导数的几何意义
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[解] 设 y＝f(x)，则 f′(x)＝Δlixm→0fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0 x＋ΔΔxx2－x2＝2x，设 P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，解得 x0＝2，故 y0＝4，即 P(2,4)．
∴ΔΔxy＝
21＋Δx2＋2－2 Δx
＝ Δx[
42Δ1x＋＋Δ2xΔ2x＋22＋2]＝
21＋4＋Δx2Δ2＋x 2＋2，
∴k＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0 21＋4＋Δx2Δ2＋x 2＋2＝ 2＋42＋2＝1.
∴tanα＝1，∴α＝45°.
即在 P 点处的切线的倾斜角等于 45°，在点 P 处的切线方
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 答案：A
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解析：y′＝lim Δx→0
x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b Δx
＝Δlixm→02x＋aΔΔxx＋Δx2＝2x＋a，
因为曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线 l 的方程是
x－y＋1＝0，所以切线 l 的斜率 k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)
在切线 l 上，于是有00＋－ab＝＋11＝0 ，解得ab＝＝11 .
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4．已知曲线 y＝1x，则 y＝1x在点(2，21)处的切线方程为 ________．
解析：∵Δlixm→0f2＋ΔΔxx－f2＝Δlixm→02＋1ΔΔxx－12 ＝Δlixm→022－＋1Δx＝－41＝k. ∴直线方程为 y－12＝－14(x－2)即 x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0
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[点拨] 解此类题的步骤为：①先设切点坐标(x0，y0)； ②求导函数 f′(x)；③求切线的斜率 f′(x0)；④由斜率间的 关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0；⑤由于点(x0，y0)在 曲线 y＝f(x)上，将 x0 代入求 y0，得切点坐标．本题运用了 函数与方程的数学思想．
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1.设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
()
A．不存在
B．与 x 轴平行或重合
C．与 x 轴垂直
D．与 x 轴斜交
解析：根据导数的几何意义知切线斜率为 0.
答案：B
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2．函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是
_曲___线__y_＝__f__x_在__点___P__x_0_，__f_x_0__处__的__切___线__斜__率______.
相应地，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为
__y_－__f_x_0__＝__f_′__x__0__x_－__x_0______________________.
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(2)求所给点(x0，y0)不是切点的切线方程的步骤如下： 第一步：设出切点坐标； 第二步：利用导数的几何意义及切点坐标写出切线的参 数方程； 第三步：将点(x0，y0)的坐标代入参数方程求出参数； 第四步：写出直线方程.
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3．1.3 导数的几何意义
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理解导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方 程，理解导数的概念并会运用导数的概念求函数的导数．重 点是：导数的几何意义及其简单应用．难点是：对导数几何 意义的理解.
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[解] (1)由 y＝13x3 得，Δy＝13(x＋Δx)3－13x3 ＝13[3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3]，ΔΔxy＝13[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]， 当 Δx 无限趋近于 0 时，13[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]无限趋近于 x2， ∴f′(x)＝x2，f′(2)＝4， ∴点 P 处的切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)， 即 12x－3y－16＝0.
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5．已知曲线 y＝ 2x2＋2上一点 P(1,2)，用导数的定义 求在点 P 处的切线的倾斜角和切线方程．
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解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 21＋Δx2＋2－ 2×1＋2.
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[点拨] 求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与在 “P 点处的切线”的差异：过点 P 的切线中，点 P 不一定是 切点，点 P 也不一定在曲线上；而在点 P 处的切线，点 P 必为切点．
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(3)导函数也简称导数，所以
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(4)函数 y＝f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x) 在 x＝x0 处的函数值，即 f′(x0)＝f′(x)|x＝x0 .
程为 y－2＝x－1，即 x－y＋1＝0.
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1.导数的几何意义与物理意义 (1)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几 何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率． (2)导数的物理意义： 如果把函数 y＝f(x)看作是物体的运动方程(也叫做位移 公式，自变量 x 表示时间)，那么导数 f′(x0)表示运动物体 在时刻 x0 的速度，即在 x0 的瞬时速度，即： v0＝f′(x0)＝Δlixm→0ΔΔxy.
