复变函数与积分变换第二版本-8.1 傅立叶变换的概念49页PPT
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复变函数与积分变换课件8.1 傅立叶变换的概念
代入 (A) 式并整理得
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e
jnω0t
).
13
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
5. Fourier 级数的指数形式
傅 推导 立
fT
(t)
a0 2
(an
0 20 30 40
arg F (nω0 )
40 30 20 0
O
0 20 30 40
17
§8.1 Fourier 变换的概念
第
fT (t)
八 章
2
傅
立
叶
变 换
解
基频
ω0
2π T
1.
O 2
t
(1) 当 n = 0 时，
c0 F(0)
1 T
T /2
叶 非常特殊的物理意义。 变
换
因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要
的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发 展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。
第 八
第八章
Fourier 变换
章
傅 §8.1 Fourier 变换的概念
立 叶
§8.2 单位冲激函数
变 换
§8.3 Fourier 变换的性质
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
第1页/共75页
1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数与积分变换全套精品课件
复变函数与积分变换
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
傅里叶积分变换PPT课件
F( )
f (t)ej t dt
（2）
则
f (t) 1
F ( ) e j t d
2
（3）
第5页/共66页
从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
0
E e jt
j
0
E (1 cos τ j
jsin τ
)
2E
e jT 2
sin τ
2
第34页/共66页
解2
前面介绍的矩形单脉冲
f1
(t
)
E,
0,
τ t τ ;
2
2
其他
的频谱函数为
F1 ()
2E
sin
τ
2
因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移 利用位移性质有
τ 2
得到，
F() F
故（8）式成立。这表明：一个函数积分后
的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以
因子 j。
第38页/共66页
例2 求微分积分方程
t
ax(t) bx(t) c x(t)dt h(t)
的解，其中 t , a,b, c 均为常数。
解 记 F x(t) X () F h(t) H()
在方程式两边取傅氏变换，并利用傅氏变换的微 分性质和积分性质可得
例6 求指数衰减函数
f
(t)
0,
t 0;
( 0)
e t , t 0
的频谱。
解
根据例1的结果， F ( )
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1 2πtejndt t 1 2πtdejnt
2π 0
2nπj 0
1 tejnt2 1 2πejndt t j .
2nπj
0 2nπj 0
n
19
§8.1 Fourier 变换的概念
第
fT (t)
八 章
2
傅
O 2
t
立
叶
变 换
解
(3)
fT (t)的 Fourier 级数为
叶 变
令
A0
a0 2
，
An
an 2bn2,
换
cosn
an An
,
sinn
bn An
,
An n an
O
则 (A) 式变为
fT(t)A 0 A nconω s0t(θn) n1
(A)
bn
10
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
立
|F(nω0)|
叶
变 换
40 30 20 0 O
0 20 30 40
arF g(nω0)
40 30 20 0
O
0 20 30 40
17
§8.1 Fourier 变换的概念
第
fT (t)
八 章
2
傅
立
叶
变 换
解
基频
ω0
2π 1. T
O 2
13
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
5. Fourier 级数的指数形式
傅 推导 立
fT (t) a 2 0 n 1 (a n 2 jn b e jω n 0 t a n 2 jn b e jω n 0 t).
叶 变 换
立 叶
fT (t) ? A 00(t) a nn (t) b nn (t)
变
n 1
换
A 0 anco n s 0tbnsin n0t
n 1
A 0 A ncon s0(tn). n1
( Fourier级数的历史回顾)
7
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
3. Fourier 级数的三角形式
傅 定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在
立
P183 定理
区间 [T/2,T/2]上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
叶 8.1
变
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
傅 立 叶
fT (t) a 2 0 n 1 (a n cn o ω 0 ts b n sn iω n 0 t),
(A)
变 换
其中,
2T /2 anT T /2fT(t)co n ω 0 stdt,
n0,1,2,
bnT 2 T T //2 2fT(t)sin ω n0tdt,
八 章
4. Fourier 级数的物理含义
傅
fT(t)A 0 A nconω s0t(θn)
立
n1
叶 表明 周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，
变 换
这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 ω 0 的倍数。
意义 认为 “ 一个周期为 T 的周期信号fT (t) 并不包含所有的 频率成份，其频率是以基频 ω 0 为间隔离散取值的。”
O n
bn
bn
即 c n 的模与辐角正好是振幅和相位。
定义 称 | c n | 为振幅谱，称 argcn为相位谱；
2c n
称 c n 为频谱，记为 F(nω 0)cn.
