变力作用下物体的曲线运动

第3节变力作用下物体的曲线运动特色放送教你一招——如何审题审题，看似老生常谈，实在至关重要．有些学生做题急于求成，读起题来“一目十行”，草率从事．往往忽略、误解了题目中给出的条件．甚至按照自己想象的条件去解题，当然不可能做对．审题一定要仔细，准而快，在准的基础上求快．仔细审题，迅速找到题眼，抓住题目的已知条件，搞清楚待求的内容．通过下面例子帮你学会审题．【例】如图1－3－24所示，若电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0.电容器板长和板间距离均为L＝10 cm，下极板接地．电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm.在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图象如图1－3－25所示．每个电子穿过两极板的时间极短，可以认为电压是不变的，求：图1－3－24图1－3－25(1)在t＝0.06 s时刻，电子打在荧光屏上的何处？(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？(3)屏上的亮点如何移动？审题过程：(1)条件提炼：边读题边提炼条件(对于能画草图的题，尽量一边审题一边画图，这样可以建立起直观的图象，帮助记忆和分析问题)①电子的加速电压为U0②电容器板长和板间距离均为L＝10 cm③电容器右端到荧光屏的距离也为L ＝10 cm④已知偏转电压的U －t 图象⑤每个电子穿过两极板时电压不变特别提醒：上面的条件可在图中标出(2)挖掘隐含条件电子恰好沿上、下极板右端边缘飞出时的偏转电压，为板间最大电压(3)运动过程分析①电子先经加速电场加速②电子进入偏转电场做类平抛运动③飞出偏转电场后做匀速直线运动(4)明晰思路确定t ＝0.06 s 时的偏转电压→确定t ＝0.06 s 时的偏转电压→由板间类平抛运动求出侧向位移y 1→根据板外匀速运动求出侧移y 2→根据板间最大侧移求出最大偏转电压及荧光屏上有电子打到的区间(5)规律选用①牛顿第二定律②运动的合成与分解③运动学公式解析：(1)由图象知t ＝0.06 s 时刻偏转电压为U ＝1.8U 0电子经加速电场加速，可得12m v 20＝eU 0 电子进入偏转电场做类平抛运动，有L ＝v 0t 1，y 1＝12at 21，v y ＝at 1，a ＝eU mL电子飞出偏转电场后做匀速直线运动，在水平方向上有L ＝v 0t 2竖直方向上，有y 2＝v y t 2电子打在荧光屏上距离O 点的距离：y ＝y 1＋y 2＝3UL 4U 0代入数值解得y ＝13.5 cm.(2)同理可以求出电子的最大侧向位移为0.5L (偏转电压超过2.0U 0，电子就打到极板上了)，此时可得y 2′＝L ，所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L ＝30 cm.(3)屏上的亮点由下而上匀速上升，间歇一段时间后又重复出现．答案：见解析反思领悟：带电粒子在匀强电场中的偏转基本模型如图所示，质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，以平行于极板的初速度v 0射入长L 、板间距离为d 的平行板电容器间，两板间电压为U ，求带电粒子射出极板时的侧向位移y 、偏转角θ等．解题方法：分解为两个独立的分运动，平行于极板方向的匀速运动(运动时间由此分运动决定)L ＝v 0t ，垂直于极板方向的匀加速直线运动，y ＝12at 2，v y ＝at ，a ＝qU md，联立求解出y 、θ等．注意：可灵活运用2个推论，tan θ＝v y v 0；y ＝L 2tan θ.练习1. (2010·安徽六校联考)如图1－3－13所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D 点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E 点的过程中，下列说法中正确的是( )图1－3－13A．质点经过C点的速率比D点的大B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°C．质点经过D点时的加速度比B点的大D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小解析：小球做匀变速曲线运动，所以加速度不变；由于在D点速度方向与加速度方向垂直，则在C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，所以质点由C到D速率减小，所以C点速率比D点大．答案：A2．(2010·福建质检)我国第三颗“北斗”导航卫星于2010年1月17日成功发射，它是我国自主研发、独立运行的“北斗”全球卫星导航系统的一部分．该系统将由5颗静止轨道卫星(地球同步卫星)和30颗非静止轨道卫星组成．关于静止轨道卫星，以下说法正确的是()A．它们在轨道上运行的线速度大小不同B．它们在轨道上运行的加速度大小不同C．它们在轨道上运行的角速度小于地球自转的角速度D．它们均在同一个圆周轨道上运行，相邻卫星的间距不变解析：静止轨道卫星即为同步卫星，它们的周期相同均等于地球自转周期，根据开普勒第三定律可知，它们的轨道半径、加速度大小、线速度大小和角速度均相同．答案：D3. 