6.1平方根、立方根第1课时2
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
For personal use only in study and research; not for commercial use6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项： a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab ∙=()0,0>>b a , ab b a =∙()0,0>>b a② b a b a =)0,0(>≥b a , b a ba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()b a b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：③ 333b a ab ∙= , 333ab b a =∙ 333b a b a = )0(≠b , 333b a b a = )0(≠b ④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（ 第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
七年级数学下册(人教版)6.1.1算术平方根(第一课时)优秀教学案例
2.能够运用算术平方根的知识解决实际问题，如计算面积、体积等。
3.了解算术平方根在实际生活中的应用，如测量、建筑设计等。
（二）过程与方法
1.通过复习平方根的概念，引导学生自主探究算术平方根的定义，培养学生的自主学习能力。
2.利用多媒体展示、实物演示等方法，让学生在直观感知的基础上，理解并掌握算术平方根的概念。
3.通过学生之间的互相评价，让学生了解自己的学习情况，发现他人的优点，学会欣赏和尊重他人。
4.教师要根据学生的学习情况，及时调整教学策略，以保证教学目标的实现。同时，要对学生的进步给予肯定和鼓励，增强他们的自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个实际问题：一块土地的面积是36平方米，求它的边长。让学生思考如何解决这个问题。
3.通过小组讨论、数学游戏等形式，激发学生的学习兴趣，培养学生合作探究的能力。
4.设计一系列练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和好奇心，使他们感受到数学的趣味性和魅力。
2.培养学生的自信心，使他们相信自己能够掌握算术平方根的知识，并能够运用所学知识解决实际问题。
针对这一教学目标，我设计了以下教学案例。首先，通过复习平方根的概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。然后，通过多媒体展示、实物演示等方法，生动形象地引入算术平方根的概念，让学生在直观感知的基础上，理解并掌握算术平方根的定义。接下来，运用数学游戏、小组讨论等形式，激发一系列练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。最后，结合生活实际，引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的应用意识。
整个教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动参与，积极思考，提高学生的思维能力。同时，关注学生的个体差异，给予不同程度的学生适当的指导和关爱，使他们在数学学习过程中感受到成功的喜悦。通过本节课的教学，使学生对算术平方根有了更深入的理解，提高了学生的数学素养，为后续学习奠定了基础。
第六章实数教案
人教版七年级数学下册第六章《实数》教案执教七年级数学集体备课组2013。
3。
8第六章实数6.1平方根【第一课时】教学目标：【知识与技能】了解平方根与算术平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义。
【过程与方法】理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根,并能用根号加以表示，能用科学计算器求平方根及其近似值。
【情感、态度与价值观】体会平方与开平方这一对互逆运算的辩证关系，感受平方根在现实世界中的客观存在,增强数学知识的应用意识。
【教学重点】理解开平方与平方是一对互逆的运算,会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。
【教学难点】会用平方根的概念求某些数的平方根,并能用根号加以表示.【教具准备】小黑板科学计算器【教学过程】一、导入1、通过七年级的学习，相信同学们都对数学这门课程有了更深入的认识，这个学期，我们将一起来学习八年级的数学知识，这个学期的知识将会更加有趣.2、板书：实数 1.1 平方根二、新授（一）探求新知1、探讨：有面积为8平方厘米的正方形吗？如果有，那它的边长是多少？（少数学习超前的学生可能能答上来）这个边长是个怎样的数？你以前见过吗？2、引入“无理数”的概念：像（2.82842712……）这样无限不循环的小数就叫做无理数。
3、你还能举出哪些无理数?（，）、、1/3是无理数吗？4、有理数和无理数统称为实数。
（二）知识归纳：1、板书：1。
1平方根2、李老师家装修厨房，铺地砖10。
8平方米，用去正方形的地砖120块，你能算出所用地砖的边长是多少吗?（0.3米)3、怎么算？每块地砖的面积是：10。
8120=0。
09平方米。
由于0.32=0。
09,因此面积为0。
09平方米的正方形，它的边长为0.3米。
4、练习：由于（）=400，因此面积为400平方厘米的正方形，它的边长为（）厘米。
5、在实际问题中，我们常常遇到要找一个数，使它的平方等于给定的数，如已知一个数a，要求r，使r2=a，那么我们就把r叫做a的一个平方根。
人教版-第6章平方根教学设计(共8课时).
6.1平方根〔1〕〔第一课时〕学习目标：了解数的算术平方根，并会用符号表示；重点：了解数的算术平方根，会求某些非负数的算术平方根，会用根号表示一个数的算术平方根难点：a 是非负数；一 、 学习准备1、什么样的运算是平方运算？2、你还记得1～20之间整数的平方吗？二 自主学习1 、 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25平方分米 的正 方形画布，画上自己的得意之作参比赛，这块正方形画布的边长应取多少一般地，如果一个的平方等于a,即_____ =a,那么这个叫做a 的_____,a 的算术平方根记为_____,读作“根号a ”，a 叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是_____,记作：_____,3．你能根据等式：212 =144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来。
4．以下式子表示什么意思？你能求出它们的值吗；5．例1 求以下各数的算术平方根：〔1〕100 〔2〕 〔3〕0.0001 思考：1. －4有算术平方根吗？2..以下各式哪些有意义，哪些没有意义？(1〕- 〔2 〔3〕2 〔4小结：算术平方根具有非负双重性.〔1〕任何非负实数的算术平方根都为______数64494123252(81)1(22） （））（ 方根，：求下列各数的算术平例-2222764165864232592113）（） （） （） （ ） （） （） （：求下列各式的值，例-+25081.0〔2〕 被开方数都为_______数三 课堂跟踪反馈 练习；1 ：P41练习 1、22： 判断：〔1〕5是25的算术平方根； 〔2〕-6是 36 的算术平方根； 〔3〕0的算术平方根是0； 〔4〕0.01是0.1的算术平方根；〔5〕-5是-25的算术平方根。
3．填空〔1 〕非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____〔2〕____,_____===_____, 0.64-的算术平方根____〔3〕 假设x 是49的算术平方根，则x =_____,4 。
6.1 平方根、立方根—(含有教学反思)