16
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
6. 离散频谱与频谱图
傅 频谱图 将振幅 | c n | 、相位 argcn 与频率 nω0 的关系画成图形。
立
a co 0 t s b si0 tn
叶
变 换
其中，A 称为振幅， 0 称为角频率，
称为相位，( 0称为零相位)。
T 2 为基本周期；(单位：秒) 0
F1 T
0 2
为频率。 (单位：赫兹 Hz)
4
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
立 分析 Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，
叶 变
其频谱是以 ω02πT为间隔离散取值的。
换
当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；
当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，
即频谱将连续取值。
因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。
24
§8.1 Fourier 变换的概念
第 二、非周期函数的傅立叶变换
换
(2) 只有有限个极值点 .
则在 fT (t) 的连续点处有
在 fT (t)的间断处，上式左端为 1 2fT(t0)fT(t0).
8
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
3. Fourier 级数的三角形式
定理 ( Dirichlet 定理)
八 章
2. 正交函数系
补
傅 立 叶 变 换
函数系
0(t)1
1(t)co 0ts
1(t)si n 0t
2(t)co 2 0 st
2( t) s i2 n 0t
n(t)co n 0 st n(t)sin n0t
(A)
叶 变
根据 Euler 公式 e jn ω 0 t cn o ω 0 t sjsn iω 0 n t,( j 1)
换
可得
e e jn ω 0tjn ω 0t
conω s0t
2
,
sin n ω 0tjejn ω 0t2 jejn ω 0t
代入 (A) 式并整理得
fT (t) a 2 0 n 1 (a n 2 jn b e jω n 0 t a n 2 jn b e jω n 0 t).
fT
(t
)
π
n
j n
e
jnt
.
n0
(4) 振幅谱为 F(nω0) 1π|n,|,
n0, n0.
相位谱为
arF g(nω0)
0, π 2,
n 0, n 0,
π 2, n 0.
20
§8.1 Fourier 变换的概念
第 八 章
傅
立
叶
变 换
解
(5) 频谱图如下图所示。
相位 θ n 反映了在信号 fT (t)中频率为 nω0 的简谐波 沿时间轴移动的大小。
这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。
12
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
5. Fourier 级数的指数形式
傅 立
推导
P183
已知 fT (t) a 2 0 n 1 (a n cn o ω 0 ts b n sn iω n 0 t),
T/2
T/2 k(t) l(t)dt0,
(kl)
由 {k(t)}{,k(t)}组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。
6
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
2. 正交函数系
傅 问题 对于任何一个周期为 T 的(复杂)函数 fT (t)，能否：
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
6. 离散频谱与频谱图
傅
分析
由 c0
a0 2
,
cn
an
jbn 2
,
cn
an
jbn, 2
2cn
立 叶 变 换
P185
得
c0 A0,
|cn||cn|1 2an 2bn 2A 2n，
An n
an
ac n r g ac r n θ g n , (n0).
(1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。 傅
立 叶
f(t)T l im fT(t)
f (t)
变
换
fT (t)
t
fT (t)
t
T/2
T/2
t
23
§8.1 Fourier 变换的概念
第 二、非周期函数的傅立叶变换
八 章
1. 简单分析
(2) 当 T时，频率特性发生了什么变化？ 傅
第 八
第八章
Fourier 变换
章
傅 §8.1 Fourier 变换的概念
立 叶
§8.2 单位冲激函数
变 换
§8.3 Fourier 变换的性质
1
§8.1 Fourier 变换的概念
第 八
§8.1
Fourier 变换的概念
章
Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够
傅 立
简化运算 ( 如求解微分方程、化卷积为乘积等等 )，又具有
立
叶 信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。
变
换
但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函
数， 而在工程实际问题中， 大量遇到的是非周期函数，