2018年高考数学(理)二轮复习数学思想专项练4 转化与化归思想

数学思想专项练(四) 转化与化归思想题组1 特殊与一般的转化1．过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4aC [抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的标准方程为x 2＝1a y(a ＞0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴， 则|PF|＝|QF|＝12a ，所以1p ＋1q＝4a.]2．如图1，在棱长为5的正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )图1A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常数D [点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数，于是可得四面体PQEF 的体积为常数．] 3．已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC→(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．7B [分别令λ＝1,2，μ在[0,1]内变化，令μ＝0,1，λ在[1,2]内变化． 可得D 为一个平行四边形区域， 其面积为三角形ABC 面积的两倍．直线AB 的方程为x －2y －3＝0，|AB|＝4＋1＝5， 点C 到AB 的距离d ＝|2－2－3|5＝35，则D 的面积为2×12×5×35＝3.]4．在定圆C ：x 2＋y 2＝4内过点P(－1,1)作两条互相垂直的直线与C 分别交于A ，B 和M ，N ，则|AB||MN|＋|MN||AB|的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，322 [设|AB||MN|＝t ，考虑特殊情况：当AB 垂直OP 时，MN 过点O ，|AB|最小，|MN|最大；当MN 垂直OP 时，AB 过点O ，|MN|最小，|AB|最大．所以t 最小＝22，t 最大＝ 2.所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2. 又因为t ＋1t≥2t·1t＝2， 所以t ＋1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，322.]题组2 正与反的相互转化5．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．1D ．2C [命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R ，使e|x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.]6．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.15 B.35 C.710 D.910D [甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－110＝910.]7．若二次函数f(x)＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f(c)＞0，则实数p 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [如果在[－1,1]内没有值满足f(c)＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ≤0，f 1 ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p≤－12或p≥1，p≤－3或p≥32⇒p≤－3或p≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.]8．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A(1,2)，B(3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞ [易知线段AB 的方程为y ＝x ＋1，x∈[1,3]，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝a 2，得a 2＝32x 2＋2x ＋1，x∈[1,3]，∴92≤a 2≤412. 又a ＞0，∴322≤a≤822.故当椭圆与线段AB 没有公共点时，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞.]9．若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 [g′(x)＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m≤－373.所以若函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，则m 的取值范围为－373＜m ＜－5.]10．已知点A(1,1)是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称． [解] (1)由椭圆定义，知2a ＝4，所以a ＝2.所以x 24＋y2b 2＝1.把A(1,1)代入，得14＋1b 2＝1，得b 2＝43，所以椭圆方程为x 24＋y 243＝1.所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，即c ＝263.故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0.(2)(反证法)假设A ，B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)， 此时|AB|＝22，而当点B 取椭圆上一点M(－2,0)时，则|AM|＝10，所以|AM|>|AB|. 从而知|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立． 题组3 主与次的相互转化11．设f(x)是定义在R 上的单调递增函数，若f(1－ax －x 2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________．(－∞，－1]∪[0，＋∞) [∵f(x)是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a∈[－1,1]．①①式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立． 令g(a)＝(x －1)a ＋x 2＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ＝x 2－x ＋2≥0，g 1 ＝x 2＋x≥0，解得x≥0或x≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]12．已知函数f(x)＝x 3＋3ax －1，g(x)＝f′(x)－ax －5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a 的值，都有g(x)＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g(x)＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a)＝(3－x)a ＋3x 2－5，－1≤a≤1. 对－1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即φ(a)＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ 1 ＜0，φ －1 ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a≤1的一切a 的值，都有g(x)＜0.] 13．对于满足0≤p≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [设f(p)＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.f(p)在0≤p≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＞0，f 4 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x－3 x－1 ＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.]14．(2017·豫北名校联考)已知定义在R 上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤π2时，f(cos θ＋msin θ)＋f(－2m －2)＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________.m ＞－12 [当0≤θ≤π2时，f(cos θ ＋msin θ)＋f(－2m －2)＜0恒成立，又函数f(x)是奇函数，∴当0≤θ≤π2时，f(cos θ＋msin θ)＜f(2m ＋2)恒成立．又函数f(x)在R 上单调递增，故有cos θ＋msin θ＜2m ＋2恒成立，即m ＞2－cos θsin θ－2恒成立．令t ＝cos θ－2sin θ－2，其几何意义是点P(sin θ，cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2与点C(2,2)的连线的斜率．P 点的轨迹是半径为1的单位圆的一部分(如图所示)，则12≤t≤2，故－2≤－t≤－12，所以m ＞－12.]。