如图1－3－14所示，中国自主研制的北斗导航系统的“北斗二号”系列卫星今年起进入组网高峰期，预计在2015年形成覆盖全球的北斗卫星导航定位系统，将有5颗人造卫星在地球同步轨道上运行，另有30颗卫星在中层轨道上运行，2010年4月10日0时16分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号图1－3－14丙”运载火箭，成功将第二颗北斗导航卫星(COMPASS —G2)送入预定轨道，其轨道低于地球同步轨道．则以下说法正确的是( )A ．若地球同步卫星的轨道半径是地球半径的k 倍，则第一宇宙速度是同步卫星运行线速度的k 倍B ．若地球同步卫星的轨道半径是地球半径的k 倍，则第一宇宙速度是同步卫星运行线速度的k 倍C ．若地球同步卫星的轨道半径是地球半径的k 倍，地球表面附近的重力加速度是同步卫星向心加速度的k 倍D ．(COMPASS —G2)的线速度小于同步轨道上运行卫星的线速度答案：B4. 投飞镖是深受人们喜爱的一种娱乐活动．如图1－3－15所示，某同学将一枚飞镖从高于靶心的位置水平投向竖直悬挂的靶盘，结果飞镖打在靶心的正下方．忽略飞镖运动过程中所受空气阻力，在其他条件不变的情况下，为使飞镖命中靶心，他在下次投掷时应该( )A ．换用质量稍大些的飞镖B ．适当减小投飞镖时的高度C ．到稍远些的地方投飞镖D ．适当增大投飞镖的初速度解析：在不计空气阻力的情况下，飞镖做的是平抛运动，水平位移x ＝v 0t ，竖直位移y ＝12gt 2，联立消去时间t 得y ＝g 2v 20x 2，可知打不中靶心与飞镖的质量无关，选项A 错；由题意知，飞镖打在靶心的正下方，要想命中靶心，即使y 减小，故在初速度v 0一定时，人应离靶近些；在人离靶的距离x 一定时，可增大初速度；在初速度v 0和人离靶的距离x 一定时，可适当增加投飞镖的高度，故选项B 、C 错，D 正确．图1－3－15答案：D5．全国铁路大面积提速后，京哈、京沪、京广、胶济等提速干线的部分区段时速可达300公里，我们从济南到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300公里的追风感觉．火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是( )A ．适当减小内外轨的高度差B ．适当增加内外轨的高度差C ．适当减小弯道半径D ．适当增大弯道半径解析：设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有mg tan α＝m v 2r，解得v ＝gr tan α，所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增加内外轨的高度差(即适当增大角α)和适当增大弯道半径r . 答案：BD6. 如图1－3－16所示，用长为L 的轻绳把一个小铁球悬挂在高2L 的O点处，小铁球以O 为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为( ) A.gL B.3gL C.5gL D.7gL解析：小球恰能到达最高点B ，则小球在最高点处的速度v ＝gL .以地 面为重力势能零势面，铁球在B 点处的总机械能为mg ×3L ＋12m v 2＝72mgL ，无论轻绳是在何处断的，铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能12m v ′2＝72mgL ，故小球落到地面的速度v ′＝7gL ，正确答案为D.答案：D7．(2010·课标全国，20)太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是图1－3－16用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T /T 0)，纵轴是lg(R /R 0)；这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T 0和R 0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是()解析：取其中一行星为研究对象，设其质量为m ，轨道半径为R ，太阳的质量为M ，则G Mm R 2＝m ⎝⎛⎫2πT 2·R ，得R 3T 2＝GM 4π2，水星R 30T 20＝GM 4π2.所以⎝⎛⎭⎫R R 03＝⎝⎛⎫T T 02，所以3lg ⎝⎛⎫R R 0＝2lg ⎝⎛⎭⎫T T 0. 答案：B8. 跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动．如图1－3－17所示，设可视为质点的滑雪运动员，从倾角为θ的斜坡顶端P 处，以初速度v 0水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A 点处，AP 之间距离为L ，在空中运动时间为t ，改变初速度v 0的大小，L 和t 都随之改变．关于L 、t 与v 0的关系，下列说法中正确的是( )A ．L 与v 0成正比B ．L 与v 20成正比C ．t 与v 0成正比D ．t 与v 20成正比解析：物体落在斜面上，则位移与水平方向的夹角就等于斜面的倾角θ，因此有tan θ＝y x ，其中y ＝12gt 2，x ＝v 0t ，则t ＝2v 0tan θg ，C 正确；L ＝x cos θ＝v 0t cos θ＝2v 20tan θg cos θ，B 正确．