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求切点坐标 例 2 在曲线 y＝x2 上取一点，使得在该点处的切线． (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为 135°.
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[分析] 先求其导函数 f′(x)，再设切点(x0，y0)，由导 数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为 f′(x0)，然后 根据题意列方程解关于 x0 的方程即可求出 x0，又点(x0，y0) 在曲线 y＝x2 上，代入求 y0 就可得出答案．
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(2)因为切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，所以 2x0·13＝－ 1，得 x0＝－32，故 y0＝94，即 P(－23，94)．
(3)因为切线的倾斜角为 135°，所以其斜率为－1，即 2x0 ＝－1，得 x0＝－21，故 y0＝41，即 P(－21，41)．
3．如果把 y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么，导数
f′(x0)表示__运__动__物___体__在__时__刻___x_0_的__速__度_______，这就是导数
的物理意义．
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4．利用导数的几何意义，求函数 y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 处的切线方程的一般方法，可分两步：
(2)“导函数”：如果对于函数 f(x)在开区间(a，b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开区 间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a，b)内的导函数，记作 f′(x)或 y′.
即 f′(x)＝y′＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0fx＋ΔΔxx－fx.
求切线方程 例1 已知曲线 y＝13x3 上一点 P(2，83)， 如图，求： (1)点 P 处的切线的斜率； (2)点 P 处的切线方程．
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[分析] 求过某点的切线方程，首先应判断该点是否在 曲线上，若在曲线上，点为切点，根据导数的定义，求出曲 线在该点处的导数(即为切线的斜率)，而后由点斜式建立方 程；若点不在曲线上，应设出切点(x0，y0)，列出关于 x0，y0 的方程组，求 x0，y0 进而求出直线方程．
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2．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”、“导函数”、“导 数”三者之间的区别与联系
(1)“函数 f(x)在一点处的导数”，就是在该点的函数的 改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是 变数．
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所以，求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导 函数，再计算这点的导函数值．
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3．利用导数的几何意义求曲线切线方程 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，分所给点是 切点和不是切点两种情况求解． (1)求所给点(x0，y0)为切点，求过该点的切线方程的步 骤如下： 第一步：求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； 第二步：根据直线点斜式方程， 得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
练 1 已知曲线 C：y＝x3，求曲线 C 上横坐标为 2 的点 的切线方程．
[解] 将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝8， ∴切点 P(2,8)． ∵y′＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0x＋ΔΔxx3－x3 ＝Δlixm→03x2·Δx＋3xΔxΔx2＋Δx3 ＝Δlixm→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，∴y′|x＝2＝12， ∴过 P 点的切线方程为 y－8＝12(x－2)， 即 12x－y－16＝0.
2. 设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6
＝0 平行，则 a＝( )
A．1
1 B.2
C．－21
D．－1
解析：lim Δx→0
a1＋ΔΔxx2－a＝Δlixm→0
(a·Δx＋2a)＝2，∴a＝1.
答案：A
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3. (2010·全国卷Ⅱ)若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的 切线方程是 x－y＋1＝0，则( )
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1.导数 f′(x0)表示_函__数___f_x__在__x_＝__x_0_处__的___瞬__时__变__化__率_， 反映了函数 f(x)__在__x_＝__x_0_附__近__的___变__化__情__况__________.
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练2 已知曲线 y＝x2－1 与 y＝x3＋1 在 x0 处的切线互相垂直， 求 x0 的值．
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[解] 求函数 y＝x2－1 在 x0 处的导数，Δy＝(x＋Δx)2－1 －x2＋1＝2x·Δx＋(Δx)2.
先求出函数 y＝fx在点 x0 处的导数 f′x0 根据点斜式得切线方程为 y－y0＝f′x0x－x0
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思考探究 能否认为过曲线上一点 P 的切线有且只有一条并且以这 点为切点？ 提示：这种说法不正确．过曲 线上一点的切线可能不止一条，这 点也不一定是切点．如图：l1 与 l2 均是曲线的切线且均过 P 点，但 l1 与曲线的切点并非点 P.
