第三章《数列》
（C）
2 n 3 (8 1) 7
n4 （D） (8 1)
2 7
解：依题意， f ( n) 为首项为 2，公比为 8 的前 n＋4 项求和，根据等比数列的求和公式可得 D 2． （北京卷）如果-1，a,b,c,-9 成等比数列，那么 （A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 解：由等比数列的性质可得 ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9 且 b 与奇数项的符号相同， 故 b＝－3，选 B 3． （福建卷）在等差数列｛a n ｝中，已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13，则 a 4 +a 5 +a 6 等于 A.40 B.42 C.43 D.45
5a1 20d 15 d 3 ，故选 C. 5a1 25d 30
5． （湖北卷）若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列，c, a, b 成等比数列，且 a 3b c 10 ， 则a A．4
B．2
C．－2
D．－4
解：由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设 a＝b－d，c＝b＋d，由 a 3b c 10 可得 b ＝2，所以 a＝2－d，c＝2＋d，又 c, a, b 成等比数列可得 d＝6，所以 a＝－4，选 D 6． （湖北卷）在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则 a2a3a4a5a6a7a8a9= A. 81 B. 27 5 27 C.
5，
a1a3 (5 d )(5 d ) 16 ，∴ d=3， a12 a2 10d 35 ， a11 a12 a13 105 ，选 B.
11． （全国卷 I）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S7 35 ，则 a4 A． 8 B． 7 C． 6 D． 5
2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编 第三章《数列》
一、选择题（共 18 题） 1． （北京卷）设 f (n) 2 24 27 210 23n10 (n N ) ，则 f ( n) 等于 （A）
2 n (8 1) 7
（B）
2 n 1 (8 1) 7
n 1
2
(B)
3n
(C) 2 n
(D) 3n 1
【解析】因数列 an 为等比，则 an 2qn1 ，因数列1 1)2 (an 1)(an2 1) an12 2an1 an an2 an an2 an an2 2an1 an (1 q 2 2q) 0 q 1
2 2 解：设公差为 d，则 an＋1＝an＋d，an－1＝an－d，由 an1 an an1 0(n ≥ 2) 可得 2an－ an
＝0，解得 an＝2（零解舍去） ，故 S2n1 4n 2×（2n－1）－4n＝－2，故选 A 9． （辽宁卷） 在等比数列 an 中, a1 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 an 1 也是等比数列,则 Sn 等于 (A) 2
解：在等差数列 an 中，已知 a1 2, a2 a3 13, ∴ d=3，a5=14， a4 a5 a6 =3a5=42，选 B. 4． （广东卷）已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差 为 A.5 B.4 C. 3 D. 2 解：
解析:由等差数列的求和公式可得
S3 3a1 3d 1 , 可得a1 2d 且 d 0 S6 6a1 15d 3
2
所以
S6 6a 15d 27d 3 1 ,故选 A S12 12a1 66d 90d 10
【点评】本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般 13． （全国II）已知等差数列 an 中， a2 7, a4 15 ，则前10项的和 S10 ＝ （A）100 解：d＝ (B)210 (C)380 (D)400
a4 a2 15 7 4 ， a1 ＝3，所以 S10 ＝210，选 B 42 2
1
A．100 B. 101 解：依题意，a1＋a200＝1，故选 A
C.200
D.201
2 8． （江西卷）在各项均不为零的等差数列 an 中，若 an1 an an1 0(n ≥ 2) ，则
S2n1 4n （
Ａ． 2
） Ｂ． 0 Ｃ． 1 Ｄ． 2
【解析】 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S7 7a4 35, ∴ a4 5 ，选 D. S3 1 S6 12． （全国 II）设 Sn 是等差数列｛an｝的前 n 项和，若 ＝ ，则 ＝ S6 3 S12 3 （A） 10 1 （B） 3 1 （C） 8 1 （D） 9
即 an 2 ，所以 Sn 2n ，故选择答案 C。 【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 10． （全国卷 I）设 an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15 ， a1a2 a3 80 ，则
a11 a12 a13
A． 120 B． 105 C． 90 D． 75 【解析】 an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15 ， a1a2 a3 80 ，则 a2
3
D. 243
解：因为数列｛an｝是等比数列，且 a1＝1，a10＝3，所以 a2a3a4a5a6a7a8a9＝ （a2a9） （a3a8） （a4a7） （a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选 A 7． （江西卷）已知等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 OB ＝a1 OA ＋a 200 OC ，且 A、B、C 三点共线（该直线不过原点 O） ，则 S200＝（ ）
数学高考复习名师精品教案：第23课时：第三章 数列-等差数列、等比数列的性质及应用
数学高考复习名师精品教案第23课时：第三章 数列——等差数列、等比数列的性质及应用一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S -- 仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n ma a a a +=+3．等比数列{}n a 中，若m n p q+=+，则mn p q aa a a ⋅=⋅4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S -- 仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（三）例题分析：例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a +=9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n mS +．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn m Am Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(1)(2)-得：22()()n m A n m B m n -+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n mS n m A n m B n m +=+++=-+．例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项.解：设数列的项数为21n +项， 则121(1)()772n n a a S +++==奇，22()662n n a a S+==偶∴17766S n S n+==奇偶，∴6n =，∴数列的项数为13，中间项为第7项，且711a =．说明：（1）在项数为21n +项的等差数列{}na 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n Sn a S na S n a 奇中偶中中；（2）在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++ *()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '． 解：（1）由题意：410nna-=，∴lg 4na n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k aa a k -+++=-，∴1(1)7[3]22nn n n bn n--=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==（2）由（1）当7n ≤时，0nb ≥，当7n >时，0nb <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n-+'=+++==-+当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++---- 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232n n a +=-，41213n nT S n-=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈ 是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．解：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--，又1174b=-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3nn a n b n n =--=--=-+-，∴B A⊂，∴A BB=∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d=-+，∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差的等差数列，∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724nc n=-．（四）巩固练习：1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nna a a bn+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n nS n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43．说明：2121n n nn a S b T --=．。
第三章数列学情与教材分析
第三章数列学情与教材分析
概述
本文档旨在分析第三章数列学情以及教材的适应性。
数列在数学学科中占有重要地位，对学生的数学思维和问题解决能力培养具有重要作用。
因此，对于教材的选择和教学方法的设计都需要充分考虑学生的学情。
学情分析
在分析学情时，我们需要考虑学生的背景知识、研究兴趣和认知发展水平等因素。
数列作为一个抽象的数学概念，对于初学者来说可能会有一定的难度。
因此，需要根据学生的年级和数学水平，选择相应难度的教材和教学方法。
教材分析
在选择教材方面，我们应该注重教材的内容丰富性和教学目标的有序性。
教材应该能够覆盖数列的定义、性质、分类以及相关的求和公式等基本知识点。
此外，教材还应该提供一些具体实例和问题，帮助学生更好地理解和应用数列。
教学方法
在教学过程中，我们应该注重培养学生的数学思维和问题解决能力。
可以通过引导学生观察数列的规律，发现其中的模式，并进行归纳总结。
同时，引导学生灵活应用数列知识解决实际问题，培养他们的数学创新能力。
结论
综合以上分析，我们可以得出以下结论：
1. 数列作为一个重要的数学概念，对学生的数学研究具有重要意义。
2. 在选择教材时，应该充分考虑学生的学情和认知发展水平。
3. 在教学过程中，应该注重培养学生的数学思维和问题解决能力。
参考文献
[1] 陈述. (年份). 题目. 期刊名, 卷(期), 页数.
