高二数学竞赛综合练习(3)

高二数学竞赛综合练习题（3）
班级 学号 姓名
1. 已知53[,]42
ππ
θ∈可化简为
2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为
3. 过椭圆2
212
x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45 弦AB ，则AB 为
4. 向量(1,sin )a θ=
，(cos b θ= ，R θ∈，则a b - 的取值范围为 。

5. 已知函数()sin(2)6f x x m π
=-
-在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，则m 的取值范围为 6. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为
7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x ∈[0，1]
x ，x ∉[0，1].
则使f [f (x )]＝2成立的实数x 的集合为 .
8．点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，
0)，则AB 中点D 经过的路程为 .
9．关于x 的不等式x 2-ax +2a <0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范
围是 .
10. 设z y x ,,为整数，且3,3333=++=++z y x z y x ，则=++222z y x 11. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。

12. 给定两个数列{}n x ，{}n y 满足100==y x ，)1( 21
1
≥+=
--n x x x n n n ，
)1( 211
21
≥+=--n y y y n n n 。

证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得
n j n x y =。

13．已知函数3211
()33
f x x mx x m =--+，其中m ∈R ．
(1)求函数y =f (x )的单调区间；
(2)若对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，都有12|()()|4f x f x ''-≤，求实数m 的取值范围； (3)求函数()f x 的零点个数．
14.设+∈R c b a ,,，且3=++c b a 。

求证：
2
3
222≥+++++++++++a c a c c b c b b a b a ，
并指明等号成立的条件。

练习3参考答案
1. θcos 2
2.2±
3.
3
4.[1,3]
5. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
6. 3x >或1x <
7. {}
210=≤≤x x x 或 8. π
12 9. 125
[1,)(
,9]3
3
-- 10. 3或57
11．当20,(1)1,x y x ≤=--+ 当20,(1)1,x y x >=--
由此可知 max 0y =。

当2min 12,2a y a a ≤≤=-
；当min 11,1a y <=-；
当2min 12a y a a <=-+。

12.
1112111112(1){1}n n n n n x x x x x --=+⇒+=+⇒+为等比数列，首项为2，公比为2， 所以
11
11
1221
n n n n x x +++=⇒=-。

又由已知，222
11111(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=⇒=⇒+=++
由011121212221
n n
n y n y y +=⇒+=⇒=
-， 所以取21n
n j =-即可。

13．解:(1) f ´(x )=x 2－2mx －1,
由f ´(x )≥0，得x ≤m －m 2+1,或x ≥ m +m 2+1;
故函数()f x 的单调增区间为(－∞,m －m 2+1),(m +m 2+1,+∞), 减区间(m －m 2+1, m +m 2+1).
(2) “对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，都有|f '(x 1)-f '(x 2)|≤4”等价于“函数y =f ´(x ),x ∈[-1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”.
对于f ´(x )=x 2－2mx －1,对称轴x =m .
①当m <-1时, f ´(x )的最大值为f ´(1),最小值为f ´(-1),由 f ´(1)-f ´(-1)≤4,即-4m ≤4,解得
m ≥1,舍去;
②当-1≤m ≤1时, f ´(x )的最大值为f ´(1)或f ´(-1),最小值为f ´(m ),由 ⎩⎨⎧f ´(1)-f ´(m )≤4
f ´(-1)-f ´(m )≤4,即
⎩⎨⎧m 2
-2m -3≤0
m 2+2m -3≤0
,解得-1≤m ≤1; ③当m >1时, f ´(x )的最大值为f ´(-1),最小值为f ´(1),由 f ´(-1)-f ´(1)≤4,即4m ≤4,解得m ≤1,舍去;
综上,实数m 的取值范围是[-1,1]. (3)由f ´(x )=0,得x 2－2mx －1=0,
因为△=4m 2+4>0,所以y =f (x )既有极大值也有极小值. 设f ´(x 0)=0,即x 02－2mx 0－1=0，
则f (x 0)=13x 03－mx 02－x 0+13m =－13mx 02－23x 0+13m =－2
3x 0(m 2+1)
所以极大值f (m －m 2+1)=－2
3
(m －m 2+1)(m 2+1)>0，
极小值f (m +m 2+1)=－2
3(m +m 2+1)(m 2+1)<0,
故函数f (x )有三个零点.
14证明：由柯西不等式
2
2111
()n
i n
i
i n
i i
i
i a a b b
===≥∑∑∑ 得到
a c a c c
b
c b b a b a +++++++++++22
2≥
（1） （1）式右边的分子
=2()a b c +++
=2())2())a b c a b c +++≥+++
22()2(3()a b c b a c a b c ≥+++=+++
3(3)a b c =+++。

等号成立条件是1a b c ===。

结论成立。