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[解] 设 y＝f(x)，则 f′(x)＝Δlixm→0fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0 x＋ΔΔxx2－x2＝2x，设 P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，解得 x0＝2，故 y0＝4，即 P(2,4)．
∴ΔΔxy＝
21＋Δx2＋2－2 Δx
＝ Δx[
42Δ1x＋＋Δ2xΔ2x＋22＋2]＝
21＋4＋Δx2Δ2＋x 2＋2，
∴k＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0 21＋4＋Δx2Δ2＋x 2＋2＝ 2＋42＋2＝1.
∴tanα＝1，∴α＝45°.
即在 P 点处的切线的倾斜角等于 45°，在点 P 处的切线方
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 答案：A
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解析：y′＝lim Δx→0
x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b Δx
＝Δlixm→02x＋aΔΔxx＋Δx2＝2x＋a，
因为曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线 l 的方程是
x－y＋1＝0，所以切线 l 的斜率 k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)
在切线 l 上，于是有00＋－ab＝＋11＝0 ，解得ab＝＝11 .
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4．已知曲线 y＝1x，则 y＝1x在点(2，21)处的切线方程为 ________．
解析：∵Δlixm→0f2＋ΔΔxx－f2＝Δlixm→02＋1ΔΔxx－12 ＝Δlixm→022－＋1Δx＝－41＝k. ∴直线方程为 y－12＝－14(x－2)即 x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0
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[点拨] 解此类题的步骤为：①先设切点坐标(x0，y0)； ②求导函数 f′(x)；③求切线的斜率 f′(x0)；④由斜率间的 关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0；⑤由于点(x0，y0)在 曲线 y＝f(x)上，将 x0 代入求 y0，得切点坐标．本题运用了 函数与方程的数学思想．
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1.设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
()
A．不存在
B．与 x 轴平行或重合
C．与 x 轴垂直
D．与 x 轴斜交
解析：根据导数的几何意义知切线斜率为 0.
答案：B
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2．函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是
_曲___线__y_＝__f__x_在__点___P__x_0_，__f_x_0__处__的__切___线__斜__率______.
相应地，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为
__y_－__f_x_0__＝__f_′__x__0__x_－__x_0______________________.
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(2)求所给点(x0，y0)不是切点的切线方程的步骤如下： 第一步：设出切点坐标； 第二步：利用导数的几何意义及切点坐标写出切线的参 数方程； 第三步：将点(x0，y0)的坐标代入参数方程求出参数； 第四步：写出直线方程.
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3．1.3 导数的几何意义
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理解导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方 程，理解导数的概念并会运用导数的概念求函数的导数．重 点是：导数的几何意义及其简单应用．难点是：对导数几何 意义的理解.
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[解] (1)由 y＝13x3 得，Δy＝13(x＋Δx)3－13x3 ＝13[3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3]，ΔΔxy＝13[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]， 当 Δx 无限趋近于 0 时，13[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]无限趋近于 x2， ∴f′(x)＝x2，f′(2)＝4， ∴点 P 处的切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)， 即 12x－3y－16＝0.
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5．已知曲线 y＝ 2x2＋2上一点 P(1,2)，用导数的定义 求在点 P 处的切线的倾斜角和切线方程．
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解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 21＋Δx2＋2－ 2×1＋2.
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[点拨] 求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与在 “P 点处的切线”的差异：过点 P 的切线中，点 P 不一定是 切点，点 P 也不一定在曲线上；而在点 P 处的切线，点 P 必为切点．
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(3)导函数也简称导数，所以
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(4)函数 y＝f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x) 在 x＝x0 处的函数值，即 f′(x0)＝f′(x)|x＝x0 .
程为 y－2＝x－1，即 x－y＋1＝0.
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1.导数的几何意义与物理意义 (1)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几 何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率． (2)导数的物理意义： 如果把函数 y＝f(x)看作是物体的运动方程(也叫做位移 公式，自变量 x 表示时间)，那么导数 f′(x0)表示运动物体 在时刻 x0 的速度，即在 x0 的瞬时速度，即： v0＝f′(x0)＝Δlixm→0ΔΔxy.
