导数的几何意义
高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义
高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义1．f/0imf0f00叫函数f在0处的导数，记作|0。
/注：①函数应在点0的附近有定义，否则导数不存在。
②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。
③是函数f对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线f上点（0，f0）及点（0，/f00）的割线斜率。
④导数f0imf0f0是函数f在0点0的处瞬时变化率，它反映的函数f在0点处变化的快慢程度，它的几何意义是f0f0曲线f上点（0，f0）处的切线的斜率。
⑤若极限im不0存在，则称函数f在点0处不可导。
⑥如果函数f在开区间a,b内每一点都有导数，则称函数f在开区间a,b内可导；此时对于每一个∈a,b，都对应着一个确定的导数f/，从而构成了一个新的函数f/，称这个函数f/为函数简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：f在开区间a,b内的导函数，求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
/[举例1]若f02，则imf0f02等于：0A-1B-2C1D1/2/解析：∵f02，即imf[0]f0n0=2imf0f02n1=-1。
0[举例2]已知a0,n为正整数设a，证明"nan解析：本题可以对a展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：/imaan1n1nn0=0imaCnaCna2n2Cna2nnn=0imnan1Cna2n2Cn2nnn1=nn10im[naCna2n2Cna3n3Cnt1t22]=nan1。
2[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为：S定义求t=3时的速度。
2t，试用导数的[巩固2]设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为q0时，产量变化q对成本的影响可用增量比CqCq0qCq0无限趋近于0时，Cq无限趋近于常数A，0时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论研究中有着重要地位，还在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。
导数的几何意义是指在几何上，导数代表了函数曲线在某一点处的切线斜率。
它使我们能够通过函数图像来理解函数的变化规律及其在特定点的切线性质。
本文将重点论述导数的几何意义以及相应的应用。
一、导数的定义及计算在开始讨论导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义及计算方法。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过下式计算得出：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]根据这一定义，我们可以求得函数在任意一点处的导数值。
导数的计算可以采用一些常用的方法，如基本函数求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。
二、导数的几何意义1. 切线斜率导数的最直观的几何意义就是切线斜率。
当我们计算出函数在某一点的导数后，这个导数值便代表了函数曲线在该点处的切线斜率。
对于一个凸函数而言，导数可以告诉我们曲线在该点是上升还是下降，以及上升或下降的速度有多快。
2. 极值点导数在几何中还有一个重要的意义是寻找函数的极值点。
当函数在某一点的导数为0时，这一点可能是函数的极大值点或极小值点。
通过求导，我们可以找到函数在哪些点处可能存在极值，并进一步帮助我们寻找函数图像上的极值点，从而得出函数的极值。
3. 凹凸性函数图像的凹凸性也可以通过导数来判断。
当函数的导数在某一区间内始终大于0时，函数图像在该区间内是上凸的；而当导数在某一区间内始终小于0时，函数图像在该区间内是下凸的。
这种通过导数判断凹凸性的方法在优化问题中具有重要应用。
三、导数的应用导数的几何意义不仅在数学理论研究中起到关键作用，也在实际问题的求解中发挥了巨大的作用。
1. 最优化问题在经济学、物理学等领域中，最优化问题是非常常见的。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而帮助解决各种最优化问题。
导数的几何意义
导数的几何意义导数是微积分中的一个重要概念，它表示了函数的变化率。
导数的几何意义可以从两个方面来理解：一是导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率，二是导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
首先，我们来看导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率。
对于一条曲线上的任意一点P(x,y)，求该点处的导数，即可得到曲线在该点的切线斜率。
具体来说，如果一个函数f(x)在特定点x0处可导，那么它在该点的导数f'(x0)就是该点处曲线的切线斜率。
换言之，导数给出了函数在任意一点的变化速率。
对于单调递增的函数而言，导数始终为正；而对于单调递减的函数而言，导数始终为负。
当导数为零时，函数在该点处可能存在极值。
其次，导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
这可以通过导数定义中的极限来理解。
如果在其中一点x0处，函数f(x)的导数存在，那么可以用一个线性函数y=kx+b来近似描述原函数在该点的附近情况。
其中k为导数f'(x0)，b为函数曲线在该点处的切线与y轴的交点（截距）。
这个线性函数就称为原函数在x0附近的局部线性逼近。
这种线性逼近的好处是使得函数在其中一点的局部性质更加直观可见。
通过这两个几何意义的理解，我们可以得出导数在几何上的重要性。
首先，导数可以帮助我们了解函数在特定点的斜率，从而判断函数局部的增减变化规律，甚至找到函数的极值点，这对于解决很多实际问题具有重要意义。
其次，导数能够提供函数在其中一点附近的线性逼近，使得我们能够直观地了解函数的局部情况，进而推断函数在整个定义域上的特性。
这对于研究函数的全局性质也是至关重要的。
除了以上的几何意义，导数还有一些重要的应用。
例如，在物理学中，速度的导数就是加速度，加速度的导数就是速度的变化率。
在经济学中，导数可以表示商品的边际效用，即单位商品消费增加所带来的满足感的变化。
在工程学中，导数可以用来优化控制系统设计，通过最小化出错率来提高系统的性能。
1.1.3导数的几何意义
时, 割线 PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
O
P3
T
P4 P
T
x
O
x
3
4
图1.1 2
y
y f (x)
相交
o
P
x
再来一次
此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同?
y
y=f(x)
Pn
割 线
T 切线
P
o
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.
x ＝ ｘ
表示“平均变化率”
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
我们知道, 导数 f
'
x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率 , 反映了函 么, 导数 f
'
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那
x0 的几何意义是什么呢 ?