答案：BC图1－3－179. 如图1－3－18所示，ABC 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 为倾斜直轨道，BC 为与AB 相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电．现将三个小球在轨道AB 上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则( )A ．经过最高点时，三个小球的速度相等B ．经过最高点时，甲球的速度最小C ．甲球的释放位置比乙球的高D ．运动过程中三个小球的机械能均保持不变解析：三个粒子在运动过程中机械能守恒，对甲有q v 1B ＋mg ＝m v 21r，对乙有mg －q v 2B ＝m v 22r ，对丙有mg ＝m v 23r ，可判断A 、B 错，C 、D 对；选C 、D. 答案：CD10. 在空间中水平面MN 的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m 的带电小球由MN 上方的A 点以一定初速度水平抛出，从B 点进入电场，到达C 点时速度方向恰好水平，A 、B 、C 三点在同一直线上，且AB ＝2BC ，如图1－3－19所示．由此可见( )A ．电场力为3mgB ．小球带正电C ．小球从A 到B 与从B 到C 的运动时间相等D ．小球从A 到B 与从B 到C 的速度变化量的大小相等解析：小球在沿MN 方向上做匀速直线运动，速度为v 0，在AB 段做平抛运动，在BC段做类平抛运动且加速度向上，设直线AC 与MN 成α角，则tan α＝y x ＝12gt 21v 0t 1＝12at 22v 0t 2，由AB ＝2BC 可得t 1＝2t 2，代入得小球在电场中的加速度a ＝2g ，由F 电－mg ＝ma 得F 图1－3－18图1－3－19电＝3mg ，且小球带负电，A 对，B 、C 错；小球从A 到B 与从B 到C 的速度变化量的大小相等，方向相反，且分别为Δv ＝gt 1或Δv ＝at 2，D 对．答案：AD11．如图1－3－20是利用传送带装运煤块的示意图．其中传送带足够长，倾角θ＝37°，煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8，传送带的主动轮和从动轮半径相等，主动轮轴顶端与运煤车底板间的竖直高度H ＝1.8 m ，与运煤车车厢中心的水平距离x ＝1.2 m ．现在传送带底端由静止释放一些煤块(可视为质点)，煤块在传送带的作用下先做匀加速直线运动，后与传送带一起做匀速运动，到达主动轮时随轮一起匀速转动．要使煤块在轮的最高点水平抛出并落在车厢中心，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：图1－3－20(1)传送带匀速运动的速度v 及主动轮和从动轮的半径R ；(2)煤块在传送带上由静止开始加速至与传送带速度相同所经过的时间t .解析：(1)由平抛运动的公式，得x ＝v t ，H ＝12gt 2 代入数据解得v ＝2 m/s要使煤块在轮的最高点做平抛运动，则煤块到达轮的最高点时对轮的压力为零，由牛顿第二定律，得mg ＝m v 2R代入数据得R ＝0.4 m.(2)由牛顿第二定律F ＝ma 得a ＝F m＝μg cos θ－g sin θ＝0.4 m/s 2由v ＝v 0＋at 得t ＝v a＝5 s. 答案：(1)0.4 m (2)5 s12．(2010·广东理综，36)如图1－3－21(a)所示，左为某同学设想的粒子速度选择装置，由水平转轴及两个薄盘N 1、N 2构成，两盘面平行且与转轴垂直，相距为L ，盘上各开一狭缝，两狭缝夹角θ可调[如图1－3－21(b)]；右为水平放置的长为d 的感光板，板的正上方有一匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度为B .一小束速度不同、带正电的粒子沿水平方向射入N 1，能通过N 2的粒子经O 点垂直进入磁场．O 到感光板的距离为d 2，粒子电荷量为q ，质量为m .不计重力． (1)若两狭缝平行且盘静止[如图1－3－21(c)]，某一粒子进入磁场后，竖直向下打在感光板中心点M 上，求该粒子在磁场中运动的时间t ；(2)若两狭缝夹角为θ0，盘匀速转动，转动方向如图1－3－21(b)．要使穿过N 1、N 2的粒子均打到感光板P 1P 2连线上，试分析盘转动角速度ω的取值范围(设通过N 1的所有粒子在盘旋转一圈的时间内都能到达N 2)．图1－3－21解析：(1)粒子运动半径为R ＝d 2① 由牛顿第二定律q v B ＝m v 2R ②匀速圆周运动周期T ＝2πR v ③粒子在磁场中运动时间t ＝T 4＝πm 2qB.④ (2)如图所示，设粒子运动临界半径分别为R 1和R 2R 1＝d 4⑤ d 2＋⎝⎛⎭⎫R 2－d 22＝R 22 R 2＝54d ⑥ 设粒子临界速度分别为v 1和v 2，由②⑤⑥式，得v 1＝dqB 4m⑦ v 2＝5dqB 4m⑧ 若粒子通过两转盘，由题设可知L v ＝θ0ω⑨ 联立⑦⑧⑨，得对应转盘的转速分别为ω1＝θ0dqB 4mL⑩ ω2＝5θ0dqB 4mL⑪ 粒子要打在感光板上，需满足条件 θ0dqB 4mL ≤ω≤5θ0dqB 4mL⑫ 答案：(1)πm 2qB (2)θ0dqB 4mL ≤ω≤5θ0dqB 4mL。