[2] 作者. (年份). 书名. 出版地: 出版社.。
第3章 数列
3. 2 等差数列
如果a，A，b，成等差数列，则 A－a＝b－A
ab A＝ 2
即
这时，A就称为a与b的等差中项．
3. 2 等差数列
在等差数列｛an｝中，首项是a1，公差是d．根 据等差数列的定义，可以得到 把这 n－1 个式子的两边分别相 加，就能得到
即
3. 2 等差数列
等差数列｛an｝的通项公式
（2）数列的第18项.
解 数列的第18项是
3. 1 数列的基本知识
1 （3） 是否为这个数列的一项？如果是其中一 21 项，那么是第几项？
解 设an＝ 1 ，则 21
当n为正奇数时，方程可化为
当n为正偶数时，方程可化为 2n＋1＝21 解得
1 所以， 21 是数列的第10项.
，方程无解.
，从而得到
3. 1 数列的基本知识
数列的一般形式：
其中，an是数列的第n项，n就是an的序号．数列可以简记为 ｛an｝．
项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无 穷数列．
3. 1 数列的基本知识
课堂练习 1
1．数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数 列吗？为什么？
2．请举出两个实际生活中数列的例子．
各项都相等的数列通常称为常数列．
3. 1 数列的基本知识
例题解析
例1 （3） 已知数列的通项公式 ，求： （2）数列的第18项. （1）数列的前3项.
1 是否为这个数列的一项？如果是其中一项，那么 21
是第几项？ 解（1）因为
1 1 1 所以此数列的前3项是－ ， ，－ . 7 5 3
3. 1 数列的基本知识
a1＝100，q＝100，由此可得 a5＝100×1005－1＝1005＝1010（粒）
【精品】必修5 第三章_数列(全学案)
第三章数列高一年级数学教研组目录1．数列的概念（一） (4)一、知识归纳： (4)二、例题讲解 (4)三、针对练习： (5)2．数列的概念（二） (6)一、知识归纳： (6)二、例题讲解： (6)三、针对练习： (7)3．等差数列（一） (8)一、知识归纳： (8)二、例题讲解： (8)三、针对训练： (9)4．等差数列（二） (10)一、知识归纳： (10)二、例题讲解： (10)三、针对训练： (11)5．等差数列的前N项和（一） (12)一、知识归纳： (12)二、例题讲解： (12)三、针对训练： (13)6．等差数列的前N项和（二） (14)一、知识归纳： (14)二、例题讲解： (14)三、针对训练： (15)7．等比数列（一） (16)一知识归纳 (16)二．例题选讲 (16)三．针对训练： (17)8．等比数列（二） (18)一知识归纳 (18)二．例题讲解： (18)三．针对训练： (19)9． 等比数列的前N 项和（一）......................................................................................................... 20 一 知识归纳： .................................................................................................................................... 20 二．例题讲解： ................................................................................................................................. 20 三．针对训练： ................................................................................................................................. 21 10． 等比数列的前N 项和（二） .................................................................................................... 22 一． 知识归纳： ................................................................................................................................ 22 二．例题讲解： ................................................................................................................................. 22 三．针对训练： ................................................................................................................................. 23 11． 数列的求和学案 ......................................................................................................................... 24 一、分组法求和：若：n n n c b a +=，且数列{}n b 、{}n c 的前N 项和可以求出，则分组求和． ............................................................................................................................................................. 24 二、错位相减法求和：（公差不为0的等差数列与公比不为1的等比数列的积的形式） ...... 24 三、裂项法求和：若：1+-=n n n b b a （裂项），则：11+-=n n b b S （相消）． ................. 25 12． 数列的求和练习 ......................................................................................................................... 26 13、求数列的通项公式学案 .................................................................................................................. 27 一、)(1n f a a n n +=+型 .................................................................................................................. 27 二、n n a n f a )(1=+型 ...................................................................................................................... 27 三、q pa a n n +=+1（其中P ，Q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）型． ...................................... 28 四、递推公式为n S 与n a 的关系式．(或()n n S f a =) .................................................................. 28 五、)()()(1n h a n g a n f a n nn +=+型 (28)14、求数列的通项公式练习 (29)1. 数列的概念（一）一、知识归纳：1、 数列：按 排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的 ．数列可以看作一个定义域为自然数集的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．它的图像是一群 ． 2、 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的 可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，即*),(N n n f a n ∈=．3、 数列分类：⑴按数列项数的多少可以分为 与 ，⑵按项的特点可以分为 ， ， 和 ．二、例题讲解例1、 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项： （1）1+=n n a n ； （2）()n a nn ⋅-=1．例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数： （1）1，2，3，4，5； （2）2，4，6，8，10； （3）1，2，4，8，16； （4）1，4，9，16，25（5）1 ,1 ,1 ,1 ,1--；（6）9，99，999，9999，99999；（7）2，2，4，4，6，6．例3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，3，5，7；（2）2122-，3132-，4142-，5152-；（3）,211⨯- ,321⨯ ,431⨯- ,541⨯ （4）1618 ,816 ,414 ,212；三、针对练习：1、数列}{n a 的通项公式是2832--=n n a n ，这个数从第几项起各项都是正数( ) ．A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项 2、数列1，3，6，10，…的一个通项公式n a = ( ) ．A ． n 2- n ＋1B ．()121+n n Ｃ．()121-n n D ．2n+13、数列7，9，11，…，2n-1的项数是 ( )A ．nB ．n-1C ．n-2D ．n-34、35是数列 ,14 , ,11 ,7 ,3-n 的第几项 （ ）A ．18项B ．19项C ．17项D ．20项5、无穷数列1，23，26，29，…，23n+6，…中，23n+6是第 ( )．A ．3n ＋6项B ．3n ＋7项C ．n ＋2项D ．n ＋3项6、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是 ( )．A ．19B ．20C ．21D ．227、写出下列各数列的通项公式：(1)0，3，8，15，24，35，……． （2） ,8110,498 ,256 ,94 ,2．(3)3，33，333，3333，33333，……． （4）3，5，3，5，3，……．