6.1 平方根、立方根（一）平方根一、教材分析本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。
这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
二、学情分析上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
三、教学目标1、掌握平方根及算术平方根的概念。
2、能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根。
3、培养学生观察问题和概括问题的能力。
四、教学重点、难点1、教学重点：平方根和算术平方根的概念和性质。
2、教学难点：平方根与算术平方根的区别与联系。
五、教法设计根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。
六、教学过程㈠创设情境，导入新课洋洋在玩“七巧板”时，不小心把“七巧板”里面的正方形丢了，爸爸决定自己做一个和原来一样的正方形．但现在只知道正方形的面积是25平方厘米，问爸爸能否完成这个任务?(学生探讨，回答问题)㈡观察概括由正方形的面积容易得到其边长为5厘米，故爸爸要完成任务只需做一个边长为5厘米的正方形即可．由此引入平方根的意义。
1、平方根：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根。
问题：25的平方根只有一个吗?(学生回答问题，引导发现一个正数的平方根有2个，且互为相反数)2、 试一试：(1) 144的平方根是多少?(2) 0的平方根是多少? (3) 254的平方根是多少? (4) －4有没有平方根?为什么?(请学生自己也编3道题目，同桌交换解答，你发现了什么?)通过“试一试”让学生自己发现结论，教师再加以总结。
概括：（1） 一个正数有两个平方根，且互为相反数；（2） 零只有一个平方根；（3） 负数没有平方根。
6.1平方根(第一课时)
2016-2017学年第二学期淮北市非凡学校教师集体备课专用教案（复备稿）课题：6.1 平方根（第一课时）主备人：孙荣波 授课教师： 授课时间：教学目标：1.理解一个数平方根和算术平方根的意义；2.理解根号的意义，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根；3.通过本节的训练，提高学生的逻辑思维能力；4.通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣.教学重点和难点教学重点：平方根和算术平方根的概念及求法．教学难点：平方根与算术平方根联系与区别．教学方法讲练结合．教学过程一、 复习回顾1、平方根的定义 填表：a 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -52a学生口答，师生共同总结归纳总结：任意有理数．．．．．的平方是非负数．即 2a ≥0 。
强调：的意义不相同与22)(a a --。
巩固练习：填空1．( )2=9； 2．( )2 =0.25； 3．学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时应注意纠正．由练习引出平方根的概念．教师给出平方根的定义： 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根(二次方根)．用数学语言表达即为：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根．进一步探究：±3是9的平方根；±0.5是0.25的平方根；0的平方根是0；由此我们看到+3与-3均为9的平方根，0的平方根是0，下面看这样一道题，填空：( )2=-4学生思考后，得到结论此题无答案．反问学生为什么？因为正数、0、负数的平方为非负数．由此我们可以得到结论，负数是没有平方根的．下面总结一下平方根的性质(可由学生总结，教师整理)．2、平方根性质1．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．2．0有一个平方根，它是0本身．3．负数没有平方根．巩固练习：① 9有个平方根，它们互为数② 0有个平方根，0的平方根是．③ -4、-8、-36有平方根吗？为什么？3、平方根及算术平方根的表示方法平方根：一个非负数a的平方根记作读作“正、负根号a”例如，5的平方根记作算术平方根：一个非负数a的正的平方根叫做算术平方根，记作。
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第6章 实数6．1 平方根、立方根1．平方根第1课时 平方根知识要点分类练1．“36的平方根是±6”，用数学式子表示为( )A 6=±B ．6=±C 6=D ．6=-【答案】B2．9的平方根是( )A ．±3B ．13± C ．3 D ．－3 【答案】A3．若某正数的一个平方根是－5，则它的另一个平方根是________．【答案】54．求下列各数的平方根：(1)81； (2)1625； (3)124； (4)0.49． 【答案】(1)81的平方根是±9 (2)1625的平方根是45± (3)124的平方根是32± (4)0.49的平方根是±0.75．下列各数没有平方根的是( )A ．0B ．|－4|C ．－4D ．－(－25)【答案】C6．下列说法正确的是( )A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．负数的平方根是负数D ．一个非负数的平方根的平方就是它本身【答案】D7．平方根等于它本身的数是( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1【答案】C8．若m 和n 是同一个数的平方根，且m ≠n ，则2016()________m n +=．【答案】0规律方法综合练9．求下列各式中的x ：(1)2425x =；(2)2(1)36x +=．【答案】(1)52x =或52x =- (2)x ＝5或x ＝－710．已知x －1的平方根是±2，3x ＋y －1的平方根是±4，求3x ＋5y 的平方根．【答案】解：由x －1的平方根是±2，3x ＋y －1的平方根是±4，得14,3116,x x y -=⎧⎨+-=⎩解得5,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以3x ＋5y ＝15＋10＝25．因为25的平方根为±5，所以3x ＋5y 的平方根为±5．拓广探究创新练11．若a 的两个平方根是方程3x ＋2y ＝2的一组解．(1)求a 的值；(2)求a 的平方根．【答案】解：(1)因为a 的两个平方根是方程3x ＋2y ＝2的一组解，所以x ＋y ＝0，联立322,0,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得2,2.x y =⎧⎨=-⎩ 所以2224a x ===．(2)2==±．第2课时 算术平方根知识要点分类练1．9的算术平方根是( )A ．－3B ．±3C ．3 C ．9【答案】C2的值是( )A ．4B ．2C ．－2D ．±2【答案】B3．下列说法错误的是( )A ．10是2(10)-的算术平方根B ．0.1是0.01的算术平方根C ．－|－7|没有算术平方根D ．如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是0【答案】D4．求下列各数的算术平方根：(1)196； (2)925； (3)2(6)-． 【答案】(1)196的算术平方根是14 (2)925的算术平方根是35 (3)2(6)-的算术平方根是65．用计算器求2016的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是( )A ．+B ．⨯CD ．÷ 【答案】C6________． 14=7．若高为2、底面为正方形的长方体的体积为32，则该长方体的底面边长为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C8．若一块正方形地砖的面积为0.25平方米，则它的边长是________米．规律方法综合练【答案】0.59( )A ．±3B ．3C ．±9D ．9【答案】B10．