识·夯根基
高频考点·释疑难
山东3年真题
必备知识·夯根基
3
知识要点
1.一次函数与方程(组)的关系
(1)一次函数y=kx+b的表达式是一个______________方程.
九年级数学《二次函数与一元二次方程不等式关系-复习课》课件
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
a一x2+元bLxO二+RcE次M=0方IP的S程U根M DOLaOxR别一2+式b元xΔ+二c==次b02根方-4的程ac判
有两个交个相等的实数根
没有实数根
（2）直接写出使y1>y2时x的取值范围
交流总结
同学们， 通过这节课的学习，你收获了什么？
求m的值
例题讲解
• 2 二次函数y=ax2+bx+c图像如图 • （1）写出方程y=ax2+bx+c=0的两个根 • （2）写出不等式ax2+bx+c>0的解集 • （3）若方程ax2+bx+c=K有两个不相等的
实数根，求K的值
巩固练习
7、如图,A(-1，0),B(2，-3)在一次函数y=x+m与二次函数y=ax2+bx-3的图象上。 （1）求m的值和二次函数的表达式
自主学习，学会新知 • 1.自学课本32页的阅读与思考。 1 x取何值时y=0？ 2 x取何值时y<0？ 3 x取何值时y>0？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友互说并组议交流上面问题
展示师友 秀出风采 • 师友展示：解释以上问题
例题讲解
• 1 二次函数y=ax2+bx图像如图
• （1） 求一元二次方程ax2+bx=0的解 • （2） 求一元二次方程ax2+bx+3=0的解 • （3） 若一元二次方程ax2+bx+m=0有实根，
2.3二次函数与一元二次方程不等式(第1课时)课件(人教版)
练习
题型一：不含参一元二次不等式的解法
求出一元二次方程的根
例1.解下列不等式：
2
2
(1)2 + 7 + 3 ≤ 0；(2)−4 + 18
81
−
4
解：(1)∵∆= 72 − 4 × 2 × 3 = 25 > 0，
∴方程有两个不等实根.
又二次函数的图象开口向上，
∴有－1 + 2 = ，－1 × 2 = .解得， = ， = −2.∴ < 0， > 0. 正确.
当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确；
把＝，＝－2代入2－＋＜0，可得2＋2＋＜0，
因为＜0，所以2＋2＋1＞0，即(＋1)2＞0，
此不等式的解集为{| ≠ －1}，不正确.
解：对于方程9 2 − 6 + 1 = 0，
求出一元二次方程的根
1
3
∵∆= 0，∴它有两个实数根.解得1 = 2 = .
画出二次函数 = 9 2 − 6 + 1的图象，
结合图象得不等式9 2 − 6 + 1 > 0的解集为
{| ≠
1
}.
3
根据二次函数图象与轴的相
关位置确定一元二次不等式
练习
题型二：含参一元二次不等式的解法
例2.解关于的不等式 2 − ( + 1) + 1 < 0.
综上所述，当 < 0时，原不等式的解集为{| <
1
或
当 = 0时，原不等式的解集为{| > 1}；
1
当0 < < 1时，原不等式的解集为{|1 < < }；
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(1)方程-x2+3x+4=0的解
y
是_x_=-1,x=_4__
4
(2)不等式-x2+3x+4>0的解集 3
2
是__-1<x<4 __
1
-2
(3)不等式-x2+3x+4<0的解集
-1
o -1
-2
1
2 34
5
x
是_ X<-1或x>4__
-3 -4
-5
⊿=b2-4ac
y=ax2+bx+c （a>0）图像
ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
⊿>0
y
⊿＝0
y
⊿＜ y0
X0
1
X2 x
O X1= X2 x O
x x
x1 ＝ x2
x1 =x2
没有实数根
＝－b/2a
ax2+bx+c>0 （a>0）解集
x<x1或x>x2
x≠ x1的一切 实数
所有实数
ax2+bx+c<0 （a>0）解集
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: y
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横 坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根
动手操作：画出Y＝X2－2X－3的图象
y y＝x2－2x－3
x
探究一：你的图象与X轴的交点坐标是什么？
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为
（－1，0） （3，0）
方程x2－2x－3 ＝0的两根是
x1＝ －1 ,
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
OXຫໍສະໝຸດ 结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有两个交点
2、 b2-4ac =0
有两个相等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点
3、 b2-4ac ＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴没有公共点
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝－2x2＋3x－9； （2）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）
解：（1）∵ b2－4ac ＝02 －4×1×（ －1） ＞0
∴函数与x轴有两个交点
例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 （1）y＝－2x2＋3x－9； （2）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0） 解：（2） ∵ b2－4ac＝（a＋b）2 －4（－a )（－b）
＝(a－b)2 ≥0
例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点 吗？有几个？
分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方 程组，消去y后，再利用判别式判断即可.
练习 二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b有一个公共点，
求出b的值. 解：由题意，得
y＝x2－x－3 消元，得 x2－x－3 ＝x＋b 整理，得x2－2xy－＝（x＋3 b＋ b） ＝0 ∵有唯一交点 ∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b） ＝0 解之得，b ＝－4
<1>①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
-1
0
2
X
y= -x2+x+2
y
<2>①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0. <3>①-x2+x-2=0;
y
O2
x
②-x2+x-2>0;
0
X
③-x2+x-2<0.
拓展提升：
• 1、函数y=ax2+bx+c的图像如图， 那么
•二次函数与方程、不等 式
温故知新
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为
（一－元一2 次，0方程）x＋2＝0的根为__－__2____
（2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为
（一元2一次，方0 程）－3x＋6＝0的根为__2______
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx ＋b＝0的根有什么关系？
x2 ＝ 3
函数图象与x轴交点坐标和方程的两根有什么关系 你发现了什么？
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标 就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方 程
例题精讲
1. 求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标
解：令y＝0，则x2＋4x－5 ＝0 解之得， x1＝ －5 ,x2 ＝ 1 ∴交点坐标为：（－5，0）（1，0） 结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（X1，0 ）， B（X2，0 ）
1）方程ax2+bx+c=2的根是 _X_1_=_-2_;_X__2=_4_;
2）不等式ax2+bx+c>2的解集是
_X_<_-2_;_X_>_4__;
y
3）不等式ax2+bx+c<2的解集是
__-_2<_X__<_4__;
(-2,2)
2
-1 O
(4,2)
3
x
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那 么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？
∴函数与x轴有一个或两个交点
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
x y＝x2－2x－3
例题精讲
3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；