(5) 3， 5， 9， 17， 33，……． （6）0， 1， 0， 1， 0， 1，……．(7) 1， 3， 3， 5， 5， 7， 7， 9， 9，……． （8） ,177,73 ,115 ,21 ,53．2. 数列的概念（二）一、知识归纳：1、 递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．2、 数列的前n 项和n S 与通项n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2( )1( S 11n S S n a n nn ．二、例题讲解：例1、已知数列}{n a 的第1项是1，以后的各项由公式111-+=n n a a 给出，写出这个数列的前5项．例2、已知数列}{n a 中，21213 ,2 ,1--+===n n n a a a a a (3≥n )，试写出数列的前4项．例3、已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想通项公式n a ．例4、已知数列}{n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式n a ：⑴n n S n 22+=； ⑵ 122--=n n S n ．三、针对练习：1、根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式． (1) ))(12( ,011N n n a a a n n ∈-+==+；(2) )(22 ,111N n a a a a n nn ∈+==+；＊(3) )(23 ,311N n a a a n n ∈-==+．2、已知下列各数列}{n a 的前n 项和n S 的公式，求}{n a 的通项公式． (1) n n S n 22+=；(2) 23-=nn S ；（3）c bn an S n ++=2．3. 等差数列（一）一、知识归纳：1、等差数列的定义：d a a n n =-+1；2、等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=． 二、例题讲解：例1、⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ 401-是不是等差数列5-，9-， ,13-，的项？如果是，是第几项？例2、在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ，d ，n a a ,20．例3、梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．例4、首项为24的等差数列，从第10项起开始为负数，求公差的取值范围．例5、已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？三、针对训练：1、首项为24-的等差数列从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ）34.>d A 3.<d B 338.≤<d C 338.<≤d D 2、已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．3、求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项．4、求等差数列10，8，6，……的第20项．5、在等差数列{n a }中，（1）已知4a =10，7a =19，求1a 与d ；（2）已知3a =9， 9a =3，求12a ．6、20-是不是等差数列0，213-，－7，…，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．7、100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．4. 等差数列（二）一、知识归纳：1、等差中项：若b A a ,,成等差数列，则=A ；2、等差数列的性质：在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,①d m n a a m n)(-+=； ②若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+；③下标成等差数列的项m a ，n m a +，n m a 2+，n m a 3+，……，构成新的等差数列． 3、判断一个数列是否成等差数列的常用方法： ①定义法：d a a n n =-+1（常数）；②递推法：212+++=n n n a a a ；③通项法：b kn a n +=．二、例题讲解：例1、在等差数列{n a }中，若1a +6a =9， 4a =7， 求3a ， 9a ， 57a a +．例2、等差数列{}n a 中，410424880a a a a +++=，求2032a a +，26a ．例3、在等差数列{}n a 中， 已知21512841=+---a a a a a ， 求313a a +．例4、{}n a 为递减的等差数列， 1a +3a +5a =－12， 且 1a ·3a ·5a =80． 求通项 n a ．例5、已知a 、b 、c 的倒数成等差数列，则,,b c a c a ba b c+++是否也成等差数列？说明理由．三、针对训练：1、若3lg 2lg 2,6lg ,,+b a 依次成等差数列，求b a ,的值．2、设{}n b 是递增的等差数列，已知,6321=++b b b 27321=b b b ，求等差数列{}n b 的通项．3、在等差数列{}n a 中， 1︒ 若a a =5，b a =10，求15a ；2︒ 若m a a =+83，求：65a a +； 3︒ 若 65=a ，158=a ，求14a ； 4︒ 若30521=+++a a a ，801076=+++a a a ，求151211a a a +++ ．4、已知数列{}n a 满足115a =，且当1n >，*n N ∈时，有112112n n n n a a a a --+=-，（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列；（2）试问21a a ⋅是否是数列{}n a 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．5. 等差数列的前n 项和（一）一、知识归纳：等差数列的前n 项和公式：()()d n n na a a n S n n 1212111-+=+=． 二、例题讲解：例1例2、等差数列-10，-6，-2，2，…，前多少项的和是54？例3、求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和．例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n 项和的公式．例5、一个凸n 边形各内角的度数成等差数列，公差是10︒， 最小内角为100︒，求边数n ．例6、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和n S 、n T 满足3125n n S n T n +=+，则55ab = ，33b a = ．三、针对训练：1、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．212、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)6(144,324,3666>===-n S S S n n ，则n 为（ ）(A) 18(B) 17(C) 16(D) 153、已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++= ，则有A ．11010a a +>B ．21000a a +<C ．3990a a +=D ．5151a = 4、等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 ．5、各项均为正数的等比数列{}n a 中，965=⋅a a ，则3132310log log log a a a +++= ． 在等差数列中，2211=S ，则=6a ___________6、等差数列{}n a 中，公差3d =，11n a =，14n S =，求4a ．7、已知103n a n =-，求数列{}n a 的前n 项和n T ．8、设等差数列{}n a 中，21512841=+---a a a a a ，求133a a +及15S 的值．6. 等差数列的前n 项和（二）一、知识归纳：1、等差数列的前n 项和的性质：n S ，n n S S -2，n n S S 23-，……，成等差数列．2、等差数列的判定(接等差数列2)： ④求和法：Bn An S n+=2；⑤若{}n a ，{}n b 是等差数列，则{}b ka n +，{}n n b a ±也是等差数列．3、等差数列的前n 项和的最值：01<a ，0>d 时，n S 有最小值；01>a ，0<d 时，n S 有最小值．二、例题讲解：例1、在等差数列{}n a 中：1︒ 已知488=S 16812=S 求1a 和d ； 2︒ 已知40153=+a a ，求17S ．例2、若一个等差数列共有12+n 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，求其中间项例3、已知{}n a ，{}n b 都成AP ，且 51=a ，151=b ，100100100=+b a 试求数列{}n n b a +的前100项之和100S ．例4、已知数列{}n a 的前n 项和n S 是关于正整数n 的二次函数，其图像 上有三个点A 、B 、C （如图），（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）判定{}n a 是否为等差数列，说明理由．例5、根据数列{}n a 的前n 项和，判断下列数列是否是等差数列 ①22n S n n =-；②221n S n n =-+．例6、在等差数列{}n a 中，797,4a a ==，该数列前多少项的和最大？三、针对训练：1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，(1) 求公差d 的取值范围； (2) 指出1S ， 2S ， 3S ， ……， 12S 中哪一个最大，说明理由2、一个等差数列{}n a 的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差d ．3、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232-=，求证数列{}n a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式．4、已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．5、在等差数列{}n a 中，1820,6a a =-=-，该数列前多少项的和最小？7. 等比数列（一）一、知识归纳1．等比数列定义：q a a n n =+/1； 2．等比数列通项公式：11-⋅=n n qa a ．二．