一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是( )A ．a ＋2 BC D ．22a +【答案】D11．用长为3cm 、宽为2.5cm 的邮票30枚，不重不漏地拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？【答案】这个正方形的边长为15cm12ab 的算术平方根．【答案】解：根据题意，得1－3a ＝0，b －27＝0，解得13a =，b ＝27， 所以12793ab =⨯=． 因为239=，所以ab 的算术平方根是3．拓广探究创新练13．实践与探究：(1)________=________=；________=________=；________=．(2)根据(1)中的计算结果，回答：a 吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来；②利用你总结的规律化简：若x ＜2________=．【答案】解：(1)3 0.5 6 34(2)①当a ＜0a =-；当a ≥0a =．a ．从中可以得规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数．②2－x2．立方根知识要点分类练1．－64的立方根是________．【答案】－420.2=，则x ＝________．【答案】0.0083．求下列各数的立方根：(1)8； (2)－8； (3)0.125； (4) 27125-； (5)0．【答案】(1)8的立方根为2(2)－8的立方根为－2(3)0.125的立方根为0.5 (4)27125-的立方根为35- (5)0的立方根为04，则此算式应是( )A ．43B ．34CD 【答案】C5填“＞”“＝”或“＜”)．【答案】＜6．下列说法中，正确的有( )①－1没有立方根；②8的立方根是±2；③0的立方根是0；④一个数的立方根不是正数就是负数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A7．若一个数的立方根等于它本身，则这个数是( )A ．0B ．1C ．－1D ．0，±1【答案】D8．若一个立方体的体积是3125cm ，则它的棱长为( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm【答案】B9．一个立方体的体积为364m ，如果将此立方体的棱长增加2m ，那么新立方体的体积变为( )A ．372mB ．3216mC ．372mD ．3128m【答案】B10．若一个立方体的体积变为原来的27倍，则表面积变为原来的________倍．【答案】9规律方法综合练11．若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是( )A ．4B ．±4C ．2D ．±2【答案】A12．任意给定一个负数，利用计算器不断进行开立方运算，随着开立方次数的增加，结果越来越趋向( )A ．0B ．1C ．－1D ．无法确定【答案】C13．32(1)-的立方根是( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1【答案】C14．若x 没有平方根，且|x |＝64，则x 的立方根为( )A ．8B ．－8C ．±4D ．－4【答案】D15．下列说法错误的是( )A ．9的算术平方根是3B ．64的立方根是±2C ．27的立方根是3D ．立方根等于－1的数是－1【答案】B16．将半径为12cm 的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，则小铁球的半径是________(球的体积343V R =π，R 为球的半径)． 【答案】6cm17．如果a 的平方根是±3，那么317________a -=．【答案】418．求下列各式中的x ：(1)38270x +=；(2)3(1)0.1250x --=．【答案】(1)32x =-(2)x ＝1.519．如图，两个正方体摞在一起(大正方体放在地面上)，大正方体的体积为31331cm ，小正方体的体积为3125cm ，求这个物体的最高点A 离地面的距离AC ．【答案】AC ＝16cm20．我们知道，当a ＋b ＝0时，330a b +=也成立．若将a 看成3a 的立方根，b 看成3b 的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？(1)试举一个例子来判断上述猜测的结论是否成立；(2)1【答案】解：(1)∵2＋(－2)＝0，且328=，3(2)8-=-，有8＋(－8)＝0， ∴结论成立，即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”成立．(2)由(1)验证的结果，知1－2x ＋3x －5＝0，∴x ＝4，∴1121=-=-．拓广探究创新练21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速、准确地计算出结果的吗？请你按下面的问题试一试：(1)3101000=，31001000000=，你能确定59319的立方根是几位数吗？答：________位数．(2)由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？答：________．(3)如果划去59319后面的319得到数59，而3327=，3464=，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？答：________，因此59319的立方根是________．(4)现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？答：①它的立方根是________位数；②它的立方根的个位数是________；③它的立方根的十位数是________；④185193的立方根是________．【答案】(1)两(2)9(3)3 39(4)①两 ②7 ③5 ④576．2 实数第1课时 无理数与实数的概念知识要点分类练1．有理数和无理数的区别在于( )A ．有理数是有限小数，无理数都是无限小数B ．有理数能用分数表示，而无理数不能C ．有理数是正的，无理数是负的D ．有理数是整数，无理数是分数【答案】B2．下列说法正确的是( )A ．分数、整数和零合称有理数B ．无限小数都是无理数C ．无理数都是无限小数D ．带根号的数都是无理数【答案】C3，227，0，2π 1.414，3.131131113…(两个3之间依次增加一个1)，________．，2π，3.131131113…(两个3之间依次增加一个1)4．下列说法中错误的是( )A ．实数可分为正实数、0和负实数B ．无理数可分为正无理数和负无理数C ．无理数都是带根号的数D ．实数是有理数和无理数的统称【答案】C5．把下列各数填入相应的括号内：－7，0.32，13，46，02π-． (1)有理数：{ }；(2)无理数：{ }；(3)正实数：{ }；(4)实数：{ }．【答案】解：(1)有理数：{－7，0.32，13，46，0}；(2)无理数：2π-}；(3)正实数：{0.32，13，46，；(4)实数：{－7，0.32，13，46，02π-}． 规律方法综合练6．下列说法正确的是( )A B ．0是最小的实数C 是有理数D 是分数7．试将下列各数进行分类(用两种不同的标准分类)：3.7，－4，2，39-，36-，0，43-，3.14． 【答案】略8．如图所示，四边形ABCD 是5×5网格中的格点正方形，网格中的每个小正方形的边长均为1．(1)求正方形ABCD 的面积；(2)判断正方形ABCD 的边长是有理数还是无理数．【答案】解：(1)正方形ABCD 的面积215414172=-⨯⨯⨯=．(2)设正方形ABCD 的边长为x ，则217x =，所以17x =，它是无理数．拓广探究创新练9．写出满足条件：①是负数；②是无限不循环小数的一个数是________．【答案】答案不唯一，如－π10．在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这11个数的平方根及立方根中，(1)是有理数的有________；(2)是无理数的有________．【答案】(1)0，1，4，9的平方根与0，1，8的立方根(2)2，3，5，6，7，8，10的平方根与2，3，4，5，6，7，9，10的立方根第2课时 实数与数轴上点的关系知识要点分类练13( )A 3B ．