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求切点坐标 例 2 在曲线 y＝x2 上取一点，使得在该点处的切线． (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为 135°.
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[分析] 先求其导函数 f′(x)，再设切点(x0，y0)，由导 数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为 f′(x0)，然后 根据题意列方程解关于 x0 的方程即可求出 x0，又点(x0，y0) 在曲线 y＝x2 上，代入求 y0 就可得出答案．
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(2)因为切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，所以 2x0·13＝－ 1，得 x0＝－32，故 y0＝94，即 P(－23，94)．
(3)因为切线的倾斜角为 135°，所以其斜率为－1，即 2x0 ＝－1，得 x0＝－21，故 y0＝41，即 P(－21，41)．
3．如果把 y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么，导数
f′(x0)表示__运__动__物___体__在__时__刻___x_0_的__速__度_______，这就是导数
的物理意义．
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4．利用导数的几何意义，求函数 y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 处的切线方程的一般方法，可分两步：
(2)“导函数”：如果对于函数 f(x)在开区间(a，b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开区 间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a，b)内的导函数，记作 f′(x)或 y′.
即 f′(x)＝y′＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0fx＋ΔΔxx－fx.
求切线方程 例1 已知曲线 y＝13x3 上一点 P(2，83)， 如图，求： (1)点 P 处的切线的斜率； (2)点 P 处的切线方程．
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[分析] 求过某点的切线方程，首先应判断该点是否在 曲线上，若在曲线上，点为切点，根据导数的定义，求出曲 线在该点处的导数(即为切线的斜率)，而后由点斜式建立方 程；若点不在曲线上，应设出切点(x0，y0)，列出关于 x0，y0 的方程组，求 x0，y0 进而求出直线方程．
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2．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”、“导函数”、“导 数”三者之间的区别与联系
(1)“函数 f(x)在一点处的导数”，就是在该点的函数的 改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是 变数．
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所以，求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导 函数，再计算这点的导函数值．
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3．利用导数的几何意义求曲线切线方程 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，分所给点是 切点和不是切点两种情况求解． (1)求所给点(x0，y0)为切点，求过该点的切线方程的步 骤如下： 第一步：求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； 第二步：根据直线点斜式方程， 得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
练 1 已知曲线 C：y＝x3，求曲线 C 上横坐标为 2 的点 的切线方程．
[解] 将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝8， ∴切点 P(2,8)． ∵y′＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0x＋ΔΔxx3－x3 ＝Δlixm→03x2·Δx＋3xΔxΔx2＋Δx3 ＝Δlixm→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，∴y′|x＝2＝12， ∴过 P 点的切线方程为 y－8＝12(x－2)， 即 12x－y－16＝0.
2. 设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6
＝0 平行，则 a＝( )
A．1
1 B.2
C．－21
D．－1
解析：lim Δx→0
a1＋ΔΔxx2－a＝Δlixm→0
(a·Δx＋2a)＝2，∴a＝1.
答案：A
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3. (2010·全国卷Ⅱ)若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的 切线方程是 x－y＋1＝0，则( )
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1.导数 f′(x0)表示_函__数___f_x__在__x_＝__x_0_处__的___瞬__时__变__化__率_， 反映了函数 f(x)__在__x_＝__x_0_附__近__的___变__化__情__况__________.
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练2 已知曲线 y＝x2－1 与 y＝x3＋1 在 x0 处的切线互相垂直， 求 x0 的值．
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[解] 求函数 y＝x2－1 在 x0 处的导数，Δy＝(x＋Δx)2－1 －x2＋1＝2x·Δx＋(Δx)2.
先求出函数 y＝fx在点 x0 处的导数 f′x0 根据点斜式得切线方程为 y－y0＝f′x0x－x0
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思考探究 能否认为过曲线上一点 P 的切线有且只有一条并且以这 点为切点？ 提示：这种说法不正确．过曲 线上一点的切线可能不止一条，这 点也不一定是切点．如图：l1 与 l2 均是曲线的切线且均过 P 点，但 l1 与曲线的切点并非点 P.