例题选讲例1 培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？例2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．例3．（1）等比数列{}n a 中，2572,16,a a a ==求． （2）等比数列{}n a 中，5142315,6a a a a a -=-=，求．（3）等比数列{}n a 中，3663=+a a ，1874=+a a ，若1=n a ，求n ．例4．（06全国I 文）已知{}n a 为等比数列，324202,,3a a a =+=求{}n a 的通项公式．三．针对训练：1．求下面等比数列的第4项与第5项： （1）5，－15，45，……； （2）2.1，4.2，8.4，……；（3）32，21，83，……； （4）2，1，22，……． 2．（1） 一个等比数列的第9项是94，公比是－31，求它的第1项． （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．3．由下列等比数列的通项公式，求首项与公比： （1）2nn a =； （2）1104n n a =⋅．4．已知等比数列{}n a 中，252,128a a ==．(1) 求数列{}n a 通项公式； (2) 若2log n n b a =，求数列{}n b 的前20项和．四．小结 本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．8. 等比数列（二）一、知识归纳1．等比中项：若b G a ,,成等比数列，则=G ；2．等比数列的判定方法： ①定义法：q a a n n =+/1（常数）；②递推法：221++⋅=n n n a a a ；③通项法：nn Aq a =．3．等比数列的性质： ⑴⋅=m na a ；⑵若*,,,N q p n m ∈且q p n m +=+，则 ；4．等比数列的增减性：当q>1，1a >0或0<q<1， 1a <0时， {n a }是递增数列;当q>1， 1a <0，或0<q<1，1a >0时， {n a }是递减数列;当q=1时， {n a }是常数列;当q<0时， {n a }是摆动数列;二．例题讲解：例1 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列．例2．数列{}n a 满足12,111+==+n n a a a ，（1）求证数列{}1+n a 是等比数列；（2）求通项n a ．例3（1）在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a 的值．(2) 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ， 求53a a +的值．三．针对训练：1．等比数列{}n a 中，前10项和10，前20项和30，则前30项和为（ ）A 70B 90C 100D 1202．各项均为正数的等比数列{}n a 中569a a =，则3132310log log log a a a +++= （ ）A 12B 10C 8D 32log 5+3．各项均为正数的等比数列{}n a 中2q =且30123302a a a a = ，则36930a a a a = （ ）A 102B 202C 162D 152 4．等比数列{}n a 中，559,16,m m m a a a +-==求．5．已知数列{}n a 中，11=a ，2,1211≥+=-n a a n n ，求通项n a ．四、课堂小节1、等比数列定义：2、等比数列通项公式3、等比中项：4、等比数列性质9. 等比数列的前n 项和（一）一、知识归纳：1．等比数列的前n 项和公式：()()1,111≠--=q qq a S nn ；2．错位相减法：若：()[]1111-⋅-+=n nq c d n b a ，则：()n n n n qa c c c d a qS S -++++=- 321，可以求和．（注意：用前式第k 项减后式的第1-k项——错位相减！） 二．例题讲解：例1．求等比数列111,,,248的前8项的和．例2．某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？例3（1）在等比数列中，已知：364,36S S ==，求n a（2）（06全国2）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知481,17S S ==，求数列{}n a 的通项.n a例4．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，已知1是212S 和313S 的等差中项，6是22S 和33S 的等比中项．（1）求2S 和3S ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S ．三．针对训练：1．根据下列条件，求相应的等比数列{}n a的n S：（1）13,2,6a q n===；（2）12.4, 1.5,5a q n==-=；（3）111 8,,22na q a===；（4）111 2.7,,390na q a=-=-=．2．（1）求等比数列1,2,4, 从第5项到第10项的和．（2）求等比数列333,,,248从第3项到第7项的和．四、课堂小结：等比数列的前n项和．10. 等比数列的前n 项和（二）一、知识归纳：1．等比数列的前n 项和公式：=n S ．2．错位相减法：若：()[]1111-⋅-+=n nq c d n b a ，则：()n n n n qa c c c d a qS S -++++=- 321，可以求和．（注意：用前式第k 项减后式的第1-k 项——错位相减！） 3．等比数列的前n 项和的性质：n S ，n n S S -2，n n S S 23-，……，成等比数列．4．等比数列判定：④求和法：()1-=n nq A S ．二．例题讲解：例1．求和：（x +)1()1()122n n yx y x y +++++ （其中x ≠0，x ≠1，y ≠1）例2．若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，求证：285,,a a a 成等差数列．例3．设数列{}n a 为 1324,3,2,1-n nxx x x ()0≠x 求此数列前n 项的和．例4． 已知等差数列{n a }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{n a }中，依次取出第2项、第4项、第8项、…、第n 2项，按原来的顺序排成一个新数列{n b }，求数列{n b }的通项公式n b 与前n 项和公式n S ．三．针对训练：1．一个等比数列前n 项的和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ，求n S 3．2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，*1,3N n a S n n ∈=+，求：（1）2a ，3a ，4a 的值及通项公式n a ；（2）n a a a a 2642++++ 的值．3．求和：nn n S 333323132⋅++⋅+⋅+⋅= ．四．课堂小结1．等比数列的前n 项和公式： 2．错位相减法的应用；11. 数列的求和学案一、分组法求和：若：n n n c b a +=，且数列{}n b 、{}n c 的前n 项和可以求出，则分组求和． 例1：已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++例2：求数列1，3＋13，32＋132，…，3n ＋13n 的各项的和．例3：求和：()()()1222221221211-+++++++++++n ； 221--+n n二、错位相减法求和：（公差不为0的等差数列与公比不为1的等比数列的积的形式）若：()[]1111-⋅-+=n nq c d n b a ，则：()n n n n qa c c c d a qS S -++++=- 321，可以求和．（注意：用前式第k 项减后式的第1-k项——错位相减！） 例4：1．n n n S 333323132⨯++⨯+⨯+⨯= ；例5：设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，… 的前n 项和例6：已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．三、裂项法求和：若：1+-=n n n b b a （裂项），则：11+-=n n b b S （相消）． 提示：111)1(1+-=+n n n n ；)211(21)2(1+-=+n n n n ；)11(1)(1d n n d d n n +-=+．例7：求：nn ⋅-+⋅+⋅)1(1321211．例8：求：)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++ ．例9：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111．12. 数列的求和练习1．)21(813412211n n +++++ = ； 2．数列{}n a 中，3,6011+=-=+n n a a a ，求这个数列前30项的绝对值之和；3．已知数列{}n a 的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b是非零常数，则存在数列{}n x 、{}n y 使得（ ） A ．n n n y x a +=，其中{}n x 为等差数列，{}n y 为等比数列 B ．n n n y x a +=，其中{}n x 和{}n y 都为等差数列C ．n n n y x a ⋅=，其中{}n x 为等差数列，{}n y 都为等比数列D ．n n n y x a ⋅=，其中{}n x 和{}n y 都为等比数列 4．n n n S 223222132++++= ．5．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S ． ⑴求{}n a 的通项；⑵求{}n nS 的前n 项和n T ． 6、求：)12)(12(1531311+-++⋅+⋅n n = ． 7、求：)2(1531421311+++⋅+⋅+⋅n n = ．13、求数列的通项公式学案一、)(1n f a a n n +=+型．解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法（逐差相加法）求解． 例1：数列{}n a 中，11a =，121,(2)n n a a n n -=+-≥，其通项公式n a =．例2：（08年北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．二、n n a n f a )(1=+型． 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法（逐商相乘法）求解． 例3：已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a ．