3C ．3D ．－3【答案】A2．负实数a 的倒数是( )A ．－aB ．1aC ．1a- D ．a3．22的相反数是( ) A ．22- B ．22 C ．2- D ．2 【答案】A4．求下列各数的绝对值：(1)30.125-； (2)0.31410π-； (3)32-． 【答案】解：(1)3|0.125||0.5|0.5-=-=．(2)|0.314|(0.314)0.314101010πππ-=--=-． (3)|32|(32)23-=--=-．5．与数轴上的点一一对应的是( )A ．有理数B ．分数或整数C ．无理数D ．实数【答案】D6．如图所示，数轴上的点P 表示的数可能是( )A ．5B ．5-C ．－3.8D ．10-【答案】B7．如图所示，某位老师在讲“实数”时，画了一个图，即“以数轴的单位长度为边作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A ”，作这样的图是用来说明________．【答案】实数与数轴上的点一一对应规律方法综合练8．如图所示，以数轴上的单位长度为直径的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A 点，则A 点表示的数是________．【答案】－π9．若实数a ，b 互为相反数，c ，d 3228a b cd +【答案】解：由题意，得a ＋b ＝0，cd ＝1，则 332282()8022a b cd a b cd ++=++=+=．拓广探究创新练10．如图所示，数轴的正半轴上有A ，B ，C 三点，表示数1和2的对应点分别为A ，B ，点B 到点A 的距离与点C 到点O 的距离相等，设点C 所表示的数为x ． (1)请你写出x 的值；(2)求2(2)x 的立方根．【答案】解：(1)∵点A ，B 分别表示数12，∴21AB =-，即21x =． (2)∵21x =，∴22(2)212)1x =-=．∵1的立方根为1，∴2(2)x 的立方根为1．第3课时 实数的运算及大小比较知识要点分类练1．下列说法不正确的是( )A ．互为相反数的两个实数的和是有理数B ．互为倒数的两个实数的积是有理数C ．绝对值相等的两个实数的差是有理数D ．两个无理数的和可能是有理数【答案】C2．计算： 8123(精确到个位)；(2)523100.042-(精确到0.01)． 【答案】(1)11(2)2.583．在13，0，－12这四个实数中，最大的是( ) A ．13B ．0C ．－1D 2 【答案】D4．比较大小：4________填“＞”或“＜”)．【答案】＞5．写出一个比－3大的无理数是________．6．将下列各数在数轴上表示出来，并回答问题：－2，，52，－5，π． (1)将上面几个数用“＜”连接起来；(2)在数轴上表示52和－2这两个数的点之间的距离是________． 【答案】在数轴上表示略(1)5522-<<-<<π (2)92规律方法综合练71在哪两个整数之间( )A ．1与2B ．2与3C ．3与4D ．4与5【答案】C8．规定：用符号[x ]表示不大于实数x 的最大整数，例如[3.69]＝3，1]2=，[－2.56]＝－3，[2=-．按这个规定，[1]________=．【答案】－59．比较下列两组数的大小：(1)--(2)12与78．【答案】解：(1)∵==，==，<，∴<-<-．(2)∵2 2.5<<，∴21 2.5122--<<，即11022<<，而70.758<，∴1728<． 拓广探究创新练10的小数部分我们不可能1的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：已知10x y =+，其中x 是整数，且0＜y ＜1，求x －y 的相反数．【答案】解：因为12<<，x 是整数，0＜y ＜1，所以x ＝11，则1y =，所以111)12x y -=-=故x －y 12．专题训练(一) 实数易错题专训1．2(6)-的平方根是( )A ．－6B ．36C ．±6D ．【答案】C2________=． 【答案】1143________=．4．计算：________=；(2)________=．【答案】(1)7(2)±75．若a 是2(4)-的平方根是b【答案】16．下列说法正确的是( )A ．－4的平方根是－2B ．－8的立方根是±2C ．负数没有立方根D ．－1的立方根是－1【答案】D7．64的立方根是________．【答案】48．2(4)π-的算术平方根是________．【答案】4－π9________．【答案】±210________．【答案】11．下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、0和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是开方开不尽的数；⑤3是一个分数．其中正确的有( )A ．0个B ．2个C ．4个D ．5个【答案】A12．下列各数：227，π，3.1415926，2.121121112…(两个2之间依次增加一个1)，其中是无理数的是________．【答案】π，2．121121112…(两个2之间依次增加一个1)13________．14．计算：(1)3 【答案】(1)32-(2)74小结与思考1．4的平方根是( )A ．2B ．16C ．±2D ．±16【答案】C2等于( )A ．9B ．－9C ．3D ．－3【答案】C3．2(2)-的算术平方根是( )A ．2B ．±2C ．－2 D【答案】A4．下列各式中，正确的是( )A 3=-B ．3=-C 3=±D 3=± 【答案】B5．－27( )A ．0B ．－6C ．0或－6D ．6【答案】C6．如果一个正整数a 的两个平方根是7和3－2x ．(1)求a ，x 的值；(2)求22－3a 的立方根．【答案】(1)a ＝49 x ＝5(2)－57．已知3是x －1的平方根，也是x －2y ＋1的立方根，求22x y -的平方根．【答案】解：由题意知2139x -==，221327x y -+==， 所以x ＝10，y ＝－8，所以6==±．8．下列各数是无理数的是( )A ．4B ．13-C ．πD ．－1【答案】C9．在下列各数：22，35-，13，π，0.57，0.585885888588885…(两个5之间依次增加一个8)中，无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B10．2的相反数是( )A ．2-B ．2C ．12 D ．2【答案】A11．计算：(1)1|12|---；(2)321649160.04(3)2+-⨯--；(3)232104+-+π(精确到0.01)．【答案】(1)2-(2)36.9(3)－11.9812．如图，在数轴上表示实数15的点可能是()A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N【答案】C13101的值在( )A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间【答案】C14．与15( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B15．若901k k <<+(k 是整数)，则k 的值为()A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D16．比较313-与13的大小． 【答案】31133-<17．当x ＝________时，11x ++有最小值，这个最小值为________．【答案】－1 118．若4|2|0a b ++-=，求ab 的立方根．【答案】解：根据题意，得40,20,a b +=⎧⎨-=⎩解得4,2.a b =-⎧⎨=⎩ 则ab ＝－8，所以ab 的立方根是－2．19．如图，在一块正方形白铁皮的右上角切去一块边长为3cm 的小正方形，若余下部分的面积为219cm ，求原正方形铁皮的边长(结果精确到0.1cm)．【答案】解：由题意知，原正方形铁皮的面积为2231928(cm )+=28 5.3≈，所以原正方形铁皮的边长为5.3cm ．a 0.0001 0.01 1 100 10000a ________ ________ ________ ________ ________想一想：上表中已知数a a 的小数点的移动之间有何规律？