第四章 杆件横截面上的应力

p d t
p
200 5
解：
m FN m
y
d
R
n

n FN
圆环在内压力作用下要均匀 涨大，故在包括圆环轴线的 任何径向截面上，作用有相 同的法向拉力FN
此半环上的内压力沿y方向的合力R为： b· R= л (p· d· sin = p· d 壁厚远小于内径，可 ∫ 0 b· d/2)· 近似认为m-m、n-n FN =R/2= p· d/2 b· 上各点处正应力相等。 当t d/20时，这种近 = FN /A= p· d/(2· t)= p· t) 似足够精确。 b· b· d/(2· =2 · 6 · /(2 · 10 0.2 0.005 )Pa=40MPa
若绕受力物体的某点截取一微小的正六面体：
y yx yz
yz xy x xz xz yx y xy x zx zy z
zx
z
zy
y
x
应力具有以下三个特征：
1、应力是在受力构件的某一截面上某一点 处定义的，因此，讨论应力必须明确是 在哪一个截面上的哪一点处； 2、应力是矢量,可分为正应力和剪应力； 3、整个截面上各点处的应力与微面积dA 之乘积的合成，即为该截面上的内力。
请思考:
x1
a b
C 已知截面面积为A， xc轴 过形心,xc、x1、x2三轴平 行。若图形对x1轴的惯性 矩为 I x 则
1
xc x2
I x2 I x1 (a b) A 吗？
2
注意： x1、x2均不是形心轴
I x2 I x1 a A b A
[FN2]=[]×A2 =486.2kN [P2]=[FN2]/1.732=280.7kN
[P]=[P1]=184.62kN
§4-3 平面图形的几何性质
一、定义：
Z y O dA z Y 3.极惯性矩 1.静矩
S Z y dA
A
SY z dA
A
2.(轴)惯性矩
I Z y dA
二、应变（线应变、切应变）
线应变：
单位长度的伸长（或缩短）。
伸长时，线应变为正； 压缩时，线应变为负。
整个长度
平均线应变：
A
A s
B s u B
m
A' B ' AB u AB s
一点处
线应变:
A B AB u lim s 0 s AB
' '
起吊重物Q=15kN，求AB的最大工作应力。
B
0.8m
C
1.9m
A
Q
解：1）分析AB受力、并求其内力:
当Q移到A点时AB杆受力最大，取结点A研究 FN 0: F y
AB
N FNAB sinα Q 0 Q N FNAB sin 0.8 sin
2
B
FN
AC
A
Q
FN AB
0.8 1.9 15 103 38.7 103 ( N ) 0.388
1GPa =103MPa =109Pa
应力是矢量，反映内力系在某一点的强弱程度。
A
P
P • 平均应力 pm A
• 应力
P p lim A0 A
p