三、q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）型． 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解． 例4：==+11,1n a a 121+n a )(*N n ∈．四、递推公式为n S 与n a 的关系式．(或()n n S f a =)． 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解． 例5：数列{}n a 的前n 项和为23n n S a =+，则{}n a 是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．从第2项起是等比数列D ．从第2项起是等差数列五、)()()(1n h a n g a n f a n nn +=+型．解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1． 例6：数列{}n a 中，11a =，12,()2nn n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A ． 25 B ． 13 C ． 23 D ． 1214、求数列的通项公式练习1．数列{}n a 中，21=a ，n a a n n 21+=-，()1>n ，求其通项公式n a ．2．（08年理江西卷5）在数列{}n a 中，21=a ，⎪⎭⎫⎝⎛++=+n a a n n 11ln 1，则=n a A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 3．设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且)(0)1(1221N n a a na a n n n n n ∈=+-+++，则它的通项公式是=n a ．4．已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a ．5． 已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足65102++=n n n a a S 且1a ，3a ，15a 成等比数列，求数列{}n a 的通项n a6．已知数列{}n a 满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式．7．数列{}n a 的前n 项和1+=n n a S ，()+∈N n ，21=a ，求n a 和n S ．15、知识要点复习一、数列1、数列：按 排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的 。
第三章 数列教案 新课标 人教版 教案
第三章 数列教案一、数列的概念1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示。
（通项公式不唯一）3、数列的表示:(1) 列举法:如1,3,5,7,9……; (2) 图解法:由(n,a n )点构成;(3) 解析法:用通项公式表示,如a n =2n+1(4) 递推法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a 1=1,an=1+2a n-14、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列5、任意数列{a n }的前n 项和的性质 Sn= a 1+ a 2+ a 3+ ……+ a n ()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n nn n a a a a 考虑数列的单调性二、数列通项的求法1、 由等差，等比定义，写出通项公式2、 利用迭加a n -a n-1=f(n)、迭乘a n /a n-1=f(n)、迭代3、一阶递推q pa a n n +=+1,我们通常将其化为()()A a p A a n n -=-+1看成{b n }的等比数列4、利用换元思想5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6、对含a n 与S n 的题，进行熟练转化为同一种解题 三、等 差 数 列1．定义：)()(1•+∈=-N n d a a n n 常数2．通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+=3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=4．中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5．性质: ()()nm a a d d n m a a nm n m --=-+=,1()q p m n m qp a a a q p m a a a a n m q p +=+=+=++=+2,2,,,2则若则若在等差数列中(){}{}{}{}{}.,,,,,,,,,3211121d d d pd b a q a pa d d b a n n n n n n ±±+且公差分别为列也为等差数则数列且公差分别为均为等差数列若（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数列，公差为md 。
第三章 第一节数列的概念
同步检测训练一、选择题1．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…的第100项是( )A ．14B ．12C ．13D ．15答案：A解析：易知数字为n 时共有n 个，到数字n 时，总共的数字的个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.易知n ＝13时，最后一项为91，n ＝14共有14个，故第100项为14. 2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.6116 B.259C.2516D.3115答案：A解法一：由已知得a 1·a 2＝22，∴a 2＝4.a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝94， a 1·a 2·a 3·a 4＝42，∴a 4＝169， a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52，∴a 5＝2516. ∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116. 解法二：由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(n n －1)2(n ≥2)， ∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116. 3．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式a n 是( ) A ．(－1)n n 22n ＋1 B ．(－1)n n (n ＋2)n ＋1C ．(－1)n (n ＋2)2－12(n ＋1)D ．(－1)n n (n ＋2)2n ＋1答案：D解析：将数列中的各项变为－1×33，2×45， －3×57，4×69，…，故其通项a n ＝(－1)n n (n ＋2)2n ＋1. 4．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖________块．(用含n 的代数式表示)A ．4nB ．4n ＋1C ．4n －3D ．4n ＋8答案：D解析：第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；….由此可猜测第(n )个图案黑色瓷砖数为：12＋(n －1)×4＝4n ＋8.5．(2009·咸阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案：B解析：∵S n ＝n 2－9n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10.又当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8也适合上式，∴a n ＝2n －10，又5<2k －10<8，152<k <9， ∴k ＝8.6．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )为( )A.n ＋1nB.n ＋3n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n ＋3n ＋2答案：C解析：f (1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋21＋1， f (2)＝2(1－14)(1－19)＝43＝2＋22＋1， f (3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2(1－14)(1－19)(1－116)＝54＝3＋23＋1， 可猜测f (n )＝n ＋2n ＋1. 7．(2009·保定市调研)在数列1,3,2，…中，前两项以后的每一项等于它前面两项之差(前面一项减去再前面一项)，则该数列的前100项之和是( )A ．5B ．20C ．300D ．652答案：A解析：∵在数列1,3,2，…中，a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，∴a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，a 7＝1，a 8＝3，…，即数列{a n }是一个周期为6的周期数列，故其前100项的和为：S 100＝16×[1＋3＋2＋(－1)＋(－3)＋(－2)]＋1＋3＋2＋(－1)＝5，故选A.8．给定正整数n (n ≥2)按图方式构成三角形表：第一行依次写上数1,2,3，…n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数(比下一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数．例如n ＝6时数表如下图所示，则当n ＝2007时最后一行的数是( )11248 6420 28 368 12 16 203 5 7 9 111 2 3 4 5 6 A ．251×22007 B ．2007×22006C ．251×22008D ．2007×22005答案：C解析：由三角形数表知前n －1行的每行数字均是等差的，其公差分别为20、21、22、…、2n －2.设每行的首个数字构成数列{a n }，则a 1＝1，a n ＝a n －1＋a n －1＋2n －2＝2a n －1＋2n －2＝22a n －2＋2n －2＋2n －2＝22a n －2＋2×2n －2＝…＝2n －1a 1＋(n －1)·2n －2＝(n ＋1)·2n －2，则a 2007＝(2007＋1)·22007－2＝251×22008，故选C.二、填空题9．