(2)k =a =b =，用含k 的代数式分别表示a ，b ；(3)=x 的值．【答案】解：(1)表中依次填0.01，0.1，1，10，100．规律：被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位．(2)k =a =b =， 所以10k a =，b ＝10k ．(3)=x ＝70000．自我综合评价(一)[测试范围：第6章 实数]1．在实数0，π，227，( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B2．给出四个数0，12，－1，其中最小的是( )A ．0BC ．12D ．－1 【答案】D3．下列运算正确的是( )A 2=±B 3=-C 2=-D ．|-=【答案】C4．下列语句中正确的是( )A ．49的算术平方根是7B ．49的平方根是－7C ．－49的平方根是7D ．49的算术平方根是±7【答案】A5( ) A ．－3 B ．3 C ．－9 D ．9【答案】B62的值在( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【答案】C7．如图是一个数值转换机，若输入a 的值为4，则输出的结果应为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】D8．若x 是2(9)-的平方根，y 是64的立方根，则x ＋y 的值为( )A ．3B ．7C ．3或7D ．1或7【答案】D9．若2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组8,1mxny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2C 2D ．±2【答案】B10．现在规定一种新的运算“※”：b a b a =※如9293==※，则1327-※等于() A ．13 B ．3 C ．13- D ．－3【答案】C11．5________；立方等于－8的数是________． 5 －212．比较大小：7________50填“＞”“＜”或“＝”)．【答案】＜13．－4是________的一个平方根．【答案】1614．在数轴上表示3________． 31520.15 4.489≈，则2015________≈．【答案】±44.8916．若264a =3________a =．【答案】±217________(准确值)．218．平方根节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根，例如2009年3月3日，2016年4月4日，请你写出21世纪内你喜欢的一个平方根节：________(题中所举例子除外)．【答案】2001年1月1日(答案不唯一)19．计算：(1)【答案】(1)0.5(2)1.520．求下列各式中x 的值：(1)20.16x =； (2)32160125x +=． 【答案】(1)x ＝±0.4 (2)65x =-21．化简：1||3|+-．【答案】422．把下列各数填入相应的大括号内：32-0.5，2π，3.14159265，|-，1.3030030003…(两个3之间依次增加一个0)．(1)有理数：{ }；(2)无理数：{ }；(3)正实数：{ }；(4)负实数：{ }．【答案】解：(1)有理数：{32-0.5，3.14159265，|-}；(2)无理数：{2π，1.3030030003…(两个3之间依次增加一个0)}；(3)正实数：{0.5，2π，3.14159265，1.3030030003…(两个3之间依次增加一个0)}；(4)负实数：{32-，38-，|25|--}． 23．一个正数a 的两个平方根分别是2m ＋1与5m －8，求a 的值．【答案】解：依题意，得2m ＋1＝－(5m －8)，解得m ＝1，所以2m ＋1与5m －8的值分别是3和－3，所以2(3)9a =±=．24．若22015(2016)0a b -++=，试求代数式2016()a b +的值． 【答案】解：由题意，得20150,20160,a b -=⎧⎨+=⎩解得2015,2016,a b =⎧⎨=-⎩ 因此(a ＋b )2016＝(－1)2016＝1．25．如图，数轴上点A 表示的数为21+，点A 在数轴上向左平移3个单位长度到达点B ，点B 表示的数为m ．(1)求m 的值；(2)化简：2|1|(2)m m ++-．【答案】(1)22m =23第7章 一元一次不等式与不等式组7．1 不等式及其基本性质第1课时 不等式的认识知识要点分类练1．下列式子中，是不等式的是( )A ．x ＋1＝0B ．2x C ．223x x -- D ．2x ＋3＞0【答案】D2．下列式子：①2＜0；②2x －3＞0；③x ＝2010；④2x x +；⑤x ≠0；⑥x ＋3＞1中，其中是不等式的是________(填序号)．【答案】①②⑤⑥3．某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为(330±10)g ，说明这罐八宝粥的净含量x 的范围是( )A ．320＜x ＜340B ．320≤x ＜340C ．320＜x ≤340D ．320≤x ≤340【答案】D4．如图，身高为x cm 的1号同学与身高为y cm 的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x ________y (填“＞”或“＜”)．【答案】＜5．坐在行驶在公路上的汽车里会看到不同交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果设汽车的质量为x t ，速度为y km ／h ，宽度为l m ，高度为h m ，用不等式表示图中的意义：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________．【答案】(1)x ≤5.5(2)y ≤30(3)h≤3.5(4)l ≤26．用不等式表示：(1)x 的2倍与5的差不大于1；(2)x 的13与x 的12的和是非负数． 【答案】(1)2x －5≤1 (2)11032x x +≥ 规律方法综合练7．无论x 取何值，下列不等式总成立的是( )A ．x ＋5＞0B ．x ＋5＜0C ．2(5)0x -+<D ．2(5)0x -≥【答案】D8．燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.2m ／s ，人离开的速度为4m ／s ，导火线的长度x (m)应满足怎样的关系式？【答案】解：由题意，得导火线的长度x 应满足1040.2x <． 拓广探究创新练9．小林要在水果摊上买2千克苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x 千克，那么用不等式把这个“高高的”意思表示出来是( )A ．x ≤2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ＜2【答案】C10．若x ≥2的最小值是a ，y ≤－6的最大值是b ，则a ＋b ＝________．【答案】－4【解析】因为x ≥2的最小值是a ，所以a ＝2；因为y ≤－6的最大值是6，所以b ＝－6，所以a ＋b ＝2－6＝－4．故答案为－4．第2课时 不等式的基本性质知识要点分类练1．若x ＞y ，则下列式子中错误的是( )A ．x －3＞y －3B ．33x y > C ．x ＋3＞y ＋3 D ．－3x ＞－3y【答案】D2．已知a ＞b ，c 为任意实数，则下列不等式中总成立的是( )A ．a ＋c ＜b ＋cB ．a －c ＞b －cC ．ac ＜bcD ．ac ＞bc【答案】B3．下列不等式变形正确的是( )A ．由4x －1＞2，得4x ＞1B ．由5x ＞3，得35x >C ．由02y >，得y ＞2 D ．由－2x ＜4，得x ＜－2【答案】B4．用“＞”或“＜”填空：(1)若x ＜y ，则3x －1________3y －1；(2)若a ＞b ，则1－a ________1－b ．【答案】(1)＜(2)＜5．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：(1)x －2＜3； (2)6x ＞5x －1； (3)－4x ＞4．