p

正应力：垂直于截面的应力分量
剪应力：平行于截面的应力分量
p cos
p sin
(切应力)
z
0
b bh y (h y ) dy h 6
例7：求半径为r的半圆对底边z轴的
静矩，并确定其形心坐标。 y
2 r y
2 2
解：取平行于z轴的狭长条作为面积元素
dy y
C
dA 2 r 2 y 2 dy
z
2
o
S z y dA y 2 r y dy
第四章 杆件横截面上的应力及强度计算
本章重点 1、应力与应变的概念 2、拉压、弯曲正应力及强度计算 3、扭转、弯曲剪应力及强度计算
§4-1 应力、应变及其关系
为何要讨论应力？ 杆件的强度取决于横截面上 内力的分布集度
应力
一、应力
是一点处内力的集度，即单位面积上的内力
应力的单位 N / m2 即 帕斯卡 Pa
P P
P/2 P/2
P/2 P/2 P
P
注意
1、细长压杆易被压弯，属于稳定性问题； 2、上述公式是由等截面直杆推得，对变截面 直杆而言，若截面变化缓慢，可用上式计算， 误差不大，为工程中所允许； 3、由于截面尺寸突变而引起局部应力骤増的 现象，称作应力集中。
例1 悬臂吊车，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，
2 A
IY z dA
2 A
4.惯性积
IYZ y z dA
A
IP d A
2 A
二.静矩与形心坐标的关系
Z C y dA
截面的静矩是对一定的轴 而言，同一截面对不同坐标轴 的静矩不同。静矩可能为正、 负或零。常用单位为m3 , mm3
zc
O
z Y
设截面形心为C(yc , zc ) y dA S A z dA S y zc z 均质物体 yc A A A A A
B
P
FN2
查表：AC面积为A1 =2 ×10.86 cm2 AB面积为A2 = 2 ×14.345 cm2
C
FN1
B
30。
A1 =2 ×10.86 cm2
A2 = 2 ×14.345 cm2
A
[]=170 MPa
FN2
P
[FN1]=[]×A1 =369.24kN [P1]=[FN1]/2=184.62kN
d
2
0
o
x
d 2 d 32
2
4
IP Ix I y
圆截面： I x I y
d
Ix I y
d
4
I xy
64
０
例9:计算图示矩形截面对其对称轴的惯性矩。
y dy y
解：取平行于x 轴的狭长条
作为面积元素 dA=b· dy
h
c
x dx
b
x1
bh3 2 2 I x y dA y b dy A 12 取平行于y 轴的狭长条作为面积元素
其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。
证明：
yx
dy
微元体
单元体
xy ( xy dzd y )dx ( yz dzd x )dy
dz
xy yz
dx
四、胡克定理
线弹性：应力小于某一极限值时，材料的 变形是弹性的，且应力与应变之间常呈 线性关系。 胡克定理：
定义： I y i A
2 y
Iz i A
2 z
i y 和 iz
分别称为截面对于y轴和z轴的惯性半径， 单位为m或mm.
例8：计算图示圆截面对其形心轴的惯性
矩、惯性积以及对圆心o的极惯性矩。 y 解：取距圆心为的环形微面积作为
面积元素
d

I P dA
2 A
x
I y x 2 dA
A b 2 b 2
h 2 h 2
hb3 x 2 h dx 12
3
对x1轴呢？ I x y dA 1
2 A
h
0
bh y b dy 3
2
四.平行移轴公式 yc y
C为截面形心
I x I xC a A
dy


dx
剪应变（角应变）：正交线段夹角的变化 剪应变大小

夹角减小为正；夹角增大为负。
线应变

和剪应变
是描述一点处变形程度
的两个基本量。 线应变没有单位，剪应变单位为rad 在后面课程的学习中可知： 线应变

由正应力产生
剪应变

由剪应力产生
三、剪应力互等定理
在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，
=E·
E:弹性模量
剪切胡克定理: = G · G:剪切弹性模量
轴力 弯矩
正应力 扭矩 正应力 剪力
剪应力 剪应力
主线：强度、刚度、稳定性
分析方法：几何、物理、静力学
§4-2 轴向拉伸与压缩正应力及其强度条件
一、轴向拉伸与压缩正应力
P P
假设：P在端面上是均匀分布的；变形前为平 面的横截面变形后仍为平面；材料是均匀连续， 杆件各纵向线段的伸长都相同。
P

FN dA A
A
FN A
圣维南(Saint Venant)原理：
作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一 个与之静力等效的力系(主矢相同、对同一点的主矩 相同)来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系 作用区域附近有显著的影响，在离开力系作用区域较 远处，应力分布几乎相同。
2
c a o
xc
I y I yC b A
2
I xy I xC yC a b A
I x ＞ I xC
b a 、b为形心Ｃ在 xoy 坐标系中的坐标
x
Iy ＞ Iy
C
注意：两对坐标轴中必须有一对为形心轴！
组合截面的惯性矩及惯性积
组合截面对于某坐标轴的惯性矩(或惯性积） 就等于其各组成部分对于同一坐标轴的惯性矩 (或惯性积)之和。
A 45° B
45°
选边厚为3mm的4 号等边角钢, 其A 2.359 cm