(2008·石家庄二测)已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n 为奇数，－n ，n 为偶数.若a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 2008＝________.答案：0解析：由f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n 为奇数，－n ，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)得：当n 为奇数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n －(n ＋1)＝－1，当n 为偶数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n ＋(n ＋1)＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 2008＝0，故填0.10．(2008·北京宣武)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 7＝________. 答案：128解析：S n ＝2(a n －1)，S n ＋1＝2(a n ＋1－1)，相减得a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，a n ＋1＝2a n ，又S 1＝a 1＝2(a 1－1)，a 1＝2，则数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，a 7＝128，故填128.11．(2008·北京朝阳)设函数f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f (0)＝12，数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n 等于________．答案：1n (n ＋1)解析：由f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f (0)＝12得a 1＝12，又由数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)得S n ＝n 2a n ，也有S n －1＝(n －1)2a n －1，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，整理得a n ＝n －1n ＋1a n －1，则数列{a n }的通项a n ＝n －1n ＋1a n －1＝n －1n ＋1·n －2n a n －2＝…＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·23·12＝1n (n ＋1)，故填1n (n ＋1). 三、解答题12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，求数列的通项公式．解：S n 满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，∴1＋S n ＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1.∴a 1＝3，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n (n ≥2)，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)，2n (n ≥2). 13．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ＝1,2,3，…，求： (Ⅰ)a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值．解：(Ⅰ)由a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ＝1,2,3，…，得 a 2＝13S 1＝13a 1＝13， a 3＝13S 2＝13(a 1＋a 2)＝49， a 4＝13S 3＝13(a 1＋a 2＋a 3)＝1627. 由a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)． 得a n ＋1＝43a n (n ≥2)又a 2＝13，所以a n ＝13(43)n －2(n ≥2)． 所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，13(43)n －2，n ＝1，n ≥2. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，a 2，a 4，…，a 2n ，是首项为13，公比为(43)2，项数为n 的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝13·1－(43)2n 1－(43)2＝37[(43)2n －1]． 14．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，且⎩⎨⎧a n ＝34a n －1＋14b n －1＋1b n ＝14a n －1＋34b n －1＋1(n ≥2) (Ⅰ)令c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的通项公式．(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式．解：(Ⅰ)由题设得a n ＋b n ＝(a n －1＋b n －1)＋2(n ≥2)，即c n ＝c n －1＋2(n ≥2)． 易知{c n }是首项为a 1＋b 1＝3，公差为2的等差数列，通项公式为c n ＝2n ＋1.(Ⅱ)由题设得a n －b n ＝12(a n －1－b n －1)(n ≥2)，令d n ＝a n －b n d n ＝12d n －1(n ≥2)． 易知{d n }是首项为a 1－b 1＝1，公比为12的等比数列，通项公式为d n ＝12n －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＋b n ＝2n ＋1，a n －b n ＝12n －1，解得a n ＝12n ＋n ＋12. 求和得S n ＝－12n ＋n 22＋n ＋1. 15．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S 1>1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n (2b n －1)＝1，并记T n 为{b n }的前n 项和，求证：3T n ＋1>log 2(a n ＋3)，n ∈N *.(1)解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2. 又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)， 得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0，即a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n .因a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n ＝3.从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.(2)证法一：由a n (2b n －1)＝1可解得b n ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋1a n ＝log 23n 3n －1； 从而T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝log 2⎝⎛⎭⎫32·65·…·3n 3n －1.因此3T n ＋1－log 2(a n ＋3)＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫32·65·…·3n 3n －13·23n ＋2. 令f (n )＝⎝⎛⎭⎫32·65·…·3n 3n －13·23n ＋2， 则f (n ＋1)f (n )＝3n ＋23n ＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋33n ＋23 ＝(3n ＋3)3(3n ＋5)(3n ＋2)2. 因(3n ＋3)3－(3n ＋5)(3n ＋2)2＝9n ＋7>0，故f (n ＋1)>f (n )．特别地f (n )≥f (1)＝2720>1.从而3T n ＋1－log 2(a n ＋3)＝log 2f (n )>0，即3T n ＋1>log 2(a n ＋3)． 证法二：同证法一求得b n 及T n .由二项式定理知，当c >0时，不等式(1＋c )3>1＋3c 成立． 由此不等式有3T n ＋1＝log 22(1＋12)3(1＋15)3…(1＋13n －1)3 >log 22(1＋32)(1＋35)…(1＋33n －1) ＝log 22·52·85·…·3n ＋23n －1＝log 2(3n ＋2)＝log 2(a n ＋3)． 证法三：同证法一求得b n 及T n .令A n ＝32·65·…·3n 3n －1，B n ＝43·76·…·3n ＋13n， C n ＝54·87·…·3n ＋23n ＋1. 因3n 3n －1>3n ＋13n >3n ＋23n ＋1，因此A 3n >A n B n C n ＝3n ＋22. 从而3T n ＋1＝log 22(32·65·…·3n 3n －1)3＝log 22A 3n >log 22A n B n C n ＝log 2(3n ＋2)＝log 2(a n ＋3)． 证法四：同证法一求得b n 及T n .下面用数学归纳法证明：3T n ＋1>log 2(a n ＋3)．当n ＝1时，3T 1＋1＝log 2274，log 2(a 1＋3)＝log 25， 因此3T 1＋1>log 2(a 1＋3)，结论成立．假设结论当n ＝k 时成立，即3T k ＋1>log 2(a k ＋3)，则当n ＝k ＋1时，3T k ＋1＋1－log 2(a k ＋1＋3)＝3T k ＋1＋3b k ＋1－log 2(a k ＋1＋3)>log 2(a k ＋3)－log 2(a k ＋1＋3)＋3b k ＋1＝log 2(3k ＋3)3(3k ＋5)(3k ＋2)2. 因(3k ＋3)3－(3k ＋5)(3k ＋2)2＝9k ＋7>0，故log 2(3k ＋3)3(3k ＋5)(3k ＋2)2>0. 从而3T k ＋1＋1>log 2(a k ＋1＋3)．这就是说，当n ＝k ＋1时结论也成立． 综上3T n ＋1>log 2(a n ＋3)对任何n ∈N *成立．。
中职数学(拓展模块上册)第三章《数列》课件
（3-1）
3.2 等差数列
3.2.1等差数列的概念 例1 已知等差数列的首项为12，公差为d=-3，试写出这个数列的第2项和第5项.