【答案】(1)x ＜5(2)x ＞－1(3)x ＜－1规律方法综合练6．设●、▲、■表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为( )A ．■、●、▲B ．■、▲、●C ．▲、●、■D ．▲、■、●【答案】B7．下列说法不一定成立的是( )A ．若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋cB ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞bC ．若a ＞b ，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a ＞b【答案】C8．由x ＜y 得到ax ＞ay 的条件是________．【答案】a ＜09．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，请判断下列不等式的正确性．(1)bc ＞ab ；(2)ac ＞ab ；(3)c －b ＜a －b ；(4)c ＋b ＞a ＋b ；(5)a －c ＞b －c ；(6)a ＋c ＜b ＋c ．【答案】解：由数轴可知c ＜b ＜a ，a ＞0，b ＜0，c ＜0．因为c ＜a ，两边都乘以b ，b 是一个负数，得bc ＞ab ，故(1)正确；因为c ＜b ，两边都乘以a ，a 是一个正数，得ac ＜ab ，故(2)不正确；因为c ＜a ，两边都减去b ，得c －b ＜a －b ，故(3)正确；因为c ＜a ，两边都加上b ，得c ＋b ＜a ＋b ，故(4)不正确；因为a ＞b ，两边都减去c ，得a －c ＞b －c ，故(5)正确；因为a ＞b ，两边都加上c ，得a ＋c ＞b ＋c ，故(6)不正确．拓广探究创新练10．现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：(1)利用性质①比较2a 与a 的大小(a ≠0)；(2)利用性质②比较2a 与a 的大小(a ≠0)．【答案】解：(1)当a ＞0时，a ＋a ＞a ＋0，即2a ＞a ；当a ＜0时，a ＋a ＜a ＋0，即2a ＜a ．(2)当a ＞0时，由2＞1，得2·a ＞1·a ，即2a ＞a ；当a ＜0时，由2＞1，得2·a ＜1·a ，即2a ＜a ．7．2 一元一次不等式第1课时 一元一次不等式及其解法知识要点分类练1．下列不等式中，是一元一次不等式的是( )A ．21x x +>B ．－y ＋1＞yC ．12x > D ．210x +>【答案】B2．x ＝－1不是下列哪个不等式的解( )A ．2x ＋1≤－3B ．2x －1≥－3C ．－2x ＋1≥3D ．－2x －1≤3【答案】A3．下列说法正确的是( )A ．x ＝4是不等式2x ＞－8的一个解B ．x ＝－3是不等式2x ＞－8的解集C ．不等式2x ＞－8的解集是x ＞4D ．不等式2x ＞－8的解集是x ＜－4【答案】A4．不等式3＋2x ＞5的解集是________．【答案】x ＞15．解不等式：(1)3x －2＞x ＋4； (2)3－2(x －1)＜1．【答案】(1)x ＞3(2)x ＞26．一元一次不等式x －1≥0的解集在数轴上表示正确的是() A ．B ．C ．D ．【答案】A7．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：(1)x ≤－2； (2)x ≥0．【答案】解：(1)如图．(2)如图．规律方法综合练8．若不等式(m－2)x＞2－m的解集为x＜－1，则m的取值范围是________．【答案】m＜29．写出一个解集为x≥1的一元一次不等式：________．【答案】答案不唯一，如2x－1≥110．解不等式5x－2＞3(x＋1)，并把它的解集表示在数轴上．【答案】52x>解集在数轴上表示略拓广探究创新练11．如图是甲、乙两人玩跷跷板的示意图(支点在中点处)，甲的体重是m kg，则m的取值范围在数轴上表示正确的是图中的( )A．B．C．D．【答案】B第2课时解较复杂的一元一次不等式知识要点分类练1．不等式322xx+<的解集是( )A．x＜－2 B．x＜－1 C．x＜0 D．x＞2 【答案】A2．解不等式11132x xx+---≥，下列去分母正确的是( )A．2x＋1－3x－1≥x－1 B．2(x＋1)－3(x－1)≥x－1 C．2x＋1－3x－1≥6x－1 D．2(x＋1)－3(x－1)≥6(x－1) 【答案】D3．不等式3215x --≤的解集是________． 【答案】x ≤4 4．解不等式1233x x +-<，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式的解集为x ＜2 解集在数轴上表示略5．不等式13162x x ---≥的正整数解是( ) A ．0 B ．1C ．0和1D ．1和2【答案】B6．不等式112x ->-的最大整数解为( ) A ．－2 B ．－3C ．－4D ．－5【答案】B7．不等式4＋2x ≥x －1的所有负整数解的和为________．【答案】－15 规律方法综合练8．若代数式3(25)2k +的值不大于代数式5k －1的值，则k 的取值范围是________． 【答案】174k ≥ 9．求不等式44(1)123x x +++≥的所有自然数解． 【答案】不等式的自然数解是0，1，210．已知不等式2(x －1)＋4＜3(x ＋1)＋2的最小整数解是关于x 的方程2x －mx ＝4的解，求m 的值．【答案】解：由2(x －1)＋4＜3(x ＋1)＋2得x ＞－3，所以不等式的最小整数解为x ＝－2，将x ＝－2代入2x －mx －4中，解得m ＝4．拓广探究创新练11．已知关于x ，y 的方程组321,431x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x ＞y ，求k 的取值范围．【答案】解：解关于x ，y 的方程组321,431,x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩得5,7.x k y k =+⎧⎨=--⎩因为x ＞y ，所以k ＋5＞－k －7，解得k ＞－6．第3课时 一元一次不等式的应用知识要点分类练1．小华拿24元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面3元，一根火腿肠2元，他买了4盒方便面，x 根火腿肠，则关于x 的不等式表示正确的是( )A ．3×4＋2x ＜24B ．3×4＋2x ≤24C ．3x ＋2×4≤4D ．3x ＋2×4≥24【答案】B2．某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费为50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x (张)满足的不等式为________．【答案】50＋0.3x ≤12003．有关学生体质健康评价指标规定：握力体重指数m ＝(握力÷体重)×100，九年级男生的合格标准是m ≥35．如果九年级男生小明的体重是50kg ，那么小明的握力至少要达到________kg 时才能合格．【答案】17.54．有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg ，每捆材料重20kg ，电梯的最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载________捆材料．【答案】425．某商场新进一批服装，进货价为每件200元，如果要使利润率不少于15％，那么这种服装的售价至少为多少元？【答案】解：设这种服装的售价为x 元，由题意，得20015200100x ≥，解得x ≥230． 答：这种服装的售价至少为230元．规律方法综合练6．有人问一位老师他所教的班有多少名学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩下不足6位同学在操场踢足球．”则这个班共有学生( )A ．56人B ．48人C ．28人D ．不能确定【答案】C7．某品牌商品成本为600元，标价为1200元，后来由于该商品积压，商店要求打折销售，但应保证利润率不低于20％，则最低可打( )A ．