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn
y f x
y
y f x
P1
P2
T P
O
T
n 1, 2, 3, 4
沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
x
O
x
1
y
y f x
2
y
y f x
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
x
B
可能不惟一）适用于各 种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
C
1.导数概念及其几何意义
1．导数概念及其几何意义导数概念及其几何意义导数是数学中非常重要的概念，它可以帮助我们确定函数的变化率。
它的几何意义是什么呢？这就是本文要探讨的问题。
首先，让我们来看看什么是导数。
导数是一个函数的局部变化率，它表示函数在某一点处的变化率。
它可以用来描述函数在某一点上的斜率，这种斜率就是导数。
简单来说，导数就是一个函数在某一点上的导函数。
它可以用来测量函数的变化率。
换句话说，它可以表示函数在某一点上的斜率。
接下来，让我们来看看导数的几何意义。
几何意义是指函数的变化率可以用几何的方式来表示。
将函数的变化率用几何的方式表示，就是用导数来表示。
一般来说，导数的几何意义可以用两种方式来表示：一种是切线的斜率，另一种是曲线在某一点上的切线斜率。
具体来说，切线的斜率是指函数在某一点上的切线和x轴的夹角。
这个夹角就是函数在某一点上的导数。
另一方面，曲线的切线斜率是指曲线在某一点上的切线和x轴的夹角。
这个夹角也是函数在某一点上的导数。
以上就是导数的几何意义。
总之，函数在某一点上的变化率可以用导数来表示，它可以用两种方式来表示，分别是切线的斜率和曲线在某一点上的切线斜率。
最后，我们来看看导数的应用。
导数在很多领域都有用处，例如物理领域，导数可以用来描述物体的加速度和速度；在经济学中，导数可以用来分析函数的变化率，从而分析经济的发展趋势；在工程领域，导数可以用来分析结构的性能，从而设计出更安全和高效的结构。
综上所述，导数是一个非常重要的概念，它的几何意义是表示函数在某一点上的变化率，它可以用两种方式来表示，分别是切线的斜率和曲线在某一点上的切线斜率。
此外，导数也有很多应用，它可以用来描述物体的加速度和速度，研究经济的发展趋势，以及分析结构的性能。
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
导数的几何意义
一、复习
1、导数的定义
函数y＝f x 在x＝x 0处的导数，记作：f x 0 或y
x＝x 0
f x０＋x －f x０ y 即：f x 0 ＝ lim ＝ lim x 0 x x 0 x
其中：⑴
y ｆ ｘ ＋ｘ－ｆ ｘ ０ ０ ＝ 表示“平均变化率” x ｘ
题型三：导数的几何意义的应用
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在 点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 ： k f ( x0 ) .
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
在曲线 y＝x2 上过哪一点的切线， (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6y＋5＝0； (3)与 x 轴成 135° 的倾斜角．
fx＋Δx－fx x＋Δx2－x2 【解】 f′(x)＝ lim ＝ lim Δ x Δx → Δx 0 Δx→0 ＝2x， 设 P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即 P(2,4)．
y f ( x0 ) f ( x 0 )( x x0 )
导数的几何意义的应用
题型一 求曲线的切线方程
f ( x0 x) f ( x0 ) 2 解 : k lim y = x +1 x 0 x (1 x) 2 1 (1 1) lim x 0 x 2x ( x) 2 lim 2. x 0 x
o
x
曲线在某一点处的切线的定义：
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x)
导数的几何意义ppt
导数的物理意义
80%
速度
导数可以用来描述物理量随时间 的变化速率，例如速度是位移对 时间的导数。
100%
斜率
在物理量中，导数可以表示斜率 ，例如加速度是速度对时间的导 数。
80%
变化率
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如电流强度是电荷对时间 的导数。
02
导数与切线斜率
切线的定义
பைடு நூலகம்01
切线是过曲线上某一点的直线， 该点称为切点。
导数在经济问题中的应用
边际分析与决策
导数可以用来描述边际成本、边际收益和边际利润等概念，帮助 企业做出最优的决策。
供需关系
导数可以用来分析市场的供需关系，例如通过分析需求函数和供给 函数的导数，可以了解市场均衡点的变化趋势。
经济增长与人口变化
导数可以用来描述经济增长和人口变化的趋势，例如通过分析GDP 和人口增长率的导数，可以了解经济和人口的发展趋势。
04
导数在实际问题中的应用
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和加速度，通过分析导 数可以了解物体的运动状态和变化趋势。
斜率与曲线
导数可以用来描述曲线的斜率，例如在分析弹性、阻力和 引力等物理现象时，导数可以帮助我们理解物体在曲线上 的运动状态。
能量与功率
在物理中，导数可以用来描述能量和功率的变化，例如在 分析电路、热传导和流体动力学等问题时，导数可以帮助 我们建立数学模型并求解。
导数与函数极值
总结词
导数可以用来确定函数的极值点。
详细描述
函数的极值点出现在导数为零或变号的点上。在极值点处，函数值可能达到最大或最小。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点。
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20200201手动选题组卷2