解：由于a1=12,d=-3,因此
a2=a1+d=12+(-3)=9 a3=a2+d=9+(-3)=6 a4=a3+d=6+(-3)=3 a5=a4+d=3+(-3)=0
3.1.2数列的通项公式
由于数列的项都是按一定的顺序排列的，则每项都占有一个不同的序号.因此，在一个数列中， 每项与它的序号都有一一对应的关系.
数列的一般形式可以写作
a1,a2,…,an,…(n∈N*)
记作{an}，其中下脚标的数字代表项数.因此，通常把第n项an叫作数列{an}的通项或一般项.
例如，数列1,2,3,…,n,…可以简记为{n}；数列 1, 1 , 1可, 1以, 1简, 记为
an=5n
（2）这个数列的前4项分别为奇数的倒数，所以它的一个通项公式为
an
1 2n 1
3.1 数列的概念
3.1.2数列的通项公式
例3 判断16和47是否为数列{5n+1}中的项，如果是，请指出是第几项. 解:数列的通项公式为an=5n+1，将16代入数列的通项公式，有
16=5n+1 解得
n=3∈N* 所以,16是数列{5n+1}中的第3项.
3.1 数列的概念
3.1.2数列的通项公式 做一做 2.根据下列数列的前4项写出数列的一个通项公式. （1）4,9,16,25； （2）1 , 3 , 5 , 7 ;
2468
（3） 1 , 1 , 1 , 1 .
3 6 9 12
数列(共84张PPT)
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
2022高考数学满分讲义：第三章 数列 第1讲 等差数列与等比数列
2022高考数学满分讲义：第三章 数列第1讲 等差数列与等比数列[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺 B ．12.5尺 C ．10.5尺 D ．9.5尺 答案 A解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝12.5，a 1＋11d ＝4.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15.5，d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺．(2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x－1的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝2164n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 答案 －30解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1的图象上，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1，则b n ＝264n＝2n －12(n ∈N *)， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴T n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎫n －1122－1214. 又n ∈N *，∴T n 的最小值为T 5＝T 6＝⎝⎛⎭⎫122－1214＝－30. 规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q .(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则( ) A ．d <0 B ．a 16<0 C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0 答案 ABC解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10＝S 20，得10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，化简得a 1＝－292d .因为a 1>0，所以d <0，故A 正确；因为a 16＝a 1＋15d ＝－292d ＋15d ＝12d ，又d <0，所以a 16<0，故B 正确；因为a 15＝a 1＋14d ＝－292d ＋14d ＝－12d >0，a 16<0，所以S 15最大，即S n ≤S 15，故C 正确；S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n －30)2d ，若S n <0，又d <0，则n >30，故当且仅当n ≥31时，S n <0，故D 错误．考点二 等差数列、等比数列的性质 核心提炼1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质：(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S 2n －1＝(2n －1)a n .例2 (1)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20 D ．22 答案 D解析 结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 26， 又该数列为正项数列，可得a 6＝2， 所以由S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， 可得S 11＝S 2×5＋1＝11a 6＝22.(2)已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于( )A ．2 020B ．1 010C ．2 D.12答案 A解析 ∵a 1a 2 020＝1， ∴f (a 1)＋f (a 2 020)＝21＋a 21＋21＋a 22 020＝21＋a 21＋21＋1a 21＝21＋a 21＋2a 211＋a 21＝2， ∵{a n }为等比数列，则a 1a 2 020＝a 2a 2 019＝…＝a 1 010a 1 011＝1， ∴f (a 2)＋f (a 2 019)＝2，…，f (a 1 010)＋f (a 1 011)＝2， 即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)＝2×1 010＝2 020. 规律方法 等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．12B ．24C ．30D ．32 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.(2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( ) A ．－510 B ．400 C ．400或－510 D ．30或40答案 B解析 ∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等比数列， ∴10×(130－S 20)＝(S 20－10)2， 解得S 20＝40或S 20＝－30(舍)， 故S 40－S 30＝270，∴S 40＝400.考点三 等差数列、等比数列的探索与证明 核心提炼等差数列 等比数列 定义法 a n ＋1－a n ＝d a n ＋1a n＝q (q ≠0) 通项法 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1·q n －1 中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1a 2n ＝a n －1a n ＋1证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12(n ∈N *)，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12(n ∈N *)．易错提醒 a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.跟踪演练3 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是不是等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)．专题强化练一、单项选择题1．在等比数列{a n }中，若a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．5 答案 A解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 3＝2，a 7＝8， ∴a 25＝a 3·a 7＝2×8＝16，则a 5＝±4， ∵等比数列奇数项的符号相同，∴a 5＝4.2．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n 等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2.由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12， ①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11.那么一定有( ) A ．a 6≤b 6 B ．a 6≥b 6 C ．a 12≤b 12 D ．a 12≥b 12 答案 B解析 因为等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，所以a 1＋a 11＝b 1＋b 11＝2a 6，所以a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112≥b 1b 11＝b 6.当且仅当b 1＝b 11时，取等号，此时数列{b n }的公比为1. 4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋n ln n B ．2n ＋(n －1)ln n C ．2n ＋n ln n D ．1＋n ＋n ln n答案 C解析 由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1,2,3，…，n －1(n ≥2)取代， 累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1，即a nn ＝2＋ln n ，即a n ＝2n ＋n ln n (n ≥2)，又a 1＝2符合上式，故a n ＝2n ＋n ln n .5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝19C ．S 9＝81D ．