6折B ．6.5折C ．7折D ．7.5折【答案】A8．若三个连续自然数的和小于12，则这样的自然数组共有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】C9．市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．若购买树苗的钱不超过34000元，则至少购买甲种树苗多少株？【答案】解：设购买甲种树苗x 株，则购买乙种树苗(500－x )株．由题意，得50x ＋80(500－x )≤34000，解得x≥200．所以至少购买甲种树苗200株．10．我市某中学举行地理知识抢答赛，总共50道抢答题．抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分．小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，则小军至少要答对几道题？【答案】解：设小军答对x道题．依题意，得3x－(20－x)≥50，解得1172x≥．因为x为正整数，所以x的最小正整数解为18，所以小军至少要答对18道题．11．我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10％，假定每年新增电动车数量相同，问：(1)从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？(2)在(1)的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？(结果精确到0.1％)【答案】解：(1)设从今年年初起每年新增电动车x万辆，则今年年底车辆数为10(1－10％)＋x，即(9＋x)万辆；明年年底车辆数为(9＋x)(1－10％)＋x，即(8.1＋1.9x)万辆．由题意，得8.1＋1.9x≤11.9，解得x≤2．答：从今年年初起每年新增电动车数量最多是2万辆．(2)由(1)得今年年底车辆数为9＋2＝11(万辆)，则11.911100%8.2% 11-⨯≈．答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2％．12．为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱森林”的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1000棵，其中甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵50元．根据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85％和90％．(1)若购买甲、乙两种树苗共用去了46500元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)若要使这批树苗的成活率不低于88％，则至多可购买甲种树苗多少棵？【答案】解：(1)设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵．根据题意，得1000, 405046500, x yx y+=⎧⎨+=⎩解得350,650. xy=⎧⎨=⎩答：购买甲种树苗350棵，购买乙种树苗650棵．(2)设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗(1000－x)棵．根据题意，得85％x＋90％(1000－x)≥1000×88％，解得x≤400．答：至多可购买甲种树苗400棵．13．在五一假期，某公司组织员工到某地旅游．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出了赴该地旅游的团体优惠方案．甲旅行社的优惠方案：买4张全票，其余人按原价五折优惠；乙旅行社的优惠方案：一律按原价六折优惠．已知这两家旅行社的票价原价均为a 元，且在旅行过程中的各种服务质量相同．如果你是该公司的负责人，那么你会选择哪家旅行社？【答案】解：设有x人参加旅游，选择甲旅行社所需要的费用为[4a＋0.5a(x－4)]元，选择乙旅行社所需要的费用为0.6ax元．当4a＋0.5a(x－4)＝0.6ax时，x＝20；当4a＋0.5a(x－4)＞0.6ax时，x＜20；当4a＋0.5a(x－4)＜0.6ax时，x＞20．即当参加旅游的人数为20人时，选甲、乙旅行社均可；当参加旅游的人数少于20人时，选乙旅行社；当参加旅游的人数多于20人时，选甲旅行社．拓广探究创新练14．合肥市某商场为做好“家电下乡”的惠民服务，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过(1)求该商场至少购买丙种电视机多少台；(2)若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视机的台数，且使售出后所获利润最高，请设计进货方案，并求售出后的最高利润．【答案】解：(1)设购买丙种电视机x台，则购买甲种电视机4x台，购买乙种电视机(108－5x)台，根据题意，得1000×4x＋1500×(108－5x)＋2000x≤147000，解这个不等式得x≥10，因此至少购买丙种电视机10台．(2)由(1)知购买甲种电视机4x台，购买乙种电视机(108－5x)台，根据题意，得4x≤108－5x，解得x≤12．因为售出后每台甲、乙电视机的利润相同，且丙种电视机的利润最高，所以x越大时，总利润越高，即当x＝12时，甲种电视机48台，乙种电视机48台，总利润最高．最高利润为(48＋48)×200＋12×300＝22800(元)．即购买甲种电视机48台，乙种电视机48台，丙种电视机12台，可使售出后所获利润最高，最高为22800元．周滚动练习(一)[测试范围：7．1～7．2]1．下列式子：－1≥0，x＋3＞0，2x－3，x－4≠0中，其中不等式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C2．下列各式中，是一元一次不等式的是( )A．5xx≥B．221x x>-C．x＋2y＜1 D．2x＋1≤3x【答案】D3．若a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是( )。
平方根、立方根第1课时PPT课件(沪科版)
要点归纳
平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根
互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根.
典例精析
例1 已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4， 则a的值是______．
解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4， ∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2.故答案为2.
类似平方根的讨论， 思考：正数、负数、0的算术平方根各有几个？ 正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根 还是0，负数没有算术平方根.
例如：16的平方根是4和-4，其中4是16的算 术平方根.
算术平方根的性质
非负数 a 0
a的算术平方根 a
非负数 a 0
算术平方根具有双重非负性
典例精析
例3 分别求下列各数的算术平方根：
4和-4互为相 反数，会不会
是巧合呢？
想一想：4和-4有什么特征？
合作与交流
x2
1
4
9
...
a2
x
1 ±2 ±3 ...
±a
视察所填的数据，填一填：
1的平方根是 1 ；16的平方根是 4 ，... ; a2 的
平方根是 ±a . 你发现了什么？
一个正数的平方根有两个，并且这两个数是相反数
试一试
1. 144的平方根是什么？ 12
是多少吗？
每块正方形地垫的面积是
10.8÷30=0.36(m2).
？
即 边长×边长=0.36. 由于 0.62=0.36， 因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.