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1.函数f(x)=x3+x在点x=1处的切线方程为()
A. 4x−y+2=0
B. 4x−y−2=0
C. 4x+y+2=0
D. 4x+y−2=0
2.设点P是曲线y=x3-√3x+3
5
上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()
A. [0,2π
3]B. [0,π
2
)∪[2π
3,
π) C. (π
2,
2π
3]
D. [π
3,
2π
3]
3.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是，则f(5)与分别为()
A. 3，3
B. 3，−1
C. −1，3
D. 0，−1
4.函数f(x)在x=x0处导数f′(x0)的几何意义是()．
A. 在点x=x0处的斜率
B. 在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值
C. 点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
D. 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率
二、不定项选择题（本大题共1小题，共4.0分）
5.已知曲线y=x3-x+1在点P处的切线平行于直线y=2x，那么点P的坐标为()
A. (1,0)或(-1,1)
B. (1,1)
C. (-1,1)
D. (1,1)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
6.函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y−3=0，则
7.函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=3x−2，则f(1)+
f′(1)=______．
8.抛物线y=x2的一条切线方程为6x−y−9=0，则切点坐标为______ ．
9.曲线y=√x在x=1处的切线斜率为______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
首先求出函数f(x)在x=1处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．【解答】
解：∵f(x)=x3+x，
∴f′(x)=3x2+1，
，
当x=1时，f(x)=2，即切点为(1,2)，斜率为4，
故切线方程为y−2=4(x−1)，即4x−y−2=0．
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
解题时，先求函数的导数的范围，即可得曲线切线斜率的取值范围，从而可求出切线的倾斜角的范围．
【解答】
解：因为，
则tanα≥−√3，
又，
∴α∈[0,π
2)∪[2π
3
，π)．
故选B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用导数的几何意义得到等于直线的斜率−1，由切点横坐标为5，得到纵坐标即f(5)．
【解答】
解：由题意得f(5)=−5+5=0，．
故选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
利用导数的几何意义和直线斜率与倾斜角的关系即可得到答案．
【解答】
解：的几何意义是在切点(x0,f(x0))处的斜率，
故选D．
5.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，属于较易题．
【解答】
解：设，
令3x2−1=2,x2=1,x=±1，f(1)=1,f(−1)=1，
所以P点坐标为(−1,1)和(1,1)．
故选BC．
6.【答案】−3
【解析】【分析】
本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，属于中档题．
先将x=2代入切线方程可求出f(2)，再由切点处的导数为切线斜率可求出的值，最后相加即可．
【解答】
解：由已知切点在切线上，
所以f(2)=(−2)×2+3=−1，
切点处的导数为切线斜率，所以，
所以．
故答案为−3．
7.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
要注意分清f(a)与f′(a).由导数的几何意义知，函数y=f(x)的图象在x=a处的切线斜率是f′(a)，并且点P(a,f(a))是切点，该点既在函数y=f(x)的图象上，又在切线上，f(a)是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．
【解答】
解：由题意y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=3x−2，
得f′(1)=3，且f(1)=3×1−2=1，
∴f(1)+f′(1)=3+1=4．
故答案为4．
8.【答案】(3,9)
【解析】解：由y=x2，得到y′=2x，
因为切线方程为6x−y−9=0，则曲线的一条切线的斜率为6，得到y′=2x=6，
解得x=3，把x=3代入y=3x2，得y=9，
则切点的坐标为(3,9)．
故答案为：(3,9)．
根据曲线的方程求出y的导函数，因为曲线的一条切线方程为6x−y−9=0，令导函
数等于6，求出x的值即为切点的横坐标，把求出的x的值代入曲线解析式即可求出切
点的纵坐标，写出切点坐标即可．
本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，属于基础题．
9.【答案】1
2
【解析】解：根据题意，曲线y=√x=x12，
其导数f′(x)=1
2x−12=
2√x
，
则有f′(1)=1
2
，
即曲线y=√x在x=1处的切线斜率为1
2
，
故答案为：1
2
．
根据题意，由导数的计算公式计算可得f′(x)，将x=1代入其中即可得f′(1)的值，由导数的几何意义即可得答案．
本题考查到导数的集合意义，涉及导数的计算，关键是正确计算函数的导数．。