S 10＝91 答案 D解析 ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n >1，n ∈N *时是等差数列，公差为2， 又a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2＋(n －2)×2＝2n －2(n >1，n ∈N *)，∴a 9＝2×9－2＝16，a 10＝2×10－2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选D.6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m ，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为S n ，则( )A ．S n 无限大B ．S n <3(3＋5)mC ．S n ＝3(3＋5)mD ．S n 可以取100m答案 B解析 由题意可得，外围第2个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13m 2＋⎝⎛⎭⎫23m 2＝53m ； 外围第3个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13×53m 2＋⎝⎛⎭⎫23×53m 2＝59m ； ……外围第n 个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫53n －1m .所以蜘蛛网的长度 S n ＝4m ⎣⎡⎦⎤1＋53＋59＋…＋⎝⎛⎭⎫53n －1 ＝4m ×1－⎝⎛⎭⎫53n1－53<4m ×11－53＝3(3＋5)m .故选B. 二、多项选择题7．(2020·厦门模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是( ) A ．a 4＝0 B ．S n 的最大值为S 3 C ．S 1＝S 6 D ．|a 3|<|a 5|答案 AC解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋21d ，解得a 1＝－3d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －4)d ，所以a 4＝0，故A 正确；因为S 6－S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故C 正确；由于d 的取值情况不清楚，故S 3可能为最大值也可能为最小值，故B 不正确；因为a 3＋a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝－a 5，即|a 3|＝|a 5|，故D 错误．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，记{a n }的前n 项积为T n ，则下列选项中正确的是( )A ．0<q <1B ．a 6>1C ．T 12>1D ．T 13>1答案 ABC解析 由于等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，所以(a 6－1)(a 7－1)<0，由题意得a 6>1，a 7<1，所以0<q <1，A ，B 正确；因为a 6a 7＋1>2，所以a 6a 7>1，T 12＝a 1·a 2·…·a 11·a 12＝(a 6a 7)6>1，T 13＝a 137<1，所以满足T n >1的最大正整数n 的值为12，C 正确，D 错误． 三、填空题9．(2020·江苏)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________． 答案 4解析 由题意知q ≠1，所以S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝na 1＋n (n －1)2d ＋b 1(1－q n )1－q＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＋b 11－q －b 1q n1－q ＝n 2－n ＋2n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1，a 1－d 2＝－1，b11－q ＝－1，－b11－q q n＝2n，解得d ＝2，q ＝2，所以d ＋q ＝4.10．(2020·北京市顺义区质检)设S n 为公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝________，S 4S 2＝________.答案 3 10解析 设等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1，又因为3a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以2×2a 2＝3a 1＋a 3，即4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，解得q ＝3或q ＝1(舍)，S 4S 2＝a 1(1－34)1－3a 1(1－32)1－3＝1－341－32＝10.11．(2020·潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需移动的最少次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1(n 为偶数)，2a n －1＋2(n 为奇数)，则解下5个圆环需最少移动________次． 答案 16解析 因为a 5＝2a 4＋2＝2(2a 3－1)＋2＝4a 3，所以a 5＝4a 3＝4(2a 2＋2)＝8a 2＋8＝8(2a 1－1)＋8＝16a 1＝16， 所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.12．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A ≤2S n－1S n ≤B 恒成立，则B －A 的最小值为________． 答案136解析 ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， 令t ＝⎝⎛⎭⎫－12n ，则－12≤t ≤14，S n ＝1－t ， ∴34≤S n ≤32， ∴2S n －1S n 的最小值为16，最大值为73，又A ≤2S n －1S n ≤B 对任意n ∈N *恒成立，∴B －A 的最小值为73－16＝136.四、解答题13．(2020·聊城模拟)在①a 5＝b 3＋b 5，②S 3＝87，③a 9－a 10＝b 1＋b 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，________，a 1＝b 6，若对于任意n ∈N *都有T n ＝2b n －1，且S n ≤S k (k 为常数)，求正整数k 的值． 解 由T n ＝2b n －1，n ∈N *得， 当n ＝1时，b 1＝1；当n ≥2时，T n －1＝2b n －1－1， 从而b n ＝2b n －2b n －1，即b n ＝2b n －1，由此可知，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，故b n ＝2n －1.①当a 5＝b 3＋b 5时，a 1＝32，a 5＝20，设数列{a n }的公差为d ，则a 5＝a 1＋4d ，即20＝32＋4d ，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值．因此，正整数k 的值为11.②当S 3＝87时，a 1＝32,3a 2＝87，设数列{a n }的公差为d ，则3(32＋d )＝87，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.③当a 9－a 10＝b 1＋b 2时，a 1＝32，a 9－a 10＝3，设数列{a n }的公差为d ，则－d ＝3，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.14．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)， 当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)， 所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列， 所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
高中数学教学课例《数列》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学方法，结合师生共同讨论、归纳。在课堂结构上，我
根据学生的认知水平，我设计了①创设情境——引入概
念②观察归纳——形成概念③讨论研究——深化概念
④即时训练—巩固新知⑤总结反思——提高认识⑥任
务后延——自主探究六个层次的学法，它们环环相扣，
层层深入，从而顺利完成教学目标。
（一）创设情境——引入概念
我经常在思考：长期以来，我们的学生为什么对数
此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生
“知其所以然”。为了体现以学生发展为本，遵循学生
的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进
行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设情景，通
过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数
学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感
受。
本节课我采用提问、讲述、观察发现、启发引导相
学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是
数学离学生的生活实际太远了。事实上，数学学习应该
与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知
识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、
认识并掌握数学。
教学过程
1、由生活中的具体的数列实例引入： a、时间：时钟、挂历 b、植物：植物的茎 2、用古
1、知识与技能：通过枚举归纳： ①认识数列的特点,掌握数列的概念及表示方法。 ②了解数列通项公式的意义及数列分类。③能由数列的 通项公式求出数列的各项，反之,能由数列的前几项写 教学目标 出数列的一个通项公式。 2、过程与方法：通过对数列通项公式的探究和应 用，帮助学生通过问题解决获得数学知识；在交流过程 中，养成表述、抽象、类比、概括、总结的思维习惯。 3、情感态度与价值观：通过各种有趣的，贴近学