一 平方根的概念及其性质
问题引导
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块 面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之 作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
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正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： a 它的另一个平方根记作： a a 一个正数a的平方根表示为：
0的算术平方根还是0
说明：这样求一个正数的平方根，只 要求出它的算术平方根后，就可以写 出它的平方根了。
“负数没有平方根”与“一个数的平方根 不能为负数”意义是否一样？ 求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫 做开平方，开平方运算的结果就是平方根。 平方与开平方是互为逆运算.
举一个实际例子吧！ 5 的平方根，可以记作 5 和－ 5 ，或± 5
注意：因为负数没有平方根，所以在式子 a
中的被开方数 a ≥0 ，否则式子 没有意义。 a
即式子
a 中的 a 是一个非负数。
例1：判断下列各数有没有平方根，如果 有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方 根，说明理由。
（1）81； （2）－81； （ 3） 0 ；
x y 4 0 解：由题意得 x 2y 5 0 x 3 解方程组得 y 1
我们已学习了3种非负数，即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零，它们就同时为零，然后转 化为方程（或方程组）来解。
补充练习：
1.81的算术平方根是 ； 81的算术平方根是 。
比一比
x 8 -8
3 4 3 -4
看谁最聪明？
如图，求左圈和右圈中的
？ 表示的数：
x
？
2
？
121 0.36 0 -4
？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？
• 练一练：
求出下列各数的平方根
(1)225 (2)
1 4
(3)6.25
16 (4) 25
用计算器求下列各数的算术平方根
(1) 529;
(2)1225; (3)44.81
2 ( 7 ) （ 4） ；
（ 5） 7 。
2
例2：求下列各数的平方根。
7 16 （1）100；（2）1.44；（3） ；（4） 2 9 49
解：
（1） (10)
2
100
∴100的平方根是±10
即 100 10 注意：不能写成
100 10
请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
2
2 ≥0 ３ .当a 时， 9a 的算术平方根为 3a。
互为相反数 。 此时a与b的关系为
５ .已 知 （ ｘ １ ） y 2 z 3 0
2
4. 5 a b的最大值为 -5 ，
求x y z的 算 术 平 方 根 。
例：已知 x y 4 x 2y 5 0，求x、y的值。
2
计算各式中 x的 值 ： （ 1 ） 9x 256 0
2
（ 2 ） x 2 100 0 （ 3 ） 4 （ 2x 1 ） 25 0
2
补充练习；
1. 16的 算 术 平 方 根 是 ； 2 5 12 。 13
2 2
２ .若 2x 5 4，则（ 2x 5 ） 256 。
12 )2＝144
10
)2＝100 )2＝49
( 0.8 )2＝0.64
7
7 49 ( ) 2＝ 9 81
提示: 已知一个数的平方，求这个数的问题。
若x2=a（x≥0），那么x叫做a的算术平方根。 记作：x= a
一般地，如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 即：若x2=a，那么x叫做a的平方根。 记作：x= a
2.算术平方根是 9的数是 。
3. 36的算术平方根是 。
4. （ 3 ）的算术平方根等于 。
2
……
学习小结： 本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？ 1.平方根的概念: 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根. 2.平方根的性质: 一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0. 负数没有平方根. 3.平方根的表示法: a (a 0) 4.算术平方根的概念: 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
思考： • 你能求出下列各式中的未知数x吗？
• （1） x2＝49 • （2）（x－1）2＝25
判断下列说法是否正确.
1. 16的平方根是±16. 2. a 一定是正数. 3.a2的算术平方根是a. 4.若 (a) 2 5 ,则a=-5. 5. 9 3 . 6.-6是(-6)2的平方根. 7.若x2=36,则x= 36 6
沪科版七年级（下册）
第6章实数
问题：学校要举行美术作品 比赛，小鸥很高兴，他想裁出 一块面积为25的正方形画布， 画上自己的得意之作参加比赛， 这块正方形画布的边长应取多 少？
正方形 的面积
边长
1
9
16
36
0.25
1
3
4
6
0.5
在括号里填上适当的正数．
2 4 第一组： ( ) 2＝ 3 9
第二组： 第三组： ( ( (
（ 9 ） x 2 4 2x
已知a、b满足： a 5 2 10 2a b 4，求a、b的值。
已知b a 6 3 18 3a 3，求a b的平方根。
若 （x 3 ） x 3 0， X≤0 则x的 取 值 范 围 是 。
(× ) ( ×) (× ) (× ) ( ×) (√ ) (√ ) 8.如果两个数平方后相等,那么它们的也相等
例. 已知
x 有意义,则x一定是
(
)
A.正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 例3.求下列各式的值
625
21 4 25
23 42 36
例. 求使
有意义x的取值范围. x 1 x 1
例4.已知a、b满足等式 a 2 +︱b+5︱=0, 求a2-12b的算术平方根.
例：x为何值时，下列各式有 义？
（ 1 ） 2x （ 2 ） x （ 3 ） x 1 （ 4 ） 1 x x x 1 2 2 （ 5 ） （ 6 ） x （ 7 ） x 1 （ 8 ） 2 x1 x
9 3 2 9 ( ) 49 7 49 3 9 都是 的平方根。 7 49
9 3 的平方根是 49 7
例 ： 求 下 列 各 数 的 平根 方， 9 2 （ 1 ） 100 （ 2 ） （ 3 ）（ 7 ） 16 （ 4 ） 13 12 （ 5 ）（ 25 ）
2 2 2
a
练习:下列说法中不正确的个数有 ( C ) ①0.25的平方根是0.5 ②-0.5的平方 根是-0.25 ③只有正数才有平方根 ④0的平方根是0
A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 a的一个平方根是3，则另一个平方根 是 -3 ，a= 9 。 3a-22和2a-3是m的两个平方根， 试求m的值。
±6 36的 平 方 根 是 ； ４ 的平方根是 2；
2
3 5； （ 5 ）的 平 方 根 是 9的 算 术 平 方 根 是 ；
16的 算 术 平 方 根 的 平 方 是 根 。 ± 2
试一试:
(1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? 64 (3) 121 的平方根是什么? (4)-4的平方根是什么?为什么? 从上面的回答中,你发现了什么?
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
2 例如：∵ 52 25 (5) 25 ∴5 和 －5 都是25的平方根。
∴ 25的平方根是±5。
∵
∴
3 2 ( ) 7 3 和－ 7